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1、河北省唐山市2020 届高三上学期摸底考试试题数学（理）一选择题（60 分）1.已知集合=|10Ax x，2|20Bx xx，则AB（）A.|0 x xB.|1x xC.1|0 xxD.|12xx【答案】C【解析】【分析】求得集合=|1 Ax x，|02Bxx，再根据集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，集合=|10|1Ax xx x，2|20|02Bx xxxx，所以|01ABxx，故选 C.【点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中正确求解集合,A B是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知p，qR，1i是关于x的方程20 xpxq的一个根，则p q（）A.4B.
2、0C.2D.4【答案】A【解析】【分析】由1i是关于x的方程20 xpxq的一个根，代入方程化简得(2)=0pqpi，根据复数相等的充要条件，列出方程组，即可求解.【详解】依题意，复数1i是关于x的方程20 xpxq的一个根，可得21)(1)=0ipiq（，即：(2)=0pqpi，所以020pqp，解得22pq，所以4p q，故选 A.【点睛】本题主要考查了复数方程的应用，以及复数相等的充要条件的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.已知ln3a，3log 10b，lg 3c，则a，b，c的大小关系为（）A.cbaB.acbC.bcaD.cab【答案】D【解析】【分析】根据对数的单调
3、性，分别求得,a b c的范围，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据对数的单调性，可得2lnln 3lnee，即12a，333log 9log 10log 27，即23b，lg3lg101c，即1c，所以cab，故选 D.【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性的应用，其中解答中熟记对数函数的单调性，合理求解,a b c得范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.函数21xfxx的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的解析式，得到()()fxfx，所以函数fx为偶函数，图象关于y对称，排除B、C；再由函数的单调性，排除A，即可得到答案.【详解】由
4、题意，函数21xfxx，可得22()11xxfxfxxx，即()()fxf x，所以函数fx为偶函数，图象关于y对称，排除B、C；当0 x时，211xfxxxx，则21()1fxx 0，所以函数在0（，）上递增，排除A，故选D.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与函数单调性的应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和单调性，进行合理排除是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为A和M.在此图内任取一点，此点取自A区域的概率记为P A，取自M区域的概率记为P M，则（）A
5、.P AP MB.P AP MC.P AP MD.P A与P M的大小关系与半径长度有关【答案】C【解析】【分析】利用圆的面积公式和扇形的面积公式，分别求得阴影部分的面积，得到阴影部分A的面积阴影部分M的面积，即可求解.【详解】由题意，设四分之一圆的半径为R，则半圆的半径为22R，阴影部分A的面积为212R，空白部分的面积为221142RR，阴影部分M的面积为：22221211122422RRRR，阴影部分A的面积阴影部分M的面积，所以P AP M（）（），故选 C.【点睛】本题主要考查了几何概型的应用，其中解答中认真审题，正确求解阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础
6、题.6.下图是判断输入的年份x是否是闰年的程序框图，若先后输入1900 x，2400 x，则输出的结果分别是（注：xMODy表示x除以y的余数）（）A.1900是闰年，2400是闰年B.1900是闰年，2400是平年C.1900平年，2400是闰年D.1900是平年，2400是平年【答案】C【解析】【分析】由给定的条件分支结构的程序框图，根据判断条件，准确计算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，输入1900 x时，190040aMOD，19001000bMOD1900400cMOD3输出1900是平年，输入2400 x时，240040aMOD24001000bMOD24004000cMOD输
7、出2400是润年，故选C【点睛】本题主要考查了条件分支结构的程序框图的计算结果的输出，其中解答中根据条件分支结构的程序框图，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.若sin 78m，则sin6（）A.12mB.12mC.12mD.12m【答案】B【解析】【分析】由三角函数的诱导公式，求得12sin78cosm，再由余弦的倍角公式，即可求解，得到答案.【详解】由三角函数的诱导公式，可得12sin(9012)sin 78cosm，又由余弦的倍角公式，可得2126sinm，所以1sin 62m，故选 B.【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式的化简求值，其中
8、解答中熟练应用三角函数的基本公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.已知等差数列na的公差不为零，其前n项和为nS，若3S，9S，27S成等比数列，则93SS（）A.3B.6C.9D.12【答案】C【解析】【分析】由题意，得29327SSS，利用等差数列的求和公式，列出方程求得12da，即可求解93SS的值，得到答案.【详解】由题意，知3S，9S，27S成等比数列，所以29327SSS，即219131279()3()27()222aaaaaa，整理得2521437821aaa，所以2111(4)()(13)adadad，解得12da，所以919135329()3(
9、)9223SaaaaaSa11113(4)2793adaada，故选 C.【点睛】本题主要考查了等比中项公式，以及等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.双曲线222:1(0)xCyaa的右焦点为F，点P为C的一条渐近线上的点，O为坐标原点，若POPF，则OPFS的最小值为（）A.14B.12C.1D.2【答案】B【解析】【分析】求得双曲线222:1(0)xCyaa的一条渐近线为1yxa，由POPF，得到点P的坐标为,2 2cca，利用三角形的面积公式和基本不等式，即可求解.
