九年级数学中考复习、几何部分常考压轴题、提升训练.pdf

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1、九年级数学中考复习 几何部分常考压轴题专题提升训练(附答案)1.如图，点。在以48为 直 径 的 上，40 平分/54 C,DC 1 AC,过点B 作。0 的切线交 的 延 长 线 于 点E.(1)求证：直线C Q 是。的切线.(2)求证：CD B E=A D D E.2.如图，在。中，AB 是直径，8C 是弦，B C=BD,连接C。交0 0 于点E,N B C D=ND B E.(1)求证：8。是。的切线.(2)过点E作 E F _ LA 8 于尸，交 B C 于 G,已知。E=2 百 5，EG=3,求 B G 的长.D3.如 图 1,A D,8。分别是 A BC的内角N B A C、N4B

2、 C 的平分线，过点A作 A E _ L4 ),交BD的延长线于点E.(2)如图 2,如果 A E=A B,且 B D：D E=2：3,求 co s N A BC 的值;s(3)如果N AB C 是锐角，且 A BC与 A OE 相似，求/AB C 的度数，并直接写出 磔.SAABC的值.4.如图，已知A B是。的直径，C B V A B,。为圆上一点，且A Q OC,连接CD,A C,B D,A C与B O交于点M.(1)求证：8 为0。的切线；(2)若CC=J5A。，求里的值.M A5.小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.(-)猜测探究在 A BC中，A B=A

3、C,M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与/B A C相等的角度，得到线段A N,连接N 8(1)如 图1,若M是线段B C上的任意一点，请直接写出/N A B与NMAC的数量关系是,N B与MC的 数 量 关 系 是；(2)如 图2,点E是A B延长线上点，若M是N C B E内部射线8。上任意一点，连接MC,(1)中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由.()拓展应用如图 3,在A i Bi Ci 中，4 8 1=8,Z A 1B1C1=6 O,Z BM 1C1=7 5,尸是 Bi Ci 上的任意点，连接A 1P,将A 1P绕点A 1按顺时针方向旋转7

4、5 ,得到线段A 1Q,连接加。.求线段Bi。长度的最小值.6 .在A A B C中，CA=CB,Z AC B=a.点P是平面内不与点A,C重合的任意一点.连接A P,将线段A P绕点P逆时针旋转a得到线段。P,连接A O,B D,CP.(1)观察猜想如 图1,当a=6 0时，型的值是，直线8。与直线C P相交所成的较小角的度CP数是.(2)类比探究如图2,当a=9 0时，请写出垣的值及直线8。与直线C P相交所成的较小角的度数，CP并就图2的情形说明理由.(3)解决问题当a=9 0时，若点E,尸分别是CA,C B的中点，点P在直线E F 上,请直接写出点C,P,。在同一直线上时坦的值.7 .

5、如图，Z VIBC内接于A C=B C,C O是 的 直 径，与A B相交于点G,过点。作E F/A B,分别交C4、C B的延长线于点日F,连接8 0.(1)求证：E F是。的切线;(2)求证：B D A U B F.ED8 .如 图1,Z VIBC中，CA=CB,Z A C B=a,。为 A BC内一点，将CA。绕点C按逆时针方向旋转角a得到 CBE,点A,。的对应点分别为点3,E,且A,D,E三点在同一直线上.(1)填空：ZCDE=(用含a的代数式表示)；(2)如图2,若a=6 0,请补全图形，再过点C作C F L A E于点F,然后探究线段CF,AE,B E之间的数量关系，并证明你的结

6、论；(3)若a=9 0,AC=5&,且点G满足N A GB=9 0,B G=6,直接写出点C到A G的距离.(图1)(图2)9 .如 图1,在正方形A B C Q中，A E平分/C 4 B,交B C于点E,过点C作C F L A E,交A E的延长线于点G,交A 8的延长线于点F.(1)求证：B E=B F；(2)如图2,连接BG、B D,求证：B G 平分N D B F；(3)如图3,连接Q G交A C于点M,求处的值.D M10.已知：a A B C是等腰直角三角形，N 8 A C=9 0,将 A BC绕 点C顺时针方向旋转得到A A B C,记旋转角为a,当9 0 a ,A D与 B C

