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1、挑 战 2023年 中 考 数 学 压 轴 题 之 学 霸 秘 笈 大 揭 秘（全 国 通 用）专 题 23二 次 函 数 推 理 计 算 与 证 明 综 合 问 题 典 例 剖 析._【例 1】（2022北 京）在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中，点（1,机），（3,）在 抛 物 线 y=o?+bx+c（a0）上，设 抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 x=f.（1）当 c=2,时，求 抛 物 线 与 y 轴 交 点 的 坐 标 及 r的 值；（2）点（xo,m）（xo#1）在 抛 物 线 上.若 机 求 f的 取 值 范 围 及 xo的 取 值 范 围.【分 析】（1）将 点（1
2、,m），（3,n）代 入 抛 物 线 解 析 式，再 根 据 团=得 出 6=-4，再 求 对 称 轴 即 可；（2）再 根 据,可 确 定 出 对 称 轴 的 取 值 范 围，进 而 可 确 定 xo的 取 值 范 围.【解 答】解：（1）将 点（1,?），（3,）代 入 抛 物 线 解 析 式，.fm=a+b+cln=9a+3b+c；/n=/i,.a-h+c=9a+3h+cf 整 理 得，h=-4iz,二 抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线=-2=-二 空=2；2a 2a/-2 rc=2,，抛 物 线 与 y轴 交 点 的 坐 标 为（0,2）.（2）V m n c,/.a+h+c9a
3、+3b+cc,解 得-4 a b-3a,3a-b 4 af.&.一 2 胆，即 与 r2.2a 2a 2a 2当/=旦 时，xo=2；2当 t=2 时，xo=3.加 的 取 值 范 围 2Vxo3.【例 2】（2022绍 兴）己 知 函 数 y=-/+fer+c（b,c为 常 数）的 图 象 经 过 点（0,-3）,（-6,-3).(1)求 儿 c的 值.（2）当-4WxW0时，求 y 的 最 大 值.（3）当 机 WxW O 时，若 y 的 最 大 值 与 最 小 值 之 和 为 2,求 机 的 值.【分 析】（1）将 图 象 经 过 的 两 个 点 的 坐 标 代 入 二 次 函 数 解
4、析 式 解 答 即 可；（2）根 据 x 的 取 值 范 围，二 次 函 数 图 象 的 开 口 方 向 和 对 称 轴，结 合 二 次 函 数 的 性 质 判 定 y 的 最 大 值 即 可；（3）根 据 对 称 轴 为 x=-3,结 合 二 次 函 数 图 象 的 性 质，分 类 讨 论 得 出，的 取 值 范 围 即 可.【解 答】解：（1）把（0,-3）,（-6,-3）代 入 y=尤+c,得 h=-6,c=-3.（2）-f-6x-3=-（x+3）2+6,又：-4WxW0,.当 x=-3时，y 有 最 大 值 为 6.（3）当-3VmW0 时，当 x=0时，y 有 最 小 值 为-3,当
5、 x=m时，y 有 最 大 值 为-,/-6/n-3,-nr-6m-3+（-3）=2,.m=-2 或 m-4（舍 去）.当，后-3 时，当 x=-3 时 y 有 最 大 值 为 6,），的 最 大 值 与 最 小 值 之 和 为 2,最 小 值 为-4,-（，+3）2+6=-4,in 0或 t=3+V 10（舍 去）.综 上 所 述，”=-2或-3-A/TO.【例 3】（2022青 岛）已 知 二 次 函 数 y=/+ur+?2-3（小 为 常 数，加 0）的 图 象 经 过 点 尸（2,4）.（1）求 相 的 值；（2）判 断 二 次 函 数、=/+犹+m2-3的 图 象 与 x 轴 交 点
6、 的 个 数，并 说 明 理 由.【分 析】（1）将（2,4）代 入 解 析 式 求 解.（2）由 判 别 式 A 的 符 号 可 判 断 抛 物 线 与 x轴 交 点 个 数.【解 答】解：（I）将（2,4）代 入）=%2+1计，2-3 得 4=4+2，+尸-3,解 得“=1,.2=-3,又 又 一 0,“n=(2).y=，+x-2,V A=i2-4ac=l2+8=90,.二 次 函 数 图 象 与 x 轴 有 2 个 交 点.【例 4】(2022杭 州)设 二 次 函 数 yi=2?+bx+c(b,c是 常 数)的 图 象 与 x 轴 交 于 A,8 两 点.(1)若 A,8 两 点 的