10、【详解】由题意，双曲线222:1(0)xCyaa的一条渐近线为1yxa，设0F c（，），因为POPF，可得点P的横坐标为2xc，代入渐近线1yxa，可得2yca，所以点P的坐标为,2 2cca，所以22112244OPFccaScaaa111244442aaaa，当且仅当144aa时，即1a时，等号成立，即OPFS的最小值为12.故选 B.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，利用基本不等式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.在5()()xyxy的展开式中，33x y的系数是（）A.10B.0C.10D.2
11、0【答案】B【解析】【分析】由二项的展开式的通项为515(1)kkkkkTC xy，进而可求得展开式的33x y的系数，得到答案.【详解】由题意，二项式5()xy的展开式的通项为515(1)kkkkkTC xy，所以5()()xyxy的展开式中，33x y的系数为：332255101(0)(1)01 CC-=,故选 B.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.直线330 xy经过椭圆222210 xyabab的左焦点F，交椭圆于,A B两点，交y轴于C点，若2FCCA，则该椭圆的离心率是（）A.3
12、1B.312C.2 22D.21【答案】A【解析】【分析】由直线330 xy过椭圆的左焦点F，得到左焦点为(3,0)F，且223ab，再由2FCCA，求得3 3,22A，代入椭圆的方程，求得23 362a，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，直线330 xy经过椭圆的左焦点F，令0y，解得3x，所以3c，即椭圆的左焦点为(3,0)F，且223ab直线交y轴于(0,1)C，所以，3,1,2OFOCFC，因为2FCCA，所以3FA，所以3 3,22A，又由点A在椭圆上，得22394ab由，可得2242490aa，解得23 362a，所以2222642 3313 36cea，所
13、以椭圆的离心率为31e.故选 A.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：求出,a c，代入公式cea；只需要根据一个条件得到关于,a b c的齐次式，转化为,a c的齐次式，然后转化为关于e的方程，即可得e的值(范围)12.设函数()()(ln)x mf xeaxxax，若存在实数a使得()0fx恒成立，则m的取值范围是（）A.,0B.0,2C.2，D.,2【答案】D【解析】【分析】由 存 在 实 数a使 得()0fx恒 成 立，转 化 为ln()()0,0 x mexaaxxx恒 成 立，得 到lnlnmin,max,xmx mexexa
14、xxxx，构造新函数，利用导数求得函数的最值，得出关于m的不等式，即可求解.【详解】由题意，函数()()(ln)xmf xeaxxax的定义域为(0,)x，要使得存在实数a使得()0f x恒成立，即()(ln)0 xmeaxxax恒成立，只需ln()()0 xmexaaxx恒成立，即ln()()0 x mexaaxx恒成立，即lnlnmin,max,xmx mexexaxxxx设ln xg xx，则21ln xgxx，当(0,)xe时，0gx，函数g x单调递增，当(,)xe时，0gx，函数g x单调递减，所以当xe时，函数g x取得最大值，最大值为1e，即ln1xxe，设,0 x meh x
15、xx，则22(1)xmx mxmexeexhxxx当(0,1)x时，0hx，函数h x单调递减，当(1,)x时，0hx，函数h x单调递增，所以当1x时，函数g x取得最小值，最小值为1 me，即1x mmeex，所以只需11mee，解得2m，即实数m的取值范围是,2，故选 D.【点睛】本题主要考查了导数的综合应用，其中解答中把存在实数a使得()0f x恒成立，转化为ln()()0 x mexaaxx恒成立，进而得得到lnlnmin,max,xmxmexexaxxxx是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题（共20 分）13.若,x y满足约束条件202102
16、20 xyxyxy，则3zxy的最大值为 _.【答案】0【解析】【分析】作出约束条件表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入目标函数，即可求解，得到答案.【详解】由题意，作出约束条件20210220 xyxyxy所表示的平面区域，如图所示，目标函数3zxy可化为直线3yxz，当直线3yxz过点 C时，此时目标函数取得最大值，又由20210 xyxy，解得1,3xy，即1,3C（），所以目标函数的最大值为3 1 30z.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数
