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1、第3章误差的合成与分配本讲稿第一页，共八十五页 第第一一节节 函数误差函数误差 第第二二节节 随机误差的合成随机误差的合成 第第三三节节 系统误差的合成系统误差的合成 第四节第四节 系统误差与随机误差的合成系统误差与随机误差的合成 第第五五节节 误差分配误差分配 第第六六节节 微小误差取舍准则微小误差取舍准则 第第七七节节 最佳测量方案的确定最佳测量方案的确定本讲稿第二页，共八十五页第一节第一节 函数误差函数误差 第第二二章章所所讨讨论论的的主主要要是是直直接接测测量量的的误误差差计计算算，但但在在有有些些情情况况下下，由由于于被被测测对对象象的的特特点点，不不能能进进行行直直接接测测量量，或
2、或者者直直接接测测量量难难以以保保证证测测量量精精度度，需需要要采采用用间接测量间接测量。间间接接测测量量是是通通过过直直接接测测量量与与被被测测的的量量之之间间有有一一定定函函数数关关系系的的其其他他量量，按按照照已已知知的的函函数数关关系系式式计计算算出出被被测测的的量量。因因此此间间接接测测量量的的量量是是直直接接测测量量所所得得到到的的各各个个测测量量值值的的函函数数，而而间间接接测测量量误误差差则则是是各各个个直直接接测测得得值值误误差差的的函函数数，故故称称这这种种误误差差为为函函数数误误差差。研研究究函函数数误误差差的的内内容容，实实质质上上就就是是研研究究误误差差的的传传递递问
3、问题题，而而对对于于这这种种具具有确定关系的误差计算，也可称之为有确定关系的误差计算，也可称之为误差合成误差合成。下下面面分分别别介介绍绍函函数数系系统统误误差差和和函函数数随随机机误误差差的的计计算问题。算问题。本讲稿第三页，共八十五页一、函数系统误差计算一、函数系统误差计算 在在间间接接测测量量中中，函函数数的的形形式式主主要要为为初初等等函函数数，且且一一般般为为多多元函数，其表达式为元函数，其表达式为 y=f(x1,x2,xn)式中，式中，x1,x2,xn为各个直接测量值；为各个直接测量值；y为间接测量值。为间接测量值。由由高高等等数数学学可可知知，对对于于多多元元函函数数，其其增增量
4、量可可用用函函数数的全微分表示，则上式的函数增量的全微分表示，则上式的函数增量dy为为 若若 已已 知知 各各 个个 直直 接接 测测 量量 值值 的的 系系 统统 误误 差差x1,x2,xn，由由于于这这些些误误差差值值皆皆较较小小，可可用用来来近近似似代代替替上上式式中中的的微微分分量量d dx1,d dx2,d dxn，从从而而可可近近似似得得到到函函数数的系统误差的系统误差y为为本讲稿第四页，共八十五页 上式称为上式称为函数系统误差公式函数系统误差公式，而，而为各个直接测量值的为各个直接测量值的误差传递系数误差传递系数。有有些些情情况况下下的的函函数数公公式式较较简简单单，则则可可直直
5、接接求求得得函函数数的的系系统误差。统误差。例如，若函数形式为线性公式例如，若函数形式为线性公式则函数的系统误差为则函数的系统误差为式中的各个误差传递系数式中的各个误差传递系数ai为常数。为常数。当当ai1时，则有时，则有 上上式式说说明明：当当函函数数为为各各测测量量值值之之和和时时，其其函函数数系系统统误误差亦为各测量值系统误差之和差亦为各测量值系统误差之和。本讲稿第五页，共八十五页 在在间间接接测测量量中中，也也常常遇遇到到角角度度测测量量，其其函函数数关关系系为为三三角角函函数数式式，它它常常以以 等等形形式式出出现现。对对于于三三角角函函数数的的系系统误差，可按上述同样方法进行计算。
6、统误差，可按上述同样方法进行计算。若三角函数为若三角函数为则三角函数的系统误差为则三角函数的系统误差为 在在角角度度测测量量中中，需需要要求求得得的的误误差差不不是是三三角角函函数数误误差差，而而是是所求角度的误差所求角度的误差，因此必须进一步求解。，因此必须进一步求解。本讲稿第六页，共八十五页 对正弦函数微分得对正弦函数微分得用系统误差代替上式中相应的微分量，则有用系统误差代替上式中相应的微分量，则有将上式代入将上式代入三角函数的系统误差计算式三角函数的系统误差计算式可得正弦函数的可得正弦函数的角度系统误差公式角度系统误差公式为为 本讲稿第七页，共八十五页 同理可得其他三角函数的角度系统误差
