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1、2022-2023学年山西省晋城市第一中学校高二上学期11月月考数学试题一、单选题1.40 1 是等差数列5,9,1 3，的第项.（）A.98 B.99 C.1 0 0 D.1 0 1【答案】C【分析】根据等差数列定义和通项公式即可.【详解】等差数列5,9,1 3,中，首项卬=5,公差 =9-5=4,/.an=5+（-1）x 4=4 +1/an=4 +1 =40 1n 1 0 0.故 40 1 是等差数列5,9,1 3 的 第 1 0 0 项.故选：C.3y 2.准线为 4 的抛物线标准方程是（）【答案】A_e=_3【分析】先分析抛物线的焦点位置，进 而 可 得 2 -4,求出P的值，进而可得
2、答案.3y【详解】解：根据题意，若抛物线的准线为 4,则抛物线的焦点在夕轴正半轴轴上,设抛物线方程为1=2勿，p 3 3-=p 则2 4,故 2,则抛物线的标准方程为-=,故选：A.3.在棱长为1 的正方体中，设 8 =,/。=及，4=c,则7 +工）的 值 为（）A.1 B.0 C.-1 D.-2【答案】B【分析】由 正 方 体 的 性 质 可 知 两 两 垂 直，从而对7+工）化简可得答案【详解】由题意可得所以a_L A a，c,所以4;=0,。=0,所以 q-（+c）=a i+a-c =O故选：B4.九章算术是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更
3、、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?意思是：”有大夫、不更、簪褰、上造、公 士（爵位依次变低）5 个人共出1 0 0 钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这 5 个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出1 7钱，则公士出的钱数为（）A.1 0 B.1 4 C.2 3 D.2 6【答案】D【分析】设大夫、不更、簪裹、上造、公 士 所 出 的 钱 数 依 次 构 成 等 差 数 列 根 据/前 5项和为1 0 0 求解.【详解】解：设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次排成一列，构成数列缶”.由题意可知,等差数列0 中 的=1 7,前 5 项和
4、为1 0 0,设公差为“。），前 项和为S 1则=5%=1 0 0,解得%=2 0 ,所以=3,所以公士出的钱数为牝=0 3+2 4=2 0 +2 x3 =2 6,故选：D.5.设工为等差数列 叫 的前项和，若$9=3 乃，则c o s 3 7-S 2）=（）B_73 1 A.2 B.2 C.2 D.2【答案】C_ 7C【分析】利用等差数列求和公式和等差数列性质，求出生 一孑，原式转化为c s（5%）,利用诱导公式即可求解.cQ+q)x 9 2 a5X 9)S =-=2=9a.=3 zr a,=【详解】因为 2 2 ，所以 3 ,5万 1i、COS(57-S2)=c o s(a3-+-a4+a
5、5+a6-a1)=c o s5a5=c o s =故选：C.、=1 6.已知直线V =2 x+f与椭圆4 相交于A、B 两 点,若线段N2的中点纵坐标为2 ,则t=（）1 5 _1 5 1 7A.8 B.2 C.2 D.2【答案】Dy=2x+t任 +2=1【分析】联立直线与椭圆方程得 +一 ,整理得1 7/+1 6比+4*一4=0,设 （演，必）、8（当，）,利用韦达定理和中点坐标公式，即可得出答案.y=2 x+，3 2 1-F V =1【详解】解：联立直线与椭圆方程得1 4 ，整理得1 7/+1 6 a+4f 2-4=,设“G，M）、以 和%）,贝然=2%+/2=2七+/西+丫 2=一与，占