17、形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题14.已知12,e e是夹角为60的两个单位向量，1212,2aee bee，则a b_.【答案】32【解析】【分析】根据平面向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解，得到答案.【详解】由向量的数量积的运算公式，可得2212121212()(2)23eeebeeeaee123123|cos602ee.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.已知函数()sin04fxx，若()f x 在0,2上恰有3个极值点，则的取值范围是_.【答案】9 1388,
18、【解析】【分析】根据三角函数的图象与性质，求得函数的极值点为14xkkZ，再由fx在0,2上恰有3个极值点，得到1122344，即可求解.【详解】由题意，令sin14fxx，即42xkkZ，解得14xkkZ，所以函数fx的极值点为14xkkZ，又fx在0,2上恰有3个极值点，所以这三个极值点只能是在0,1,2kkk，所以有1122344，解得98138.所以实数的取值范围是9 1388,.故答案9 1388,.【点睛】本题主要考查了三角还函数的图象与性质的应用，以及函数极值点的定义的应用，其中解答熟练应用三角函数的图象与性质，得到关于实数的不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力
19、，属于中档试题.16.在三棱锥PABC中，60ABC，90PBAPCA，3PBPC，点P到底面ABC的距离为2，则三棱锥PABC的外接球的表面积为_.【答案】6【解析】【分析】由90PBAPCA，可知PA为三棱锥PABC的外接球的一条直径，过点P作PE平面ABC，可知AE为ABC外接圆的一条直径，计算出AE的长度，再利用勾股定理计算出PA的长度，即可得出该球的直径，再利用球体表面积公式可得出结果.【详解】设PA的中点为点O，90PBAPCA，12OAOBOCOPPA，PA为三棱锥PABC的外接球O的一条直径，过点P作PE平面ABC，垂足为点E，BE、CE、AE平面ABC，PEBE，PECE，P
20、EAE，3PBPC，2PE，由勾股定理可得1BECE，同理可知ACBC，60ABC，ABC为等边三角形，设ABC的外接圆圆心为点F，连接 OF，则/OF PE，且1222OFPE，由中位线的性质可知点F为AE的中点，AE为圆F的一条直径，所以，90ABEACE，由圆的内接四边形的性质可知，120BEC，30BCECBE，由正弦定理可得12sinsin30BEAEBCE，226PAPEAE，因此，球O的表面积为26PA，故答案为6.【点睛】本题考查多面体的外接球表面积的计算，解题时要充分分析多边形的形状，找出球心的位置，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三（解答题，共70 分）17.ABC的内
21、角,A B C所对的边分别为,a b c，已知ABC的面积为21tan6SbA.1证明：3 cosbcA；2若tan2,2 2,Aa求S.【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）由三角形的面积公式化简得3csinAbtanA，进而得到sin3cosbAcsinAA，即可作出证明；（2）因为2tanA，求得55cosA，由（1）得2252,33bbbccosAc，利用余弦定理求得29b，再由面积公式，即可求解.【详解】（1）由三角形的面积公式，可得21126SbcsinAb tanA，即3csinAbtanA，又因为sincosAtanAA，所以sin3cosbAcsinAA，又因
22、为0A，所以0sinA，所以3bccosA.（2）因为2tanA，由三角函数的基本关系式，可得55cosA，由（1）得2252,33bbbccosAc，由余弦定理得222225282()33bbbcbccosAb，解得29b，所以2111sintan923266SbcAbA.【点睛】本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18.某音乐院校举行“校园之星”评选活动，评委由本校全体学生组成，对,A B两位选手，随机调查了20个学生的评分，得到下面
23、的茎叶图：1通过茎叶图比较,A B两位选手所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；2校方将会根据评分记过对参赛选手进行三向分流：所得分数低于60分60分到79分不低于80分分流方向淘汰出局复赛待选直接晋级记事件C“A获得的分流等级高于B”，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C发生的概率.【答案】（1）详见解析（2）137400【解析】【分析】（1）通过茎叶图可以看出，A得分数的平均值高于B得分数的平均值，A得分数比较集中，B得分数比较分散；（2）记1AC表示事件:“A选手直接晋级”2AC表示事件:“A选手复赛待选”1BC表示事件:“B选手复赛待
