《2023届广西高三上学期开学摸底考试数学（理）试题（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届广西高三上学期开学摸底考试数学（理）试题（解析版）.pdf（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023届广西高三上学期开学摸底考试数学（理）试题一、单选题1.设集合M=5,X2,N=5x,5 .若M=N,则实数x 的值组成的集合为（）A.5 B.1 C.0,5 D.0,1【答案】C【分析】利用集合相等求解.【详解】解：因为=N,所以2 =5x,解得尤=0 或5,x 的取值集合为。,5,故选：C2.若复数z=2i（l-4 4bw R）的实部与虚部相等，则 6 的 值 为（）A.-2 B.-1 C.I D.2【答案】C【分析】先利用复数乘法公式得到z=+2 i,进 而 得 到%=2,从而得解.【详解】z=2i（l-5）=2 +2 i,因为实部与虚部相等，故4=2,解得：b=l.故选：C.3
2、.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两种商品连续10天的销售数据，则下列说法错误的是（）甲7 6 49 8 3 3 16 3891 01 1乙85 7 8 81 2 3 62A.乙销售数据的极差为24C.乙销售数据的均值比甲大B.甲销售数据的众数为93D.甲销售数据的中位数为92【答案】D【分析】根据茎叶图中数据逐项分析即可判断.【详解】乙销售数据的极差是1128 8=2 4,故 A 正确;甲销售数据的众数为9 3,故 B 正确；甲销售数据的均值为(80 x3+90 x5+100 x2+7+6+4+9+8+3+3+1+6+3)x=94,乙销售数据的均值为(80+90 x4+100 x4+110+8+
3、5+7+8+8+1+2+3+6+2)x =100,.乙销售数据的均值比甲大，故C正确；甲销售数据的中位数为9 3,故D错误.故选：D.4.阅读下面的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为()A.15 B.105 C.245 D.945【答案】B【详解】试题分析：采用列举法列出运算各步结果S=覃=1 T=3,S=lx3=3,i=2-T=5,S=3x5=15=3-T=7,S=15x7=105,i=4,结束算法，输出S=1 0 5,故选B.【解析】算法与程序框图.x-y 05.在区域x+y43内任取一点P(x,y),则满足x+2的概率为()y0【答案】A【分析】根据题意，作出可行域的约束的平面区域，
4、再结合几何概型求解即可.x-y 0【详解】解：画出区域。：，x +)，W 3,如 图(图 中 及 内 部),y 0区域内满足x +y 2 2的区域为图中四边形A B O C的内部及边界，且O C =2,0A =3,C D I I A B,所以AOCD与AOAB相似，所以AOCD故所求概率p=S y 应 =OAB 故选:A.6 .己知函数x)=s i n(2 x +9)(0 e/J,若把/(x)的图像向左平移2个单位后为偶函数，则夕=()71 0 冗 分 5 4 乃A.B.C.D.6 3 1 2 3【答案】D【分析】根据左右平移原则可得g(x)解析式，根据奇偶性可得 +9 =1 +版(Ze Z)
5、,o 2结合夕的范围可求得结果.【详解】由题意得：g(x)=/(x+2 =s i n j 2 x +e).；g(x)为偶函数，.g +*=g +A 乃(A e Z),解得：Q =f +Z;r(A e Z).6 2 3,*0 6 0,所以/(*)=0 有两个不同的实数解不),且由根与系数的关系得用+%=-告，x,x2=-1,由题意可得N-司=(%+/)2 _ 4 卒 2 =解得 0,止 匕 时 f(x)=x3 x f fx)=3 x2-1,当-8,X G ,4-0 0 时，f(x)0 ,/(X)单调递增，V J (c m当 时，/(x)。，f(x)单调递减，I 3 3)故当x=-时，/(*)取得
