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1、第四章 证券的收益与风险一、单利与复利o 持有期收益率 拥有金融资产期间所获得的收益率。HPR=(投资的期末价值期初价值+此期间所得到的收入)/期初价值 o 投资者期初储蓄5000元，期末获本息5200元，有(52005000+0)/5000=200/5000=0.04=4%o 投资者期初以每股20元买入500股春兰股票，期间获得每股红利4元的红利，期末以每股19元出售，有(19500)-(20500)+(4500)/(20500)=0.15=15%二、年收益率的折算o 持有期收益率的局限性n 不方便不同期限的不同投资的收益进行比较n 它计算的是单利，没有考虑投资的时间价值 单利：持有期投资本
2、金所带来的利息，不包括持有期利息再投资的收益。o 股票投资期限是5年，而银行储蓄的期限是17个月二、年收益率的折算o 不同期限的折合成年收益率，折算的公式为年收益率=持有期收益率年(或365)持有期长度n 股票投资的年收益率为15%1/5=3%n 银行储蓄的年收益率为4%12/17=2.82%o HPR=(投资的期末价值期初价值+此期间所得到的收入)/期初价值n 资本增益：(投资的期末价值期初价值）)/期初价值n 现金流收入：此期间所得到的收入/期初价值n 持有期收益率计算不能区别不同时间获得现金流的收益水平，需要计算复利。三、算术平均收益率o 算术平均收益率R的计算公式为 R=(R1+R2+
3、RN)/N 如果投资者一项投资4年的收益率分别为10%，-5%，0和23%，年算术平均收益率为(10%-5%+0+23%)/4=28%/4=7%四、几何平均收益率o 复利：包括投资持有期间现金收入再投资所获得收益率的持有期全部收益率o 几何平均方法是计算复利的方法，几何平均收益率RG 的计算公式为 RG=(1+R1)(1+R2)(1+Rn-1)(1+Rn)1/n-1o 如果将上例4期收益的数字代入几何平均收益率的公式，得到的结果为 RG=(1+0.1)(1-0.05)(1+0)(1+0.23)1/4-1=1.065-1=0.065=6.5%算术平均法个几何平均法的比较o 一项投资第1期期初的投
4、资额为1000元，第1期期末资产价值仅为500元，第2期期末资产价值又增到1000元。o 算术平均收益率:(-50%+100%)/2=25%o 几何平均收益率：(1-0.5)(1+1.0)1/21=1 1=0o 几何平均收益比算术平均收益更准确。五、时间权重收益率o 时间权重收益率也是计算复利的一种收益率，计算公式为 RTW=(1+R1)(1+R2)(1+Rn-1)(1+Rn)-1 它与几何平均收益率的计算公式相比较，只缺少对总收入开1/n次方。因此，也可以说，时间权重收益率是投资的考虑复利的总收益率。o 计算时间权重收益率的两种方法：综合法和指标法o 综合法表4.1 利用综合法计算时间权重收
5、益率o 指标法表4.2 利用指标法计算时间权重收益率六、应计利息与税后收益o 考虑应计利息的持有期收益率Ri的计算公式：Ri=(Pi+Aii)-(Pi-1+Aii-1)+Ci/(Pi-1+Aii-1)Ri为债券在第i期收益率，Pi为债券在第i期期末的市场价格，Pi-1为债券在第i-1期期末的市场价格，Aii 为在第i期期末时的债券中的应计利息，Aii-1为第i-1期期末时债券上积累的应计利息，Ci为债券发行者在第i期规定的日期和利率支付给债券持有人的息票利息。债券的面值为1000元，年利率为6%，每年的6月1日和12月1日各支付一次利息，每次支付金额为30元，1月1日的债券价格为995元，6月
6、1日为1040元，12月1日为1025元，12月31日为1005元。o 综合法计算表4.3 利用综合法计算考虑应计利息的时间权重收益表o 指标法表4.4 利用指标法计算考虑应计利息的时间权重收益率o 税后收益率计算n 投资者在第i期继续持有证券的情况下的第i期税后收益率的计算公式：Ri=EMVi-BMVi+Ii(1-T)/BMVi EMVi为第i期期末证券的市场价值，BMVi为第i期期初证券的市场价值，Ii为投资者在第i期所获得的收入，T为收入税税率。n Ri=1040-1000+30(1-0.20)/1000=6.4%七、名义利率与实际利率o 名义利率：不考虑通货膨胀的影响的利率o 实际利率