7、交于点(1)如 图1,当N CA D=15时，作N A E C的平分线E F交B C于点F.写出旋转角a 的度数；求证：E A +E C=E F；(2)如图2,在(1)的条件下，设 P 是直线A。上的一个动点，连接 物，P F,若 A2求线段出+尸尸的最小值.(结果保留根号)11.如图，A 8 为0。的直径，点 P 在 A 8 的延长线上，点 C 在。上，且 PC2=PBB4.(1)求证：PC是。0 的切线：(2)已知尸C=20,P8=10,点。是篇的中点，D E 1 A C,垂足为E,OE交 A 8于点凡12.(1)证明推断：如 图(1),在正方形ABCD中，点 E,。分别在边BC,4 8

8、上，D Q LAE于点。，点 G,尸分别在边CD,AB上，G F A.A E.求证：D Q=A E；推断：更的值为；A E(2)类比探究：如 图(2),在矩形ABCD中，幽=上&为常数).将矩形ABC。沿 G尸A B折叠，使点A 落 在BC边上的点E处，得到四边形F E P G,EP交 CD于点H,连接A E交 GF于点。试探究G尸与AE之间的数量关系，并说明理由；拓 展 应 用：在 的 条 件 下，连接CP,当=2 时，若 tan/C G P=3,G F=2丁 五,3 4图(1)图(2)13.如 图1,在正方形A 8 C。中，点E是A B边上的一个动点(点E与点A,B不重合)，连接C E,过

9、点8作B F L C E于点G,交A 于点F.(1)求证：A B F安B CE；(2)如图2,当点E运动到A 8中点时，连接。G,求证：DC=DG；(3)如图3,在(2)的条件下，过 点C作C M L QG于点”，分别交A D,B F于点M,N,求理的值.14 .在R t ZVVB C中，NA 8 C=90,/A C3=30,将A A B C绕 点C顺时针旋转一定的角度a得到&7,点A、3的对应点分别是。、E.(1)当点E恰好在A C上时，如 图1,求N A O E的大小；(2)若a=60时，点F是边AC中点，如图2,求证：四边形B E Q F是平行四边形.15.如图，在正方形4 B C D中

10、，A 8=6,”为对角线B O上任意一点(不与8、。重合),连 接C M,过 点 何 作MN_LCM,交线段A B于点N(1)求证：M N=M C；(2)若。M：D B=2：5,求证：A N=4 B N；图16.如图，在正方形A 8 C D中，AB=6,M是对角线8D上的一个动点连接AM,过点M作M N L AM交8 C于点N.(I)如图，求证：M A=M N；q(2)如图，连接A N,。为A N的中点，M。的延长线交边A B于点P,当.4MH.WS/k B CD I*时，求A N和PM的长;(3)如图，过点N作于H,当A M=2遥 时求 MWN的面积.17.【问题探究】(1)如 图1,4 8

11、 C和 D E C均为等腰直角三角形，/A CB=N CE=90,点8,D,E在同一直线上，连接A。，BD.请探究A D与B D之间的位置关系：；若A C=B C=氏，D C=C E=如,则线段4。的长为；【拓展延伸】(2)如图 2,ZVI B C 和O E C 均为直角三角形，NA CB=NO CE=90 ,AC=A/五，B C=4 1，C D=a，C E=.将 绕 点C在平面内顺时针旋转，设旋转角/B C。为a(0 WaE由 图 1位置绕点C 顺时针旋转a(0 Wa360),当2时，请直接写出a 的值.图1图2备用图2 0.阅读下面材料:小明遇到这样一个问题：如图 1,ABC 中，Z A

