《2021年全国高考甲卷数学（文、理）试题（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年全国高考甲卷数学（文、理）试题（解析版）.pdf（46页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试(甲卷)文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=1,3,5,7,9,N=x|2x7,则 M N=()A.7,9 B.5,7,9 c.3,5,7,9 D.135,7,9【答案】B【解析
2、】【分析】求出集合N后可求M c N.【详解】N=G，+S),故MCN=5,7,9 ,故选：B.2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：组距根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案】C【解析】【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值
3、作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.【详解】因为频率直方图中的组距为1,所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.02+0.04=0.06=6%,故A正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.04+0.02x3=0.10=10%,故B正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.10+0.14+0.20 x 2=0.64=64%50%,故 D 正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计
4、值为3x0.02+4x0.04+5x0.10+6x0.14+7x0.20+8x0.20+9x0.10+10 x0.10+11x0.04+12x0.02+13x0.02+14x0.02=7.68(万元)，超 过6.5万元，故C错误.综上，给出结论中不正确的是C.故选：C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于军x组距.组距c.23.己知(l i)2 z =3 +2 i,则2=()3 3A,-1 z B.-1+-Z2 2【答
5、案】B【解析】【分析】由已知得z =根据复数除法运算法则，即可求解.-2 i【详解】(1-02Z=-2Z Z=3+2Z,3+2;(3 +2 z)-z -2 +3 i,3 .-2 z -2 i-i 2 2故选：B.4.下列函数中是增函数的为()A.x)=-x B./(x)=-c.f(x)x21 3 J【答案】D【解析】D.32D.【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A,/(%)=-x为R上的减函数，不合题意，舍.对于B,=|为R上的减函数，不合题意，舍.对于C,/(%)=/在(yQ)为减函数，不合题意，舍.对于D,可=取 为 氏 上的增函数，符合题意，故选：D.2
6、,5.点（3,0）到双曲线三-4=1的一条渐近线的距离为（）1 6 99 8 6 4A.B.-C.-D.一5 5 5 5【答案】A【解析】【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.2 2【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：工 乙=0,即3 x 4 y =（）,1 6 9结合对称性，不妨考虑点（3,0）到直线3 x +4 y =（）距离：d=故选：A.6 .青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足L =5+gV .已知某同学视力的五分记录法的数据为
7、4.9,则其视力的小数记录法的数据为（）（1 0 1.2 5 9）A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6【答案】C【解析】【分析】根 据 关 系，当L=4.9时，求出I g V,再用指数表示V,即可求解.【详解】由 L=5 +l g V,当 L=4.9 时，l gV =-0.1,_ L 1 1则 V =1 0-=1 0 1 0!0.8.V i o 1.2 5 9故选：C.7 .在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-E F G后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）【答案】D【解析】【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何
8、体的直观图，结合直观图进行判断.【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，8.在 AABC 中，己知 B=120,AC=M，AB=2，则 B C=()A.1B.V2C.V5D.3【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理得到关于8 c 长度的方程，解方程即可求得边长.【详解】设AB=c,AC=O,BC=a,结合余弦定理：Z?2 =/+0 2-2qccosB 可得：19=a2+4-2xaxcosl20，即：a2+2 o 1 5 =0 解得：a=3(a=5 舍去)，故 BC=3.故选：D.【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：(I)己知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其