7、：扣除通货膨胀因素影响的利率o 通货膨胀效应（年利率12%）年通买1元物品20年1000元20年年实际胀率后要求的金额后的购买力收益率4%2.19元456.39元7.69%6%3.21元311.80元5.66%8%4.66元214.55元3.70%10%6.73元148.64元1.82%12%9.65元103.67元0.00%o 投资者更关注实际利率o 实际利率与名义利率的关系有下式：Rreal=(1+Rnom)/(1+h)-1 Rreal为实际利率，Rnom为名义利率，h是通货膨胀率。o 如果名义利率为8%，通货膨胀率为5%，其实际利率就是(1+0.08)/(1+0.05)-1=1.0285
8、7-1=0.02857=2.857%o 计算实际利率的公式可以近似地写成 Rreal Rnomh o 投资者考虑投资50 000美元于一传统的一年期银行大额存单，利率为7%；或者投资于一年期与通货膨胀率挂钩的大额存单，年收益率为3.5%+通胀率。a.哪一种投资更为安全？b.哪一种投资期望收益率更高？c.如果投资者预期来年通胀率为3%，哪一种投资更好？为什么？八、连续复利复利频率n复利水平(%)年16.00000半年26.09000季46.13636月126.16778周526.17998日3656.18313九、连续复利的计算o 连续复利的计算公式为 R EFF=1+(APR)/n n 1 这
9、里，APR为利息的年百分率，n为每年计算复利的期数。当n趋近于无穷大时，(1+APR/n)n会趋近于e APR，这里，e的值为2.71828。o 在上例中，e 0.06=1.0618365，因此，我们可以说，利息为6%的债券的连续复利为每年6.18365%。o 连续复利下的名义利率与实际利率的关系 ereal=enom/eh=enom-h十、贴现值的计算o 贴现值是未来收益的现值，因此它是终值计算的逆运算。譬如8年后孩子要读大学，家长要考虑在利率为5%的情况下，现在要存入银行多少钱，8年后才会有30000元。计算现值PV的公式为 PV=1/(1+i)n 这是利率为i，持续期为n时的1元的现值系
10、数，PV=1/(1+0.05)830000=0.676830000=20305.18 即家长现在需要储蓄20305.18元，就可以了。PV=1/(1+0.06)830000=0.627430000=18822.37，PV=1/(1+0.04)830000=0.730730000=21920.71，利率提高或降低一个百分点，可以节省(20305.18-18822.37=)1482.81元，或者多存(20305.18-21920.71=)1615.53元。十一、净现值的运用o 净现值：投资所获得的未来一系列现金流的现值与期初投资额之差。o 合适的贴现率o 投资者在一个项目上投入75万元，5年后可以
11、收回全部投资，并获得25万元回报，即5年后可得到100万元。投资者还可以选择购买期限为5年，每年付息一次的息票式存单，其利率为7.5%。o 投资者购买息票式存单：1/(1+0.075)5 1000000=696558.6元十二、内部收益率o 内部收益率（IRR）：如果投资者选择一个贴现率，使投资未来收入流的现值恰好等于投资额。这一贴现率就被称作内部收益率。o 期望收益率与内部收益率比较来选择投资项目o 投资净现值最大的项目o 收益相同的项目，投资回收期短的项目十三、年金的计算年 金：每年获得相等数额投资收益的投资方式。普通年金和及时年金。年金的现值 普通年金每期获得1元的现值计算公式为 PV=