12、C fi=90，点。在 A8 上，且 N 2A C=2/O C 8,求证：A CA D.小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：方 法 1：如图2,作 AE平分N C A 8,与 CQ相交于点E.方法2：如图3,作与AB相交于点F.(1)根据阅读材料，任选一种方法，证明AC=AD用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：(2)如图4,ZiABC中，点。在 A 3 上，点 E 在 8C 上，且N8Z)E=2NABC,点尸在B D 上,且N A FE=N 8AC,延长 DC、F E,相交于点 G,且N D G F=/B D E.在 图 中 找 出 与 相 等 的 角，并加以

13、证明；若凡 猜想线段OE与 0 8 的数量关系，并证明你的猜想.2 1.如 图(1),已知点G 在正方形A5C。的对角线A C 上，GELBC,垂足为点E,GFC D,垂足为点F.(1)证明与推断：求证：四边形CEGF是正方形；推断：巡的值为：BE(2)探究与证明：将正方形CEGF绕点C 顺时针方向旋转a 角(0 a45),如 图(2)所示，试探究线段AG与 8E之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展与运用：正方形CEG尸在旋转过程中，当 B,E,尸三点在一条直线上时，如 图(3)所示，延长参考答案1 9.证明：(1)连接O Q,A Q 平分 NR4C,：.ZCAD=ZBADf9：0A=0D,

14、：.ZBAD=ZADO.：.ZCAD=ZADO,：.AC/ODf9：CD LAC,:.CD 工 OD,直线c o是o。的切线；(2)连接8 D,B E是OO的切线，A3为OO的直径,；NABE=NBDE=90,V C D 1 A C,；NC=NBDE=90,*.ZCAD=NBAE=/DBE,：.dACDsBDE,C D =A DDE BE,:.CDBE=ADDE.2.(1)证明：如图1,连接AE,则NA=NCD是直径，NAEB=90,NA+NABE=90,：4C=4DBE,:.NABE+NDBE=90,即 NAB)=90,.8。是G)0的切线(2)解：如图2,延长EF交。于“，-JEFYAB,

15、AB 是直径,二施,NECB=ZBEH,：NEBC=NGBE,：*/EBCs4GBE,.B E B C 二,B G B E:BC=BD,:/D=NC,：NC=NDBE,:ND=NDBE,：.BE=DE=2y10又NAFE=NA3O=90,:BDEF,：.ZD=ZC E F,：/C=/C E F,：.CG=GE=3,:BC=BG+CG=BE3,.2百5 _BG+3 =C=AO=a,PD=匣a,2.旭=2-&.CP V2a a解法二：在Rt南。中，是AC的中点，：.PE=EA=EC,：.ZEPCZECP,：Z CEF=45=/EPC+Z ECP,：.ZEPC=ZECP=22.5,?ZPDA=45=

16、ZACD+ZDAC,NOAC=22.5,：.AD=DC,设 则 AQ=OC=&4,如图3-2中，当点P在线段CO上时，同法可证：DA=DC,设A=a,则CQ=AZ)=0,口噜7 .证明：(1)-：AC=BC,C O是圆的直径,，由圆的对称性可知：Z A C D=ZBCD,J.CDLAB,：AB/EF,.NC F=NC G 8=9 0,是圆的半径，F是。的切线；(2)是圆的直径,：.ZCBD=90Q,NBDF+NCDB=NCDB+NBCD=9Q,:.NBDF=NBCD,:.BCDSBDF,.B D B C ,B F B D：.BD2=BCBF,：BC=AC,：.BD2=ACBF.8 .解：（1）

17、将 C A O绕点C按逆时针方向旋转角a得到C B E.A C。乌8 C E,ZDCE=a：.CD=CE：.ZCDE=_2故答案为：I。，Q.2(2)AE=BE+-CF3理由如下：如图，.将C4O绕 点C按逆时针方向旋转角60得到ACBEAACDABCE：.AD=BE,CD=CE,/DCE=6Q.CDE是等边三角形，且CFJ_DE：.DF=EF=-QY：AE=AD+DF+EF：.AE=BE+-CF3(3)如图，当点G在AB上方时，连接C G,过点C作CELAG于点E,V ZACB=90Q,AC=BC=5近,：.ZCAB=ZABC=45,AB=0；N4C8=9()=ZAGB.点C,点G,点B,点