9、夹角求第三边及两角；(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形.9.记 S“为等比数列 q 的前项和.若邑=4,S4=6,则$6=()A.7 B.8 C.9 D.1 0【答案】A【解析】分析】根据题目条件可得邑，s4-s2,Sb-54成等比数列，从而求出&-S 4=1,进一步求出答案.详解】V sn为等比数列 q,的前项和，反，s4-s2,-s 成等比数列S2=4,S4-S2=6-4=2S6-S4=1,/.S6=1 4-S4=1 +6 =7.故选：A.1 0 .将 3 个 1 和 2 个 0随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为()A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8【答案】C
10、【解析】【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是:(X)l 11,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11(X)1,11010,11100,共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：01011,01101,01110,10101,10110,11010,共6种方法，故2个0不相邻的概率为后=0.6,故选：C.(n A cos a11.若aw 0,工，tan2a=；,则ta n a=()I 2，2-sin aAA.-屈-R石 n V15JD.-LJ.-15 5 3 3【答案】A【解析】分析】由二倍角公式可得ta
11、n2a=生=2smac;sa,再结合已知可求得s ina=l,cos2a l-2sm a 4利用同角三角函数的基本关系即可求解.C O S(7【详解】tan 2 a，2-sin ac sin 2a 2 sin a cos a cos atan 2a=-=-=-,cos2a l-2sin a 2-sina(八乃、八 2sina 1 日.112 J l-2sin2a 2-sina 4A-y/15 sin a V15cos a=5/1-sin a=-，/.tan a=-=-4 cosa 15故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sina.1 2.设
12、/(x)是定义域为R的奇函数，且/(1 +力=/(一 力.若/()5 1 1I.-B.C.一3 3 3【答案】c【解析】【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1 3.若 向 量 满 足 忖=3,卜-。卜5,“一。=1,则卜|=.【答案】3 yli【解析】【分析】根据题目条件，利用a-b模的平方可以得出答案【详解】V|-|=5a-=a+b-2a-b=9+-2 =25.明=3技故答案为：3亚.1 4.己知一个圆
13、锥的底面半径为6,其体积为30则 该 圆 锥 的 侧 面 积 为.【答 案】3 9万【解 析】【分 析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.I,【详 解】：V =-乃6?万315.己知函数/(x)=2co s(5+0)的部分图像如图所示，则八马=.【答 案】【解析】【分析】首先确定函数的解析式，然后求解/（i j的值即可.【详解】由题意可得：1,=臂9=今,.万=肛=半=2,、口 13 7 r ._ 13乃 _,_.13 7、r i x =2 时，cox+=2 x 2(p 2 k 兀,cp 2 A-兀 0,。0）的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困
14、难的是求待定系数。和0,常用如下两种方法：由。=y即可求出3 确定9时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标X0,则令0 Xo +9=O（或0 Xo +e=7 T）,即可求出9.（2）代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或 零点”）坐标代入解析式，再结合图形解出3和外 若对A,0的符号或对9的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.2 216.已知6,K为椭圆C：二 十 二=1的两个焦点，P,。为C上关于坐标原点对称的两16 4点，且|P Q|=|耳 国，则四边形用。6的面积为.【答案】8【解析】【分析】根据已知可得P耳，巴，设I P耳1=，,1以 冒=，利用
15、勾股定理结合力+=8,求出如7,四边形P片。鸟面积等于加，即可求解.【详解】因为尸，。为C上关于坐标原点对称的两点,且|P Q I=I 6K I，所以四边形P K Q B为矩形,设 I P 4 1=机P F?=n,则加+=8,m2+2=48,所以 64=(/+“)2=m2+2 mn+n2=48+2 mn,加=8，即四边形P Q 8面积等于8.故答案为：8.三、解答题：共 70分.解答应写出交字说明、证明过程程或演算步骤，第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共 60分.17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级