6、极大值挛.3 9故选：B.9.函数f(x)=-一J在区间 一乃，乃 上的图像大致为()C OSX+X【分析】利用f(x)的奇偶性和函数值的特点可选出答案.6Hc o s(-x)+(-x)4【详解】因为f(-x)=|x|_T=f(x,所以/(x)为偶函数，其图c o s x+x像关于y轴对称，排除A项；当x=/时，f=-一 =-0,排除D项；C O S 7 T+%71-1因为e -1 +34=8 0,所以)1,排除 C 项,故选：B.2 21 0.已知双曲线C:0-方=1(0力0)的右焦点 为 凡 直线尸 丘(b 0)与双曲线C交于A,B两点，若N AF B=9 0。，且O AF的面积为4 aZ
7、,则双曲线C的离心率为()A.亚 B.叵 C.2 D.35 5【答案】D【分析】不妨设A 在第一象限，设 耳是双曲线的左焦点，显然4,8 关于原点对称，因此4月8尸是平行四边形，又NA F B=9 0。,所 以 尸 是 矩 形，由CMF的面积可得|A片|AF|=1 6/,再由双曲线的定义得|A耳|一|AF|=2 4,两者结合可得|4用2+|A/f,由勾股定理得“，c 关系，从而得离心率.【详解】如图，不妨设A在第一象限，设 K 是双曲线的左焦点，显然A 8 关于原点对称,因 此 必 8厂是平行四边形,又 NAEB=90。，所以 是矩形，5,=S,A F ()/(),可知原不等式等价于(ina-
8、a+l)+(ln人 一 人+1)20,再令g(x)=ln x-x+l,则原不等式等价于g(a)+gR)N0；再利用导数求出函数g(x)单调性，进而可得g(x)W 0,由此可知只有当a=b=l时，即g(a)=g伍)=0时才满足g(a)+g(6)Z 0,据此即可求出。y的值,进而求出结果.【详解】*41nx+21n(2)x2+8y-4(x0,y 0),2ln(x2)4-ln(2y)x2+8j-4,即 ln(x2)+ln(2y)x2-H4y-2In g x21 4y)x2+4y-2,设“=3/,人=4丫(40,60),则有 lnaZ?Na+6-2,H P Ina+In/?；+/?-2,.(ina a
9、+l)+(lnZ?Z?+1)NO,i i _ r令g(%)=ln x-x+l,则/(力=、-=:,当x 0,l)时，g )0,g(x)单调递增；当x e(l,+)时，g x)lx2+4 y-2,再进行换元、构造辅助函数，借助函数的最值和唯一性求解.二、填空题1 3 .已知向量福=(-2,1)/=,3),AB 1 B C，则=.【答案】-1【分析】先求出血的坐标，再 由 通，肥，得 丽 沅=0,列方程可求出，的值【详解】解析：能=-荏=+2，.-.A B-BC =-2(t+2)+2=0,解得t =-1.故答案为：-11 4.设 椭 圆 卫=l(a%0)的左、右焦点分别为用心.已知点M(0,边5与
10、，线段例Ka h-2交椭圆于点P，。为坐标原点.若归。+|助|=2。，则 该 椭 圆 的 离 心 率 为.【答案】g 0.5【分析】由椭圆定义和题干中的归。|+|助|=%可得至小?6 1=口。1，进而得出点P的坐标，代入椭圆方程化简可得到离心率.【详解】根据椭圆定义知|尸闾+|周=2%又.伊。|+归国=勿，二|八|=|PO|,由三角形M。鸟为直角三角形可得点。是M名的中点,F2（C,O）,.-,呜,学），把点P 代入椭圆方程中得故答案为：；.1 5.在平面直角坐标系x Q y 中，直线x-指 y =0 与直线x-0 y=2 被圆V +yJ -（厂 。）截得弦长之比为2:1,则=.【答案】空3【
