《2023届安徽省、云南省、吉林省、黑龙江省高三下学期2月适应性测试数学试题（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届安徽省、云南省、吉林省、黑龙江省高三下学期2月适应性测试数学试题（解析版）.pdf（25页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023届安徽、云南、吉林、黑龙江省高三下学期2月适应性测试 数学试卷（解析版）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .设 z=l+i,则 z2 i=（）A.i B.-i C.1 D.-1【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘法可求运算结果.
2、【详解】z2-i =（l+i）2-i =i,故选：A2.设集合4 =2,3,。2一2“一3,3 =0,3,C =2,a.若B =A,A?C 2,则。=（）A.-3 B.-1 C.1 D.3【答案】B【解析】【分析】根据包含关系结合交集的结果可求。的值.【详解】因为台 仁4,故片 _2-3 =0,故。=-1或a =3,若a=l,则4=2,3,0,C =2,-1,此时A?C 2,符合；若a=3,则4 =2,3,0,C =2,3,此时AC =2,3,不符合;故选：B3.甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为（）【答 案】A【解 析】【
3、分 析】利用组合可求基本事件的总数，再根据排列可求随机事件含有的基本事件的总数,从而可求对应的概率.【详 解】设“甲、乙在同一组”为 事 件A,教师随机分成三组，每组至少一人的分法为C；=6,而 甲、乙在同一组的分法有1，故P(4)=,，6故 选：A.4.平 面 向 量0与A相互垂直，已知a=(6,8),忖=5,且b与 向 量0,。)的夹角是钝角,则/?=()A(-3,-4)B.(4,3)C.(4,3)D.【答 案】D【解 析】【分 析】设b=(x,y),则由题意得6x 8y=02 cu，解出方程，检验即可.x?+y-=25【详 解】设b=(x,y),则由题意得 0=07 7 7=5,网6x-
4、8y=0 x2+y2=25x=-4、y=_3解 得 x=4.或，y=3设c=(l,0),当6=(4,3)时，此 时cosG，c)=G p =0又因为向量夹角范围为 0,兀 ,故此时夹角为锐角，舍去；当人=(T,一3)时，此 时8 5/,。=谛=一0,故此时夹角为钝角,故选：D.5.己 知点A,B,C为 椭 圆O的三个顶点，若/A8C是正三角形，则。的 离 心 率 是()A.y B.-C.D.也2 3 3 2【答案】C【解析】【分析】首先由题得到加=行/，结合。2=/+。2,即可求得e.【详解】无论椭圆焦点位于x轴或丁轴，根据点A,8,C为椭圆O的三个顶点，若 _ A B C是正三角形，则 2b
5、=7 7+P-，即 cr=3b2，即心=3(2-c2),即有2/=3 0 2,则e 2=2,解得e=也.3 3故选：C.6.三 棱锥A-BCD中，AC_L平面BCD,B D Y C D.若A 8 =3,B D =1,则该三棱锥体积的最大值为()4 2A.2 B.-C.1 D.-3 3【答案】D【解析】【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理依次证得平面AC。、B D 上A D 与2ACJ.CD,从而利用基本不等式求得S A。42,进而得到%力。=4 ，由此得解【详解】因为AC_L平面BCD,B D u平面B C D,所以AC18。，又 B D 工 C D,A C C D =C ,4。,。匚平
6、面4。),所以 平面 ACD，因为A D u平面A C O,所以在 R t M D 中，AB=3,B D =1，则 A。=-BD?=2 叵，因为AC_L平面BCD,C D u平面B C D,所以ACJ_ 8,在 R 34C D 中，不妨设 AC=a,CD=Z?(a0”0),则由 AC?+。2=人 得4+/=8，所以S A 8=g A C.C D =；a/?=：x2 a b；(a 2+/)=2,当且仅当。=抗且/+后=8,即。=。=2时，等号成立，所以 A-BCD=%-A C )=S A C D-B D x2 xl =,.所以该三棱锥体积的最大值为2.故选：D.7 .设函数/(x),g(x)在R