12、1-(1+i)-n/i PV为普通年金的现值，i为利率，n为年金的期数。o 假定有一每年获得100元，利率为6%，可获得10期的普通年金，有 PV=1-(1+0.06)-10/0.06100=736元o 一个60岁的投资者去保险公司购买年金，他需付10000元可以在余生每年获得800元，如果他将这笔钱存银行每年可以获得6%的利息，如果投资者可以活到85岁，购买年金是否是好的投资方式？1-(1+0.06)-25/0.06 800=10226.68元10000元o 永久年金 指没有到期日的年金o 永久年金的计算公式为 永久年金的现值=C/I C为定期支付的现金，I为以小数表示的利率。o 一份每年可
13、以有1000元收入的永久年金，在年利率为10%时，它的现值为：1000/0.1=10000元十四、不同资产投资收益投资 萧条 繁荣 高通胀 低通胀 四期平均(长期政府)债券 17%4%-1%8%7%商品指数 1-615-51.25%钻石(1 克拉投资级)-48791524.5%黄金(金块)-8-91051926.75%私人住宅 46655.25%实物资产(商业)91318611.5%白银(银块)3-694423.75%股票(蓝筹)147-3219.75%股 票(小 型 增 长 公 司)171471212.5%国 库 券(3 个 月 期)65735.25%十五、长期投资的效果年度股票收益国债收益
14、国库券收益通胀率26-97均值13.05.63.83.246-97 均值13.75.94.94.4十六、风险及测度o 风险(risk)是指未来收益的不确定性，不确定性的程度越高，风险就越大。o 无风险工具形势概率期末总价总收益率繁荣0.2513000元30%正常增长0.5011000元10萧条0.259000元-10 十七、期望收益与方差o 期望收益E(r)=p(s)r(s)E(r)=(0.250.30)+(0.500.10)+0.25(-0.10)=0.075+0.05-.025=0.10=10%o 方差与标准差2=p(s)r(s)-E(r)22=0.25(30-10)2+0.50(10-1
15、0)2+0.25(-10-10)2=200 或14.14%o 测度的结论 假定概率分布为正态分布（即通常的铃形曲线）时，E(r)与就充分准确地体现了概率分布的特点。o 超额收益与风险溢价 风险收益与无风险收益率之差就是超额收益。预期的超额收益就是风险溢价。十八、26-99年美国均值：标准差：o 假设股票收益的标准差为20.39%，期望收益为12.50%，（历史均值）为正态分布，其收益可能小于-7.89%（12.50-20.39）或大于32.89%（12.5020.39）。十九、风险厌恶 E(W)pW1+(1-p)W2(0.6150000)+(0.480000)122 000美元o 10万美元资
16、产组合的预期盈利为2.2万美元，即122000-100000。2pW1-E(W)2(1-p)W2-E(W)20.6(150000-122000)20.4(80000-122000)21176000000o 标准差，即方差的平方根为34292.86美元。22000美元-5000美元17000美元o 这表明作为投资风险的补偿可获得17000美元的风险溢价。o 风险厌恶的投资者：如果超额收益为0或为负，就不愿意投资于风险资产o 风险中性的投资者：按期望收益率来决定是否进行风险投资，风险的高低与他们无关o 风险爱好者：把风险爱好考虑在内的投资者二十、投机与赌博o 投机的定义是“在获取相应的报酬时承担一
17、定的商业风险”。o 赌博是“为一个不确定的结果打赌或下注”。o 投机与赌博的区别o 风险溢价为零时的风险投资称为公平游戏(fair game)，风险厌恶型的投资者不会选择公平游戏或更糟的资产组合，他们只愿意进行无风险投资或投机性投资。当他们准备进行风险投资时，他们会要求有相应的风险报酬，即要求获得相应的超额收益或风险溢价。o 两个投资者对美元与英镑的远期汇率持截然相反的态度，他们可能为此打赌。假如一年之后，1英镑的价值超过了1.70美元，鲍尔要付给玛丽100美元；如果少于1.70美元，则玛丽付给鲍尔100美元。这里只有两种结果：（1）1英镑高于1.70美元或者（2）1英镑低于1.70美元。如果