11、分析】根据点到直线距离公式以及垂径定理可以用，将两直线被圆所截弦长表示出来，再根据题目信息求解，的值【详解】由题意知4=2 r|0-x0-2|,-d,=2 r2-d/-)2 =24-FV 占+后因为4：心=2:1 所 以 福 二=2c c C 4即/=4（产-1）可得r2=-2石r-3故答案为：31 6.如图，四边形ABC。的对角线交点位于四边形的内部,A B=B C =l,A C =CD,AC C D,当 变化时，的最大值为【答案】V 2+1.【分析】设N A B C =a e 0,7）,利用余弦定理表示出AC,B D,根据三角恒等变换化简即可求得最值.【详解】由题设N A 5 C =a8
12、（0,;r）,Z AC8 =,ND C B =1+=%-9，A A B C 中，由余弦定理可得：A C =yjAB2+B C2-2AB-BCcosd=/2-2cos(9 DBC 中，由余弦定理可得：B D =C D2+B C2-2 C D-BCcos=J 2 2 cos。+1+22 2 cos 0 cos =J二3 a A.。0-2 cos +4 s m cos V 2 2=j3-2cos 6 +2s in。=j +2 夜 s in,-；),当。弓 时，取 得 最 大 值 再 运=1 +&故答案为：/2 +1【点睛】此题考查利用余弦定理求解三角形边长的最值，关键在于合理使用定理，结合三角恒等变
13、换，求线段的最值.三、解答题1 7.设数列%的前 项和为S ,若q=l,S“=%+|-l(1)求数列%的通项公式;设b.=,求数列也 的前项和刀,.an+【答案】%=2 T(eN*)；(2)T.=2 一 噤.I Sn,n=1【分析】(1)根据 、.及等比数列的定义即可求得答案；(2)由错位相减法即可求得答案.【详解】因为q=l，S“=%T-l.所 以 =一 1,解得%=2.当“2 2 时，S,i=a.T，所以4,=S“-S“T=4,+1-”“，所以2。“=见+1,即 乎=2.因为，=2 也满足上式，所以 q 是首项为1,公比为2 的等比数列，所以4=2 T(eN).由 知“向=2 ,所以4=,
14、所以 X4+2 x(|+3佃+x|L+2X(|+5 -1)x(5+展)所以1,=2-畏1 8.每年的4 月 2 3 日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”，为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了 1000名高一学生进行在线调查，得到了这1000名学生的日平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成 0,2,(2,4 ,(4,6 ,(6,8 ,(8,10,(10,12,(12,14,(14,16,(16,18九组,绘制成如图所示的频率分布直方图.(2)为进一步了解这1000名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(8,
15、10,(10,12两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了 10人,现从这10人中随机抽取3 人，记日平均阅读时间在(10,12内的学生人数为X,求 X 的分布列和数学期望.【答案】(1)。=0.10(2)分布列见解析，E(X)=(【分析】（1）根据所以频率和为1进行计算;（2）根据分层抽样可得相应组抽取的人数，则 X 服从超几何分布，根据P（X =k）=爷 一,k =0,1,2,3进行计算求解.J o【详解】（1）由频率分布直方图得：2（0.0 2 +0.0 3+0.0 5 +0.0 5 +0.15+4 +0.0 5 +0.0 4 +0.0 1）=1.解得 a =0.10；（2）由频率分布直