16、品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 20 0件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?n(ad-hc)2(a+b)(c+d)(a +c)(b+d)附：K2P(K2 k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)7 5%；6 0%；(2)能.【解析】【分析】根据给出公式计算即可【详解】(1)甲机床生产的产品中的一级品的频率 为 变 =7 5%,
17、1 2 0乙机床生产的产品中的一级品的频率为=6 0%.2 0 0 =4 0 0(1 5 0X8 0-1 2 0X5 0)2=4 0 0I0 6J6 3 5；2 7 0 x1 3 0 x2 0 0 x2 0 0 3 9故能有9 9%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.1 8 .记 为 数 列%的前项和，已知见0,%=3 4,且数列 底 是等差数列，证明：为 是等差数列.【答案】证明见解析.【解析】【分析】先 根 据 病-6求出数列卜用 的 公 差 进 一 步 写 出 疯 的通项，从而求出 为 的通项公式，最终得证.【详解】.数列 厄 等差数列，设 公 差 为 二=一 信=8+%一
18、如=施.5 =yfoy+(n-,(n e N,)S“=q2,(n e N*),当 N 2 时，an=Sn-S _ =aAn2-at=la n-ax当鹿=1 时，2 a,x 1 -a=a1,满足a“=2 q-q,/.4的通项公式为 4=2 q-q,(n e N,)/.an-an_=(2 a1n-1)-2 4 zl(/i-l)-4 zI=2 t z1，4是等差数列.【点睛】在利用a=S-Sj求通项公式时一定要讨论n=1的特殊情况.1 9 .已知直三棱柱A B C A 4G中，侧面4 4,4 3为正方形，A B =B C =2,E,F分别为A C和C G的中点，（1）求三棱锥尸-E 3C 的体积；（
19、2）已知。为棱A B】上的点，证明：B F 工DE.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）首先求得A C 的长度，然后利用体积公式可得三棱锥的体积；（2）将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的结论.【详解】（1）如图所示，连结AF,由题意可得：B F =yjBC2+C F2=V4+1=V5 由于 BC_LAB,B Bt B C =B ,故 A B _ L 平面,而 6/u 平面8C G 4，故 A B J _ 3 ，从而有A F =JA B2+B尸2 =1=3,从而 A C =JA 2 _C E2=71=20，则A3?+8。
20、2 =AC2,:.ABLBC,A 3c为等腰直角三角形，SABCE=g s“c=；x(g x2 x2)=l,VF_E B C=；XS&BCE x b=；xl xl =；.（2）由（1）结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体A B C M-A A G M一 如图所示,取棱A例,8 C的中点H,G,连结4 ,H G,G 4,正方形8C G片中，G,尸为中点，则3 f _ L g G,又8尸_1 4 5,4瓦 B =B1,故平面4A G H,而 Eu平面A 4 G H,从而BF上DE.【点睛】求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面
21、作为底面，另一条侧棱作为高来求体积.对于空间中垂直关系（线线、线面、面面）的证明经常进行等价转化.2 0.设函数/（x）=/+o r-3 1 n x+1,其中 a 0.（1）讨论了（力 的单调性；（2）若y =/（x）的图象与x轴没有公共点，求”的取值范围.【答案】（1）/（x）的减区间为（0,/）,增 区 间 为+s）；（2）a：.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据/。）0及（1）的 单 调 性 性 可 得0,从而可求4的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为（0,+）,又/，（=（2 +3）（1）,X因为。故2依+3 0,当0 x 时，f（x）（
22、）；a a所 以 的 减 区 间 为（o,j,增区间为1J+8）（2）因为/（1）=/+4+1 0且=/（x）的图与X轴没有公共点，所以=/（x）的图象在X轴的上方，由（1）中函数的单调性可得/（x）m in =/（T）=3 _ 3 1 n 5 =3 +3 1 n a ,故 3+3 1 n a 0 即e【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.2 1.抛物线C的顶点为坐标原点O.焦点在x轴上，直线/：x =l交C于P,。两点，且O PLO Q.已知点4（2,0）,且;/与/相 切.（1）求C,M的
