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1、2021-2022学 年 河 南 省 兰 考 县 高 二 上 学 期 第 三 次 考 试 数 学 试 题 一、单 选 题 1.在 等 差 数 列,中，4=1,公 差 4=2,则“8等 于（）A.13 B.14 C.15 D.16【答 案】C【解 析】利 用 等 差 数 列 的 通 项 公 式 计 算 即 可.【详 解】&=q+7=l+7 x 2=15,故 选：C.【点 睛】本 题 考 查 等 差 数 列 的 通 项 公 式，属 容 易 题，等 差 数 列 的 通 项 公 式 是：%=4+（-1）乩 2.已 知 椭 圆+当=1上 的 一 点 尸 到 椭 圆 一 个 焦 点 的 距 离 为 3,则
2、 P 到 另 一 焦 点 的 距 离 为（）25 1 6A.2 B.3 C.5 D.7【答 案】D【分 析】根 据 椭 圆 的 定 义 即 可 求 解.【详 解】由+1=1 可 得/=2 5,所 以。=5,25 10设 椭 圆 的 两 个 焦 点 分 别 为 小 尸 2,|P用=3,由 椭 圆 的 定 义 可 知|P|+|P E|=2 a,即 3+|P闾=1 0,所 以 归 周=7,所 以 户 到 另 一 焦 点 的 距 离 为 7,故 选：D.3.“V x e R,W%xW0”的 否 定 是 A.V x e R,x?乃 x 0 B.V x e R,x2-x 0C.H x0 e R,x02-T
3、TX0 0 D.3x0 e R,J C02-TTX0 0【答 案】C【分 析】根 据 全 称 命 题 的 否 定 求 结 果.【详 解】因 为“V x eR”的 否 定 为“叫，所 以 L R,f-万 xN O”的 否 定 是:加/?,/2 _ 叫）0,选:C.4.等 比 数 列 4 中，已 知 4=2,4=1 6,数 列 4 的 公 比 为（）.A.B.-2 C.2 D.【答 案】C【解 析】利 用 等 比 数 列 的 通 项 公 式 列 方 程 求 解 即 可【详 解】数 列%是 等 比 数 列，则 4=4 0 1,为 数 列 4,的 公 比），则 4=4 4=6=2 3,解 得 4=2.
4、故 选：C.5.己 知 A A 8 C的 三 个 内 角 A,8,C 的 对 边 分 别 为 a,Z?,c,已 知/=V 7,c=4,cosB=3,则 A A 8 c的 面 积 4等 于 A.迈 B.3近 C.9 D.-2 2【答 案】A【分 析】由 已 知 利 用 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 式 可 求 sinB的 值，根 据 余 弦 定 理 可 求 a 的 值，进 而 利 用 三 角 形 面 积 公 式 即 可 计 算 得 解.3【详 解】.6=近，c=4,c o s B=-,sinB=COS2B=-l g o；命 题 4:任 意 x e R,x?+x+1 0.给 出 下 列
5、结 论：命 题 P且 4”是 真 命 题；命 题 p 且 r 是 假 命 题；命 题“力 或 4”是 真 命 题；命 题 2 或 r”是 假 命 题.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 为（）A.B.C.D.【答 案】D分 析 对 于 命 题 P，取=10即 可 判 断 真 假，对 于 命 题 q，根 据 方 程/+1=0 的 判 别 式 判 断 真 假，再 利 用 复 合 命 题 的 真 假 一 一 进 行 判 断 即 可.【详 解】对 于 命 题 p，取 X。=10,则 有 10-2 1g 10,即 8 1,故 命 题 P 为 真 命 题;对 于 命 题 4,方 程 x2+x+l=
6、0,A=l 4x1=3 0,所 以 命 题 q为 真 命 题.综 上“P且 4”是 真 命 题,“。且 r”是 假 命 题,或 牙 是 真 命 题,“或 r”是 真 命 题，即 正 确 的 结 论 为.故 选:D.y 4 x7.已 知 x，y满 足 约 束 条 件+则 Z=2x+y的 最 大 值、最 小 值 分 别 是()y 1A.3,-3 B,2,Y C.4,-2 D.4,-4【答 案】A【分 析】作 出 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 即 可 行 域，平 移 目 标 函 数 z=2x+y所 对 应 的 直 线，根 据 线 性 规 划 的 几 何 意 义，即 可 求 得 答 案.