24、选”2BC表示事件:“B选手淘汰出局利用独立事件的概率乘法公式，即可求解.【详解】（1）通过茎叶图可以看出，A选手所得分数的平均值高于B选手所得分数的平均值；A选手所得分数比较集中，B选手所得分数比较分散.（2）记1AC表示事件:“A选手直接晋级”2AC表示事件:“A选手复赛待选”1BC表示事件:“B选手复赛待选”2BC表示事件:“B选手淘汰出局则1AC与1BC独立，2AC与2BC独立，1AC与2AC互斥，则111222ABABABCC CC CC C，111222ABABABP CCP C CP C CP C C111222ABABABP CP CP CP CP CP C由所给数据得1AC，
25、2AC，1BC，2BC发生的频率分别为811 103,20 20 20 20.故1820AP C，21120AP C，11020BP C，2320BP C，所以81083113137202020202020400P C.【点睛】本题主要考查了茎叶图的应用，以及相互独立事件的概率的计算，其中解答中正确理解题意，准确利用独立事件的概率乘法公式计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.19.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，点E是PC的中点.1求证：/PA平面BDE；2若直线BD与平面PBC所成角为30，求二面角CPBD的大小.【
26、答案】（1）证明见解析（2）60【解析】【分析】（1）连接AC交BD于O，连接OE，利用线面平行的判定定理，即可证得/PA平面BED；2以D为坐标原点，,DA DC DP所在直线分别为x轴，y轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设1PDCD，ADa，分别求得平面PBC和平面 PBD 的一个法向量n和m，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）连接AC交BD于O，连接OE，由题意可知，,PEEC AOOC，/PAEO，又PA在平面BED外，EO平面BED，所以/PA平面BED.2以D为坐标原点，,DA DC DP所在直线分别为x轴，y轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设1PDCD，ADa，
27、则(,0,0)A a，(,1,0)(0,1,0)B aC，1(0)0,P，(,1,0)DBa，(,)1,1PBa，0,1,1PC，设平面PBC的法向量(,)nxy z，由00PB nPC n，得00axyzyz，取(0,1,1)n，又由直线BD与平面PBC所成的角为30，得211cos,212DB nDB nDB na，解得1a，同理可得平面PBD 的法向量1,)0(1,m，由向量的夹角公式，可得11cos,222n mn mn m，又因为二面角CPBD为锐二面角，所以二面角CPBD的大小为60.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理
28、能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.已知F为抛物线2:4Txy的焦点，直线:2lykx与T相交于,A B两点.1若1k，求FAFB的值；2点(3,2)C，若CFACFB，求直线l的方程.【答案】（1）10（2）3240 xy【解析】【分析】（1）联立方程组224ykxxy，利用根与系数的关系和抛物线的定义，即可求解.2由CFACFB，可得cos,cos,FA FCFB FC，利用向量的夹角公式，联立方程组，求得32k，即可求得直线的方程
29、.【详解】（1）由题意，可得0,1F，设221212,44xxA xBx，联立方程组224ykxxy，整理得2480 xkx，则124xxk，128x x，又由22121144xxFAFB2121222104xxx x.（2）由题意，知211,14xFAx，222,14xFBx，3.3FC，由CFACFB，可得cos,cos,FA FCFB FC又2114xFA，2214xFB，则FA FCFB FCFA FCFB FC，整理得1212420 xxx x，解得32k，所以直线l的方程为3240 xy.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线
30、方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.已知函数()sinfxxx，(0,)x，()fx为()f x 的导数，且()()g xfx.证明：1()g x在22,3内有唯一零点；2()2f x.（参考数据：sin20.9903，cos20.4161，tan22.1850，21.4142，3.14）【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意，得g xfxxcosxsinx，分别求得在区间0,2和,2上的单调性，利用零点的存在定理，即可求解；（