7、上的导函数存在，且/(x)g(x),则当尤(。,。)时()A.%)g(%)C.x)+g(a)g(x)+/(a)D.x)+g 0)l =g(x),故 A错误，若 x=0e(a，3,贝 i J/(x)=O l =g(x),故 B 错误；对于C D,因为/(X),g(x)在R上的导函数存在，且/(x)g(x),令 人(力=/(%)-g(%),则h x)=f(x)-g(x)0,所以(x)在R上单调递减，因为xe(a,。)，即a x 匕，所以(。)(同(a),由 h(x)得 f(x)-g (x)/-g (),则 f(%)+g g (x)+/，故 C 正确;由 帅)g(x)+/S),故 D 错误.故选：C
8、.8 .已知小 A c满足Q =l o g 5(2 +3 B，c =l o g 3(5)-2)，则()A.|-c|/?-c|,pz-Z?|Z?-c|B.|-c|/?-c|,|t z-Z?|Z?-c|C.|6 z-c|/?-c|D.|6 r-c|/?-c|,|-/?|1,b =l,60，即5 2，则0-0,令/(幻=(*2 丫+(-3 丫,/(1)=1，根据减函数加减函数为减函数的结论知:15/15,/(x)在R上单调递减,当匕1时，可 得-1.2+3 5，两边同取以5为底的对数得a=log,（2+3）log5S=b ,对2+3”3b，两边同取以3为底的对数得c=log3(5 2)。,所以 c
9、b a,所 以-b 一a,所以 c-b 0,c-a 0 ,故此时，|a-c|0-c|,故C,D选项错误，8=2时，a=log513,c=log321,c-&=log321-2=log31-G plj,=2-log,13=log,Y|e 0,j,.-.-/?-a,且c Z?（）,c a 0,故 A错误,下面严格证明当1时，0 b-a b =log3 0-停）根据函数23在R上单调递增，且(1)=1,则当匕1时，有1下面证明：仁丁二厂，b 2b+3h 3h要证:s2&+35h-2h 3即证：15 (2 +3比5 2),等价于证明 4+6 10”，即证:I)+I)1，此式开头已证明,对 白5*下2+
10、3s”外 二占，左边同除分子分母同除5 J右边分子分母同除3&得3h则 01 时，0 V b a cb ,则|。一。|忸一。|(2丫当0匕 1.2+3 5，两边同取以5为底的对数得a=log5（26+3fe）log55z,=b,对 展+3 5 通过移项得5-2“3&，两边同取以3为底的对数得c=log?(5 -2)。，所以 c v/?c i,所以 cb c c i,且 c。0,c。0,故 0Z?C 也一 d，F面严格证明当0 vZ?v l时，c h ha Q ,当0 b l时，根据函数/(x)=-+-,/(1)=1，且其在R上单调递减，可知25 J+35、b7根据函数函数/z(x)=则当0 1
11、时，0 1，,3 1.则 一。=10g0,则1(INI)在R上单调递增，且力(1)=1,7 -2、3b 3方即证:15 (2 +3 a 一2“)，等价于证 4 +6”10，即证:+l i 此式已证明对左边同除分子分母同除5，右边分子分母同除3得2h+3h 3bINI)MM,则 c b=kg3(iHUlog5h b-a-log50,1bb故时，c-h b-a 0,则,一,卜 一,当b=l时，a=log55=l,c=log33=1,贝!|a c|=|b c|,a-b=b-c,综上|a-c以。一c|,一 c|，故选：B.2【点睛】关键点睛：本题的关键在于构造函数/(x)+I),利用其单调性及/(D=
12、l,从 而 得 到 仇c之间的大小关系，同时需要先求出。的范围，然后再对匕进行分类讨论.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知“X)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且 x),g(x)在单调递减，则()A./(/(1)/(/(2)B.)g(2)C.D.g(g)g(g(2)【答案】BD【解析】【分析】由奇偶函数的单调性的关系确定两函数的单调性，再结合/。)g g(2)逐项判断即可.【详解】因为/(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且两函数在(-8