7、坐 标 分 别 为(1,0),(2,0),求 函 数 户 的 表 达 式 及 其 图 象 的 对 称 轴.(2)若 函 数 yi的 表 达 式 可 以 写 成 yi=2(x-/7)2一 2(是 常 数)的 形 式，求 He,的 最 小 值.(3)设 一 次 函 数”=x-m(？是 常 数)，若 函 数 yi的 表 达 式 还 可 以 写 成 1=2(X-/M)(x-/-2)的 形 式，当 函 数 y=yi-”的 图 象 经 过 点(xo,0)时，求 xo-m的 值.【分 析】(1)根 据 A、8 两 点 的 坐 标 特 征，可 设 函 数 yi的 表 达 式 为 yi=2(x-xi)(x-也)
8、，其 中 XI,X2是 抛 物 线 与 x轴 交 点 的 横 坐 标；(2)把 函 数 yi=2(x-h)2-2,化 成 一 般 式，求 出 对 应 的 仄 c的 值，再 根 据+c式 子 的 特 点 求 出 其 最 小 值；(3)把 yi,代 入)，=丫 1-2求 出 y 关 于 x 的 函 数 表 达 式，再 根 据 其 图 象 过 点(xo,0),把(刈，0)代 入 其 表 达 式，形 成 关 于 刈 的 一 元 二 次 方 程，解 方 程 即 可.【解 答】解：(1),二 次 函 数)u=2?+bx+c 过 点 A(1,0)、B(2,0),.y=2(x-1)(x-2),即 yi=Zr2
9、-6x+4.二 抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 x=-2=旦.2a 2(2)把 yi=2(x-h)2-2 化 成 一 般 式 得，yx l x1-4hx+2h2-2.:.b=-4h,C=2 M-2.:.b+c=2序-4/?-2=2(/z-1)2-4.把+c的 值 看 作 是 力 的 二 次 函 数，则 该 二 次 函 数 开 口 向 上，有 最 小 值，二 当 h=时，b+c的 最 小 值 是-4.(3)由 题 意 得,y=yi-y2=2(X-m)(X-7 7 7-2)-(x-加=(x-m)2(x-m)-5J.,函 数 y 的 图 象 经 过 点(xo,0),(xo-/n)2(xo-t
10、n-5=0.xo-m=Of 或 2（刈-m）-5=0.即 xo-m=0 或 xo-m=.2【例 5】(2022安 顺)在 平 面 直 角 坐 标 系 中，如 果 点 尸 的 横 坐 标 和 纵 坐 标 相 等，则 称 点 P 为 和 谐 点.例 如：点(1,1),弓，.1),(-&,-&),都 是 和 谐 点.(1)判 断 函 数 y=2 x+l的 图 象 上 是 否 存 在 和 谐 点，若 存 在，求 出 其 和 谐 点 的 坐 标；(2)若 二 次 函 数 y=a？+6x+c(a#0)的 图 象 上 有 且 只 有 一 个 和 谐 点 吟，-|).求 m。的 值；若 IWxW/nn寸，函
11、数)，=以 2+6工+。+_1(aW O)的 最 小 值 为-1,最 大 值 为 3,求 实 数 相 4的 取 值 范 围.【分 析】(1)设 函 数 y=2 x+l的 和 谐 点 为 G,x),可 得 2 x+l=x,求 解 即 可；(2)将 点($,)R A y=a2+6x+c,再 由 ax2+6x+c=x 有 且 只 有 一 个 根，=25-2 24 m=0,两 个 方 程 联 立 即 可 求、c 的 值；由 可 知 y=-/+6 x-6=-(x-3)2+3,当 x=1 时，y=-1,当 x=3 时，y=3,当 x=5 时，y=-1,则 时 满 足 题 意.【解 答】解：(1)存 在 和
12、 谐 点，理 由 如 下，设 函 数 y=2 x+l的 和 谐 点 为 G,x),2 A+1 X y解 得 x=-1,和 谐 点 为(-1,-1);(2)；点 仔-1)是 二 次 函 数 y=a/+6x+c(#0)的 和 谐 点，.互=至。+15+。，2 4丁=_ 25 _ 254 2 二 次 函 数 y=o？+6x+c(a#0)的 图 象 上 有 且 只 有 一 个 和 谐 点，./+6工+。=1 有 且 只 有 一 个 根，A=25-4=0,-1,c=-2；4 由 可 知 y=-f+6 x 6=-(x-3)2+3,抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 x=3,当 x=l 时，y=-1,当