6、.=，乂+了2=2（西+匕）+2 =2*号）+2/=3 线段Z8的中点纵坐标为5,2t t 1 7弘 +必=1 t=1 7 解得2,故选：D.7.如图，一个底面半径为尺的 圆 柱 被 与 其 底 面 所 成 角 为 的 平 面 所 截，截面是一个椭圆，当 e 为 3 0,时，这个椭圆的离心率为1皂 正 2A.2 B.2 C.3 D.3【答案】A【详解】由椭圆的性质得，椭圆的短半轴6 =R,_ _ 2R _ 2 石。2Q=-a=-R因为截面与底面所成角为6,所以椭圆的长轴长 c o se,得 3e _C=_1所以椭圆的离心率 a 2故选A【解析】椭圆的几何性质.8.己知函数/（x）在（-1,+8
7、）上单调，且函数y=/（x-2）的图象关于x=l 对称，若数列 是公差不为0的等差数列，且，）=/（%）则 加 的 前 1 0 0 项的和为（）A.-20 0 B.-1 0 0 C.0 D.-5 0【答案】B【分析】由函数y=/（x-2）的图象关于x=l 轴对称，平移可得y=/（x）的图象关于x=-l对称，由题意可得。5。+。*=-2,运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和.【详解】解：函数/（x）在（-1,+8）上单调，且函数y=/（x-2）的图象关于x=l 对称，可得y=/（x）的图象关于x=-1 对称，由数列 是公差不为0的等差数列，且/（的。）=/（%/），可得。5。+的/=
8、-2,又 是等差数列，所以 ai+ai（）（）=a5（）+ai=-2,1 0 0（4 +l o o）_ _则 的 前 1 0 0 项的和为 2 1 0 0故选从【点睛】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及求和公式，考查运算能力，属于中档题.二、多选题9.以下四个命题表述正确的是（）A.直线（3 +加）+勺-3 +3?=0（加幻恒过定点（-3,-3）B.圆f+/=4 上有且仅有3 个点到直线/：x-y+也=的距离都等于1C.曲线G：/+V2+2x =0 与曲线G：x 2+V-4 x _ 8 y +/n =0 恰有三条公切线，则加=4D.已知圆C：/+V=l,点P为直线+2了 =4
9、 上一动点，过点P向圆C引两条切线4、PB,其中A、8为切点，则 直 线 经 过 定 点【答案】B C D【分析】利用直线系方程求解直线所过定点判断A；求出圆心到直线的距离，结合圆的半径判断B；由圆心距等于半径和列式求得加判断C；求出两圆公共弦所在直线方程，再由直线系方程求得直线所过点的坐标判断D.【详 现 年 由（3 +加）工+4y一 3 +3 加=0,得3 x +4歹 一 3 +加。+3）=0 ,J x +3 =0 J x =3联立（3 x +4y 3 =0,解得b =3 ,.直线（3 +m）x +4y-3 +3 m =0（加 e K）恒过定点（-3,3）,故 A 错误;.圆心（o,o）到
10、直线/：x-y+&=的距离等于i,.直线与圆相交，而圆的半径为2,故到直线距离为1 的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线/：x-y+0 =的距离等于1,故 B正确；两圆有三条公切线，则两圆外切，曲线G：*+2 x=化为标准式（x +l f+V=l,曲线。2 ：x)+4x-8 y+/n =0 化为标准式(x-2f +(y-4)2=20-m 0圆心距为J（2+l+42=5=l+j2 _ ,解得机=4,故 c 正确；设点尸的坐标为（见），,以 为 直 径 的 圆 的 方 程 为/+丁-3-即 二,两圆的方程作差得直线 3 的方程为：mx+ny=!消去 得，2 ,令 x-2
11、=o,n x=：（-）2 y-l=0,解得 4,2,故 直 线 经 过 定 点 4,2，故 D 正确.故选：BCD1 0.己知数列 J 的前项和为S ,则下列说法正确的是（）A.若S“=T,则%是等差数列；B.若”是等差数列，则三点1 而）、1 0 而(110,罹 111”共线;C.若 “是等差数列，且=T 1,%+%=-6,则数列%的前项和S,有最小值；D.若等差数列 的 前 12项和为3 5 4,前 12项中，偶数项的和与奇数项的和之比为32：2 7,则公差为5.【答案】BCD【分析】A 选项利用S-5 1=%（，?22）求出勺即可判断；B选项根据等差数列前项和公式对点坐标进行处理，同时利