7、公式。同理可得其他三角函数的角度系统误差公式。对于对于 ，其角度系统误差公式为，其角度系统误差公式为 对于对于 ，其角度系统误差公式为，其角度系统误差公式为 对于对于 ，其角度系统误差公式为，其角度系统误差公式为本讲稿第八页，共八十五页例例3-1 用用弓弓高高弦弦长长法法间间接接测测量量大大直直径径D，如如图图3-1所所示示，直直接测得其弓高接测得其弓高h和弦长和弦长s，然后通过函数关系计算出直径，然后通过函数关系计算出直径D。若弓高与弦长的测得值及其系统误差为若弓高与弦长的测得值及其系统误差为 h50mm，h0.1mm s500mm，s1mm求测量结果。求测量结果。解：解：由图由图3-1可得
8、函数关系式可得函数关系式若不考虑测得值的系统误差，若不考虑测得值的系统误差，则计算出的直径则计算出的直径D0为为因因D=f(h,s)，所以直径，所以直径D的系统误差为的系统误差为图图3-1本讲稿第九页，共八十五页式中各个误差传递系数为式中各个误差传递系数为将将已已知知各各误误差差值值及及误误差差传传递递系系数数代代入入直直径径的的系系统统误误差差式式，得得 通通过过修修正正可可消消除除所所求求得得的的直直径径系系统统误误差差D，则则被被测测直直径径的的实际尺寸为实际尺寸为本讲稿第十页，共八十五页例例3-2 用用双双圆圆球球检检定定高高精精度度内内锥锥角角，如如图图3-2所所示示，已已知知 D1
9、=45.00mm,D1=0.002mm D2=15.00mm,D2=-0.003mm测得尺寸及系统误差为测得尺寸及系统误差为 l1=93.921mm,l1=0.0011mm l2=20.961mm,l2=0.0008mm求检定结果。求检定结果。解：解：由图由图3-2可得函数关系式可得函数关系式若不考虑测得值的系统误差，则计算出的角度若不考虑测得值的系统误差，则计算出的角度0为为本讲稿第十一页，共八十五页因因可得角度可得角度的系统误差为的系统误差为式中各个误差传递系数为式中各个误差传递系数为本讲稿第十二页，共八十五页将将已已知知各各误误差差值值及及误误差差传传递递系系数数代代入入角角度度的的系系
10、统统误误差差式式，得得 将将所所求求得得的的角角度度系系统统误误差差修修正正后后，则则得得被被检检定定内内锥锥角角的的实实际值为际值为本讲稿第十三页，共八十五页二、函数随机误差计算二、函数随机误差计算 随随机机误误差差是是用用表表征征其其取取值值分分散散程程度度的的标标准准差差来来评评定定的的，对对于于函函数数的的随随机机误误差差，也也是是用用函函数数的的标标准准差差来来进进行行评评定定的的。因因此此，函函数数随随机机误误差差计计算算，就就是是研研究究函函数数y的的标标准准差差与与各各测测量量值值x1,x2,xn的的标标准准差差之之间间的的关关系系。前前面讲到的公式面讲到的公式若若以以各各测测
11、量量值值的的随随机机误误差差x1,x2,xn代代替替各各微微分分量量d dx1,d dx2,d dxn，只只能能得得到到函函数数的的随随机机误误差差y，而而得得不不到到函函数数的的标标准准差差y。因因此此必必须须进进行行下下列列运运算算，以以求求得得函数的标准差。函数的标准差。本讲稿第十四页，共八十五页 函数的一般形式为函数的一般形式为 为为了了求求得得用用各各个个测测量量值值的的标标准准差差表表示示函函数数的的标标准准差差公公式式，设设对对各各个个测测量量值值皆皆进进行行了了N次次等等精精度度测测量量，其其相相应应的的随随机机误差为误差为因此函数因此函数y的随机误差为的随机误差为本讲稿第十五
12、页，共八十五页将上述方程组中每个方程平方得将上述方程组中每个方程平方得本讲稿第十六页，共八十五页将上面方程组中各方程相加，可得将上面方程组中各方程相加，可得本讲稿第十七页，共八十五页将上述方程组各项除以将上述方程组各项除以N，并根据下式，并根据下式可得可得本讲稿第十八页，共八十五页若定义若定义或或则可得则可得式中式中ij为为第第i个测量值和第个测量值和第j个测量值之间的个测量值之间的误差相关系数误差相关系数。根根据据上上式式可可由由各各个个测测量量值值的的标标准准差差计计算算出出函函数数的的标标准准差差，故称该式为故称该式为函数随机误差公式函数随机误差公式，而，而 为各个测量值的误差传递系数。