13、 x=3 时，y=3,当 x=5 时，y=-1，:函 数 的 最 大 值 为 3,最 小 值 为-1；当 时，函 数 的 最 大 值 为 3,最 小 值 为-1.满 分 训 练.一.解 答 题(共 20题)1.(2022瑞 安 市 校 级 三 模)已 知 抛 物 线 y=a/-2-2+次(4WO).(1)求 这 条 抛 物 线 的 对 称 轴：若 该 抛 物 线 的 顶 点 在 x 轴 上，求 a 的 值；(2)设 点 P(?，yi),Q(4,2)在 抛 物 线 上，若 求 现 的 取 值 范 围.【分 析】(1)把 解 析 式 化 成 顶 点 式，根 据 顶 点 式 求 得 对 称 轴 和
14、顶 点 坐 标，根 据 顶 点 在 x轴 上 得 到 关 于。的 方 程，解 方 程 求 得 a 的 值；(2)根 据 二 次 函 数 的 性 质，分 两 种 情 况 即 可 求 出 的 范 围.【解 答】解：(I)、抛 物 线 yuax2-2ax-2+。2=。(%-|)2+a2-a-2,抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 x=l.若 抛 物 线 的 顶 点 在 x 轴 上，则 a2-a-2=0,.,.a=2 或-I.(2)抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 x=l,则 Q(4,”)关 于 直 线 x=l对 称 点 的 坐 标 为(-2,”),.,.当 a0时，若 yi4.2.(202
15、2西 城 区 校 级 模 拟)在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中，点 A(xi,yi)、点 B(X 2,”)为 抛 物 线 丫=-2ax+a(aWO)上 的 两 点.(1)求 抛 物 线 的 对 称 轴；(2)当-2xi-1且 1%22时，试 判 断 户 与”的 大 小 关 系 并 说 明 理 由；(3)若 当 且 什 2x2f+3时，存 在 yi=,求 f的 取 值 范 围.【分 析】(1)先 化 抛 物 线 的 表 达 式 为 y=“(x-1)2+1,依 此 可 求 抛 物 线 的 对 称 轴；(2)利 用 二 次 函 数 性 质 即 可 求 得 答 案：(3)利 用 二 次 函 数
16、 性 质 存 在 A 到 对 称 轴 的 距 离 与 5 到 对 称 轴 的 距 离 相 等 即 可 解 答.【解 答】解：(1)y cvr-2ax+a a(x-1)2.二 抛 物 线 的 对 称 轴 为 x=l；(2)；-2xi-1,X22,1-X-X 2f：.A离 对 称 轴 越 远，若。0,开 口 向 上，则 若。0,开 口 向 下，则 yi y2,(3).rxir+l,/+2J C 2/+3,存 在 yi=，则 什 1l,.，V0 且 fl,.存 在 1-X1=X2-1，即 存 在 A到 对 称 轴 的 距 离 与 B 到 对 称 轴 的 距 离 相 等，：.-tt+2-1 且 1-(
17、汁 1)r+3-1,/.-lr0.3.(2022新 野 县 三 模)在 平 面 直 角 坐 标 系 中，已 知 抛 物 线 y=ar2-4or+2.(1)抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 x=2,抛 物 线 与 y 轴 的 交 点 坐 标 为(0,2):(2)若 当 x 满 足 1WXW5时，y 的 最 小 值 为-6,求 此 时 y 的 最 大 值.【分 析】(1)由 对 称 轴 方 程，将 对 应 系 数 代 入 可 得，令 抛 物 线 解 析 式 中 的 x=0,求 得 y,答 案 可 得；(2)利 用 当 x 满 足 时，y 的 最 小 值 为-6,可 求 得”的 值，再 利 用
18、 二 次 函 数 图 象 的 特 点 可 确 定 y 的 最 大 值.【解 答】解：(1)抛 物 线 尸)-4取+2 的 对 称 轴 为 直 线 x=-9=2.2a令 尤=0,则 y=2.抛 物 线 y=ax2-4ar+2与 y 轴 的 交 点 为(0,2).故 答 案 为：x=2；(0,2).(2);抛 物 线 y=a?-4依+2 的 对 称 轴 为 直 线 x=2,顶 点 在 1WXW5范 围 内，当 x 满 足 10 W 5 时，y 的 最 小 值 为-6,.当“0 时，抛 物 线 开 口 向 下，x=5 时 y 有 最 小 值-6,/.25a-20+2=-6,解 得。=一 旦，5二 抛