12、用斜率相等证明共线；C 选项利用等差数列的性质求出公差，再结合首项和公差的正负判断S，有无最小值；D 选项根据偶数项和奇数项的比值求出偶数项和奇数项的和，从而作差求出公差.【详解】A 选 项:a=5-，1=2 _ _（_1）一 卜2-1（2 2）,当”=1 时，=0,不符合q，=2 7,所以“0,(=1)2 T(2 2),故 人错;S na+B 选项：因为“”为等差数列，所以一(l)d2一 n 2SoTo-2 110 2S&_ o o10 ioo=J因为 10-100 20110 0100110 100=。110-100-2 ，所以三点共线，B 正确;C 选项：因 为%+%=4+。9=-6,所
13、 以%=5,d=2,因为q 0,所以 S“有最小值，当=6 时取最小值，故 C 正确;D选项：因 为 品=3 5 4,前 I 2 项里偶数项和奇数项的和的比为3 2:2 7,所以偶数项和为1 9 2,奇数项和为1 6 2,偶数项和-奇数项和=6 =3 0,所以公差为5,D正确.故选：B C D.1 1.已知数列SJ的前 项和为S ,下列说法正确的是（）A,若S =2”2-6 +1,则&=4-4B.若数列也 为等差数列，S 为数列J的前项和，已知。=20,邑。=9 0,则$2。=5（）1 2C.若a”=4-3,则数列的前1 0 项和为4 1D.若数列 为等差数列，且。“+即 2 0）则 当 。时
14、，的最大值为2 0 2 3【答案】B C【分析】对于A,=1 时，q=S=-3*0,即可判断出正误；对于B,由数列“为等差数列，可得B o,S2O-SIO,S30S20t成等差数列，解得S%即可判断出正误；对于C,”=4-3,_ =_ _ =lp_ _ _ _ _ _ L向（4 n-3）（4 n +l）4 1 4-3 而+U,可得出数列 的“+J 的前i o 项和，即可判断出正误；对于D,由数列 为等差数列，且。U +|。1 2 ,可得4 0 1 2,I ,利用求和公式及其性质即可判断出正误.【详解】解:A.=l 时,q=E=2-6 +1 =-3%0,因此如=4-4 不正确:B.由数列也 为等
15、差数列，则 与，S20-Sw,S 3 0-S 2 0,成等差数列，2 区。-2 0）=9 0-邑。+2 0,解得$2 0=5。，因此正确；1 1 1_ _ _ _ _ _!_）C%=4 -3 6 4+（4 一 3）（4 +1）4 1 4 一 3 4n+l J数列储同+的前】0 项和为4 1 J 4 1,因此正确；D 数列依 为等差数列，且。u+/2 0,2%012 0 ,即012 0 ,0 1 0 1 1 0,S 3 2 0 2 2（：+限2）=匹“+*）0则 2 ,2 ,当S”时，的最大值为2 0 2 2,因此不正确.故选：B C.1 2.如 图1,曲线C：（X2+V）=1 6X2 V 为四
16、叶玫瑰线，它是一个几何亏格为零的代数曲线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用.如图2,苜蓿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆驶入环道后再自右侧切向汇入主路，四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状给出下列结论正确的是（）图1图2A.曲线C只有两条对称轴B.曲线C仅经过1个 整 点（即横、纵坐标均为整数的点）C.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2D.过曲线C上的任一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为2【答案】B C D【分析】对于A,由图象可得答案，对于B,由图象结合曲线方程判断即可，对于C,由曲线方程结合基本不等式
17、可判断，对于D,利用基本不等式判断【详解】因为曲线上任一点a/）,关于x轴的对称点a，-y）满足曲线方程，关于y轴的对称点（-X J）满足曲线方程，关 于 直 线 的 对 称 点（x）满足曲线方程，关于直线夕=-*的对称点（一乃一幻满足曲线方程，所以可知曲线有4条对称轴，所以A错误，i=16x2y2 +v=4（x2+y2）2 2 2 yz i所以 7 4,所以厂+y 4 4,当且仅当x =V时等号成立，所以曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2,所以C正确，由图可知将第一象内的整数点（11），（1，2），（2，1）分别代入曲线方程中，等号不成立，所以曲线在第一象限不经过整数点，由对称性可