13、为各个测量值的误差传递系数。本讲稿第十九页，共八十五页 若若各各测测量量值值的的随随机机误误差差是是相相互互独独立立的的，且且当当N适适当当大大时，相关项时，相关项则相关系数则相关系数ij也为零，误差公式可简化为也为零，误差公式可简化为令令 ，则上式可写成，则上式可写成 各各测测量量值值随随机机误误差差间间互互不不相相关关的的情情况况较较为为常常见见，且且当当各各相相关关系系数数很很小小时时，也也可可近近似似地地作作不不相相关关处处理理，因因此此上上两两式是较为常用的函数随机误差公式。式是较为常用的函数随机误差公式。本讲稿第二十页，共八十五页 当当各各个个测测量量值值的的随随机机误误差差为为正
14、正态态分分布布时时，上上式式中中的的标标准准差用极限误差代替，可得差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式函数的极限误差公式为为 在多数情况下，在多数情况下，ai1，且函数形式较简单，即，且函数形式较简单，即则函数的标准差为则函数的标准差为函数的极限误差为函数的极限误差为 三三角角函函数数的的随随机机误误差差计计算算和和一一般般函函数数的的随随机机误误差差计计算算方方法法基基本相同。本相同。本讲稿第二十一页，共八十五页 设设三三角角函函数数的的角角度度标标准准差差为为 ，各各个个测测量量值值的的标标准准差差为为x1,x2,xn，则则根根据据三三角角函函数数的的系系统统误误差差公公式式，可可得得
15、相应的角度标准差公式。相应的角度标准差公式。1）对于）对于 有有 2）对于）对于 有有本讲稿第二十二页，共八十五页 3）对于）对于 有有 4）对于）对于 有有 若若用用极极限限误误差差来来表表示示角角度度误误差差，则则上上述述各各式式只只需需作作相相应应的的误差代换。误差代换。本讲稿第二十三页，共八十五页例例3-3 对例对例3-1用弓高弦长法间接测量大直径用弓高弦长法间接测量大直径D（见图（见图3-1）若已知若已知 h50mm，limh0.05mm s500mm，lims0.1mm求最后测量结果。求最后测量结果。解：解：直径的极限误差为直径的极限误差为则所求直径的最后结果为则所求直径的最后结果
16、为图图3-1本讲稿第二十四页，共八十五页例例3-4 对例对例3-2用双圆球法检定内锥角用双圆球法检定内锥角（见图（见图3-2），），若已知若已知 D1=45.00mm,D10.001mm D2=15.00mm,D20.001mm l1=93.921mm,l10.018mm l2=20.961mm,l20.001mm求最后检定结果。求最后检定结果。解：解：角度的标准差为角度的标准差为则所求角度的最后结果为则所求角度的最后结果为本讲稿第二十五页，共八十五页三、误差间的相关关系和相关系数三、误差间的相关关系和相关系数 在在函函数数误误差差及及其其他他误误差差的的合合成成计计算算时时，各各误误差差间间
17、的的相相关性对计算结果有直接影响。例如下式关性对计算结果有直接影响。例如下式中中的的相相关关项项反反映映了了各各随随机机误误差差相相互互间间的的线线性性关关联联对对函函数数总总误误差差的的影影响响大大小小。当当相相关关系系数数 时时，则则上上式式可可简简化化为为常常用函数随机误差传递公式。用函数随机误差传递公式。但若但若 ，则又可简化为，则又可简化为上上式式表表明明，当当 时时，函函数数随随机机误误差差具具有有线线性性的的传传递递关系。关系。本讲稿第二十六页，共八十五页 以以上上分分析析结结果果充充分分说说明明，误误差差间间的的相相关关性性与与误误差差合合成成有有密密切切关关系系。虽虽然然通通
18、常常所所遇遇到到的的测测量量实实践践多多属属误误差差间间线线性性无无关关或或近近似似线线性性无无关关，但但线线性性相相关关的的也也常常见见。当当各各误误差差间间相相关关或或相相关关性性不不能能忽忽略略时时，必必须须先先求求出出各各个个误误差差间间的的相相关关系系数数，然然后后才才能能进进行行误误差差合合成成计计算算。因因此此，正正确确处处理理误误差差间间的的相相关关问问题题，有有其其重重要要意义。意义。（一）误差间的线性相关关系（一）误差间的线性相关关系 误误差差间间的的线线性性相相关关关关系系是是指指它它们们具具有有线线性性依依赖赖关关系系，这这种种依依赖赖关关系系有有强强有有弱弱。联联系系
19、最最强强时时，在在平平均均意意义义上上，一一个个误误差差的的取取值值完完全全决决定定了了另另一一个个误误差差的的取取值值，此此时时两两误误差差间间具具有有确确定定的的线线性性函函数数关关系系。当当两两误误差差间间的的线线性性依依赖赖关关系系最最弱弱时时，一一个个误误差差的的取取值值与与另另一一个个误误差差的的取取值值无无关，这是互不相关的情况。关，这是互不相关的情况。一一般般两两误误差差间间的的关关系系是是处处于于上上述述两两种种极极端端情情况况之之间间，既既有有联联系系又又不不具具有有确确定定性性关关系系。此此时时，线线性性依依赖赖关关系系是是指指在在平平均均意意义义上上的的线线性性关关系系