19、 物 线 为 y=-B/+丝 x+25 5当 x=2 时，y=-&X22+丝 X2+2=丝，5 5 5，此 时 y 的 最 大 值 为 丝.5当”0,抛 物 线 开 口 向 上，x=2 时 y 有 最 小 值-6,二 4。-8+2=-6,解 得 a=2,.,.抛 物 线 为 y=2f-8x+2,当 x=5 时，y=2X25-8X5+2=12,此 时 y 的 最 大 值 12.综 上，y 的 最 大 值 为 12.4.（2022萧 山 区 二 模）在 平 面 直 角 坐 标 系 中，已 知 二 次 函 数 y=n/+（-1）x-1.（1）若 该 函 数 的 图 象 经 过 点（1,2）,求 该
20、二 次 函 数 图 象 的 顶 点 坐 标.（2）若（xi,yi）（xi,”）为 此 函 数 图 象 上 两 个 不 同 点，当 XI+X2=-2时，恒 有 yi=”，试 求 此 函 数 的 最 值.（3）当。0,即 可 得 到 该 二 次 函 数 图 象 的 顶 点 在 第 二 象 限.【解 答】解：（1）；函 数 图 象 过 点（1,2）,，将 点 代 入 丫=以 2+（4-1）X-1,解 得 a=2,二 次 函 数 的 解 析 式 为 y=2x2+x-1,该 二 次 函 数 的 顶 点 坐 标 为（-工，-9）；4 8（2）函 数 y=a?+（a-1）x-1的 对 称 轴 是 直 线 工
21、=-用 工，V（xi,yi）,（X2,J2）为 此 二 次 函 数 图 象 上 的 两 个 不 同 点，且 XI+%2=-2,则 yi=”,.a-l_Xl+x2_2一.-,2a 2 2：.a=-1,.y=-x2-2x-1=-(x+1)2o,当 x=-l时，函 数 有 最 大 值 0；(3)V y=a r2+(a-1)x-1,由 顶 点 公 式 得：x=-且 二 上=-y=-4a-(a-1)=-3.il)一,2a 2 2a 4a 4a V 0且 a#-1,A x 0,该 二 次 函 数 图 象 的 顶 点 在 第 二 象 限.5.(2022盈 江 县 模 拟)抛 物 线 C i：y=/+6 x+
22、c的 对 称 轴 为 x=l,且 与 y 轴 交 点 的 纵 坐 标 为-3.(1)求 4 c 的 值；(2)抛 物 线 C2：y=-j?+mx+n经 过 抛 物 线 C i的 顶 点 P.求 证：抛 物 线 C2的 顶 点。也 在 抛 物 线 C i上；若，=8,点 E是 在 点 尸 和 点。之 间 抛 物 线 C1上 的 一 点，过 点 E作 x 轴 的 垂 线 交 抛 物 线 C2于 点 F,求 E F长 度 的 最 大 值.【分 析】(I)根 据 对 称 轴 公 式 x=-且，即 可 求 出 b 的 值，由 抛 物 线 与 y 轴 交 点 的 纵 坐 2a标 为-3 即 可 求 得 c
23、 的 值；(2)由(1)可 得 抛 物 线 C i的 解 析 式，从 而 可 得 抛 物 线 C i的 顶 点 P 的 坐 标，由 抛 物 线 C2经 过 抛 物 线 C1的 顶 点 可 得=-m-3,从 而 可 得 抛 物 线 C2为:y=-xi+mx-m-3,根 据 对 称 轴 公 式 x=-上，即 可 求 出 顶 点。的 坐 标，再 将 点。的 横 坐 标 代 入 抛 物 线 Cl2a的 解 析 式 中，即 可 证 明；先 分 别 求 出 点。和 点。的 横 坐 标，由 可 得=-1 1,设 点 E 横 坐 标 为 x,由 点 E 在 抛 物 线 C i上 可 表 示 出 纵 坐 标，由
24、 题 可 知 点 F 与 点 E 横 坐 标 相 同，代 入 抛 物 线 C2的 解 析 式 中 可 得 点 尸 纵 坐 标，即 可 求 解.【解 答】(1)解：:抛 物 线 y=/+历;+c对 称 轴 为 x=l,且 与 y 轴 交 点 的 纵 坐 标 为-3,:b=-2；(2)证 明：,抛 物 线。的 解 析 式 为：y=/-2%-3,，顶 点 P 的 坐 标 为：(1,-4),抛 物 线 C2经 过 抛 物 线 C)的 顶 点，-4=-l2+/+n,.=-3,/.抛 物 线 C2 为：y=x2+/wx-tn-3,.对 称 轴 为：直 线 x=-L=典，2a 2将 x=代 入 y=-3,得