18、知曲线只经过原点，所以曲线C仅经过1个整点，所以B正确，由曲线的对称性，在第一象限内的曲线上任取一点（XJ）,则过这一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴2 2S=x y X-y-an-a,=4+6 +2 =-=n+n-2由累加法得 2=3 +/+-2 =/+1.而=3 也符合，故答案为：2+11 5.如图，已知点尸为抛物线C：=4 x的焦点过点尸且斜率存在的直线交抛物线。于48两点,点D为准线/与x轴的交点，则“D A B的面积s的 取 值 范 围 为.【答案】区+8）c 4.X+x?=2 H【分析】设4 B坐标和直线N8的方程，让直线方程与抛物线进行联立可得 公，为吃=1,接 着 利 用 弦 长
19、公 式 求 出 再 求 出 点。到 直 线 的 距 离，最后利用三角形的面积公式即可求出答案【详解】由抛物线C：/=4x可得焦点/（L 0）,准线方程为x=-l,（T ）,设（X Q）外打力），直线”的方程为k4（1）（/）,y=k（x-）4由i/=4 x，可 得/2-（2公+4卜+/=0,贝/+2+乙砧=1,AB =J 1 +%2-7（XI+X2）2-4-VIX2=J 1 +无2+-4 =40；*）所以 八f A ,直线A B的一般方程为丘一 丫 一卜=0,d=L点（T，0）到直线A B的距离 V+T ,所以=4.”4所 以 的 面 积s的取值范围为（4内）,故答案为：（4+0 0）1 6
20、.阅读材料：空间直角坐标系-x y z中，过点尸（%，a。）且一个法向量为万=（。也。）的平面a的方程为一%）+c（z zo）=,阅读上面材料，解决下面问题：已知平面a的方程为3 x-5 y +z-7=0,直线/是两平面工-3夕+7=与4 y+2 z+l =的交线，则直线/与平面a所成角 的 正 弦 值 为.叵工 加【答案】3 5#3 5【分析】根据阅读材料可得平面a的一个法向量，再在两平面的交线上取两个点，从而得交线的方向向量，由此利用向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【详解】因为平面。的方程为3A5 y +z-7=,所以平面。的一个法向量力二0，fl）,又直线3m。上有两个W）,所以直线/的
21、方向向量为比=8/=（3,1,-2）,Ic o MM 师 司 5-2|_ 痴COS机,n）一|1 I-所以直线,与平面a所成角的正弦值为 网 网J 1 4 x,3 5 3 5故答案为：3 5 .四、解答题1 7.在锐角“BC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边且Ka=2 cs i n”.（1）确定角的大小；3出 若C =V 7且28c的面积为T,求a +b的值.c=-【答案】3+6 =5【分析】（1）由正弦定理边化角，即可求解；（2）由面积公式和余弦定理列方程可得4+6.【详解】（1）由Ga=2 cs i M,结合正弦定理可得退s i n 4 =2 s i n C s i nJ ,/s i
22、 n 4 H 0 ,.s i n C =2 ,因为“8c 为锐角三角形，C =-所以 3.1 ,._ 也,3A/3S ub s i n C =cib=-(2)因为“8C的面积 2 4 2 ,所以解得湖=6.由余弦定理可得c=a2+b2-2abcosC =(a+b)-3ab=(a +6)2-1 8 =7所以(+”=2 5,解得a +b =5.1 8.记 是 公 差 不 为 0的等差数列 的前项和，若4=5 5，%，=S.（1）求数列 见 的通项公式知；（2）求使 ，成立的n的最小值.【答案】（1/=2 一 6；（2【分析】（1）由题意首先求得出的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公