7、平 移 直 线 2x+y=0,当 直 线 z=2x+y经 过 可 行 域 内 点 A 8 时,直 线 z=2x+y在 y轴 上 的 截 距 取 到 最 小 值 和 最 大 值；(y=x fx=-l联 立，可 得,即 fx+y=1 x=2联 立.,，可 得，即 8(2,-1),y=T ly=-i将 点 坐 标 代 入 z=2x+y,得 z,向=-2-l=-3；将 3(2,1)点 坐 标 代 入 z=2x+y,得 zmax=2x2-l=3；故 选：A8-已 知 椭 圆 的 中 心 在 坐 标 原 点 长 轴 长 是 8,离 心 率 是:则 此 椭 圆 的 标 准 方 程 是（)A.X2+y-2=1
8、16 7B.工+t=1 或 工+炉=116 7 7 16C.r2 v2-1-=116 25D-1 会 1或 W+【答 案】B【解 析】由 题 可 求 出 力，讨 论 焦 点 位 置 写 出 椭 圆 方 程.3【详 解】因 为。=4,e=7,所 以。=3,4所 以 b2=a2c2=i69=l.因 为 焦 点 的 位 置 不 确 定，所 以 椭 圆 的 标 准 方 程 是+=1或+=1.16 7 7 16故 选：B.9.一 艘 船 以 每 小 时 15 k m 的 速 度 向 东 航 行，船 在 A 处 看 到 一 个 灯 塔 M 在 北 偏 东 60。方 向，行 驶 4h后，船 到 达 B 处，
9、看 到 这 个 灯 塔 在 北 偏 东 15。方 向，这 时 船 与 灯 塔 的 距 离 为（）A.15y/2 km B.30&kmC.45及 km D.60五 km【答 案】B【分 析】在 A A M B 中 直 接 应 用 正 弦 定 理 求 解.【详 解】如 图 所 示，依 题 意 有 A2=15x4=60,N D 4 c=60。，/C 8 M=1 5。,所 以 NM4B=30,NAMB=45.在“M B 中，由 正 弦 定 理，得 而 B Msin 30解 得 8 M=30故 选:B.【点 睛】本 题 考 查 正 弦 定 理 的 应 用，属 于 基 础 题.10.已 知 1,a,x,b
10、,16这 五 个 实 数 成 等 比 数 列，则 x 的 值 为（）A.4 B.-4 C.4 D.不 确 定【答 案】A【解 析】根 据 等 比 中 项 的 性 质 有 炉=16,而 由 等 比 通 项 公 式 知 x=42,即 可 求 得 x 的 值.【详 解】由 题 意 知：X2=1 6,且 若 令 公 比 为 4 时 有 X=0,x=4,故 选：A11.在 R 上 定 义 运 算：=-，若 不 等 式 二 一？21对 任 意 实 数 x恒 成 立，则。最 大 为 c a a+1 x()1 3-1 n 3A.B.C.D.一 2 2 2 2【答 案】Dx1 a 2【分 析】根 据 运 算 的
11、 定 义 可 得 21等 价 于/一 1_1之(。+1)3一 2),利 用 二 次 函 数 的 性 质 可 a+1 x求 左 式 的 最 小 值，从 而 可 得 关 于。的 不 等 式，求 出 其 解 后 可 得 实 数”的 最 大 值.【详 解】原 不 等 式 等 价 于 x(x-1)-3-2)(4+1)1,BP x1-x-(a+l)(a-2)对 任 意 x 恒 成 立.5 1 3所 以 一 a2?一 一 2,解 得/4 a w,故 选：D1 2-桶 圆 彳+/1 的 左 焦 点 为 F，直 线 与 椭 圆 相 交 于 点 当 的 的 周 长 最 大 时,M N的 面 积 是 A.五 5B.
