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1、2022-2023学年北师大版九年级数学上册 4.5相似三角形判定定理的证明同步练 习 题（附答案）1.如图,正 方 形 N8 c。中,E 是 8 c 的中点,连接 ,D F丄A E于点、F,连接 CF,F G丄C凡 作点G交4 D于点G,下列结 论:C F=C D,G 是A D中点,。,幽=2,其中结 论正 确 有（）个.EF 32.如图矩形N8。中，点 E 是边 8的 中 点,将 沿 XE折叠后得到/F E,且点F在矩形”8 c。的内部,将延长后交边8 c 于点G,且 竺=匡,则期的值 为（）GB 5 ADA.A B.C.1 D.3 6 73.如图,在菱形8CZ）中,E F丄4 c于点H,
2、分别交 。于点E,C 2 的延长 线于点,且A E：F B=：3.则 G8：C。的值 为（）A E D B CA.A B.A c.25 5 34.如图,在 正 方 形/8C。中，点 E 在8边上,丄。E 于点G,15,B E=5,则aN E G 的面积与四边形 5 G E的面积之 比 是（D.34交 8 c 于点.若厶E=）DwB F CA.A B.2 C.茎3 3 45.如图,在/BC 中,DEHBC,D F/A C,若 殁=丄DB 2D.16,则下列结 论正确的是（）AR DE-1DF 2DSA A D E;丄ADBF 46 .如图,在 N8。中,是/8的中点,E是 8c 延长 线上一点,
3、K B C=2 C E,连接E7 .在4 8 C中，/8 c=1 2 0，点。在边 C上,且满足。8 丄8/,。=4 8,则迫 =()ABA-料 B 加 C.近 D.V38 .如图,在 R t ZX/8 C 中，ZC=9 0,。平分/C48,BE 平 分/CBA,/。、B E 相交于点,且尸=6,EF=2&,则 C的长 为()9 .如图,矩 形 8 C。中,是。C上一点,B F L 4 C,垂足为E,/8=2 。=4,则C 长10.如图，在等边/BC中,点。,E分别在边8 c,NC上,Z A D E=6 0c,若。=2,里,则 E 的长度为(D C 21211.如图,团 8 8 中,E 是/8
4、 延长 线上点,D E交B C于点F,且 8E：A B=3：2,A D=1 0,则 C F=()Drr-,C12.如图，在48。中,DE/BC,AD-.D B=3：1,四边形。8CE的面积为 2 1,求4DE的面积.B，-13.已知四边形 8 8 中,E、分别是8、边上的点,E 与 C厂交于点G.(1)如图1,若四边形8 8 是正方形,且 1 丄”,求证:D E=C F；(2)如图2,若四边形/18CZ)是矩形，且。E丄C F,求证:坦=理.C D C F14.已知矩形A B C D的一条边。=4,将矩形A B C D折叠，使得顶点B落在边上的P点处.(1)如图,已知折痕与边8C 交于点。，连
5、 结 尸、。尸、O A.求证:C P s M D A；(2)若。“与AP。的面积比为1：4,求边 8 的长.15.如图,已 知:在N8C中,A B=A C,点、E、是底边所在直线上的两点,联接 E、A D.若心=DC,DE.求证:(1)N A B C=N D A E；城=%A D216.如图，在8 c中,点 是边8 c上一点，N A D E=N C,D E交边c于点E.(1)求证:理=地;D C A C(2)若 班=丝,求证:N A B D=N A D B.A D B C17.如图，四边形/I8C。为菱形，点E在 C的延长 线上,/A C D=N A B E.(1)求证:ABCSAAEB；(2
6、)当8=3,ZC=2时，求 E的长.E(1)求证:A A E B s C E D；C D,且 8O平 分/N8C.(2)若 BC=9,EC=3,A E=2,求8 的长.19.如图,点 在N8C 的边 N。上,已知。=2,。8=1,4C=戈,Z A D C=6 0 ,求N B C D的度数.20.如图,四边形8C为平行四边形,E为 边B C上一点,连接2、A E,它们相交于点F,且/B D A =NBAE.(1)求证:BE2=EF*AE；(2)若 BE=4,EF=2,D F=9,求/18 的长.21.如图，在回48C。中，NE丄8 c于点E,点 在8 c的延长 线上,且C尸=8 E,连接 C,D