16、方图得：这 10 0 0 名学生中日平均阅读时间在（8,10 ,（10,12 两组内的学生人数之比为0.15:0.1=3:2,若采用分层抽样的方法抽取了 10 人，则从日平均阅读时间在（8,10 内的学生中抽取3-xl 0 =6 （人）在日平均阅读时间在（10,12 内的学生中抽取4人，现从这10 人中随机拍取3 人，则 X 服从超几何分布，其可能取值为0，1.2,3,唳=。）噫嗡4P（x=D=等假2P（X =2）=工 a=,P（X=3）=-=7 C：o 12 0 10 1 7 C；0 12 0 30工X 的分布列为:X0123P623T o130113 1E（X）=0 x+l x+2 x +
17、3x 6 2 10 306519.如图，在四棱锥P-A 8 C。中，平面A 8 C O,四边形A B C O 是菱形，A C =2,BD=2y 3,E是 P B 上任意一点.p 求证：AC_LOE；（2）已知二面角A-依-。的 余 弦 值 为 巫，若E为PB的中点，求EC与平面附8所成5角的正弦值.【答案】（1）证明见解析叵5【分析】（1）先证明AC_L平面PB。，再证明4CJ_QE；（2）建立空间直角坐标系，运用空间向量计算线面夹角.【详解】（1）证明：；PDJL平面 ABC。，ACu平面ABC。，.PZ）_LAC,又四边形 ABC。是菱形，3_LAC,BDPD=D,4（?_1平面P8。，又
18、 u平面 P8D A ACDE；（2）分别以OA,OB,0E方向为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设=则A（l,0,0）,8（0,班,0）,C（-l,0,0）,。，。/P（0,-V3,/）.丽=（-1,-同丽=（-1,0）；由(1)知平面尸 8。的法向量为片=(1,0,0),令 平 面 的 法 向 量 为“=(x,y,z),则根据，眄。得n2A P=0-x +/3y=0-x-6 y +fz=0令 x=/3 得%=V5,L因为二面角A-P 3-Z)的 余 弦 值 为 叵，5则松(屋 砌=半 ，./=2石，尸(0，-6,2 月,设直线EC与平面物8 所成的角为。，V EC=(-1,0-7 3),石
19、=(6,1,1),sin 0-|cos EC,，综上，直线EC与平面以8 所 成 的 角 的 正 弦 值 为 叵.52 0.已知抛物线的顶点在原点，焦点为尸(2,0),过焦点且斜率为火的直线交抛物线于 P，Q 两点，(1)求抛物线方程；(2)若|闭=2|户 曼 ,求女的值；(3)过点7。,0)作两条互相垂直的直线分别交抛物线E 于 A B,C,O 四点，且 M,N 分别为线段A8,。的中点，求A T W 的面积最小值.【答案】(l)V=8x 2勿(3)16【分析】(1)根据焦点坐标可直接得到抛物线方程；(2)由|用=2|项 可 得 丛=-2,设 PQ：x=J y +2,与抛物线方程联立可得韦达
20、定理的形式，由(产力)=乂 +人+2=-;可构造方程求得万必必 必,匕(3)设 A8:x=y +f,C D.x=-y +t,与抛物线方程联立，结合韦达定理可得中点mM,N 坐标，进而表示出17Ml,|77V|,由S/w v=m 7MH77V|,利用基本不等式可求得最小值.【详解】(I)1抛物线E的顶点在原点，焦点为F(2,0),.抛物线方程为：丁=弘；(2)由题意知：壮0,可设直线尸Q：x =J y +2 ,P(A p y J,Q(x2,y2),K.|印=2|叫，即 卫=一2,1f 8,x =：y +2 2 8.K +M=7由k 得：y-y-16 =0,k,y=8x 必=一16.G +%)：.