25、:2.点 Q 坐 标 为：(典，-/M-3),2 4将 产 方 代 入 y=7-2r-3,得：2y=-/n-34，点。也 在 抛 物 线 Ci上；解：由 知=-?-3,.=8,-11,抛 物 线 C2的 解 析 式 为：y=-?+8x-11,对 称 轴 为：直 线=胃=4,设 点 E 横 坐 标 为 x,V 点 E 是 在 点 P 和 点。之 间 抛 物 线 Ci上 的 一 点，.点 E 坐 标 为(x,?-2x-3),lx4,.过 点 E 作 x 轴 的 垂 线 交 抛 物 线 C2于 点 F,点 尸 横 坐 标 为 X,二 点 F 坐 标 为(x,-7+8x-ll),-7+8x-11-(x
26、2-2x-3)-f+8x-II-/+2x+3=-Z+lOx-8-2(x2-5x+4)=-2(x2-5x+至)+94 2.当 X=5 时，EF取 得 最 大 值，最 大 值 为 a,2 2.E/长 度 的 最 大 值 为 a.26.(2022沂 水 县 二 模)抛 物 线)二/+法 经 过 点 A(-4,0),B(1,5)；点 P(2,c),Q(xo,中)是 抛 物 线 上 的 点.(1)求 抛 物 线 的 顶 点 坐 标；(2)若 xo-6,比 较 c、yo的 大 小；(3)若 直 线=/与 抛 物 线 交 于 M、N 两 点，(M、N 两 点 不 重 合)，当 M N W 5 时，求 机 的
27、 取 值 范 围.【分 析】(1)利 用 待 定 系 数 法 即 可 求 得 抛 物 线 解 析 式，化 成 顶 点 式 即 可 求 得 顶 点 坐 标；(2)根 据 二 次 函 数 的 性 质 判 断 即 可；(3)设 M、N 的 横 坐 标 分 别 为 xi、r,则 可、X2是 方 程,+4x=加 的 两 个 根，根 据 根 与 系 数 的 关 系 得 到 xi+JC2=-4,xxi=-m,由 M N W 5,则(X I-X2)2W25,所 以(xi+x2)2-4x1X2W 25,即 16+4”?W 25,解 得 即 可.【解 答】解：(1),抛 物 线 y=“7+bx经 过 点 4(-4
28、,0),B(1,5),4b=0,解 得 卜=1,la+b=5 I b=4.,.抛 物 线 为 y=7+4x,.，y=/+4x=(x+2)2-4,抛 物 线 的 顶 点 坐 标 为(-2,-4)；(2)I抛 物 线 为 y=f+4x的 对 称 轴 为 直 线 x=-2,且 开 口 向 上，.当 x-6,当-6xo和；当 xo22时，则 cWyo；(3)设 M、N 的 横 坐 标 分 别 为 x、xi,.直 线 与 抛 物 线 交 于 M、N 两 点，(M、N 两 点 不 重 合)，.X I.X2是 方 程/+4工=7的 两 个 根，-*.xi+x2=-4,xx2=m,:.(XI-X2)2W25,
29、:.(xi+x2)2-4XIA2W25,即 16+4m 25,解 得 4.抛 物 线 的 顶 点 坐 标 为(-2,-4),.函 数 的 最 小 值 为-4,-4 V/MW247.(2022姜 堰 区 二 模)设 一 次 函 数 yi=2x+?+和 二 次 函 数”=x(2x+机)+.(1)求 证：yi,”的 图 象 必 有 交 点；(2)若 20,yi,”的 图 象 交 于 点 A(xi,。)、B(短，b),其 中 xi x2,设 C(%3,b)为”图 象 上 一 点，且 X3WX2,求 犬 3-xi的 值；(3)在(2)的 条 件 下，如 果 存 在 点。(xi+2,c)在 中 的 图 象
30、 上，且。,c,求 机 的 取 值 范 围.【分 析】(1)证 明 yi=时，方 程 2x+?+=x(2x+tn)+有 解，进 而 转 化 证 明 一 元 二 次 方 程 的 根 的 判 别 式 非 负 便 可；(2)由 yi=，求 出 XI与 X2,进 而 求 得 分，由 6 的 值，求 得 X3的 值，进 而 得 X3-X1的 值；(3)把 点 A(xi,a)、点、D(xi+2,c)代 入 y2=x(2x+m)+/?,根 据。(:得 加(2x+m)+n-2(xi+2)2-m(xi+2)-n0,化 简 得 4xi+4+mV0,由(2)得 加=-皿，代 入 求 2解 即 可.【解 答】(1)证
31、 明：当 yi=y2 时，得 2x+?+=x(2x+/zz)+，化 简 为：2，+(/?-2)x-/n=0=Cm-2)2+8/n=(.m+2)20,.二 方 程 2x+/n+=x(2x+m)+有 解，丁,的 图 象 必 有 交 点;(2)解：当 yi=y2 时，2x+m+=x(2x+/n)+，化 简 为：2/+(/7 t-2)x-6=0,(2x+M(x-1)=0,.,加 0,X Axi=,X2=l,2.二=2+?+，当 y=2+m+时，y2=x(2x+M+=2+m+，化 简 为：-m-2=0,27-2+mx-m=Of2(x+1)(x-1)+m(x-1)=0,(2 X+J刀+2)(x-1)=0,