7、F.(1)求证:四边形4E。是矩形;(2)若/。=90,AE=4,C F=2,求一 些.2ACFD2 2,如图所 示,在48。中,4 0丄5c 于 点 ,ZBAC=45,BD=3,C D=2,求 4。的2 3.如图所示,在等腰三角形Z5C中,AB=AC,点、E,在线段 C上,点。在线段43上,H CF=BE,AE2=AQB.求证:(1)ZCAE=ZBAF；(2)CFFQ=AFBQ.EFBC参考答案1.解:如图,作CN丄于.四边形8C。是正方形,:AB=BC=CD=AD,:/DAB=/B=/ADC=90,：NADF+NCDF=90,ZCDF+ZDCM=90,/./ADF=NDCM,:DFL4E,
8、CM丄DF,：.ZAFD=ZCMD=90,J ADA心MCDM,：.CM=DF,DM=AF,V ZADF+ZDAE=90,ZDAE+ZBAE=90,/.ZBAE=ZADF,：BE=CE,:AB=2BE,A F=1*D F E:.DM=MF,VCM1DF,:CD=CF,故正确,：.ZCDF=ZCFD,u：ZCDG=ZCFG=90,:.ZGFD=ZGDF,:.GF=GD,9：ZGDF+ZDAF=9Q,NGFD+/AFG=90,：.ZGAF=ZGFA,：.GF=GA,：.GD=GA,G是。中点,故正确,丁 ZAFD=ZGFC,:ZAFG=ZCFD,ZGAF=ZCDFt:.D C Fs/AG F,故正
9、确,设 4 r=a,则=2。,A B=AQ,B E=-a,2：.AE=a,EF=3a,2 2.空=3,故正确,E F 2故选:D.,.,四边形 8 CC是矩形,：.AD=BC,.点 E是。的中点,：.DE=CE,.,将 4OE沿 A E 折叠后得到 4F E,：.DE=EF,AF=AD,NAFE=ND=90,：.CE=EF,在 R t ZXE C G 与 RtAEFG 中，f E G=E G)IEF=CE；.R t ZC G注R t Z E/G (HL),：.CG=FG,.C G =4 丽5设 CG=F G=4a,则 8 G=5 a,.AF=AD=BC=9a,；.N G=13a,A/I5=VA
10、G2-BG2=7(13a)2-(5a)2=l 2a,.AB 12a _ 4AD a 故选:A.3.解:.四边形BC是菱形,:.AB=CD,AE/BF,；.NEAB=NABF,ZAEF=ZF,：.EAGSFBG,3=幽=丄F B G B 豆 .G B _ 3,AB 4 G B 3C D 4故选:D.4,解:,四边形 BC是正方形,:.AD=BA,ZEAD=ZFBA=90Q,:/BAF+NBE4=90,：AFLDE,：.ZA GE=90,:.NBAF+NAED=90,二 /BFA=NAED,在力7)和3脳 中,ZEAD=ZFBA=VAD2-AB2=V t2-l：BDCH,：.ABDsdAHC,BD
11、 AB tHC AH t+1txY t-J._ tV3 x t+12 T.(什1)=V3-两边平方得:(P-l)*(?+2r+l)=3,A/4+2?+?-?-2Z-4=0,.戸(/+2)-2(什2)=0,(2)(什 2)=0,V/+20,戸-2=0,“炳故选:A.8,解:如图,过点E作EG丄。于G,连接CR；AD,8E是分别是2 8 4 c和/4 5 c的平分线,:/CAD=NBAD,NCBE=/ABE,V ZACB=90,A2(NBAD+/ABE)=90,工 /BAD+NABE=45,ZEFG=ZBAD+ZABE=45,在Rtz G 中,EF=2瓜：.FG=EG=2,：AF=f,：.AG=A
12、F-FG=4,根据勾股定理得,/=MAG2+EG5=J?+22=后,.【平分/C/8,BE 平 分/ABC,尸是/C8的平分线，：.ZACF=45-ZAFE,:NCAF=NFAE,工 AAEFsAFC,.AE AFAF AC J C-A F2 62 _ 18V5AE 2 泥 5故选:D.9.解:.,矩形8 8 中,AB=2AD=4,：.BC=2,.根据勾股定理得。=頁 2+2=2遥，:SAABC=ABXBC=LXACXBE,2 2根据勾股定理得CE=7BC2-BE2=1-i，r5：.AE=AC-CE=-J,5.四边形8c为矩形,：.AB/CD,故选:D.1 0.解:设8D的长为X,.B D 1
13、-，D C 2*DC=2jC f：.BC=BD+DC=3x,/ZBC是等边三角形,：.AB=BC=3xf ZB=ZC=60,V ZADE=60,A ZADB+ZCDE=12O,ZCDE+ZDEC=12O,/.ZADB=ZDECf：.AABDsDCE,A B _ A DD C D E；AD=2,=2 x D E:.DE=生.3故选:C.11.解:.四边形 5 8是平行四边形,：.DC/AB,AD/BC,DC=AB,AD=BC,:.C D F sgE F,:.BE：DC=BF：CF,:BE；AB=3：2,DC=AB,:.BE：DC=BF：C尸=3：2,：.CF：BF=2：3,：.CF：BC=2：5