13、,0上单调递减，所以/(X)在 0,+8)上单调递增，g(x)在 0,+8)上单调递减，g(x)在R上单调递减，所以/(1)g,g ,所以/(g)g(2),g(g)/(/(2),A错误.故选：BD10.已知平面e 平面=/,8,。是/上两点，直线A B u a且AB/=8,直线C O u且CD l =D.下列结论中，错误的有()A.若A 8JJ,C O J J,且AB=C)，则ABC。是平行四边形B.若M是A8中点，N是CZ)中点，则C.若。_1 1，A B I,A C 1 1,则C在a上的射影是8。D,直线48,C。所成角的大小与二面角a /-6的大小相等【答案】ABD【解析】【分析】由空间
14、中线线、线面及面面关系逐项判断即可得解.【详解】对于A,由题意，AB,CD为异面直线，所以四边形ABC。为空间四边形，不能为平行四边形，故A错误；对于B,取8 c的中点”,连接则是一ABC的中位线，所以HM/AC,因为与MN相交，所以N与AC不平行，B错误；对于C,若 所 以 由 线 面 垂 直 的 判 定 可 得 平 面ABC,所以/L 8C,由c_L 结合面面垂直的性质可得BC_L。，所以点C在平面a内的投影为点D所以CQ在平面。内的投影为B。，故C正确；对于D,由二面角的定义可得当且仅当A31/,CD J/时，直线AB,8 所成的角或其补角才为二面角的大小，故D错误.11.质 点P和。在
15、以坐标原点。为圆心，半径为1的：。上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度大小为2rad/s,起点为、0与x轴正半轴的交点;。的角速度大小为5rad/s,起点为射线y=-Vix(xNO)与；。的交点.则当Q与尸重合时，。的坐标可以为()(2乃.2万、(5乃 .5万)19 9)I 9 9 J(7V.7Vy%,万、C.cos,-sin D,-cos,sin I 9 9)I 9 9)【答案】ABD【解析】【分析】确定点。的初始位置，由题意列出重合时刻/的表达式，进而可得。点的坐标，通过赋值对比选项即可得解.【详解】由题意，点Q的初始位置。的 坐 标 为;,一 日，锐角NQOP=1,-rr jr
16、2k设/时刻两点重合，则5/2 +2伉(ZEN),即，=+3-兀，(keN),、此时点 Q co sj-+5f,sin|7-1+5r、3/即Q c o s偿+理力s i n俘+理 兀V 9 3 )9 32 兀 1 0%937,(k e N),(2兀 2兀 当 Z=0 时，Q cos-,s i n-J,故 A 正确;(3 2兀.3 2元当Z =1 时，2 l cos,s i n A 5兀 .5K)A,B p Q l -cos ,s i n I,故 B 正确;,L J.62n.62K当=2时，0 1 cos -,s i n ，H P 2 1-cos ,s i n ,故D正确.由三角函数的周期性可得
17、，其余各点均与上述三点重合.故选：A B D.1 2.下图改编自李约瑟所著的 中国科学技术史，用于说明元代数学家郭守敬在编制 授时历时所做的天文计算.图中的AB，AC，B D，CO都是以。为圆心的圆弧，CMN K是为计算所做的矩形，其中M，MK分别在线段。Q,O B,O A上，M N工O B,K N LO B.记a =Z A O B,P =Z A O C ,y=N BO D,b =NCQD,则()A.s i n =s i n y cos 5B.cos/?=cos y cos 3.s i n SC.s i n a=-COS 0【答案】A C D【解析】cos y cosD.cos a-cos /
18、3【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理证得CW _ L O D,C K 1 O A,结合条件中M N工OB,K N 1 O B,从而在各直角三角形中得到a,的正余弦表示，对选项逐一分析判断即可.【详解】因为在矩形肱V K C中，K N1 M N,又 K N I O B,M NcO B =N,M N,O B u 而B O D,所以 KN,面 3。力,又。匚面5。0,所以K N J.O。，因为在矩形肱V K C中，C M /KN,所以CMLQD,即C M _ L M 0,因为 M N 上 OB,K N1 M N,K NcO B =N,K N,0 B u 面（M B,所以MV，面。48，又在矩
19、形M/VKC中，M N/C K,所以CK_L面。钻,又。A u面。钻，所以CK_LOA,同时，易知在矩形MNKC中，CM=KN,CK=MN,对于 A,在 Rt_CKO 中，sin/?=n，MN在 RtAMNO 中，sin/=-，OM在 RtCMO中，cos6=,o c所以sin/cosb=-=-=-=s in ,故 A正确OM OC OC 0COK对于 B,在 Rt CKO中，cos/7=,OC在RtAAZ/VO中，cosy=ONOM又cosS=患，且在Rt KNO中,OK为Rt KNO的斜边，则CW/OK,rri.eON OM ON OK q,_所以cos/cosb=-=w=cos B,故