23、方程；（2）设4,4,4是C上的三个点，直线4 4,A4均与 M相 切.判 断 直 线 与 M的位置关系，并说明理由.【答案】（D抛物线C：y 2=x,M方程为（x 2）2 +y 2=i；（2）相切，理由见解析【解析】【分析】（1）根据已知抛物线与x =l相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出R Q坐标，由OPL OQ,即可求出P；由圆M与直线x =l相切，求出半径，即可得出结论；(2)先考虑A4斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由4,&,4三点在抛物线上，将直线4 4,A 4,44斜率分别用纵坐标表示，再由与圆 相切，得出乂+:为 与 必 的 关 系，最后
24、求出M点到直线&A的距离，即可得出结论.【详解】依题意设抛物线C：y 2 =2 p x(p O),P(l,y o),Q(l,一%),OPOQ,:.OPOQ=l-y=-2 p =0,：.2p=l,所以抛物线C的方程为尸=x,M(0,2),M与x =l相切，所以半径为1，所以 M的方程为(x 2 y +y 2=i；(2)设 4(占名)出“2，%)，4。3，%)若4人 斜率不存在，则A4方程为无=1或 =3,若AA方程为x=i,根据对称性不妨设a(1,1),则过4与圆M相切的另一条直线方程为y =l,此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在%，不合题意；若44方程为x =3,根据对称性不妨设4(3,
25、6),4(3,石)，则过4与圆M相切的直线A A为y 6 =乎(x 3)，又 _乂-%1 1 一6 v 一0乂 _ _,_ R _Q，%一U，%-七 y+%W+%3尤3 =0,4(0,0),此时直线AAJ,&AJ关于x轴对称，所以直线A2A 3与圆M相切；若直线A4，A 1 A 3,4 A 3斜率均存在,111则 kA,A.=，心出=，女A A =y +必 x +%+%所以直线44方程为y-X =-（x x j,x +必整理得 X-（y +2）+）。2 =，同理直线44的方程为一（%+%）+%=。，直线4 Al的方程为%-（%+%）+%=o，与圆 M 相切，/、2=1，1 +（必+%）整理得（
26、y：-1）+2%必+3 -y：=0，44与圆M相切，同理（4-1）+2凹为+3-弁=0所以为，%为方程（犬-1）/+2 y l y +3-4=0的两根,M到直线44的距离为：|2 +L|2 +%必1:犬一15 1 +（%+%）2 J +（_ _ 1 _）2_，及 I l 一犬+1=17（/-1）2+4/K+1，所以直线&A与圆M相切；综上若直线4 4,A4与圆M相切，则直线A 2 A 3与圆M相切【点睛】关键点点睛：（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示,将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充分利用4 4,AA的对称性，抽象出 2 +3,为与|关系，把 2，3
27、的关系转化为用H表示.（二）选考题：共 10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程2 2.在直角坐标系X。），中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p-2 叵c os 0.（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为（1,0）,M为C上的动点，点 尸 满 足=写出P的轨迹G的参数方程，并判断C与G是否有公共点.【答案】（X-后+丁=2；P的轨迹C的参数方程为卜为 一 应+2 c os。（y =2 si n（9为参数），C与G没有公共点.【解析】【分析】（1）将曲线C的极坐标方程
28、化为夕2 =2 0 p c o s 6,将无=以内。,=/?5出（9代入可得；设P（x,y）,设“（0 +0 c o s。,、历si n。），根据向量关系即可求得P的轨迹G的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.【详解】（1）由曲线C的极坐标方程夕=20c os6可得夕2 =20入0 5 6,将x =p c os6,y =p si n。代入可得/+丁=2小，即 卜 一 血 +=?,即曲线C的直角坐标方程为（x-&+y 2 =2；（2）设尸（x,y）,设M（行 +J c os。,J si n 6）AP=6AM/.（x-1,y）=/2 （0 +V 2 c os0-,5/2 si n 6）=
29、（2 +2 c os0-V 2,2 si n 8）,x 1 =2 +2 c os 0,y/2 x =3 /2 +2 c os 0则I，即I ，y =2 si n 6 y-2 si n 6c x=3 2+2 cos 0故p的轨迹G的参数方程为1（。为参数）y=2sin6曲线C的圆心为（血,0）,半 径 为 近，曲线G的圆心为（3-后,0），半径为2,则圆心距为3-2夜，3-2夜 2【解析】【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将y=/（x）向左平移可满足同角，求得y=/（x+”）过41寸a的值可求.2x,x 2【详解】(1)可 得/(幻=,一2|=0,当丁=/（
30、%+。）过人；,4时，|+a 2 b 4,解得 q=U 或。（舍去）,12/2 22则数形结合可得需至少将y=f（x）向左平移y个单位，.a N T.【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题