12、竽 6后 L-5D.竽【答 案】D【分 析】先 确 定 周 长 最 大 时，的 取 值，再 求 解 三 角 形 的 面 积.【详 解】设 椭 圆 右 焦 点 为 尸 2，的 周 长 为 则 c=尸|+1 版|+1=26-用+2石 N4|+1=4石+|MN|-(|M用+1 代 周).因 为 I”耳|+WM|N|M N|,所 以 C44后；此 时 t=,故 F M N 的 面 积 是 S=g|F|MN|=竽 故 选 D.【点 睛】本 题 主 要 考 查 利 用 椭 圆 的 定 义 求 解 最 值 问 题.利 用 定 义 式 实 现 两 个 焦 半 径 之 间 的 相 互 转 化 是 求 解 关 键
13、.二、填 空 题 13.在 平 面 直 角 坐 标 系 中，点 A(4,0),B(T,O),点 P 到 A 与 8 的 距 离 之 和 为 8,则 点 P 的 轨 迹 为.【答 案】线 段 A3【分 析】根 据 题 意 可 得|P4|+|P 3 H A 3|,即 可 判 断 出 答 案.【详 解】由 题 意 得|以 I+IPBRABI,则 P 点 在 线 段 A 3 上，所 以 点 P 的 轨 迹 为 线 段 AB,故 答 案 为：线 段 A814.数 列。中，q,=(-l)，则 q+4+须=【答 案】5【分 析】利 用 通 项 将 4+%+即 表 示 出 来，再 利 用 奇 偶 并 项 求
14、和 即 可.【详 解】4+。2+4()=1+2 3+4 5+6 7+8 9+10=5x1=5,故 答 案 为：5【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 数 列 的 奇 偶 并 项 求 和，属 于 基 础 题.2 215.设，K 是 椭 圆 荒+或=1的 两 个 焦 点，P 是 桶 圆 上 的 点，且 用:|p闾=4:3,则/诟 的 面 积 为.【答 案】24【分 析】根 据 椭 圆 的 方 程 得 到。、匕 的 值，进 而 求 出，的 值，由 椭 圆 的 定 义 可 知 伊 用+|尸 闾 的 值，再 根 据 已 知 求 出|产 制、归 周 的 值，由 勾 股 定 理 得 出 NP=,即 可 得
15、出 答 案.【详 解】由 椭 圆 式+二=1的 方 程 可 得：。=7,b=2指,49 24c=yja2 h2=J49-24=5，.忻 段=20=1(),归 用:归 周=4:3,且 根 据 椭 圆 的 定 义 可 得：归 制+归 段=2。=14,.,JP用=8,|尸 曰 二 6,则 在 PEg 中|p用 2+归 段 2=田 用 2，Z P=-,2 S 呻 讣|P用=24,故 答 案 为：24.16.已 知 命 题 p：存 在 xW R,使 t a n x=l,命 题 q：x231+20的 解 集 是 xlx2,现 有 以 下 结 论：命 题 p且 q”是 真 命 题；命 题 p且 rq”是 假
16、 命 题；命 题?或 是 真 命 题；命 题 或 rq 是 假 命 题.其 中 正 确 结 论 的 序 号 为.(写 出 所 有 正 确 结 论 的 序 号)【答 案】【详 解】命 题 p：mx C R,使 ta n x=l正 确，命 题 q：x?3x+20的 解 集 是 xlx2卜 也 正 确，命 题 p八 q”是 真 命 题；命 题 p/(r q)”是 假 命 题；命 题(rp)V q”是 真 命 题；命 题”(r p l V l-q)”是 假 命 题.三、解 答 题 17.已 知 P=x H-8 x 2 g O,非 空 集 合 5=川 1一 加 3区 1+优.若 x e p 是 xG S
17、的 必 要 条 件，求?的 取 值 范 围.【答 案】0/M 3.【分 析】由 x 2-8 x-2 g 0,解 得-2WXW10.根 据 非 空 集 合 S=x|l-m互 W l+m.又 x P 是 x S 的 必 要 条 件，可 得 I 二.l-m l+m,解 得 m 范 围.l+/n10【详 解】由 x2-8x-20三 0,解 得-2WXW10.，P=-2,10J.非 空 集 合 5=31-mW xW l+m.又 x p 是 x S的 必 要 条 件,2 K 1 机，c，1-m l+m,解 得 gm$3.l+/n10；.m 的 取 值 范 围 是 0,3.【点 睛】本 题 考 查 了 不
