《2023届高中数学大题二轮复习第13讲极径的几何意义-解析版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届高中数学大题二轮复习第13讲极径的几何意义-解析版.pdf（19页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第13讲 极 径。的几何意义（1）仰角和俯角.在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，在水平线下方的角叫作俯角（图45.1）.（2）方位角.从正北方向线顺时针转到目标方向线形成的角叫作方位角（如图45.2所示,8点的方位角为a）.该题型考查正弦定理和余弦定理在解决实际问题中的应用;考查对实际问题的理解能力与运算求解能力;考查数形结合思想、函数与方程思想以及转化与化归思想;考查的核心素养是数学运算与数学建模.对 于 极 坐 标 来 说，我 们 需 要 重 点 记 住 极 坐 标 和 直 角 坐 标 的 互 化 公 式,x=pcos02 2 2p-=x+yy 二夕 sin。tan
2、6 =(xO)x极坐标相关题目的核心在于理解极径的几何意义，即圆雉曲线上的点A到极点的距离，必 这 也 是 极 坐 标 的 一 个 重 要 用 途，即用来解决与极点相关的两类问题.1.线段长度问题:q=|。4|,|的=|。4卜|训=以一必卜2.面积问题:5.=3|。4|。刈”缶4。3=（幺.0,11（同-闱）.线段相减求值【例1】在平面直角坐标系中，以坐标原点。为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线/的参数方程为 广（其 中，为参数），曲线a：、y=12+J 3f y=2（l+cos）（其中0为参数）.（1）求直线/及曲线G的极坐标方程.若曲线G：e=g（R）与直线/和曲线G分别交于异于
3、极点的A B两点，求|AB|的值.x=2t【解析】（1）直线/的参数方程为 l （其中，为参数），消去参数f得直线/的y=12+V3Z一般方程:g x -2y+24=0,直线/的极坐标方程为G/TCOS。-2psin。+24=0.曲线G 7cos9）（其中。为参数）消去参数。得曲线G的标准方程:J+（y 2）2=4,曲线G的极坐标方程为夕=4sin/（2）将。（分别代入 V3pcos 0-2 夕s in。+24=0 和 0=4sin 0.得必=16A/3，X?B=2/3.:.AB=pA-pB=6y/3-2G卜 14K.【例2】在 直 角 坐 标 系，中，已知曲线G的方程为/+：/-2彳=0,以
4、原点。为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,在极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为，3p=-厂.l+2sin6（1）求曲线G的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程.设射线e=看（0。）与曲线G和曲线G依次相交于A B两点，求|明 的值.【解析】（1）当以原点。为极点,X轴的正半轴为极轴,。为极角时，根据直角坐标与极坐标的互化公式，则有 p1=x2+y2,x=pcos0,y=psi nff,G的直角坐标方程为一+/一21=0,等价于极坐标方程为22夕cos6=0,即曲线G的极坐标方程为夕=2cos6.曲线G的极坐标方程为p2=,即l+2sinep2+222siMe=3,整理得f +32=3.曲线G
5、的直角坐标方程为1+V=1.（2）射线e=乙（夕。）与曲线G和曲线C,依次相交于A,B两点，6根据题意作出如下图所示图像，即射线为。4,/%。4=工，结合图像知q=0或6PA-2cos =V3,6在。2 +2p2sin2=3 上,贝1J0；(l+2sin2 f=3,即得沅(l+g)=3,沅=2,必=夜,.|舫|=及或|钻|=6-夜.线段相加求值 例1在平面直角坐标系X。），中，以坐标原点。为极点,X轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为夕=2cose.,设A B为曲线。上的两点，且ZAOB=2，求+|。8|的最大值.【解析】不妨设A的坐标为（月,。）,3的坐标为（2，。+5）则
6、P=2 c o s。,夕2 -2 c o s（e +q）,/.|O A|+O E=p+p=2 c o s 6+2 c o s 。=c o s。一 G s i n 0 -2A/5COS（6+F.当6 +工=2 2乃，即6 =2左力一二次Z时,6 6|。4|+1 0邳存在最大值，最大值是2月.x =l +c o s 6 z【例2】在平面直角坐标系x O y中，曲线。的参数方程为 广 （其中a为y=v 3 +s i na参数），以坐标原点。为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系，直线/的极坐标方程为6 =4（夕eR）.（1）求曲线C的极坐标方程.当 心 信 时，设直线/与曲线c相交于M,N两点，求
7、Q M+|Q V|的取值范围。x =1 +c o s a【解析】（1）曲线。的参数方程为 广 （其中a为参数），y=，3 +s i na消去参数a得（x-1产+（y-6）2 =1,即 x2+y2-2 x-2 6 y+3 =0,x=pcosff,y=p s i ng,p1=x1+y2,/.p1-2 0 c o s。-2 G p s i n6 +3 =0.二曲线。的极坐标方程为X?2 -2os6-2G/?sine+3=0.将。=为代入曲线C 的极坐标方程，得夕2 -2pcosq 2Gpsinq+3=0.设点点N（A，4），则根据二元一次方形根与系数的关系得P+Pz=2cos 4+2Gsin%.+|