32、解 得，x=l(等 于 X2),或 x=_1 rL_22口=_nr22(-a)=-1；2 2(3)解：:点 D(xi+2,c)在”的 图 象 上,，c=(xi+2)2(xi+2)+m+n=2(xi+2)2+m(xi+2)+n.点 A(xi,。)在”的 图 象 上，*.a=x(2叫+m)+n.u：ac,:.c i-c0,/.xi(2xi+/?)+-2(xi+2)2-m(xi+2)-n0,化 简 得 4x i+4+/n 0,由(2)得 x i=-典，2.,.4X(-旦)+4+，V0,2-2nz+4+n?0,-/?+44,m的 取 值 范 围 为 m4.8.(2022西 城 区 校 级 模 拟)已
33、知 抛 物 线 y=/-4e+4%2-i.(1)求 此 抛 物 线 的 顶 点 的 坐 标；(2)若 直 线 y=与 该 抛 物 线 交 于 点 4、B,月 一 A B=4,求 的 值；(3)若 这 条 抛 物 线 经 过 点 尸(2m+l,yi),Q(2m-t,*),且 y i*,求 f的 取 值 范 围.【分 析】(1)将 二 次 函 数 解 析 式 化 为 顶 点 式 求 解.(2)由 二 次 函 数 的 对 称 性 及 A 8=4 可 得 点 A,8 坐 标，进 而 求 解.(3)由 点 P 坐 标 及 抛 物 线 对 称 轴 可 得 点 P 关 于 对 称 轴 的 对 称 点 P 坐
34、 标，由 抛 物 线 开 口 向 下 可 求 解.【解 答】解：(1).1=/-4mx+4m-(x-2m)2-1,.抛 物 线 顶 点 坐 标 为(2m-1).(2).点 A,8 关 于 抛 物 线 对 称 轴 对 称，A B=4,对 称 轴 为 直 线 x=2机，抛 物 线 经 过(2+2,n),(2m-2.n),将(2执+2,n)代 入 y=(x-2，)2-1 得”=22-1=3.(3)点 P(2/n+l,y i)关 于 抛 物 线 对 称 轴 的 对 称 点 P坐 标 为(2m-1,y i),:抛 物 线 开 口 向 上，二 当 2切-f 2，+l 或 2/n-1 时，且 yi=)，1-
35、，可 得 2,为 方 程 a/+(%-1)x+2=0的 两 个 根，由 一 元 二 次 方 程 根 与 系 数 的 关 系 进 行 证 明.【解 答】解：(1)将 x=-1和 x=2 分 别 代 入”=x+l得”=0,”=3,，抛 物 线 经 过(-1,0),(2,3),.(a-b+3=0I 4a+2b+3=3解 得 卜=T,lb=2.*.yi=-/+2x+3.；抛 物 线 y i=-/+2 x+3 开 口 向 下，抛 物 线 与 直 线 交 点 坐 标 为(-1,0),(2,3),/.-1VXV 2 时，y i)2.(2)y=yi-y2=cvr+bx+3-(x+1)=/+(b-1)x+2,时
36、，(力-i)m+2,时，N=a ir+(Z?-1)+2,二 z,为 方 程/+(/?-1)x+2=0的 两 个 根，由 一 元 二 次 方 程 根 与 系 数 的 关 系 可 得 m+n=-亘 2=1,aaf a+b=1.10.(2022路 桥 区 一 模)在 平 面 直 角 坐 标 系 中，已 知 二 次 函 数 y=/-(川+2)x+m(m 是 常 数).(1)求 证：不 论 加 取 何 值，该 二 次 函 数 的 图 象 与 x 轴 总 有 两 个 交 点；(2)若 点 A(2m+l,7)在 该 二 次 函 数 的 图 象 上，求 该 二 次 函 数 的 解 析 式；(3)在(2)的 条
37、 件 下，若 抛 物 线 y=7-(加+2)x+m与 直 线 y=x+t(r是 常 数)在 第 四 象 限 内 有 两 个 交 点，请 直 接 写 出，的 取 值 范 围.【分 析】(1)由=/-4ac0证 明.(2)将 点 A 坐 标 代 入 解 析 式 求 解.(3)分 类 讨 论，通 过 数 形 结 合 求 解.【解 答】解：(1)令(优+2)x+/n=(),则=(?+2)2-4/n=/n2+40,方 程(?+2)1+m=0 有 两 个 不 相 等 实 数 根，二 次 函 数 的 图 象 与 x 轴 总 有 两 个 交 点.(2)将(2 m+1,7)代 入 y=/-(m+2)x+m 得