21、寸 +2了跖+3=且+&+2 =_：,即一？=一2+2,y 2 XH 必 y k-k-2解得：A-2=8*：.k=2/2:(3)由题意知：直线A 8,C。的斜率均存在，不妨设A B:x =my+f,A(,y),C(,%)，。(七，%)，则 CD:x =-0，即 2M+C0;y =8x乂 +必=8，yty2=-8/,x+x2=m(yl+y2)+2t=8 m2+2t,.iJ MN面积的最小值为16.=162 1.已知函数f(x)=e”+Z s inx-l的图象在原点处的切线方程为y =3 x.(1)求函数y =/(x)的解析式；当XN 0时,求 证:f M 3 x.【答案】/(x)=e，+2 s
22、inx T(2)证明见解析【分析】(1)由/(x)=e*+6 s inx-l,得尸(x)=e +Z?c os x ,再由/(0)=3且/(0)=0列式求得“与的值，则函数解析式可求；(2)将问题转化为证e*+s inx-3 x-12 0,令g(x)=e*+s inx-3 x-l,求其导数，再构造函数利用导数证明g(x)=e，+s inx-3 x-l在xN O时为单调增函数即可.【详解】(1)由/(x)=e i+A i n x-l ,得尸(x)=e +6 c os x,f(0)=e +b =3 5 m/(0)=ef l-l=0，6 7 =0b=2 f(x)=ev+2 s inx-l；(2)证明：
23、要证当xN O时即证当xN O时，ex+2 s inx-3 x-l 0,g(x)=e+2 s inx 3 x-l,则 g x)=e、+2 c os x-3 ,令(x)=e +2 c os x-3 ,则 (x)=e -2 s inx ,令 m(x)=x-s inx,(x 0),则加(x)=1-c osx 0,即加(x)在区间0,+oo)上单调递增，故z(x)2m(0)=0,即当 x N 0 时 x s in x,故 hx)=ex-2 s in x ex-2x；下证e、2 x在区间。+8)上恒成立，设 w(x)=ev-2 x,“(x)=er-2 ,当 x c 0n2)时，(p(x)0,故。(x)在
24、0n2)上单调递减，在(I n2,+8)上为增函数，所以0(x)2 e(ln2)=2-2 1n2 O ,故e*2 x,所以厅(x)0当XN O时恒成立，即当N O时(劝 单调递增,故h(x)=eA+2 c os x-3 /z(0)=0,艮|J g(x)=ex+2 c os x 3 0,所以g(x)=e、+2 s inx-3 x-l在0,+8)上单调递增,故g(%)Ng(O)=O,即当 JVNO时，ev+2 s inx-3 x-l 0,即当xN O时,f(x)3x.【点睛】本题考查了导数的几何意义的应用以及利用导数证明不等式的问题，综合性较强，要能熟练应用导数相关知识判断函数的单调性以及最值，解
25、答的关键是构造函数，判断导数的正负，从而判断函数的单调性.x =-2 +3/2 c os 02 2.在直角坐标系x O y中，曲线。的参数方程为 厂,(。为参数).以坐标原点。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为2p s in(6 +)=4.4(1)求曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程;(2)己知点P的直角坐标为(2,2),直线/与曲线C相交于A,8 两点，求+【答案】(1)曲线C的普通方程为：*+2)2+(-1)2=18；直线/的直角坐标方程为：x+y-4=0 夜【分析】(1)消去参数求解曲线C的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化公式进行求解；(2)写出直线的参
26、数方程，利用f 的几何意义求解|P 4|+|P 8|.x =-2 +3&c os。【详解】(1)因为曲线C的参数方程为 ,为参数)，y=l +3,2 s in，所以曲线C的普通方程为(x +2)2+(y-l)2=18.将 x =p c os 6,y =0s in6 代 入&0s in(e +?)=p c os e +0s in6 =4 ,得直线/的直角坐标方程为x+y-4 =0.f 、夜x=2-1(2)因为直线/的直角坐标方程为x+y-4 =0,所以它的参数方程为，(f 为y=2怎r 2参数)，代入C的直角坐标方程，得(4-争+1+争=1 8,即/_ 3一1 =0.由于 =(-3 0)2+4
27、(),设乙，是上述方程的两实根，则：+/2=3 0，楂=7，又直线/过点P(2,2),格 0【详解】由 x)4 0,得 x+2 机，所以 一，,又/(x)W O 的解集为-3,-1,2=3所以 c ,，解得 7 =1.加一2=1(2)由(1)知 a+A+c=l由柯西不等式得(J3a+1 +J3b+1+J3c+1)2/3+1)2+(y/3b+)2+(V3c+1)2)-(12+12+12),所以“3a+l+J3&+I +(3c+l)2 4(3(a+6+c)+3)x3=18,所以 J3a+1+J36+1+J3c+1 M 3&,当且仅当J3a+1 =y/3b+l =，3c+l,即a=6=c=g 时等号成立.故J3a+1 =y/3b+l =J3c+1的最大值为3亚.