23、式;（2）首先求得前n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n 的最小值.【详解】（1）由等差数列的性质可得：$5=5%,贝|J：。3=5%,二%=,设等差数列的公差为“，从而有：=3-d）3+）=-/，5*4 =%+。2 +%+4 =（。3 -2 d）+Q-1）+3 +（3 +1）=-2 1从而：由于公差不为零，故：1 =2,数歹I J 的通项公式为：”=%+（-3）4 =2 -6.)6 S“=x(-4)+-x2=n2-5n(2)由数列的通项公式可得：4-2-6 =-4,贝|j：V 7 2 ,则不等式S,。“即：n2-5 n 2 n-6,整理可得：(T)(-6)。，解得：6,又为正整数，
24、故的最小值为7.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.I$_ n a1 9.已知数列 的前 项和为S,且向“e N ,求生的值，并证明：数列是一个常数列._ 3【答案】外一彳，证明见解析.【分析】根据给定的递推公式求出生,再结合“2 2,%=5“-5,1，,推理计算作答a.=-3“二 T ,Q +i *=S,=a.=a)=【详解】因为 4,且 2 +1 ,n e N ,则 3 4,解 得-4,S 2(I)由 2 +1 I 有当 2 2 时，2 n-l a,a 一 2 2 1(2 2)与已知条件两式相减，即可得可，再
25、检验是否满足 即可.(2)由等差数列前”项和公式求出S ,由不等式分离出九，转化为最值问题，再利用基本不等式求最值即可求解.【详解】因 为 4+2。2 +2-%+-+2%“=-2(),所以 q+2%+2 2 +2？%_ =(-1)2 2 2)两式相减可得：2”=2-(1)2=(+1)2-(2 2)所以勺=+1(2 2),当=1 时，=2 满足=+1 (*2),所以4,=+1,(2+1)(+3)(2)”=-2 2,由5可得：”2 3+5 1,+51 n(H+3)+102所以-2(+l)+n+l-2(+1),g(),山+3)+102令 2(+1),只需兀4 g oi).g()=/?(77+3)+1
26、02(+1)(+2)+100 +2 50-7-1-2(+1)2(+1)2 n+n+1 50/、当 且 仅 当-2-=-+-1 即=9 时等号成立，此时 g(7)m21万,0,6 0）【分析】（1）由己知可设，双曲线0的标准方程为。一 b2 7,根据条件列出“，c关系式，解出代入方程即可；（2）对直线的斜率能否为0进行讨论.斜率不为。时，设/的方程为尸=.+机，联立直线与椭圆的方程，有垂直关系时，在圆锥曲线中常用向量法，化简得到加，的关系式；斜率不存在时，写出直线方程，验证即可.x2 v2,Z-T 0-Z-=1 0,Z 0）【详解】（1）设双曲线c的标准方程为 h2 ）焦点为4（3）,工（C，。
27、），匕+仁=1因为双曲线C 与椭圆9 4 有相同的焦点，所以。=石bcI =b=2因为焦点到渐近线的距离为2,所以,从而a=yjc2 b2=1)故双曲线C 的标准方程为4（2）证明：设 （知必），尸H，）当直线/的斜率存在时，设/的方程为=h+机,联立方程组y=kx+m,/V-1X 一 5,化简得 0-r”-2kmx-(in2+4)=0则 =(2痴)2+4 +4 乂4-公)0 ,即/工 +4 0 ,且2kmX,1+x2=-4-公-m2-4x.1x2=-7-4-k2因为。E 。夕=（占一 1）（9 -1）+必为二0所以，&+1卜 也+(._1)6+W)+/+1=6+1):+(加 _ 1 寸+1=
28、0化简得3m 2 -2km-5k2=(m+4)(3加 5)=05,tn=-k、.所以加二-或 3,且 均 满 足-储+4 。当切=-%时，直线/的方程为昨N*T）,直线/过定点a）,与已知矛盾;m=-k当 3时，直线/的方程为,过定点 争当直线/的斜率不存在时，由对称性，不妨设。E方程为：产x-1,X2 4联立方程组 y =x-l ,得4 1-&-1)2=4得 为=1,2 3,此时直线/过 定 点I 3)因为O G,E尸，所以点G在以。为直径的圆上，为该圆的圆心卜 印 为该圆的半径，故存在定点1 3人 使 得M为定值3【点睛】圆锥曲线中的定值问题通常是通过设参数或取“特殊值”来确定定值是多少.因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现.