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1、20222023学年度上学期12月月考高 一（25届）数学试卷考试时间：120分钟 试题满分：150分一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分1,已知集合 人=川111%1,%用，集合B =x|N 2,x e Z,则4 0 8=（）A.1,2 B.-2,-1,0,1,2C.（0,2 D.-2,2【答案】A【解析】【分析】先化简集合A,B,再利用集合的交集运算求解.【详解】因为集合4=31门 1,%/?=|0%6,集合 B=x|国 4 2,x e Z =-2,-1,0,1,2,所以 AD 8=1,2,故选：A2.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人
2、.为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为7人,则样本容量为（）A.15 B.20 C.25 D.30【答案】A【解析】【分析】结合分层抽样方法求出青年职工的比例继而求出样本容量7【详解】由题意得样本容量为一x 750=15350故选：A3.一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机摸出3个球，设事件A =“至少有2个黑球“，下列事件中，与事件A互斥而不互为对立的是（）A.都是黑球 B.恰好有1个黑球 C.恰好有1个红球 D.至少有2个红球【答案】B【解析】【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解即可.【详解】解：从装有大小和质地完全相
3、同的3 个红球和3 个黑球的口袋内任取3 个球，在 A 中，至少有2 个黑球和都是黑球能同时发生，不是互斥事件，故A 错误，在 B 中，至少有2 个黑球和恰有1 个黑球不能同时发生，是互斥而不对立事件，故 8 正确，在。中，至少有2 个黑球和恰有1 个红球能同时发生，不是互斥事件，故C 错误，在。中，至少有2 个黑球和至少有2 个红球事件不能同时发生，是对立事件，故O错误.故选：B.4.考古科学家在测定良渚古城遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N 随 时 间（单位：年）的衰变规律满足=乂,.2一 套（N o 表示 碳 14原有的质量）.经过测定，良
4、渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的g 至|,据此推测良渚古城存在的时期距今约在 年到5730年之间，则“”为（参考数据：I o g2371.6,l o g25a 2.3）（）A.4011 B.3438 C.28 65 D.2292【答案】A【解析】【分析】利用题目所给的衰变规律计算出的范围即可.【详解】由题可得乙4 2573。4 士，两边同取以2 为底的对数，得2 5-1 l o g21=l o g2 3-l o g,5 -0.7,所以4011W，W5730,则推测良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间.故选：A.5.在下列区间中，函数/（x）=e +4 x-3 的零点所在
5、的区间为（）A.中）B.0fl 口1 2刃【答案】C【解析】【分析】先判断函数/（X）在R上单调递增，典 D叫卜。由J（，利用零点存在定理可得结果.心。【详解】因为函数 x)=，+4 x-3 在 R上连续单调递增，r n 1 1 1/-=+4x-3 =e4-2 0I U；2(1 1 A所以函数 零 点 在 区 间;，二 内，故选c.(4 2 J【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：(1)函数是否为单调函数；(2)函数是否连续.2 c 1“、x 2 x +t z,x 1 /、6.设函数/(力=,/八、,若函数/(x)的最大值为一 1,则实数。的取
6、值范-log 2 (x +1),x 2 1围 为()A.(-oo,-2)B.2,+8)C.(-oo,-l D.(-oo,-2【答案】D【解析】【分析】先求得尤21时/(x)=-log 2(x+l)的值域，当X 1 时，根据二次函数图象与性质可得/(X)ma x=f(T)，根据题干条件，列出不等式，即可得答案.【详解】当尤21时，/(为=-1(足2(+1)为单调递减函数，所 以 当 时，/U)ma x=/(l)=-log22 =-l,当x 0 （是自然对数的底数），对 任 意 的mG-2,4H亘成立，则 整 数 的 最 小 值 是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答 案】C【解 析】【分 析】