20、，即即一一个个误误差差值值随随另另一一个个误误差差值值的的变变化化具具有有线线性性关关系系的的倾倾向向，但但两两者者取取值值又又不不服服从从确确定定的的线线性性关关系系，而而具有一定的随机性。具有一定的随机性。本讲稿第二十七页，共八十五页 （二）相关系数（二）相关系数 两两误误差差间间有有线线性性关关系系时时，其其相相关关性性强强弱弱由由相相关关系系数数来来反反映映，在误差合成时应求得相关系数，并计算出相关项大小。在误差合成时应求得相关系数，并计算出相关项大小。若若两两误误差差与与之之间间的的相相关关系系数数为为，根根据据相相关关系系数数的的定定义义，则有则有式中式中K误差误差与与之间的协方差
21、；之间的协方差；，分别为误差分别为误差与与的标准差。的标准差。本讲稿第二十八页，共八十五页根据概率论知识，相关系数的取值范围是根据概率论知识，相关系数的取值范围是-1+1当当01时时，两两误误差差与与正正相相关关，即即一一误误差差增增大大时时，另另一一误差的取值平均地增大；误差的取值平均地增大；当当-10时时，两两误误差差与与负负相相关关，即即一一误误差差增增大大时时，另另一一误误差差的取值平均地减小；的取值平均地减小；当当=+1时时，称称为为完完全全正正相相关关；=-1时时，称称为为完完全全负负相相关关。此此时两误差时两误差与与之间存在着确定的线性函数关系；之间存在着确定的线性函数关系；当当
22、=0时时，两两误误差差间间无无线线性性关关系系或或称称不不相相关关，即即一一误误差差增增大大时时，另一误差取值可能增大，也可能减小。，另一误差取值可能增大，也可能减小。由由上上述述讨讨论论可可知知，相相关关系系数数确确实实可可表表示示两两个个误误差差与与之之间间线线性性相相关关的的密密切切程程度度，愈愈接接近近0，与与之之间间的的线线性性相相关关程程度度愈愈小小；反反之之，取取值值愈愈大大、愈愈接接近近1，与与之之间间的的线线性性相相关关程程度度愈愈为为密密切切。值值得得注注意意的的是是，相相关关系系数数只只表表示示两两误误差差的的线线性性关关系系的的密密切切程程度度，当当很很小小甚甚至至等等
23、于于0时时，两两误误差差间间不不存存在在线线性性关关系系，但但并并不不表表示示它它们们之之间间不不存存在在其其他他的的函数关系。函数关系。本讲稿第二十九页，共八十五页 确确定定两两误误差差间间的的相相关关系系数数是是比比较较困困难难的的，通通常常可可采采用用以下几种方法。以下几种方法。1.直接判断法直接判断法 通通过过两两误误差差之之间间关关系系的的分分析析，直直接接确确定定相相关关系系数数。如如两两误误差差不不可可能能有有联联系系或或联联系系微微弱弱时时，则则确确定定=0；如如一一个个误误差差增增大大，另一个误差成比例地增大，则确定另一个误差成比例地增大，则确定=1。2.试验观察和简略计算法
24、试验观察和简略计算法 在在某某些些情情况况下下可可直直接接测测量量两两误误差差的的多多组组对对应应值值(i,i)，用观察或简略计算法求得相关系数。用观察或简略计算法求得相关系数。（1）观察法）观察法 用用多多组组测测量量的的对对应应值值(i，i)作作图图，将将它它与与图图3-3的的标标准准图图形相比，看它与哪一图形相近，从而确定相关系数的近似值。形相比，看它与哪一图形相近，从而确定相关系数的近似值。本讲稿第三十页，共八十五页 （2）简单计算法）简单计算法 将将多多组组测测量量的的对对应应值值(i，i)在在平平面面坐坐标标上上作作图图，如如图图3-4所所示示，然然后后作作平平行行于于纵纵轴轴的的
25、直直线线A将将点点阵阵左左右右均均分分，再再作作平平行行于于横横轴轴的的直直线线B将将点点阵阵上上下下均均分分，并并尽尽量量使使A、B线线上上无无点点，于于是是将将点点阵阵分分为为四四部部分分，设设各各部部分分的的点点数数分分别别为为n1、n2、n3、n4，则可以证明相关系数为，则可以证明相关系数为式中，式中，（3）直接计算法）直接计算法 根根据据多多组组测测量量的的对对应应值值(i，i)，按按相相关关系系数数的的定定义义直直接计算得接计算得式中，式中，分别为分别为i，i的均值。的均值。本讲稿第三十一页，共八十五页3.理论计算法理论计算法 有有些些误误差差间间的的相相关关系系数数，可可根根据据