31、2）由（1）得，求得函数的单调性，得到fx的最大值为f ttsint，再由0ft得ttant-，得到tanftt sint，利用作差比较，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()sinf xxx，则()sincosfxxxx所以g xfxxcosxsinx，当0,2x时，可得0g x，即g x在0,2x内没有零点，当,2x时，2singxcosxxx，因为cos0,sin0 xxx，所以0gx，所以g x在,2上单调递减，又22tan220gcos，且230332g，所以g x在22,3内有唯一零点t.（2）由（1）得，当,()0 xt时，0g x，所以0fx，即fx单调递增；当,()xt时，
32、0g x，所以0fx，即fx单调递减，即fx的最大值为f ttsint，由cos0ftttsint得ttant-，所以fttant sint，因此2sin2cos2costtftt2cos2cos1costtt2cos12costt，因为22,3t，所以1,cos 22cost从而2222121.416(0(1)2)cos，即2cos120costt，所以20ft，故2fx.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而
33、求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题（二）选考题：共10 分.请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在极坐标系中，圆:4cosC.以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy，直线l经过点1,3 3M且倾斜角为.1求圆C的直角坐标方程和直线l的参数方程；2已知直线l与圆C交与A，B，满足A为MB的中点，求.【答案】（1）2224xy，13 3xtcosytsin，(t为参数，0a).（2）3【解析】【分析】（1）利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，可求解圆C的直角坐标方程，根据直线参数方程的形式，
34、即可求得直线的参数方程；2将直线l的方程代入圆C的方程，利用根与系数的关系，求得ABtt，ABtt，由A为MB的中点，得到2BAtt，求得,ABtt，即可求得ABtt的表达式，利用三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，圆:4Ccos，可得24 cos，因为222xy，cosx，所以224xyx，即2224xy，根据直线的参数方程的形式，可得直线l:13 3xtcosytsin，(t为参数，0a).2设,A B对应的参数分别为,ABtt，将直线l的方程代入C，整理得26320()3ttsincos，所以63()ABttsincos，32ABtt，又A为MB的中点，所以2BAtt，因此(
35、3)246Atsincossin，8sin6Bt，所以232sin326ABtt，即2sin16，因为0a，所以7666，从而=62，即3.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，直线参数方程的求解，以及直线参数方程的应用，其中解答中合理利用直线参数中参数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.23.设函数()211f xxx.1画出()yf x的图像；2若()f xm xn，求mn的最小值.【答案】（1）画图见解析（2）5【解析】【分析】（1）根据绝对值的定义，可得分段函数fx的解析式，进而作出函数的图象；（2）由不等式fxm xn，可得0fn，解得2n，
36、再由绝对值的三角不等式，求得当且仅当3m，且2n时，fxm xn成立，即可求解mn的最小值.【详解】（1）由题意，根据绝对值的定义，可得分段函数3,112,1213,2x xfxxxx x，所以()yf x的图象如图所示：（2）由fxm xn，可得0fn，解得2n，又因为21|()31fxxxx，所以3m xnx.()若3m，()式明显成立；若3m，则当3nxm时，()式不成立，由图可知，当3m，且2n时，可得fxm xn，所以当且仅当3m，且2n时，fxm xn成立，因此mn的最小值为5.【点睛】本题主要考查了绝对值的定义及应用，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中利用绝对值的定义去掉绝对值号，以及合理利用绝对值不等式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.