7、先 判 断 函 数/（x）的单调性和奇偶性，再结合性质解不等式得到/24-10m+1，只需要 求 二 次 函 数g（z）=2m2-1 0 m+l的最大值，即解得的范围，再利用对数式比大小即得到整数的最小值.【详解】由指数函数性质知y=和丁二一1在R上是递增函数，故/（6=/一 在H上是递增函数.又 x）=二 一，二一（，一 二）二一,故“X）是奇函数.故不等式/（2 +2加1）+/（8 z+d）0即转化为：f（8m+e f （2m2+2机一1）,即 f（8m4-ez）/（2m2 2加+1）,故8m+d 2m2 2m4-1 所以d 2m2 iOm+1，而 g（m）=2/-10m+1 对称轴为机=
8、|，根据二次函数对称性可知对任意的加 目-2,4上，当机=-2时，g（2）m ax =g（-2）=2x4 10 x（2）+1 =29，故e g（机）m ax =29，故，ln29，而/2 9 /,即3 ln 2 9 4,故整数的最小值是4.故选：C.【点睛】本题解题关键在于先判断函数的单调性和奇偶性，并结合性质化简恒成立式，再解决恒成立问题即可，解决恒成立问题的常用方法：数形结合法：画图像，对关键点限制条件；分离参数法：转化成参数与函数最值的关系；构造函数法：转化成函数最值（含参数）的范围.二、多项选择题：本题共4小题，每题5分，共20分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5
9、分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.某篮球运动员8场比赛中罚球次数的统计数据分别为：2,6,8,3,3,4,6,8,关于该组数据，下列说法正确的是（）A.中位数为3 B.众数为3,6,8C.平均数为5 D.方差为4.8【答案】BC【解析】【分析】根据中位数、众数、平均数以及方程的计算公式，即可容易选择.【详解】对数据2,6,8,3,3,4,6,8,按照从小到大排序即为2,3,3,4,6,6,8,8,中间两个数字为:4,6,故其中位数是5,故A错误；显然数据3,6,8均出现3次，故众数为3,6,8,则B正确；I 40又其平均数为?（2+3x2+4+6x2+8x2）=5,故C正确；O O1Q
10、Q则其方差为：三 9+1 +9+4+4+1 +1 +9=谭=4.7 5,故。错误.O O故选：B C【点睛】本题考查一组数据众数、中位数、平均数以及方差的求解，属简单题.1 0.下列所给函数中值域为(0,+8)的 是()_2_A./(力=一 B.f =exC.y(x)=l o g3(x2+1)D./(x)=。-x +l,x 0 和 x 4 0 讨论求解判断.2【详解】A.因为=的定义域为 x|x 二 ，因为函数在(0,+8)上是减函数且为偶函数，所以其值域是(0,+8),故正确；B.令 =-e(-o o,0)u(0,+o o),则/(x)=e：w(0,l)5 1,+o o)，故错误；C.令/=
11、炉+1 2 1，则/卜)=1 0 8 3(/+1”0,+0 0),故错误；D.当x 0 时，/(X)G(0,+O O),当 x 4 0 时，/(x)e l,+o o),综上：/(x)G(0,+O C),故正确；故选：A D1 1.下列判断不正确的是()A.函数/(力=，在定义域内是减函数XB./(x)=l n(x 2-2 x-8)的单调减区间为(4,+o o)C.已知x 0,y 0,且一+工=1,若 x +y加2+3?恒成立，则实数m的取值范围是(一x )4,1)/、(3 a-l x+4a,x l 1 7 3 J【答案】A B D【解析】【分析】根据函数单调性的性质、复合函数单调性、基本不等式
12、、分段函数单调性进行判断即可.【详解】A：因为/(1)=-=显然不符合减函数的性质，所以A不正确；B：函数 f(x)=1 1 1，一2 X一8)定义域满足 W-2 x-8 0 (x-4)(x+2)0所以定义域为,设 1=%2-2%8,xw(0 0,2)U(4,+o)在(4,十。)上单调递增，y=nt,%(0,+o o)单调递增，由复合函数的单调性/(x)=l n，2 x 8)的单调增区间为(4,+o o),所以B不正确.C：因为x 0,y0,所以有(x+y)(I)=2+4 2 +2 一=4,当且仅当x y x y、尤 yy x)上=一时取等号，即当x=y =2时取等号，要想x+y“2+3加恒成