18、A四点共圆NA GC=NA8C=45 ,S.CEAG：.NAGC=/ECG=45：.CE=GEVAB=10,GB=6,ZAGB=90二 A G=7AB2-G B2=8AC2=AE2+CE2,：.(5&)2=(8-CE)2+CE2,：.CE=1(不合题意舍去)，CE=若点G 在 AB的下方，过点C 作 CFLAG,于 F,连接CG:乙 4cB=90,A C=8 C=5&,二 NCAB=NABC=45,AB=10V ZACB=90=NAGB.点C,点 G l 点 B,点A 四点共圆.A G C=/A 8 C=4 5 ,K CFLAG：./A G C=/F C G=45：.CF=GF：AB=10,G

19、B=6,ZAGB=90A G，=VA B2-B G/2=8：AC1=AF1+CF1,：.(5 7 2)2=(8-CF)2+CF2,，C F=7或 CF=1(不合题意舍去)，/点 C 到 A G 的距离为1或 7.9.(1)证明：.四边形ABC。是正方形，A ZABC=90,AB=BC,:.NEAB+NAEB=90,:AGLCF,.,.ZFCB+ZCEG=90,?ZA E B=ZCE G,；.NE A B=NF CB,，Z E A B=Z F C B在A B E和C 8 F 中，,A B邛C ，Z A B E=Z C B F=9 0.A B E g CB F (A SA),:.B E=B F；(

20、2)证明：二 四边形A B C。是正方形，NA B D=NC A B=4 5 ,：A E 平分 NC A B,：.ZCA G=ZF A G=22.5,，Z C A G=Z F A G在A G C 和 a A G/中，C B=9 0,:.A C=D C,V Z D C G=ZD CB+ZB CF=Z D C B+Z G A F O0+2 2.5 =1 1 2.5 ,ZA B G=S0 Z G B F=1 8 0 -6 7.5 =1 1 2.5 ,/D C G=NA B G,C G=B G:.D CG gA A B G(S A S),.NCG=/GAB=22.5,：.ZC D G ZC A G,:

21、NDCM=NACE=45,:.MDCMSXACE,，坦=也=近.D M D C图310.(1)解：旋转角为105.图1；A DLAC,.NA DC=90,：ZCA 0=15,.NA CD=15,A AACA=105,.,旋转角为105.证明：连接A F,设 E尸交C 4 于点。.在 E F时截取E M=E C,连接CM.,：ZCED=Z A1 CE+NCA E=450+15=60,：.ZC EA=120,平分/C E A,；.NCEF=NFEA=60,VZFCO=180-45-75=60,：.ZFC O ZA EO,ZF O C ZA OE,.FOCS/X A OE,.O F _ 0CAZ o

22、 O E.O F A，0 O C O E,：ZCOE=ZFOA,：./C O E/F O A,：.ZFA O=NOEC=60,:.X N CF是等边三角形，：.CF=CA=A F,：EM=EC,Z CEM=60,.CEM是等边三角形，NECM=60,CM=CE,：Z FC A=/M CE=60,：.ZFCM=ZA CE,：./FCM/A CE(ASA),：.FM=A E,：.CE+A E=EM+FM=EF.(2)解：如图2中，连接A F,PB,A B,作B M_LAC交AC的延长线于M.图2由可知，ZEA F=/E A B=75,A E=A E,A F=A B ,.A EF/A EB：.EF=