26、概概率率论论和和最最小小二二乘乘法法直直接接求求出。出。如如果果求求得得两两个个误误差差与与间间为为线线性性相相关关，即即=a+b，则则相相关系数为关系数为 以以上上讨讨论论了了误误差差之之间间相相关关系系数数的的各各种种求求法法，根根据据具具体体情情况况可可采采用用不不同同的的方方法法。一一般般先先在在理理论论上上探探求求，若若达达不不到到目目的的，对对于于数数值值小小或或一一般般性性的的误误差差间间的的相相关关系系数数可可用用直直观观判判断断法法；对对于于数数值值大大或或重重要要的的误误差差间间的的相相关关系系数数宜宜采采用用多多组组成成对对观观测测，并分别情况采用不同的计算方法。并分别情
27、况采用不同的计算方法。本讲稿第三十二页，共八十五页第二节第二节 随机误差的合成随机误差的合成 随随机机误误差差具具有有随随机机性性，其其取取值值是是不不可可预预知知的的，并并用用测测量量的的标标准准差差或或极极限限误误差差来来表表征征其其取取值值的的分分散散程程度度。随随机机误误差差的的合合成成是是采采用用方方和和根根的的方方法法，同同时时还还要要考考虑虑到到各各个误差传递系数和误差间的相关性影响。个误差传递系数和误差间的相关性影响。本讲稿第三十三页，共八十五页一、标准差的合成一、标准差的合成 全全面面分分析析测测量量过过程程中中影影响响测测量量结结果果的的各各个个误误差差因因素素，若若 有有
28、q个个 单单 项项 随随 机机 误误 差差，它它 们们 的的 标标 准准 差差 分分 别别 为为1,2,q，其其相相应应的的误误差差传传递递系系数数为为a1,a2,aq。这这些些误误差差传传递递系系数数是是由由测测量量的的具具体体情情况况来来确确定定的的，例例如如对对间间接测量可按下式来求得，接测量可按下式来求得，对对直直接接测测量量则则根根据据各各个个误误差差因因素素对对测测量量结结果果的的影影响响情情况况来确定。来确定。根根据据方方和和根根的的运运算算方方法法，各各个个标标准准差差合合成成后后的的总总标标准准差为差为本讲稿第三十四页，共八十五页 一般情况下各个误差互不相关，相关系数一般情况
29、下各个误差互不相关，相关系数ij=0，则有，则有 用用标标准准差差合合成成有有明明显显的的优优点点，不不仅仅简简单单方方便便，而而且且无无论论各各单单项项随随机机误误差差的的概概率率分分布布如如何何，只只要要给给出出各各个个标标准准差差，均均可可按按以以上两式计算总的标准差。上两式计算总的标准差。本讲稿第三十五页，共八十五页二、极限误差的合成二、极限误差的合成 在在测测量量实实践践中中，各各个个单单项项随随机机误误差差和和测测量量结结果果的的总总误误差差也也常常以以极极限限误误差差的的形形式式来来表表示示，因因此此极极限限误误差差的的合成也较为常见。合成也较为常见。用用极极限限误误差差来来表表
30、示示随随机机误误差差，有有明明确确的的概概率率意意义义。极极限限误误差差合合成成时时，各各单单项项极极限限误误差差应应取取同同一一置置信信概概率率。若若已已知知各各单单项项极极限限误误差差1,2,q，且且置置信信概概率率相相同同，则则按按方和根法合成的总极限误差为方和根法合成的总极限误差为式中式中ai 各极限误差传递系数；各极限误差传递系数；ij 任意两误差间的相关系数。任意两误差间的相关系数。本讲稿第三十六页，共八十五页 一一般般情情况况下下，已已知知的的各各单单项项极极限限误误差差的的置置信信概概率率可可能能不不相相同同，不不能能按按上上式式进进行行极极限限误误差差合合成成。应应根根据据各
31、各单单项项误误差差的的分分布布情情况况，引引入入置置信信系系数数，先先将将误误差差转转换换为为标标准准差差，再再按极限误差合成。按极限误差合成。对单项极限误差为对单项极限误差为式式中中，i为为各各单单项项随随机机误误差差的的标标准准差差；ti为为各各单单项项极极限限误误差差的置信系数。的置信系数。对总的极限误差为对总的极限误差为式式中中，为为合合成成后后的的总总标标准准差差；t为为合合成成后后总总极极限限误误差差的的置置信信系数。系数。本讲稿第三十七页，共八十五页 将上式代入右式将上式代入右式有有根据根据则可得一般的极限误差合成公式为则可得一般的极限误差合成公式为本讲稿第三十八页，共八十五页