18、等 式 的 解 法、简 易 逻 辑 的 判 定 方 法，考 查 了 推 理 能 力 与 计 算 能 力，属 于 中 档 题.18.已 知%是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列，4=1,且 4,%吗 成 等 比 数 列.(1)求 数 列 凡 的 通 项.(2)设 数 列%的 前 项 和 为 S“，求 数 列 5 的 前 项 和 7“.【答 案】(1)4=.八 缶【分 析】(1)设 公 差 为 d，d*O，由 题 意 列 出 关 于 d 的 方 程，求 得，即 可 求 得 数 列 q 的 通 项.(2)由(1)可 得 S“的 表 达 式，即 得，的 表 达 式，利 用 裂 项 相 消 法 求
19、 和，即 得 答 案.【详 解】(I)设 公 差 为 由 q=l,且 q,成 等 比 数 列，则。+2）2=1+8,解 得：d=l 或=0（舍 去）,故 4=4+（”一 l）d=l+（-1）x1=，故 4 的 通 项 4,=.19.分 别 求 出 满 足 下 列 条 件 的 椭 圆 的 标 准 方 程.2 2 与 椭 圆 三+二=1有 相 同 的 离 心 率 且 经 过 点(2,-右)；4 3(2)已 知 点 P 在 以 坐 标 轴 为 对 称 轴 的 椭 圆 上，且 P 到 两 焦 点 的 距 离 分 别 为 5,3,过 户 且 与 长 轴 垂 直 的 直 线 恰 过 椭 圆 的 一 个 焦
20、 点.【答 案】(1)卷+总=1或 去+会 口 3 4【分 析】（1）设 出 所 求 椭 圆 方 程，利 用 点（2,-6）求 得 椭 圆 方 程.（2）设 出 所 求 椭 圆 方 程，结 合 已 知 条 件 求 得 以 从 而 求 得 椭 圆 方 程.2 2 2 2【详 解】（1）由 题 意，设 所 求 椭 圆 的 方 程 为 三+二=6或 汇+土=，2自/0），因 为 椭 圆 过 点（2,-73）,所 以 r=二+七 县=2,或 竺.1 4 3 2 4 3 12）22 2 厂 _1故 所 求 椭 圆 的 标 准 方 程 为 2+卷=i或 不+右-Lo 6-3 4（2）由 于 焦 点 的 位
21、 置 不 确 定，2 2 2，所 以 设 所 求 的 椭 圆 方 程 为*+方=1（。八 0）或+a=1（。人 0）,依 题 意 得 2=5+3=8,。=4,（2c）-=52 32=16,c=2,）2=12,b=2 y f故 椭 圆 方 程 为 兰+$=1或 E+E=l.16 12 16 122 0.在 A B C 中，角 A,B,C所 对 的 边 分 别 是 a,b,c,且 金+?=?吧(I)证 明：sin Asin B=sin C；（II）若+c2-a2=与 历，求 tanB.【答 案】（I）证 明 详 见 解 析；（H）4.【详 解】试 题 分 析：（I）将 已 知 等 式 通 分 后
22、利 用 两 角 和 的 正 弦 函 数 公 式 整 理，利 用 正 弦 定 理，即 可 证 明.（II）由 余 弦 定 理 求 出 A 的 余 弦 函 数 值，利 用（I）的 条 件，求 解 B 的 正 切 函 数 值 即 可 试 题 解 析：（1）根 据 正 弦 定 理，设 三 H=h=JC=k（k0）.sin A sin B sin C则 a=ksinA,b=ksinB,c=ksin C.八、cos A cosB sinC.*cos4 cos B sinC 卅 r代 入+=中，+T T=7 变 形 可:a b c 左 sin A k sin 6 Z sin Csin Asin B=sinA
23、cos B+cos Asin B=sin(A+B).在 ABC 中，由 A+B+C=7i,有 sin(A+B)=sin(TC-C)=sin”C,所 以 sin Asin B=sinC.x,2 2 2 o(2)由 己 知，b2+c2-a2=-b c,根 据 余 弦 定 理，有 cosA=_=-5 2bc 5_ 4所 以 sinA=71-cos2.sin B故 tan B=-=4cos 2【解 析】余 弦 定 理 的 应 用；正 弦 定 理；余 弦 定 理 21.小 明 今 年 上 高 中，小 明 的 爸 爸 为 他 办 理 了“教 育 储 蓄”.从 8 月 1号 开 始，每 个 月 的 1 日