14、,.D=8C=10,：.CF：10=2：5.：.CF=4.故选：C.12.解:：AD：DB=3：1,.=_ _ _/8=38,3+1 4 AD=3.,AB 了DE/BC,ADEsABC,SAADE 一,AD 2=/3 2=9SABC=SADE-S 四边形8 C E，且 S 四边形O 8 C E=2 1，SAADE _ 93 A D E+21 16S&ADE=21,。的面积是27.13.(1)证明:如 图1,.四 边形8 8 是正方形,AD=DC,ZA=ZFDC=90,OE丄C于点G,NCGD=90,NADE=NDCF=90-ZCDE,在/)和C中,，ZA=ZFDCDE E B虹)2 DC-DE
15、 -DC即 迎!旦.AD2 C D16.(1)证明：:NADE=/C,NEAD=NDAC,.屈4 0 s,.D E =A D*D C A C(2)证 明:.聖=坦,D C A C.D E =D C,A D A C.D E =C E.A D 而,.D C =C E,而 B C，vzc=zc,.AD EC sAABC,：.NCED=NABD,：/C E D=ZDAC+ZADE=ZDAC+ZC,：.NADB=NDAC+NC,：.ZCED=ZAD B,：.ZABD ZAD B.17.(1)证 明:.四边形8 c o为 菱 形,C.ZACD ZBCA,：ZACD=ZABE,NBCA=NABE,：ZBAC
16、=ZEAB,：.AABC sAH EB；解:AABCSAAEB,.A B =A C*A E A B，*AB=3f AC=2.f.3 _ 2A E 3=-.218.(1)证 明:.：BC=CD,:立CBD=4CDB,8 O平分：.ZCBD=ZABD,：./C D B=N ABD,又：/C E D=/A E B,:.MAEBsACED.(2)解:,:BC=CD,BC=9,，.CD=9,：AAEBs CED,AB=AE=2DC CE 3AB-DC=6.319.解:如图,作CE丄8于点,.7 0=2,DB=1,AC=76,AB=2+1=3,.AC_V6 AB_ 3 _V 6由 2 AC 遅 2.AC=
17、ABAD ACZA=ZA,.ABCsAACD,BC=AB=V 6；NABC=NADC=60,CD AC 2.8C=V_CD,2：ZCED=90,ZADC=60,ZZ)C，=30,.DE=LCD,2CE=CD=CD2-=亨8,-C E,.8C=逅 X CE=,2 3,B E=yj (V2CE)2-CE2=C,.NB=NECB=45,./C D=N 8=45,.NBCD=60-45=15,.N 8 8的度数是15 .ABED20.(1)证明:,四边形BC为平行四边形,:ADBC,NDBC=NBDA,?NBDA=/BAE,：./DBC=NBAE,：/BEF=/BEA,：.EBFsEAB,.E B 二
18、 E F,E A E B：.BE2=EFAE；解:：BE2=EFAE,且 8E=4,EF=2,：.AF=AE-EF=S-2=6,JBE/AD,.B F=E F,而 AF即 更=且,解 得8尸=3,9 6EBFS/XEAB,.B F=E F 而丽,即 _ L=2,A B 4：.4B=6.21.(1)证明:,:CF=BE,：.CF+EC=BE+EC.即 EF=BC.在国18 8 中,8 c且。=8C,；.ADEF 且 AD=EF.四边形 是平行四边形.*：AELBC,：.ZAEF=9O0.，四边形E尸。是矩形;(2)解:四边形 班是矩形,:/AEC=NDFC=90,AE=DF=4,：.ZEAC+Z
19、ECA=90 :SABC=B CA D=LA BC G,22.-2-2-5-55+.20 _Un,4 2X X设=1,则原方程可化为:225 55尹2=0,X(45y-2)(5y-1)=0,.=亠 或 ,45 5当=丄时，4解=22殳=2 2 5*2=1 ,45 x2 45.=CB2_BD2=0 O-9 =1(此种情况8/C 不是锐角,因为 边 B8C),当=时，炉=2=4 5,5 x2=五 廿 82=日5-9=6,综上，O的长 为6.2 3.证明:(1)AB=AC,：.NB=NC,:CF=BE,：.CF-EF=BE-EF,即 CE=BF,在/星 和力8中,rAC=AB-ZC=ZB，C E=B F.ACE义 B F (SAS),：.NC4E=NBAF；(2)V/AC E/A BF,：.AE=AF,/C A E=/B A F,:AE?=AQAB,AC=AB,.AE =AC*AQ AF，:.AAC EsAAEQ,：.N4EC=ZAQF,：.NAEF=ZBQF,：AE=AF,，NAEF=ZAFE,：./B Q F=ZAFE,：Z B=Z C,:CAFs BFQ,.C F =AFB Q FQ即 CF*FQ=AFBQ.