32、根根据据已已知知的的各各单单项项极极限限误误差差和和所所选选取取的的各各个个置置信信系系数数，即即可可按按上上式式进进行行极极限限误误差差的的合合成成。但但必必须须注注意意，上上式式中中的的各各个个置置信信系系数数，不不仅仅与与置置信信概概率率有有关关，而而且且与与随随机机误误差差的的分分布布有有关关。也也就就是是说说，对对于于相相同同分分布布的的误误差差，选选定定相相同同的的置置信信概概率率，其其相相应应的的各各个个置置信信系系数数相相同同；对对于于不不同同分分布布的的误误差差，即即使使选选定定相相同同的的置置信信概概率率，其其相相应应的的各各个个置置信信系系数数也也不不相相同同。由由此此可
33、可知知，上上式式中中的的置置信信系系数数t1,t2,tq，一一般般来来说说并并不不相相同同。对对合合成成后后的的总总误误差差的的置置信信系系数数t，当当各各单单项项误误差差的的数数目目q较较多多时时，合合成的总误差接近于正态分布，因此可按正态分布来确定成的总误差接近于正态分布，因此可按正态分布来确定t值。值。本讲稿第三十九页，共八十五页 当当各各个个单单项项随随机机误误差差均均服服从从正正态态分分布布时时，上上式式中中的的各各个个置置信系数完全相同。即信系数完全相同。即t1=t2=tq=t，则上式可简化为，则上式可简化为一般情况下，一般情况下，ij 0，则上式成为，则上式成为 上上式式具具有有
34、十十分分简简单单的的形形式式，由由于于各各单单项项误误差差大大多多服服从从正正态态分分布布或或假假设设近近似似服服从从正正态态分分布布，而而且且它它们们之之间间常常是是线线性性无无关关或或近近似线性无关，因此上式是较为广泛使用的极限误差合成公式。似线性无关，因此上式是较为广泛使用的极限误差合成公式。本讲稿第四十页，共八十五页第三节第三节 系统误差的合成系统误差的合成 系系统统误误差差的的大大小小是是评评定定测测量量准准确确度度高高低低的的标标志志，系系统统误差越大，准确度越低；反之，准确度越高。误差越大，准确度越低；反之，准确度越高。系系统统误误差差具具有有确确定定的的变变化化规规律律，不不论
35、论其其变变化化规规律律如如何何，根根据据对对系系统统误误差差的的掌掌握握程程度度，可可分分为为已已定定系系统统误误差差和和未未定定系系统统误误差差。由由于于这这两两种种系系统统误误差差的的特特征征不不同同，其其合合成成方方法法也不相同。也不相同。本讲稿第四十一页，共八十五页一、已定系统误差的合成一、已定系统误差的合成 已已定定系系统统误误差差是是指指误误差差大大小小和和方方向向均均已已确确切切掌掌握握了了的的系系统统误误差差。在在测测量量过过程程中中，若若有有r个个单单项项已已定定系系统统误误差差，其其误误差差值值分分别别为为1,2,r，相相应应的的误误差差传传递递系系数数为为a1,a2,ar
36、，则按则按代数和法代数和法进行合成，求得总的已定系统误差为进行合成，求得总的已定系统误差为 在在实实际际测测量量中中，有有不不少少已已定定系系统统误误差差在在测测量量过过程程中中均均已已消消除除，由由于于某某些些原原因因未未予予消消除除的的已已定定系系统统误误差差也也只只是是有有限限的的少少数数几几项项，它它们们按按代代数数和和法法合合成成后后，还还可可以以从从测测量量结结果果中中修修正正，故故最最后后的的测测量量结结果果中中一一般般不不包包含含有有已已定定系统误差。系统误差。本讲稿第四十二页，共八十五页二、未定系统误差的合成二、未定系统误差的合成 未未定定系系统统误误差差在在测测量量实实践践
37、中中较较为为常常见见，对对于于某某些些影影响响较较小小的的已已定定系系统统误误差差，为为简简化化近近似似，也也可可不不对对其其进进行行误误差差修修正正，而而将将其其作作为为未未定定系系统统误误差差来来处处理理，因因此此未未定定系系统统误误差差的处理是测量结果处理的重要内容之一。的处理是测量结果处理的重要内容之一。（一）未定系统误差的特征及其评定（一）未定系统误差的特征及其评定 未未定定系系统统误误差差是是指指误误差差大大小小和和方方向向未未能能确确切切掌掌握握，或或不不必必花花费费过过多多精精力力去去掌掌握握，而而只只能能或或只只需需估估计计出出其其不超过某一极限范围不超过某一极限范围ei的系