23、E B,：.B,/关于A E 对称，:.PF=P B,：.PA+PF=PA+PB2AB,在 RtZXCB M 中，CB=BC=&AB=2,NMCB=30,：.B=1,c M=a，:-AB=VA M2+B/M2=V(V2+V3)2+1 2=V6+2V6-J.PA+PF的最小值为6+2捉.11.(1)证明：连接O C,如图1所示：PC2=PBPA,即 世=生，P C P B,:NP=4P,：./PBC/PCA,：.ZPCB=ZPAC,为。的直径，A ZACB=90,/.ZA+ZABC=90,；0C=08,：.ZOBC=ZOCB,：.ZPCB+ZOCB90Q,即 OCA.PC,；.PC是。的切线；(

24、2)解：连接O D,如图2 所示：PC=20,PB=10,PC1=PB-PA,PC2 902布=幺 _=4 0,P B 1 0：.AB=PA-PB=30,:PBCsXPCA,.A C ,_ P A _z.0，B C P C设 8 C=x,则 AC=2r,在 RtZXABC 中，/+(2x)2=3。2,解得：x=6娓,即BC=6爬,点D 是标的中点，AB为。的直径,.4 0 0=9 0 ,：DEAC,：.ZAEF=90,V ZACB=90,：.DE/BC,：.ZDF0=ZABC,：./D0F/ACB,.O F =B C=1 O D A C T：.O F=O D=-,即 4 尸=三，2 2 2JE

25、F/BC,.E F=A F=1而 A B T:.EF=LBC=.12.(1)证明：四边形ABC。是正方形,：.AB=DA,NABE=90=ZDAQ.：.ZQAO+ZOAD=90Q.VAE)e，A ZADO+ZOAD=90Q.：.ZQAO=ZADO.：./ABE/DAQ(ASA),：.AE=DQ.解：结论：S L=i.A E理由：VZ)21A,FG1.AE,C.DQ/FG,JFQ/DG,，四边形DQFG是平行四边形,：.FG=DQ,：AE=DQ,：.FG=AE,故答案为1.(2)解：结论：幽=此A E理由：如图2中，作GM_LAB于M._、DB E C图VAE1GF,ZAOF=NGMF=N4BE

26、=90,ZBAE+ZAFO=90,NAFO+NFGM=90,:.NBAE=NFGM,.AABESAGMF,.G F =G MA E A B ：/AM G=/Q=ND4M=90,四边形AMGD是矩形，：.GM=AD,.G F _ A D _ B C _.,-K *A E A B A B(3)解：如图2中，作PM_LBC交8 c的延长线于M.图JFB/GC,FE/GP,：.NCGP=NBFE,：.tan Z CGP=tan Z BFE=旦=,4 BF.可以假设 BE=3&,BF=4k,EF=AF=5k,A E 3：.AE=3-/1Q,：.(3k)2+(9k)2=oV lO)2,Ak=1或-1 (舍

27、弃),：.BE=3,AB=9fVBC：AB=2：3,*BC=6,:BE=CE=3,AD=PE=BC=6,:/EBF=/FEP=/PME=90,./FEB+NPEM=90,ZPEM+ZEPM=90,:.NFEB=NEPM,：.AFBESAEMP,EF=BF=BEPE E M 而.5_=_ L=J_6 EM PM，.EM=皇，殁，5 5：.CM=EM-EC=-3=旦5 5A PC=VCM2+P M2=-|V5.13.(1)证明：BFLCE,:.NCGB=90,NGCB+NCBG=90,四边形A8CZ)是正方形，：.ZCBE=90a=乙4,BC=AB,：.NFBA+NCBG=9。,:.NGCB=NF

28、BA,：.ABF也 BCE(ASA)；(2)证明：如图2,过点。作。乩LCE于H,设 AB=CD=BC=2a,点E是AB的中点，.EA=EB=AB=a,2:.CE=ya,在RtzXCEB中，根据面积相等，得BGCE=CBEB,5_CG=VCB2-BG2=T 口7,点E恰好在AC上,：.CA=CD,N E C=N 2 CA=30 ,N D E C=NA B C=90 ,CA=CD,.N CAO=N C)A=(18 0-30 )=7 5,2:.NA D E=90 -7 5 =15；(2)证明：如图2,:点 F是边A C 中点，：.B F=A C,2V Z ACB=30 ,：.A B=A C,2：.