20、B 错误;OM OC OC OCKN对于 C,在 Rt_KNO 中，sina=-OKCM在 RtACMO 中，sin 5=-OC又p cos Bc =OK 7 0c,OCsin 6 CM OC CM KN所以cos/?一记,衣OK OKs in a,故C正确;对于D,在Rt_MVO中,ONcos a=-,OK又8 5 4=器#0,cos/=ONOMOMoc,cos 3所以33尸=,“能=丝型=OK OC OC OM OC OCcos y cos 8/jlflUcos6Zcos/?=cos/cos,E p cos a=-,故 D 正确.cos/7故选：A C D.【点睛】关键点点睛：本题的突破口
21、是利用线面垂直的判定定理与性质定理证得CM _ L Q D,C K 1 0 A,从而得到5的正余弦表示，由此得解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1 3 .某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布N（1 0 0,b 2）.质量指标介于9 9至1 0 1之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到9 5.4 5%,则需调整生产工艺，使得行至多为.（若 X N出吟,则 网X“2 o卜0.9 5 4 5）【答案】-#0.5【解析】【分 析】根 据 题 意 以 及 正 态 曲 线 的 特 征 可 知，|X-1 0 0|2 b的 解 集A =（1 0 0 2 b,1 0 0+2 b）q（9
22、9,1 0 1）,即可根据集合的包含关系列出不等式组，从而得解.【详解】依题可知，=1 0 0,再根据题意以及正态曲线 特征可知，|X 1（刈 2o 的 解集 A =（99,1 0 1）,由 I X -1 0 0|2o可得，1 0 0 2c r X 991 0 0 +2o-1 0 1 解得：（T 3 1 4 1 5 937 口 口 为舟索.1 +43 1 63+1 61 9由一兀 一 可 得，/=3.1 4 1 5 927,即。5 为强率;1 51 +563 1 93+1 922由一兀 可得，6=3.1 4 1 5 927,即Q为强率，所以，=6；1 6 61+673 22 _3+2225由一
23、 7 1 -可得，CL-)=3.1 25 -)(L2)(L3)（2）（2,2）（2,3）（3）(3,2)（3,3）【答案】5【解析】【分析】根据题意可知，如果要求只改变。,1）的状态，只有在（1,1）以及周边按动开关才可以使按开关的次数最少，利用表格即可分析求出.【详解】根据题意可知，只有在（1,1）以及周边按动开关才可以使按开关的次数最少.具体原因如下：假设开始按动前所有开关闭合，要只改变（1）的状态，在 按 动（1,1）后，（1,2）,（2,1）也改变，下一步可同时恢复或逐一恢复，同时恢复需按动（2,2）,但会导致周边的（2,3）,（3,2）也改变，因此会按动开关更多的次数，所以接下来逐一
24、恢复，沿着周边的开关按动，可以实现最少的开关次数.如下表所示：（按顺时针方向开关，逆时针也可以）（U）0,2)。，3）（2）（2,2）（2,3）（3）(3 0（3,3）按动（1）开开关开关关关关关按动。，3）开关开开关开关关关按动开关关开开关关关开（2,3）按动（3,2）开关关开开关开开关按动（3）开关关关关关关关关故答案为：5.【点睛】本题主要考查学生运用所学知识解决知识迁移问题的综合能力，利用表格分析法简单清晰直观.四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.如图，四边形A B C O 是圆柱底面内接四边形，AC 是圆柱的底面直径，PC 是圆柱的
25、母线，E是 AC 与 8。的交点，A B =AD，Z B A D =600.V.（1）记圆柱的体积为匕，四棱锥PABC D的体积为匕，求 才；（2）设点F在线段A P 上，PA=4 P F,P C =4 C E ,求二面角R-C D-。的余弦值.【答案】（1）百兀 返1 3【解析】【分析】（1）利用平面几何的知识推得A C 1 B D,进而得到B D=2 百 EC 与 AC =4 E C，从而利用柱体与锥体的体积公式求得X，%关于EGPC 的表达式，由此得解；（2）根据题意建立空间直角坐标系，设口 目=1,结 合（1）中结论与（2）中所给条件得到所需向量的坐标表示，从而求得平面FC O与平面尸