18、鲍尔与玛丽对这两种可能的结果出现的概率持相同意见，而且如果谁都不想输，那么每种结果的概率p0.5。在这种情况下，两个人的预期收益都为零，每个人都有赌博的一面。玛丽认为p0.5，而鲍尔则认为p0.5。他们主观地认为有两种不同的前景，经济学家把这种观点的差异称之为“异质预期”。在这种情形下，投资者双方都把自己的行为看作是投机而非赌博。二十一、圣彼得堡悖论 数学家丹尼尔贝诺里1725-1733年在圣彼得堡做研究时研究了这样一个问题：这是一个掷硬币的游戏，参加者先付门票，然后开始掷硬币，直至第一个正面出现时为止。在此之前出现的反面的次数决定参加者的报酬，计算报酬R的公式为R(n)=2n公式中的n为参加
19、者掷硬币出现反面的次数，参加者可能获得的报酬取决于他掷硬币时，在掷出第一个正面前可以掷出多少个反面。参加者可能遇到的各种情况的概率及报酬见表。二十一、圣彼得堡悖论参加者可能遇到的各种情况的概率及报酬表反面概率报酬概率报酬01/211/211/421/221/841/231/1681/2.n(1/2)n+12n1/2二十一、圣彼得堡悖论如果n为0，他可以得到的报酬为20=1元，期望报酬为1/2；如果n为1，他可以得到的报酬为21=2元，期望报酬仍为1/2；余此类推，如果n为n，他可以得到的全部期望报酬为E(R)=Pr(n)R(n)=1/2+1/2+=。由于门票的价格是有限的，而期望报酬却是无穷大
20、的，这就成为了一个悖论。贝诺里运用边际效用递减的道理解决了这个问题。他指出，参加者赋予所有报酬的每一元不同的价值，随着报酬的增加，每新获得的1元价值是递减的。因此，函数log(R)给报酬为R元的参加者一个主观价值，报酬越高，每一元的价值就越小。最后，他计算出风险报酬应为2元，这是参加者愿付的最高价。二十二、边际效用递减o 对数效用函数二十二、边际效用递减o 当10万增到15万时，利用对数效用函数，效用从log(100000)=11.51增加到log(150000)=11.92，效用增加值为0.41，期望效用增加值为0.50.41=0.21。o 如 果 由 10万 降 到 5万，由 于 log(
21、100000)-log(50000)=11.51-10.82=0.69，期望效用的减少值为0.50.69=0.35，它大于期望效用的增加值。二十二、边际效用递减o 这笔投资的期望效用为n EU(W)=pU(W1)+(1-p)U(W2)=(1/2)log(50000)+(1/2)log(150000)=11.37n 由于log(100000)的效用值为11.51，比公平游戏的11.37要大，n 风险厌恶型投资者不会进行这一投资。即不投资于公平游戏。二十二、边际效用递减o 11.37画出的水平线与效用曲线在WCE点相交。这意味着：log（WCE）11.37。它表示：WCEe11.3786681.8
22、7，因此，WCE是投资的确定等价值。YE(W)-WCE100000美元-86681.87美元13318.13美元稳拿的86681.87美元与有风险的100 000美元的效用值相等。二十三、效用公式 这里有一个金融界广泛运用的一个投资效用计算公式，资产组合的期望收益为E(r)，其收益方差为2，其效用值为：U=E(r)-0.005A2 其中A为投资者的风险厌恶指数，风险厌恶程度不同的投资者可以有不同的指数值，A值越大，即投资者对风险的厌恶程度越强，效用就越小。在指数值不变的情况下，期望收益越高，效用越大；收益的方差越大，效用越小。二十四、效用数值应用举例o 确定等价利率（certainty equ
23、ivalent rate）：为使无风险投资与风险投资具有相同的吸引力而确定的无风险投资的报酬率。o 只有当一个资产组合的确定等价收益大于无风险投资收益时，这个投资才值得。一个极度厌恶风险的投资者可能会把任何风险资产组合，甚至风险溢价为正的资产组合的确定等价报酬率看得比无风险投资报酬率都低，这就使得这样的投资者拒绝资产组合。o 一个风险厌恶程度较低的投资者会把相同的资产组合的确定等价报酬率定得比无风险投资的报酬率要高，使得他们更倾向于选择资产组合而不是无风险投资。二十四、效用数值应用举例o 如果股票的期望收益率为10%，标准差 为21.21%，国库券的收益率为4%。o 投资者A=3时，股票效用值