38、统误差。的系统误差。本讲稿第四十三页，共八十五页 也也就就是是说说，在在一一定定条条件件下下客客观观存存在在的的某某一一系系统统误误差差，一一定定是是落落在在所所估估计计的的误误差差区区间间（ei，ei）内内的的一一个个取取值值。当当测测量量条条件件改改变变时时，该该系系统统误误差差又又是是误误差差区区间间（ei，ei）内内的的另另一一个个取取值值。而而当当测测量量条条件件在在某某一一范范围围内内多多次次改改变变时时，未未定定系系统统误误差差也也随随之之改改变变，其其相相应应的的取取值值在在误误差差区区间间（ei，ei）内内服服从从某某一一概概率率分分布布。对对于于某某一一单单项项未未定定系系
39、统统误误差差，其其概概率率分分布布取取决决于于该该误误差差源源变变化化时时所所引引起起的的系系统统误误差差变变化化规规律律。理理论论上上此此概概率率分分布布是是可可知知的的，但实际上常常较难求得。但实际上常常较难求得。本讲稿第四十四页，共八十五页 目目前前对对未未定定系系统统误误差差的的概概率率分分布布，均均是是根根据据测测量量实实际际情情况况的的分分析析与与判判断断来来确确定定的的，并并采采用用两两种种假假设设：一一种种是是按按正正态分布处理；另一种是按均匀分布处理。态分布处理；另一种是按均匀分布处理。但但这这两两种种假假设设，在在理理论论上上与与实实践践上上往往往往缺缺乏乏根根据据，因因此
40、此对对未未定定系系统统误误差差的的概概率率分分布布尚尚属属有有待待于于作作进进一一步步研研究究的的问问题题。对对于于某某一一单单项项未未定定系系统统误误差差的的极极限限范范围围，是是根根据据该该误误差差源源具具体体情情况况的的分分析析与与判判断断而而作作出出估估计计的的，其其估估计计结结果果是是否否符符合合实实际际，往往往往取取决决于于对对误误差差源源具具体体情情况况的的掌掌握握程程度度以以及及测测量量人人员员的的经经验验和和判判断断能能力力。但但对对某某些些未未定定系系统统误误差差的的极极限限范范围围是是较较容容易易确确定定的的，例例如如在在检检定定工工作作中中，所所使使用用的的标标准准计计
41、量量器器具具误误差差，它它对对检检定定结结果果的的影影响响属属未未定定系系统统误误差差，而而此此误误差差值值一一般般是已知的。是已知的。本讲稿第四十五页，共八十五页 未未定定系系统统误误差差在在测测量量条条件件不不变变时时有有一一恒恒定定值值，多多次次重重复复测测量量时时其其值值固固定定不不变变，因因而而不不具具有有抵抵偿偿性性，利利用用多多次次重重复复测测量量取取算算术术平平均均值值的的办办法法不不能能减减小小它它对对测测量量结结果果的的影影响响，这这是是它它与与随随机机误误差差的的重重要要差差别别。但但是是当当测测量量条条件件改改变变时时，由由于于未未定定系系统统误误差差的的取取值值在在某
42、某一一极极限限范范围围内内具具有有随随机机性性，并并且且服服从从一一定定的的概概率率分分布布，这这些些特特征征均均与与随随机机误误差差相相同同，因因而而评评定定它它对对测测量量结结果果的的影影响响也也应应与与随随机机误误差差相相同同，即即采采用用标标准准差差或或极极限限误差来表征未定系统误差取值的分散程度。误差来表征未定系统误差取值的分散程度。本讲稿第四十六页，共八十五页 现现以以质质量量的的标标准准器器具具砝砝码码为为例例来来说说明明未未定定系系统统误误差差特特征及其评定。征及其评定。在在质质量量计计量量中中，砝砝码码的的质质量量误误差差将将直直接接带带入入测测量量结结果果。为为了了减减小小
43、这这项项误误差差的的影影响响，应应对对砝砝码码质质量量进进行行检检定定，以以便便给给出出修修正正值值。由由于于不不可可避避免免地地存存在在砝砝码码质质量量的的检检定定误误差差，经经修修正正后后的的砝砝码码质质量量误误差差虽虽已已大大为为减减小小，但但仍仍有有一一定定误误差差（即即检检定定误误差差）影影响响质质量量的的计计量量结结果果。对对某某一一个个砝砝码码，一一经经检检定定误误差差，其其修修正正值值即即已已确确定定不不变变，由由检检定定方方法法引引入入的的误误差差也也就就被被确确定定下下来来了了，其其值值为为检检定定方方法法极极限限误误差差范范围围内内的的一一个个随随机机取取值值。使使用用这
44、这一一个个砝砝码码进进行行多多次次重重复复测测量量时时，由由检检定定方方法法引引入入的的误误差差则则为为恒恒定定值值而而不不具具有有抵抵偿偿性性。但但这这一一误误差差的的具具体体数数值值又又未未掌掌握握，而而只只知知其其极极限限范范围围，因因此此属属未定系统误差。未定系统误差。本讲稿第四十七页，共八十五页 对对于于同同一一质质量量的的多多个个不不同同的的砝砝码码，相相应应的的各各个个修修正正值值的的误误差差为为某某一一极极限限范范围围内内的的随随机机取取值值，其其分分布布规规律律直直接接反反映映了了检检定定方方法法误误差差的的分分布布。或或者者反反之之，检检定定方方法法误误差差的的分分布布也也