31、:本题共12小题,每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=x0 x4,N =A.x 0 x I 3jC.x|4x5【答案】B【解析】【分析】根据交集定义运算即可则()B.3D.x0 x5【详解】因为“=犬|0 *4,双=*|g 50%,故 D 正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为3xO.O2+4xO.(M+5xO.10+6x0.14+7x0.20+8x0.20+9x0.10+10 x0.10+11x0.04+12x0.02+13x0.02+14x0.02=7.683 .D.-12（万元），超 过 6.5 万元，故 C错误.综上，给出结论
32、中不正确的是C.故选：C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于军x组距.组距3.已知（l i）2 z =3 +2 i,则 2=（）“，3.,3.八 3 .A.-1 1 B.-1 H Z C.-FI2 2 2【答案】B【解析】【分析】由已知得z =根据复数除法运算法则，即可求解.-2 i【详解】（1-02Z=-2Z Z=3+2Z,3+2;（3 +2 z）-z -2 +3 i,3 .-2 z -2 i-i 2 2故选：B.
33、4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 和小数记录表的数据V 的满足L =5 +l g V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为（）（啊=1.2 5 9）A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6【答案】C【解析】分析】根 据 关 系，当L =4.9 时，求出I g V,再用指数表示V,即可求解.【详解】由L=5 +l g V,当L=4.9 时，l g V =-0，则M =1 0 1 01 11.25 9 0.8,故选：c.5.已知片,K是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且
34、/耳 盟=6 0。,归用=3归段,则C的离心率为（）A.立 B.叵 C.币 D.V 1 32 2【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出|尸耳|,|尸居|,结合余弦定理可得答案.【详解】因为|产用=3|尸用，由双曲线的定义可得|尸耳|一|尸 阊=2|昨|=勿,所以仍 用=a,俨4|=3。；因为4尸6=6 0。,由余弦定理可得4 c 2=9 a 2+a 2_ 2x 3 a c os6 0 ，整理可得4 c 2=7,所以e 2=：=2,即0 =也.a2 4 2故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.6.在一个正方体中,过顶点A的三条
35、棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）正视图【答案】D【解析】【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，7 .等比数列 4的公比为4,前”项和为s“，设甲：4 0,乙：S“是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】【分析】当40时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当 s“是递增数列时，必有40成立即可说明4
36、0成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案.【详解】由题，当数列 一2,-4,8,时，满足q 0,但是 S,不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件.若 5,是递增数列，则必有4 0成立，若40不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则40成立，所以甲是乙的必要条件.故选：B.【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程.8.20 20年1 2月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为884 8.86 (单位：m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A,B,C三点，且A,B,C在同一水平面上的投影A
37、,3 ,C满足N 4 C B =4 5，N/T B C =6 0.由C点测得B点的仰角为1 5。，3 8与CC的差为1 0 0；由8点测得A点的仰角为4 5,贝i J A,C两点到水平面A B C的高度差约为(6=1.7 3 2)()【答案】B【解析】【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得48，进而得到答案.A过。作 C”_ L 6 8 ,过 3作 B O J _ A 4 ，故 A4-CC=幽=A V-B B +1 0 0 =AD+1 0 0,由题，易知 4)3 为等腰直角三角形，所以4 )=厉.所以 A 4 C C =DB+1 0 0 =A B+1 0 0.