38、7=(2 m+1)2-(6+2)(2加+1)+加，解 得 m=2 或 m=-2,当 2=2 时，y=/-4x+2,当 m=-2 时，y=x2-2.(3)当 m=2 时，y=j r-4x+2,令 x2-4x+2=0,解 得 xi=2+&,X2=2-V2，抛 物 线 与 工 轴 交 点 坐 标 为(2+&,0),(2-&,0),如 图，当 直 线 y=x+r经 过(2+J5，0)时，2+J万+r=0,解 得/=-2-历，当 直 线 y=x+t 与 抛 物 线 y=x2-4x+2只 有 1 个 公 共 点 时，令 x2-4x+2=x+f,整 理 得 了-5x+2 7=0,贝 I A=52-4(2-r
39、)=17+4/=0,同 理，当?=-2 时，y=x2-2,将 x=0 代 入 y=x2-2 得 y=-2,抛 物 线 经 过（0,-2）,将（0,-2）代 入 得 f=-2,令 f-2=x+f,由=1-4（-2-z）=0 可 得 r=-9,4-2满 足 题 意.4综 上 所 述，-J l v y-2-&或-2 f=/-2 妹+川-2 与 直 线 x=-2交 于 点 P.（1）若 抛 物 线 经 过（-1,-2）时，求 抛 物 线 解 析 式；（2）设 P 点 的 纵 坐 标 为,当 切 取 最 小 值 时，抛 物 线 上 有 两 点（加，yi）,（立，y2）,且 X I X2 W-2,比 较
40、yi与”的 大 小；（3）若 线 段 AB 两 端 点 坐 标 分 别 是 4（0,2）,B（2,2）,当 抛 物 线 与 线 段 AB 有 公 共 点 时，直 接 写 出，的 取 值 范 围.【分 析】将（-1,-2）代 入 解 析 式 求 解.（2）将 x=-2代 入 解 析 式 求 出 点 P 纵 坐 标，通 过 配 方 可 得 切 取 最 小 值 时?的 值，再 将 二 次 函 数 解 析 式 化 为 顶 点 式 求 解.（3）分 别 将 点 4,B 坐 标 代 入 解 析 式 求 解.【解 答】解：（1）将（-1,-2）代 入 旷=7-2 加 什 苏-2得-2=1+2?+#-2,解
41、得，”=-1,；.y=/+2x-1.(2)将 x=-2 代 入 y=/-l i nx+rn1-2 得 yp=nr+4m+2=(m+2)2-2,.,.加=-2 时，加 取 最 小 值，y=/+4 x+2=(x+2)2-2,x V-2 时，y 随 犬 增 大 而 减 小，V x iy2.(3)V y=x2-2/wc+in2-2=(x-m)2-2,抛 物 线 顶 点 坐 标 为(协-2),抛 物 线 随 m值 的 变 化 而 左 右 平 移，将(0,2)代 入=7-2 的+渥-2得 旭 2-2=2,解 得 m=2 或 m=-2,将(2,2)代 入 y=f-2/H X+/7 72-2 得 2=4-4m
42、+m2-2,解 得 m=0 或 7 7 7=4,-2 m W 0时，抛 物 线 对 称 轴 在 点 4 左 侧，抛 物 线 与 线 段 A 8有 交 点，2W/nW4时，抛 物 线 对 称 轴 在 点 A 右 侧，抛 物 线 与 线 段 A 8有 交 点.-2 A W W0 或 2 加 4.12.(2022富 阳 区 一 模)已 知 抛 物 线 y=a(x-1)(x-&).a(1)若 抛 物 线 过 点(2,1),求 抛 物 线 的 解 析 式；(2)若 该 抛 物 线 上 任 意 不 同 两 点 M(xi,yi)、N(X2,”)都 满 足：当 x i x 2 0；当 0 xi x2 时，(x
43、i-双)(yi-y i)0,试 判 断 点(2,-9)在 不 在 此 抛 物 线 上；(3)抛 物 线 上 有 两 点 E(0,)、F C b,机)，当 b W-2 时，机 恒 成 立，试 求 a 的 取 值 范 围.【分 析】(I)将(2,I)代 入 函 数 解 析 式 求 解.(2)由 当 xi x2 1-J2)0；当 0 X I2)0,可 得 抛 物 线 对 称 轴 为 y 轴，从 而 可 得 a 的 值，然 后 将 x=2代 入 解 析 式 判 断.(3)由 匕 W-2 时，/nW 恒 成 立，可 得 抛 物 线 开 口 向 下，求 出 点 E关 于 对 称 轴 对 称 的 点 坐 标
44、，列 不 等 式 求 解.【解 答】解：(1)将(2,1)代 入 y=a(x-1)(x-旦)得 l=a(2-3),a a解 得 a=2,：.y=2(x-1)(x-g).2(2)(x-1)(x-S),a.抛 物 线 与 x 轴 交 点 坐 标 为(1,0),(3,0).a1总.抛 物 线 对 称 轴 为 直 线 x=一 生，2时，Cxi-JC2)(yi-y 2)0,0 xi%2 时，(xi-xz)(yi-,y2)0,抛 物 线 对 称 轴 为 值 x=0,即 1+=0,a解 得 a=-3,.,.y=-3(x-1)(x+1),将 x=2 代 入 y=-3(x-1)(x+1)得 y=-9,点(2,-