29、B F=A B,/ABC绕点C顺时针旋转6 0得到(；,：.Z B C E Z ACD=6 0 ,CB=CE,D E=A B,：.D E=B F,ACO 和 BCE 为等边三角形，：.BE=CB,点F为ACQ的边AC的中点,：.DFLAC,易证得CTO四ABC,:DF=BC,:,DF=BE,而 BF=DE,四边形 成。尸是平行四边形.1 5.解：（1）如图，过M分别作MEA8交8C于E,M/BC交4 8于尸,图则 四 边 形 尸 是 平 行 四 边 形，四边形A8CD是正方形，ZABC=90,ZABD=ZCBD=ZBME=45,:,ME=BE,平行四边形BEMF是正方形,:ME=MF,:CM

30、工 MN,：.ZCMN=90Q,V ZFME=90,:./CM E=/FM N,：4MFN冬丛MEC(ASA),：MN=MC；由(1)得 FMAD,E M/CD,.AF =CE =D M=2*AB BC BD?，=2.4,CE=2.4,/XMFNg XMEC,:FN=EC=2.4,，AN=4.8,B N=6-4.8=12,:AN=4BN；(3)如图，把OMC绕 点C逆时针旋转9 0 得到出/C,连接G”,:丛DMC/XBHC,NBCD=90,:,MC=HC,DM=BH,NCDM=NCBH=45,NDCM=NBCH,：.ZMBH=90,NMCH=90,:MC=MN,MC1MN,MAC是等腰直角三

31、角形，；NMNC=45,:ZNCH=45。,:MCGQXHCG(SAS),:,MG=HG,V BG：M G=3：5,设 8G=3m 则 MG=GH=5m在 RtZkBGH 中，B H=4 a,则 MO=4m,/正方形ABCD的边长为6,:.B D=6：.DM+MG+BG 12a=6 亚，.a-近 U -,2 _：.BG=返MG二班,2 2:NMGC=4NGB,NMNG=/GBC=45,:./XM GNs 丛 CGB,G C=M G G B 而，:.CGNG=BGMG=叵.216.(1)证明：过点M 作 MELAB于尸，作 MG_LBC于 G,如图所示:ZA F M NMFB=NBGM=NNGM

32、=90,四边形A8C 是正方形，N4BC=ND4B=90,A D=A B,乙48。=NOBC=45,；MEL AB,MGLBC,：.MF=MG,./A 8C=90,四边形F8GM是正方形，NFMG=90,:.NFMN+NNMG=90,JMNX.AM,.NAMF+ZTMN=90,NAMF=NNMG,，Z AF M=Z N G M在AMF和MWG 中，MF=HG，Z AH F=Z N M G:.AAM F经LNMG(ASA),：.MA=MN；(2)解：在 RtaAMN 中，由(1)知：MA=MN,：.ZMAN=45Q,VZDBC=45 ,:.NMAN=NDBC,：.Rt/AMNRt/BCD,SAA

33、M N _（AN）2,ABCD BD在 RtZvWQ 中，AB=AD=6,:.BD=SM，.AN2=131 8解得：AN=2后，在 RtAABN 中，BN=A/AN2-AB2=V（213）2-62=%;在 RtZAMN 中，MA=MN,。是 AN 的中点，OM=OA=0N=-A N=V13 0M1AN,：.ZAOP=90,，ZAOP=NABN,：ZPAO=ZNAB,：.APAO/NAB,.OP=OA 即.QP_V l3丽 AB T I-解得：。尸=囚 亘，3 _ _PM=O M+O P=汉 亘=显 返：3 3（3）解：过点A作AELBO于F,如图所示：.NAFM=90,：.ZFAM+ZAMF=