8、O 7 V|=自 +P，=2cos4+zGsin%=4sin 4+看）.：.OM+ON的取值范围为(2石,4.线段相乘求值【例 1】在直角坐标系X0V中，曲线C的参数方程是1 1x=+cosa4 1 （其中。为参y/3 1 .y=-F sina-4 2数),以原点。为极点,X轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程.在曲线C 上取一点M，直线O M绕极点。逆时针旋转工,交曲线。于点N,求3|0 卜|0叫的最大值.1 1【解析】（1）根据参数方程X=-1-C0S6Z4 2Y+:n a4 2（a 为参数），消去a 得曲线。的直角坐标 方 程:八 丁 一 步 亭.C的极坐标方程为P=
9、日sinO+gcosd,即 0=sin(e+看71).6(2)设M+0,p2 0,ee0,2),、OM-ON=pp2则/L717171sin +-sin 6+-+-Usin 6+生 cos，sin6?+cos|cos2 J6)=也-T.c 八 1 c 八 1 1 八 7 T 1sir128 H COS26H=一 ,sin 2。-1 H 7C6 3)44 26614二当6=看时,|。叫.|0叫取得最大值，最大值为【例 2】在平面直角坐标系H）y中，曲线q 的方程为f +y2=2y,以原点。为极点,x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴，建 立 极 坐 标 系，曲 线。2 的 极 坐 标 方 程 为P
10、=1(Z 3 吟 -cos。-22cos2。=1,其中。G71 71即 xy-x2=1 (x 0),W y=x+(x 0),x.G的直角坐标方程为y=x+kx o)-X1 由 题 及 题 设 条 件 知，=sinacosa-cos%,|0N|=2sina,其中a 7t 7t4sin%sinacoso-cos%4tan%A 1-，令f=tana-l.tana-I.|OM|2 .|ON 二.tana I./.r0.OM|2-|ON|2=4 +D=4(+824 x 2，I+8=1 6.t t)V ，a 当且仅当t=l,即tana=2时，等号成立.的最小值为4线段相除求值【例1】在平面直角坐标系x 0
11、 y中，曲线C的参数方程为*=8S。（其中0为参y=sn（p数）,在以坐标原点。为极点,工轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线/的极坐标方程为 p s i n+=2丘-（1）求曲线C的极坐标方程和直线/的直角坐标方程.若射线。=a（0e,2,p c o s 0 =x,ps m0-y 得曲线 C 的极坐标方程为 p1-2/?c o s 6，即0 =2 c o s。.直线/的极坐标方程为p s i n+工1=2加,p s i n6,c o s +c o s s i n|=2垃.I 4 4jp s i n 0 +pcosd=2 2 ,二直线/的直角坐标方程为x+y =4.设点A为9,a),点8为3,a
12、)，则 p、=2COSZ,/72=2V2sin(a+|OB2cosasin +I 42V22cosasin a+2I 4 J _ sinacosa+cos a2及 2二 一 sin 2a+cos2a+4 4 4 sm4(2a+-l 4 J1+-.4I c 7C乙 日 乃 c 71 5万由 0 av 一得一v2a+,2 4 4 4二.一 sin(2c+().设 点 A 为 g*），点 8 为（2,尸），将 点 A 代 入 曲 线。的极坐标方程得p、=4cos 夕将点B 代入直线/的极坐标方程得p2（cos/?+V3sin/7）=12,.12cos 6+&sin 夕 3|(9 A|_ 3p _ 1
13、2cos/?画 二 五 二 一12cos/?+V3sinV3sin4-coscos=sincosyff+cos2=sin2yff+l+cos22.C A 乃 1sin 2尸+一、6 J 2 2 c 兀 7i c c 兀 77r0 B 一,一 2/?H 2 一 2 y=().以原点。为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线/:6 =。(夕Q)与曲线G，G分别交于点A3(均异于极点0).(1)求曲线C 1,G的极坐标方程.(2)当0夕 2 y=ps m0得曲线G的极坐标方程为d=石 盆.曲线。2 ：犬+V 一2 y=0,得曲线的极坐标方程为p=2 s i n8.设点A8对应的极径分别为g,0.
14、联立。=e(220)与曲线G的极坐标方程得1。*2=P；=+s,n2a，联立夕=2 0)与。2的极坐标方程得IOB=P；=4 s i n2 a.|O A|2+OB=+4 s i n 2 2=11 l +s i n-a-乂i 4(l +s i n2 a)-4.1 +s i n2 a v 70 ,/.1 1 +s i n2o r 。，夕 2 0,-/2cosH 71 +2.4j-0 ,：.7t 16 7t.2 23兀 八 八 兀 5%-20+/3 xsin-x2x2/3 xsin 5/3.2 6 2 6【例3】在平面直角坐标系元O y中，直线/的方程为y=百二圆G的参数方程为/=CS。(其中0为参
15、数).以原点。为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,y=l+sin圆C2的极坐标方程为 =4cos。.(1)求弓的极坐标方程.(2)设直线/与圆J,C2异于极点的交点分别是M,N，求C2M N的面积.【解析】（1）（其中。为参数）得 ）;了 霓 消 去 卬 得y =l +s i n o【y i s m（px2+（y-l）2=l,即*2+y 2 _2y =0./x2+y2=q?,y =Qs i n g,.圆G的极坐标方程为O =2s i n。（2）直线/的斜率为若，即倾斜角为q,.其极坐标方程为6 =e R）.设点M（月,e）,点N（2,。），夕=2s i n 6由 兀得0 13p.-2s i n =/3,3 OM=p.p =4c os。又由 冗得0 I 3p、-4c os =2,3即|。叫=2.由G的极坐标方程得圆心G（2,。）,-s.c2N=2ON-sin=x 2 x -x p2=y/3,S O2M=2OM-sin=x 2 x -xPl=1.q q _ qu X2M N 一 0.Q?N D -Q 2 M .CMN的面积为6 一方