45、9)在 抛 物 线 上.(3).抛 物 线 对 称 轴 为 直 线、=一 生，2二 点 E(0,M)关 于 对 称 轴 对 称 的 点 E(1+3,)，a 当 6 W-2 时，m W 恒 成 立，抛 物 线 开 口 向 下，即。以=90,PD=PA.(i)若 点。在 抛 物 线 上，求 点。的 坐 标；()点 E(2,-互)在 抛 物 线 上，连 接 PE,当 PE平 分/4 P O 时，求 出 点 P 的 坐 标.3【分 析】(I)将 点 A(0,-2)代 入 y=a(x+3)(x-4),即 可 求 解；(II)(i)设 P(f,0),分 两 种 情 况 讨 论：当 D 点 在 点 P 右
46、侧 时，过 点 D 作 DN L x 轴 交 于 点 M 通 过 证 明(A4S),可 得 D G+2,-t),再 将 O 点 代 入 二 次 函 数 解 析 式 求 出，的 值，从 而 求 出。的 坐 标；当 点。在 点 尸 的 左 侧 时，同 理 可 得。(2,r)，再 将 O 点 代 入 二 次 函 数 解 析 式 求 出 r的 值，即 可 求 解；(”)分 两 种 情 况 讨 论：当 力 点 在 x 轴 下 方 时，当 PE y轴 时，NOAP=45,P(2,0)；当。点 在 x轴 上 方 时，过 A 点 作 A G,必 交 PE于 点 G,过 G 点 作 FG_Lx轴，交 于 点 尸
47、，可 证 明 GAFgaAPO(AAS),从 而 得 到 GF=2,则 E 点 与 G 点 重 合，OP=AF=OA-0 F=2-求 出 尸(-1，0).3 3 3【解 答】解：(I)将 点 A(0,-2)代 入 y=”(x+3)(x-4),得-1267=-2,.*.y=A(x+3)(x-4)=-lW-L-2,6 6 6鲁 顶 点 为（工,2-49),24(II)(i)令 a(x+3)(x-4)=0,解 得 x=4或 x=-3,：.B(4,0),设 P(t,0),如 图 1,当。点 在 点 P 右 侧 时，过 点 D 作 D N x轴 交 于 点 N,；/”。=90,：.ZO PA+ZN P
48、D=90,ZO R+ZO A P=90,/.N N P D=O AP,:A P N D 叁 AAOP(AAS),：.O P=N D,AO=PN,D(l+2,t)9(r+5)(t-2)=-t,6解 得 f=l或/=-10,：.D(3,-I)或(-8,10)；当 点。在 点 P 的 左 侧 时，同 理 可 得。(L 2,f),1=工(r-2+3)(/-2-4),6解 得 右 但 恒，2.n(7-VI45 11W145 x LJ V-，-)1711+V145 y2综 上 所 述：。点 坐 标 为（3,-1）或（-8,10）或（2川 1斗 5一,1 1 3工 452 2 211W145 I-G i）如
49、 图 2,当。点 在 x 轴 下 方 时，：PE 平 分 NAP。，NAPE=NEPD,V ZAPD=90,，NAPE=45,当 PE y 轴 时，NOAP=45,：.P（2,0）；如 图 3,当。点 在 x 轴 上 方 时，过 A 点 作 4G_L用 交 PE于 点 G,过 G 点 作 尸 G_Lx轴,交 于 点 凡 V ZB 4F+ZM G=90,/必 G+/GA=90,：.ZPA F=ZFG A,平 分 NAP。，NAPO=90,ZAPE=ZEPD=450=ZAG P,；AP=AG,.,.GAFAAPO（AAS）,：.AF=OP,FG=OA,：OA=2,：.G F=2,：E（2,-金），
50、3点 与 G 点 重 合，：.OP=AF=OA-OF=2-5=，3 3：.P（-，0）；3综 上 所 述：P 点 坐 标 为（2,0）或（-工，0）.314.（2022长 春 模 拟）在 平 面 直 角 坐 标 系 中，已 知 抛 物 线 y=7+fev+c（6、c 是 常 数）经 过 点（0,-1）和（2,7）,点 4 在 这 个 抛 物 线 上，设 点 A 的 横 坐 标 为 近（1）求 此 抛 物 线 对 应 的 函 数 表 达 式 并 写 出 顶 点 C 的 坐 标.（2）点 8 在 这 个 抛 物 线 上（点 B 在 点 A 的 左 侧），点 8 的 横 坐 标 为-1-2,.当 A