34、9,：MNLAM,./AMN=90,:.NAMF+NHMN=90,：.ZFAM=ZHMN,:NHLBD,:A FM=NMHN=90,，Z F AM=Z H M N在AFM和AMHN 中，Z AF M=Z M H N-AM=M N.AFM丝MHN(AAS),：.AF=MH,在等腰直角ABD中，JAFYBD,.,M F=BD=X 672=3 V2)2 2:.MH=3 尬,：AM=2遥，:.MN=2 炳,HN=VMN2-M H2=V(2 V 5)2-(3 V 2)2=&SAHMN=HN=界3&*&=3,.M N 的面积为3.1 7.解：【问题探究】(1):ABC和OEC均为等腰直角三角形，:.AC=

35、8C,CE=CD,/ABC=/O EC=45=NCDEV ZACB=ZDCE=9Q,A ZACD=ZB C E,且 AC=BC,CE=CD：./ACD/BCE(SAS)：.NADC=NBEC=45，ZADE=ZADC+ZCDE=W：.ADLBD故答案为：ADLBD如图，过点。作。凡LAO于点RV ZADC=45,CFLAD,CD=42：.DF=CF=F=VAC2-CF2=3：.AD=AF+DF=4故答案为：4【拓展延伸】(2)若点。在8C右侧，如图，过点于点F,:NACB=NDCE=90，AC=V T，8。=夜，CO=,CE=.：./ACD=NBCE,BC v CE/ACD/BCE：.ZADC

36、=ZBEC,，:C D=M，CE=1.,.DE=A/DC24CE2=2,?ZADC=ZB EC,ZDCE=NCFD=90:A D C ESACFD,.DE DC CEDC CF DF即为五V 3 CF DF：.C F ,。/=亚2 2AA/?=VA C2-CF2=：.AD=DF+AF3f3若点力在8 C 左侧,：ZACB=ZD CE=()O,A C=V L B C=S,C D=M，CE=.NAC=/BCE,=43BC V CEAAC D sABC E：.4ADC=ZB EC,：.NCED=NCDF,:C D=a，CE=：.DENCED=ZCDF,NDCE=ZCFD=90：./D C E/C F

37、 D,.DE _ DC CE DC=CF =DF即为史M CF DF：.C F=-,。/=近2 2-，MF=VAC2-CF2=-：.A D=A F-D F=24218.证 明:(1)：A B=A D,：.NA B D=NA D B,：N A D B=ZA CB+ZD A C,ZA B D=ZA B C=NA CB+NB A E,:.NB A E=ND A C,(2)设/Z M C=a=N 2 AE,/C=0,N A8 C=ZA D B=a+,V Z ABC+Z C=a+p+p=a+2 p=9 0,/8 4E+N E 4c=9 0=a+/E AC,；.N E 4C=2 B，平分/E 4C,朋 C

38、=N E A F=B，A Z M C=Z C,/A8 E=/BAF=a+B，：.A F=F C,A F=B F,：.A F B C=B F,2:NA B E=NB A F,Z B G A=ZB A C=90 ,/A B G/B CA,BG _ AB AC BCNA B E=NB A F,NA B E=ZA D B,：.A B F sD B A,AAB=BF；且 A F=LBC=BF,BD AB 2.后=里，即丝 _，2 AB BC 2 k.BG 1 AC 2 k(3)V ZA B E=ZB A F,N BAC=N AG B=9 0,:.N A B H=/C,且/8 AC=N 2 AC,A A

39、B H sA A CB,.AB 二 AH,AC AB:.AB2=ACXAH设 BD=m,ABkm,.AB 1-）BC 2k:.BC=20m,：.AC=yj BC2-AB2=km yJ 4k2-1，：.AB2=ACXAH,（km）2=kmyj曲 2一 XAH,：.AH=.k m,J 4k2_1：.HCAC-AH=kmJ 4 k2 .km=km X（4/2）,.AH=1CH 4k2-21 9.解：（1）如 图 1 中,ABC是等边三角形，A ZABC=60,：AP=PD,PB=PM,：.四边形ABDM是平行四边形,A ZAME=ZABC=60Q,CDE是等边三角形，Z)EC=60,：.ZAEM是等