13、立，只需X ym1 2*4+3 m -4 m Q 4成立的充分条件是()A.1 B.b G(-2,-1)C.立【答案】AD【解析】【分析】令r =/(x).经过分析可得，要使方程/2(x)+/X x)+；=0有6个相异实根，则应满足方程+=0有两个不同的解、t2,且满足0乙 1,0 2 1.结合4D：当x W l时，/(x)=(3 a-l)+4a是减函数，则3 a-l 1时，/(x)=log“x是减函数，则O va vl,又因为函数+在R上是减函数，还需要满足(3 a l”+4a 210 g“1logax,x l乙+J=匕，即可得到乙+2=4+/，构造对勾函数，根据单调性即可得到4 4r l(
14、?,)0,即。1 时，方程有两个不同的解，设为A、t2,则由韦达定理可得4+J =人，当X 0时，/(力=一/+2%=-(-1)2+1在=1处有最大值1.-x,x Q由图象可得，当0 1时，y =r与函数y =/(x)有3个交点，即方程/(x)=有3个01要使方程尸 +/(幻+_ =。有6个相异实根,4则应有0%1,0气 1，即一人 1，所以/?一1.因为0 r,.4 4fl 4r l 4又0。1,所 以;%1.所以4+弓=4+(，令g(f|)=i+，根据对勾函数的性质可得，当;%;时，函数单调递减；当;4 1时，函数单调递增.又g(l)=g(；)=l +；=；，所 以;%1 时，有gUJc：
15、恒成立，即4+芍 ；.所以 1 4+2 ，即 1 b ,则有 Z?1.44 4即“方程/2(x)+/(x)+L =o有6个相异实根”成立的充要条件是一。一1.44所以，“方程/2(x)+(x)+；=0有6个相异实根”成立的充分条件的范围应该为上述范围的子集.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知a =In，b=2 32,c =l ogl6.则 用 连 接 这 三 个 数 应 为.2【答案】c b e 0,所以a =ln ln e=l,即。1；因为函数y =2*在R上单调递增，且-3.2 0,所以人=2-3 2 2=1，即0 在(0，+8)上单调递减，且6 1 0
16、,2所以c =log|6 log j=0,即c o,2 2故c va.故答案为：c b 0故，!0 ,解得2 4A =1 +4。0故答案为：，1；6F：X2-5 m x +4 m2 0 .x 2.（1）若P为真命题，求此不等式的解集；（2）若p是 1,x-2可得(%2)(5 x)0 x-2 0所以2xW5.所以不等式的解集为xe（2,5 .【小问2详解】因为P是4的充分条件，所以P对应的集合是0所对应集合的子集.q：x2-5 m x +4 m2 0，可得（x -rn）（x-4 m）0m 0时，q-.m x m-.因为，对应的集合是4所对应集合的子集，所以 5可 得*W 2 .4当加=0时，q：
17、X=0,所以不符合题意;4m 2当m vO时，g 4?X5无解.所以机的取值范围为?g,2 ._4 _18.（1）先后掷两个质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件4两个骰子点数相同，事件B：点数之和小于7.求尸（4 8）,P（A+8）；（2）某培训机构在假期招收了 A,8两个数学补习班，A班10人，B班30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A班的平均成绩为130分，方差为115,8班的平均成绩为110分，方差为215.求在这次测试中全体学生的平均成绩和方差.【答案】（1）P（AB）=g,P（A+B）=；：（2）平均分为H 5,方差为265.【解析】【分析】（1）求出试验 样本
18、空间，写出各个事件包含的基本事件，根据古典概型公式即可求出；（2）根据各层的平均数估计总体平均数，将总数求出来除以总人数即可得出.在求总体方差时，首先推出总体方差与各层方差、平均数之间的关系式，代入数据即可求得.【小 问1详解】抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，第一枚骰子的每一个结果都可与第二枚骰子的任意一个结果配对.用数字机表示第一枚骰子出现的点数是加，数字表示第一枚骰子出现的点数是，则数组（加,）表示这个试验的一个样本点.因此该试验的样本空间C =（m,）|/,e l,2,3,4,5,6 ,其中共有 36 个样本点.由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.