38、因为N B C”=1 5,所以 C”=C B =-t a nl5 在c A B C 中，由正弦定理得：A _ C B，_ 1 0 0 _ 1 0 0s i n4 5 s i n 7 5 t a nl5 0 c os l5 0 s i n 1 5?而 s i n 1 5。=s i n(4 5 -3 0 )=s i n 4 5 c os 3 0 -c os 4 5 s i n 3 0 =、所以1 0 0 x 4 x A 二瓜 一 兰=1 0 0(6 +1)=2 7 3 所以 A 4 CO =AB+1 0 0 a 3 7 3 .故选：B.【点睛】本题关键点在于如何正确将A4-CC的长度通过作辅助线的
39、方式转化为A B+I OO.(八万)c cos a9.若 aw 0,丁，t a n2 a =；,则tan a=()1 2 J 2 -s i n aA R 6 C 非1 5 5 3D半【答案】A【解析】八八-u-r/r.c sin 2a 2 sm a cos a,口.1【分析】由二倍角公式可得tan 2a=-=-；，再结合已知可求得sm a=一，cos2a l-2sin a 4利用同角三角函数的基本关系即可求解.cos（1【详解】tan 2a=-2 sin。sin 2a 2 sin a cos a cos atan 2a=-=-z=-,cos2a l-2sin a 2-sina（万、c 2sin
40、 a 1 口.1a e 0,.cosaw0,/.-=-,解得 sina=一,I 2）l-2sin2a 2-sina 4r,/15 sin a 715cos a=vl-sin-a=-，tan a-=-4 cos a 15故 选:A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin。.10.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）12 2 4A.-B.C.-D.一3 5 3 5【答案】C【解析】【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0
41、相邻，则有C；=5种排法，若2个。不相邻，则 有 仁=10种排法，in 2所以2个。不相邻的概率为-=-.5+10 3故选：C.11.已如A,B,C是半径为1的球。的球面上的三个点，且AC_L3C,AC=3C=1,则三棱锥0-ABC的体积为（）A0 R 6 c近 D百D.-L/.12 12 4 4【答案】A【解析】【分析】由题可得A ABC为等腰直角三角形，得出,.A 3 c外接圆的半径，则可求得。到平面A8C的距离，进而求得体积.【详解】AC_L8C,AC=8C=1,.=ABC为等腰直角三角形，二 人 二 血，则，A3C外接圆的半径为 注，又球的半径为1,2设0到平面A8C的距离为d,则d=
42、l所以VC。z -A B C=-SADC 32 12故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.12.设函数“X)的定义域为R,为奇函数，x+2)为偶函数，当时,f(x)a x2+h .若/(0)+/(3)=6,则/【答案】D【解析】【分 析】通 过/(x+1)是奇函数和/(x+2)是偶函数条件，可以确定出函数解析式/(X)=-2X2+2,进而利用定义或周期性结论，即可得到答案.【详解】因为/(%+1)是奇函数，所以/(一x+l)=/(X+1)；因为/(x+2)是偶函数，所以/(x+2)=/(x+2).令 =1,由得
43、：0)=-2)=-(4。+力),由得：f3)=f(l)=a+b,因为/(。)+/(3)=6,所以一(44+人)+。+=6=。=2,令x=0,由得：/(1)=一/(1)=/(1)=0=方=2,所以/(X)=-2%2+2.思路一：从定义入手.思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函 数/（X）的 周 期 丁=4 故选：D.【点 睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线=生）在点（-1,-3）处的切线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.x+2【答 案】5x-y+2=0【解 析
44、】【分 析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可.【详 解】由题，当无=一1时，丁 =一3,故点在曲线上.,2(x+2)-(2x-l)求导得：y -(x+2)25(x+2，所以 yL=T=5.故切线方程为5x-y+2=O.故答案为：5x y 4-2=0.14.已知向量a=（3,1）,b=（l,0）,若_1_。，则左=10【答 案】一 一.3【解 析】【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量d的坐标，利用向量的数量积为零求得左的值【详解】=（3,1）,Z?=（l,O）,;.c=+妨=（3+%,1）,c,.,.0的最小正整数x为.【解析】【分析】先 根 据 图 象 求 出 函 数 的 解