40、边三角形，故答案为：等边三角形；(2)如图2中，结论：AEM是等边三角形.国2理由：设4E交B。于。，AC交BD于K,连接。M.ABC,OEC都是等边三角形，：.CB=CA,CD=CE,ZBCA=ZDCE,：.NBCD=ZACE,：.BCD A CE(SAS),：.BD=AE,/CBK=NOAK,：ZBKC=ZAKO,：.ZAOK ZBCK=60,：AP=PD,BP=PM,：.四边形ABDM是平行四边形，：.AM=BD,AM/BD,：.ZAOB Z0AM=6Q,AM=AE,是等边三角形.(3)设 C=“，则 AC=2a,AE=Jja,：.AC2AE2+EC2,：.ZAEC=90 ,如图3中，当

41、点。在AC的中点时，满足条件，此时a=60,图3B如图4中，当点E落在BC的中点时，满足条件，此时a=300.综上所述，满足条件的a的值为60或300。.2 0.解：（1）方法一：如图2中，作AE平分N CA8,与 8 相交于点：ZCAE=ZDAE,NCAB=2NDCB,.ZCAE=ZDCB,V ZBCD+ZACD=90Q,：.ZCAE+ZACD=90,/.ZAEC=90,：AE=AE,ZAEC=ZAED=90,/AEC/AED,：.AC=AD.方法二：如图3中，作/QCF=NCB,与AB相交于点F.ZDCF=ZDCB,ZA=2ZDCB,：.ZAZBCF,：ZBCF+ZACF=90,A ZA+

42、ZACF=90,A ZAFC=90,V ZACF+ZBCF=90,NBCF+NB=90。,/A C F=/B,ZADC=ZDCB+ZB=ZDCF+ZACF=ZACDf A.CAD.(2)如图4中，结论：/DEF=NFDG.理由：在/中，V ZDEF+ZEFD+ZEDF=180,在);中，ZGFD+Z G+ZFDG=180,：NEFD=/GFD,/G=/E D F,：.ZDEF=ZFDG,结论：BD=kDE.理由：如图4中，如图延长AC到K,使得NC8K=NABCV ZABK=2ZABC,ZEDF=2ZABCf:/EDF=/ABK,V ZDFE=ZA,:DFEsRBAK,.DF =DE=_ 1,

43、AB BK 7，:BK=kDE,：.NAKB=ZDEF=/FDG,；BC=BC,NCBD=NCBK,BCO g8CK,:BD=BK,:.BD=k*DE2 1.解：(1)：四边形ABCZ)是正方形，ZBCD=9Q,NBCA=45,.GE1.BC.GF LCD,：.ZCEG=ZCFG=NECF=90,，四边形 CEGF 是矩形，ZCGE=ZECG=45,：.EG=EC,四边形CEG尸是正方形；由知四边形CEG尸是正方形，：.NCEG=NB=90,ZCG=45,:西=近,GE/AB,CE.9=%=&,BE CE故答案为：加；(2)连接CG,由旋转性质知NBCE=ZACG=a,在 RtA CG 和 R

44、tACBA 中,CECG=cos45=返21=CS4502 嗡噜=也AACGs M CE,A G=CA=BE CB线段AG与BE之间的数量关系为AG=&BE；(3)由(2)知BCEsACG,./AGC=N3EC=135,：/C G 尸=45 ,；.NAGC+NCG尸=180,.A、G、F 三点共线.V Z C F=45，点B、E、尸三点共线,./BEC=135,X A C G s XBCE,：.ZAGC=ZBEC=135,ZAGH=ZCAH=45,：ZC H A ZAHG,：.AHGs/XCHA,.AG =G H =AH,AC AH CH设 BC=C=AO=a,则 A C=&a,则 由 幽=更得,AC AH a a AH：.A H=a,3则 DH=AD-A”=L,C=VCD2+DH23 32 z-a.A G _ AHfH 6 _AC CH 777 依解得：a=3辰,即 B C=3 ,故答案为：3代.