19、因为AB=（1,1）,（2,2）,（3,3）,所以（AB）=3,所以产（4 6）=署胃=奈；因为 A+B=（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（4,1）,（4,2）,（5,1）,（4,4）,（5,5）,（6,6）,/、（A+8）18 1所以（A+8）=1 8,所以P（A+8）=-7r=-36 2【小问2详解】4班学生成绩用Xj(i =1,2,3,1 0)来表示，B班学生成绩用(_/=1,2,3,L ,3 0)来表示.设 A班平均成绩为了，方差为S,；8班平均成绩为了，方差为S-则元=1
20、3 0,1=口5,歹=1 1 0,S y=2 1 5.人，工皿4Mp出皿心1 0 元+3 0 歹 1 3 0 x 1 0 +1 1 0 x 3 0全体学生的平均成绩为z =-=-=1 1 5,1 0 +3 0 1 0 +3 01 r io 30全体学生的方差一刃2+Z(-为24 0 i=j=ii 10 30=-Z（%M+5一 彳 产+Z（万一歹+5一彳）2_ i=j=10 10 10 1（）由 Z（玉-君=-1 0 x =0 ,可得y 2（七一 亍）（亍_彳）=2（0 彳），（）一H）=0.i=l/=1/=1/=130 30同理可得，Z2（%-（了一可=2（9一 可 （%-刃=0.1 7=1I
21、 10 10 30 30因此，邑=右z a 一元y+z叵-2+Z（乃一刃？+z（歹一切24。_；=1/=1 j=l j=l=1 0 Sv+(x-z)2 +3 0 5v+(j-z)2=x 1 1 0 x 1 1 5 +(1 3 0-1 1 5)2 +30X215 +(110-115)=265.所以，全体学生的平均分为1 1 5,全体学生成绩的方差为2 6 5.1 9 .已知函数f x)=2 的定义域是 0,3 ,设 g(x)=f(2 x)一(才+2),(D 求 g(x)的解析式及定义域：(2)求函数g(x)的最大值和最小值.【答案】入)=2*-2-2,x I O W K l.(2)最小值一4；最
22、大值一3.【解析】【详解】(1)f(x)=2 的定义域是 0,3 ,设 g(x)=f(2 x)-f(x+2),0 2 x 3因为f(x)的定义域是 0,3 J,所以 八 c 解之得0 3 W L0 x+23于 是 g(x)的定义域为 x|O W x W l.(2)设 g(x)=(2、y 4 x 2 =(2 一 2 丫 一4 .即 2 x G l,2 ,.当 2 x=2 即 x=l 时,g(x)取得最小值4当 2 x=l 即 x=0 时，g(x)取得最大值-3.2 0 .为了选择奥赛培训对象，今年5月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取5 0名同学将其成绩分成六组：第组 4 0,5 0
23、),第2组 5 0,6 0),第3组 6 0,7 0),第4组 7 0,8 0),第5组 8 0,9 0),第组 9 0,1 0 0 ,得到频率分布直方图(如图)，观察图形中的信息，回答下列问题：0861OOOOO(1)利用组中值估计本次考试成绩的平均数；(2)从频率分布直方图中，估计第6 5百分位数是多少；(3)已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于9 0分时为优秀等级，若从第5组和第组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少人成绩优秀的概率.【答案】(1)6 6.8(2)7 3-7【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图估计平均数的方法直接计算可得结果；(2)