24、都 存 入 1000元，共 存 三 年 教 育 储 蓄”、零 存 整 取 均 不 按 复 利 计 算）已 知 当 年“教 育 储 蓄”存 款 的 月 利 率 为 2.7%。，则 3 年 后 小 明 考 上 大 学 的 时 候，小 明 的 爸 爸 可 以 从 银 行 一 次 可 支 取 多 少 元？已 知 当 年 同 档 次 的“零 存 整 取”储 蓄 的 月 利 率 是 1.725%。，则 小 明 的 爸 爸 办 理“教 育 储 蓄 比 零 存 整 取 多 收 益 多 少 元？【答 案】（1）37798.2元（2）649.35 元.【分 析】（1）计 算 出 每 1000元“教 育 储 蓄”存
25、 一 个 月 得 到 的 利 息，利 用 等 差 数 列 的 前 项 和 公 式 即 可 求 得 每 个 月 的 1 日 都 存 入 1000元，共 存 三 年，一 次 可 支 取 的 钱 数.（2）求 出 每 1000元“零 存 整 取”存 一 个 月 得 到 的 利 息，求 得 每 个 月 的 1 日 都 存 入 1000元，共 存 三 年 的 利 息，即 可 求 得 答 案.【详 解】（1）每 1000元“教 育 储 蓄”存 一 个 月 得 到 的 利 息 是 1000 x 2.7%o=2.7元，第 1个 1000元 存 36个 月，得 利 息 2.7x36元，第 2 个 1000元 存
26、 35个 月，得 利 息 2.7x35元，第 36个 1000元 存 1个 月，得 利 息 2.7x1元,因 此，3 年 后 小 明 的 爸 爸 获 得 利 息 为：2.7x36+2.7x35+2.7x1=2.7x(36+35+1)=2.7x36(36+1)2=1798.2(元),所 以 本 息 和 为 1000 x36+1798.2=37798.2（元）.（2）每 1000元“零 存 整 取”存 一 个 月 得 到 的 利 息 是 1000 x1.725%。=1.725元 因 此，若 是“零 存 整 取”，3 年 后，小 明 的 爸 爸 获 得 利 息 为:1.725x36+1.725x35
27、+1.725x1=1.725x36(36+1)2=1148.85(元),因 此，小 明 的 爸 爸 多 收 益 1798.2-1148.85=649.35(元)，所 以，小 明 的 爸 爸 办 理 教 育 储 蓄”比“零 存 整 取”多 收 益 649.35元.22.已 知 平 面 内 两 定 点”(T，O)，M1,O),动 点 P 满 足|PM|+|PN|=2召.(1)求 动 点 尸 的 轨 迹 C 的 方 程；(2)若 直 线 丫=*+1与 曲 线 C 交 于 不 同 的 两 点 A、B,求 IM.【答 案】(1)+=1;(2)处.3 2 5【解 析】(1)根 据 椭 圆 的 定 义 求
28、得 椭 圆 标 准 方 程；(2)设 A(X1,y),B(x2,y2),直 线 方 程 代 入 椭 圆 方 程 整 理 后 应 用 韦 达 定 理 得 与+X2，*/2,利 用 弦 长 公 式|A8|=j+k2-+)2 _4X&求 弦 长.【详 解】(1)由 椭 圆 的 定 义 知，户 点 的 轨 迹 为 椭 圆，其 中 c=l,a=6,，b=R,所 以 所 求 动 点 P 的 轨 迹 C 的 方 程 为 工+亡=1.3 2(2)设 A(X1,y),B(x2,y2),y=x+l联 立 直 线 与 椭 圆 的 方 程 f 2 消 y 整 理 得：5/+6太-3=0,+=13 2LL”6 3所 以 玉+/=_g,X,x2=-,I AB 1=/?7?/(司+X2)2-4司。2=V 2(-1)2-4 X(-|)=挈.【点 睛】方 法 点 睛：求 直 线 与 椭 圆 相 交 弦 长 的 两 种 方 法：(1)设 交 点 为 士，乂)，B(x2,y2),直 线 方 程 为 y=+，直 线 方 程 代 入 椭 圆 方 程 整 理 后 应 用 韦 达 定 理 得 士+%占 超，然 后 由 利 用 弦 长 公 式|.框 F f 求 弦 长.(2)直 线 方 程 与 椭 圆 方 程 联 立 方 程 组，解 得 交 点 坐 标，由 两 点 间 距 离 公 式 得 弦 长.