24、为：10-(0.005321.212)=3.25%，比无风险报酬率稍低，在这种情况下，投资者会放弃股票而选择国库券。o 如果投资者的A为2，股票效用值为：10-(0.005221.212)=5.5%，高于无风险报酬率，投资者就会接受这个期望收益，愿意投资于股票。o 所以，投资者对风险的厌恶程度十分关键。o 有一期望收益率为20%、标准差为20%的资产组合，国库券可以提供7%的确定的收益率，投资者的风险厌恶程度A4，他会作出什么样的投资选择？如果A8呢？二十五、均值-方差准则o 风险厌恶型的投资者承担风险是要报酬的，这个风险报酬就是超额收益或风险溢价。o 因此对于风险厌恶型的投资者来说，存在着选
25、择资产的均值-方差准则：当满足下列(a)、(b)条件中的任何一个时，投资者将选择资产A作为投资对象：(a)E(RA)E(RB)且2A E(RB)且2A2B二十五、均值-方差准则n 第二和第三象限的资产组合与资产组合P相比，这些资产组合的需求完全取决于投资者的风险厌恶程度。二十五、均值-方差准则p在平均标准差图表中，这些效用值相等的所有的资产组合点由一条曲线连接起来，这条曲线就叫无差异曲线（indifference curve）。二十五、均值-方差准则o 我们检验了A4的投资者可能的资产组合的效用值，来确定无差异曲线上的几个点。二十五、均值-方差准则Expected ReturnStandard
26、 DeviationIncreasing UtilityP2431二十五、均值-方差准则二十五、均值-方差准则o 风险厌恶程度不同的投资者有不同的无差异曲线，但它们都通过P点，因为，这是市场提供的唯一的风险溢价水平决定的。一般风险厌恶程度较高的投资者的投资效用无差异曲线较为陡峭，因为风险的增加他要求很高的期望收益的增长；而一般风险厌恶程度较低的投资者的投资效用无差异曲线较为平缓。o 每一个投资者一旦确定其风险厌恶程度，其投资效用的无差异曲线的斜率就确定了，除了一条由市场提供的唯一风险溢价水平决定的无差异曲线外，还一定可以有无数条平行它的无差异曲线。二十六、均值的分析o 投资的期望值或均值并不是
27、投资收益概率分布的唯一代表值。o 中值(median)是所有收益按照高低排序时处于正中位置的收益率，众数(mode)是最大概率时的分布值或结果值，它代表了最大的可能收益，但不是平均加权收益，也不是按高低排序后处于正中的收益。o 但投资者和理论界均认为均值最好，代表性最强，实际使用也最广泛。二十六、方差的分析o 平均绝对偏差（mean absolute deviation,MAD），它由以下公式得出：o 用预期平方差，它也必须是正的，并且只是概率分布的简单方差：二十六、方差的分析n 均值本身是期望值的一阶矩差，方差是围绕均值的二阶矩差。方差在描述风险时有一定的局限性，如果两个资产组合的均值和方差
28、都相同，但收益率的概率分布不同。二十六、方差的分析n 这种不对称的分布叫做偏度，我们用三阶矩差来计算，有n 一阶矩差代表收益水平；二阶矩差表示收益的不确定性程度，并且所有偶数矩差(方差，M4，等)都表明有极端值的可能性，这些矩差的值越大，不确定性越强；三阶矩差(包括其他奇数矩差：M5，M7等)表示不确定性的方向，即收益分布的不对称的情况。但是，矩差数越大，其重要性越低。二十六、方差的分析o 萨缪尔森有两个重要结论：所有比方差更高的矩差的重要性远远小于期望值与方差，即忽略高于方差的矩差不会影响资产组合的选择。方差与均值对投资者的效用同等重要。得出这个结论的主要假设是股票收益分布具有“紧凑性”。所谓紧凑性是说，如果投资者能够及时调整，控制风险，资产组合收益率的分布就是紧凑的。二十七、投资分布的概率分布特征o 现代投资组合理论通常假定投资收益呈正态分布。o 正态分布由均值和方差就可以确定。o 正态分布假定的局限性：股价不能为负 p 资产的收益真的呈正态分布吗？