24、首先确定第6 5百分位数位于 7 0,8 0),设其为x,由0.5 6+(x-7 0)x 0.0 3=0.6 5可求得结果；(3)根据频率分布直方图计算出第五组和第六组的人数，利用列举法列举出所有可能的基本事件，并确定满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.【小 问1详解】由频率分布直方图可知平均数x =(4 5 x 0.0 1+5 5 x 0.0 2 6 +6 5 x 0.0 2 +7 5 x 0.0 3+8 5 x 0.0 0 8 +9 5 x 0.0 0 6)x 1 0 =6 6.8.【小问2详解】成绩在 4 0,7 0)的频率为(0.0 1+0.0 2 6+0.0 2)
25、x 1 0 =0.5 6,成绩在 4 0,8 0)的频率为0.5 6+0.03x10=0.86,第65百分位数位于 70,80）,设其为工,贝U0.5 6+（x-70）x0.03=0.6 5,解得：x=73,.第65百分位数为73.【小问3详解】第5组的人数为：5 0 x0.008x10=4人，可 记 为 第 组 的 人 数 为：5 0 x 0.006x10=3 A,可记为则从中任取 2 人，有（A B）,（A C）,（A D）,（A,a）,（A,。），（AC）,（B,C）,（B,D）,（B,a）,（B,b）,（氏c）,（C,D）,（C,a）,（C,b）,（C,c）,（D,a）,（D,c）,（
26、a,b）,（a,c）,（b,c）,共 21 种情况；其中至少人成绩优秀的情况有：（A a）,（A。），（A c）,（氏a）,（民 与，（B,c）,（C,a）,（C,b）,（C,c）,（D,a）,（D,c）,（a,b）,（a,c）,（b,c）,共 15种情况；至少人成绩优秀的概率P=卷=I.21.已知 函 数/（耳=%-2混+，+3（m6 2）为偶函数，且/（3）0且a w l）,求8（%）在（2,3上值域.【答案】相=1,，（力=如；当”1时，函数g（x）的值域为（ro,log03,当0.1时，g（x）的值域为 loga3,+oo）.【解析】【详解】试题分析：因为3）0,解得一 1/1,0ai
27、两类，利用复合函数单调性来求函数的值域.试题解析：（1）因为/（3）（）,解得一1 /l时，y =l o g/在区间(0,3上是增函数，所以y w(Y 0,k)g“3；当0 “l时,函 数g(x)的值域为(-0 o,l o g a 3,当0。1时,g(x)的值域为 l o g.3,例).考点：幕函数单调性，复合函数值域.【方法点晴】本题主要考查寻函数的单调性和复合函数单调性与值域的问题.根据题意/(3)0),则函数/(x)=4-m 2 2=/-2,加=(一2,又函数“X)有零点令/(x)=0则因为10,故/=260,故机0(2)g(x)=ln(Jx2+1一%)为奇函数.由 g(x)=In(7x
28、2+l-x j 定义域yjx2+i-x 0恒成立.且g(-九)+g(x)=x)+In(J(T)2+1一 (一司)=In(Jx2+1-x)+In(+1+x)=In(x)+1-J)=m 1 =0.即 g(-x)+g(x)=0故8(%)=111(5/炉+1一)为奇函数.(3)因为g(x)=ln(J?T i x)为奇函数，且g(x)=ln-三-在(0,+2,2-2一 =2，又当 2=2a 时2+2。=0不满足a1 6,故“=2+2-24+4一 2 一 2?/、2 2又2m=2-=一*在(2,+8)上单调递增.故一一2 =12+2T n n 2即 2m l,m 【点睛】本题主要考查了换元法解决二次函数有关的复合函数问题，同时也考查了奇偶函数的判断与证明与奇偶性的运用等.属于难题.