45、就就反反映映了了各各个个砝砝码码修修正正值值的的误误差差分分布布规规律律。若若检检定定方方法法误误差差服服从从正正态态分分布布，则则砝砝码码修修正正值值的的误误差差也也应应服服从从正正态态分分布布，而而且且两两者者具具有有同同样样的的标标准准差差ui。若若用用极极限限误误差差来来评评定定砝砝码码修修正正值值的的误误差差，则则有有eiti ui。从从上上述述实实例例分分析析可可以以看看出出，这这种种未未定定系系统统误误差差是是较较为为普普遍遍。一一般般来来说说，对对一一批批量量具具、仪仪器器和和设设备备等等在在加加工工、装装调调或或检检定定中中，随随机机因因素素带带来来的的误误差差具具有有随随机
46、机性性。但但对对某某一一具具体体的的量量具具、仪仪器器和和设设备备，随随机机因因素素带带来来的的误误差差却却具具有有确确定定性性，实实际际误误差差为为一一恒恒定定值值。若若尚尚未未掌掌握握这这种种误误差差的的具具体体数数值值，则则这这种种误误差差属未定系统误差。属未定系统误差。本讲稿第四十八页，共八十五页（二）未定系统误差的合成（二）未定系统误差的合成 若若测测量量过过程程中中存存在在若若干干项项未未定定系系统统误误差差，应应正正确确地地将将这些未定系统误差进行合成，以求得最后结果。这些未定系统误差进行合成，以求得最后结果。由由于于未未定定系系统统误误差差的的取取值值具具有有随随机机性性，并并
47、且且服服从从一一定定的的概概率率分分布布，因因而而若若干干项项未未定定系系统统误误差差综综合合作作用用时时，它它们们之之间间就就具具有有一一定定的的抵抵偿偿作作用用。这这种种抵抵偿偿作作用用与与随随机机误误差差的的抵抵偿偿作作用用相相似似，因因而而未未定定系系统统误误差差的的合合成成，完完全全可可以以采采用用随随机机误误差差的的合合成成公公式式，这这就就给给测测量量结结果果的的处处理理带带来来很很大大方方便便。对对于于某某一一项项误误差差，当当难难以以严严格格区区分分为为随随机机误误差差或或未未定定系系统统误误差差时时，因因不不论论作作哪哪一一种种误误差差处处理理，最最后后总总误误差差的的合合
48、成成结结果果均均相相同同，故故可可将将该该项误差任作一种误差来处理。项误差任作一种误差来处理。本讲稿第四十九页，共八十五页1.标准差的合成标准差的合成 若若测测量量过过程程中中有有s个个单单项项未未定定系系统统误误差差，它它们们的的标标准准差差分分别别为为u1,u2,us，其其相相应应的的误误差差传传递递系系数数为为a1,a2,as，则则合成后未定系统误差的总标准差为合成后未定系统误差的总标准差为 当当ij=0时，则有时，则有本讲稿第五十页，共八十五页2.极限误差的合成极限误差的合成 因为各个单项未定系统误差的极限误差为因为各个单项未定系统误差的极限误差为总的未定系统误差的极限误差为总的未定系
49、统误差的极限误差为则可得则可得或或 当当各各个个单单项项未未定定系系统统误误差差均均服服从从正正态态分分布布，且且ij=0时，则上式可简化为时，则上式可简化为本讲稿第五十一页，共八十五页第四节第四节 系统误差与随机误差的合成系统误差与随机误差的合成 以以上上分分别别讨讨论论了了各各种种相相同同性性质质的的误误差差合合成成问问题题，当当测测量量过过程程中中存存在在各各种种不不同同性性质质的的多多项项系系统统误误差差与与随随机机误误差差，应应将将其其进进行行综综合合，以以求求得得最最后后测测量量结结果果的的总总误误差差，并并常常用用极极限限误误差差来来表表示示，但但有有时时也也用用标标准准差差来表
50、示。来表示。本讲稿第五十二页，共八十五页一、按极限误差合成一、按极限误差合成 若若测测量量过过程程中中有有r个个单单项项已已定定系系统统误误差差，s个个单单项项未未定定系系统统误误差差，q个个单单项项随随机机误误差差，它它们们的的误误差差值值或或极极限限误差分别为误差分别为1,2,r e1,e2,es 1,2,q为为计计算算方方便便，设设各各个个误误差差传传递递系系数数均均为为1，则则测测量量结结果果总总的极限误差为的极限误差为式中，式中，R为各个误差间协方差之和。为各个误差间协方差之和。本讲稿第五十三页，共八十五页 当当各各个个误误差差均均服服从从正正态态分分布布，且且各各个个误误差差间间互