45、析 式，再求出/(),/()的值，然后求解三角4 3不等式可得最小正整数或验证数值可得.3 1 3 i t 7 T 3兀 2 7 1【详解】由图可知己7 =厘 一 上=竺，即T =/=%,所以啰=2；4 1 2 3 4 co由五点法可得2 x +*=,即夕=一不；7 7 T 4 兀所以由(/(幻一/(一7)(/(无)/()0 可得 f(x)1 或 f(x)0；因 为/=2 c o s(2-弓k2 c o sn 7i2 6=1,所以,方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足/(x)0,即c o s 2 x-崇 0,解得ZTIH x k uH-，攵eZ,令人=0,可得一 x ,3 6 3 6可得X
46、的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足/(x)0,又/=2cos 4-看k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(l)75%；60%；(2)能.【解析】【分析】本题考查频率统计和独立性检验，属基础题，根据给出公式计算即可【详解】(1)甲机床生产的产品中的一级品的频率为变=7 5%,2 0 012 0乙机床生产的产品中的一级品的频率为 =6 0%.2 0 0 2 =4 0 0(15 0X8 0-12 0X5 0)2=4 0 0I()6J6 3 5)2 7 0 x 13 0 x 2 0 0 x 2 0 0 3 9故能有9 9%的把握认为甲机床
47、的产品与乙机床的产品质量有差异.18.已知数列 4的各项均为正数，记S,为 可 的前项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.数列 4是等差数列：数列 底 是等差数列；4=3 q.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】【分析】选作条件证明时，可 设 出 底，结 合 的 关 系 求 出 凡，利用 4是等差数列可证=3囚；选作条件证明时，根据等差数列的求和公式表示出底，结合等差数列定义可证；选作条件证明时，设出 S=结合4,的 关 系 求 出/，根据生=3 q可求匕,然后可证 q 是等差数列.【详解】选作条件证明：设#7=a +Z?(a 0),则=(+
48、/?不，当=1 时，q=E =(+/?/；当2时，an=Sn Sn_1=(n +Z?)2-(an a+b y =a(2 ana+2 b)；因为 对 也是等差数列，所以(a+b)2=a(2 a a+2 b),解得。=0；所 以%=/(2 -1),所以。2=3.选作条件证明:因为。2=3%,%是等差数列,所以公差1=。2一。1 =2。1，所以 S =na+，；-d=rTax,即=yn,因为7 7 一 底=池(+1)一施，所以#1是等差数列.选作条件证明：设 后=a n+b(a 0),则S,=(+8)2 ,当 =1 时，q=5 1=(+/?；当 心 2 时，an=Sn-Sn_,=(即+b)2-(an
49、-a+Z?)2 =a(2 a n-a +2b)；因为。2=3 q,所以(3 +2 Z?)=3(a+)2,解得 6 =0或8=一 事；当6 =0时，4=。2,为=。2(2-1),当2时，。/凡”=2/满足等差数列的定义，此时%为等差数列；当/,=-时，g=an+b=a n-q a,=0不合题意，舍去.综上可知 4为等差数列.【点睛】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式,逐步推演，等差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法.19.已知直三棱柱A 8 C 中，侧 面 为 正 方 形，A B =8 C =2,E,F分别为A C和CG的中点，。为棱A上 的 点.B F
50、V B,（1）证明：B F D E；（2）当。为何值时，面34G。与面D F E所成的二面角的正弦值最小？【答案】（1）见解析；（2）B,D =-2【解析】【分析】通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案.【详解】因为三棱柱A B C -4蜴 是直三棱柱，所以底面AB C,所以8片，4 8因为4 4 M，B F 所 以 班,4 3,又 B B q B F =B ,所以 平面 5 C G 4.所以两两垂直.以8为坐标原点，分别以3AB e,8 4所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图.y所