26、C O的法向量与?，由此利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【小 问1详解】因为与/A C。是底面圆弧AO所对 圆周角，所以 NABO=NACD,因为AB=AT，所以在等腰ZVlB。中，ZABD=ZADE所以a 4DE=NAC，因为AC是圆柱的底面直径，所以NADC=9 0 ,则NC4+NACD=90,所以 NC4r+/4Z）E=9 0,则 NA及）=9 0 ,即所以在等腰ABO,BE=DE，AC 平分 N84，则 NC4。=工 NBA。=30,2所以NAT）E=60，则 NCE=30,故在 Rt_CE中，CD=2EC,D E 2).(1)求数列 q的通项公;(2)设机为整数，且对任意 e
27、N*，、1 2 nm N h +H-,求m的最小值.4 a2 a【答案】an=2.(2)7【解析】【分析】(1)由数列%与Z,的关系可得al l+l=2%(22),再结合等比数列的通项可得解;1 2 n(2)利用错位相减法求出一+，结合范围即可得解.4 a2 a,【小 问1详解】因为q=1,/=%(2 2),所以4=6=1,当 2 2时，an+l=Tn=Tn_x+an=2an,故a”=4-TT=2一2(？2),且q=1不满足上式，故数列 4 的通项公式为a=2,n 2.【小问2详解】o1 2 n设 S =+,则 E=,%出%当2 2时，S=1+2-2+3-2-1+/1-22-,故=g +2 2
28、T+3-2-2+.+n-2-n,于是 3，=1 +(27+2-2+.+22-)一.2 =9 +巴 匕 岑1_ .2 .2 2、2 1-2一1整理可得S,=7-(+2*2-,所以 S”6,所以符合题设条件的机的最小值为7.5 820.一个池塘里的鱼的数目记为N,从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，X表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目.(1)若N=500(),求X的数学期望；(2)已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值(以使得P(X=15)最大的N的值作为N的估计值).【答案】(1)20(2)6666【解析】【分析】
29、(1)首先求出标鱼占总体的比例，再分析其符合超几何分布，根据超几何分布期望的计算公式即可得到答案.首先计算出当N 685时，P(X=15)=0，当N 2 685时，P(X=15)1 5485、200c zz-200记 a(N)=1 5485、200、丫-200计算a(N+l)a(N)从而得到a(N)的单调性，最后得到其最大值.【小 问1详解】依题意X服从超几何分布，且N=5000,M=200,“=500,故 E(X)=Nx=500 x 型.=20.n 5000【小问2详解】当 N M 683N-684，当 且 仅 当 a(N)；当N26666时，a(N+l)0力0)过点4 4女,3),且焦距为
30、10.(1)求C的方程；(2)已知点8(4夜，一3),0(2J5,0),E为线段AB上一点，且直线DE交C于G,两点.证GD_HD口 月.一.GE HE2 2【答案】(1)4-4=116 9（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根 据 题 意 列 方 程 组 求 出 即 可 得 出C的方程;（2）根据 ,E,G四点共线，要 证 然 =点 白 即 证GQ.E =G E.OH，设出直线GE|HEDE:y=20(x-2 0),G(X,y),/(%2，乃)，E(4 /2,/),联立直线方程与椭圆方程得出玉+尤2，王，将其代入G D-H E-G E-O”，计算结果为零，即证出.【小 问1详解】由题意可
31、得 学 一 二=1,2，？寿=1 0,故。=4,。=3,所以c的方程为 工 亡=1.a1 6 9【小问2详解】设 E（4 0,f）,G（和）,“（如 为），当x=40时，即 必 一 二=1,解得y=3,则|f|3,1 6 93双曲线的渐近线方程为y=?一 九,4故 当 直 线 与 渐 近 线 平 行 时，此时和双曲线仅有一个交点,3此时直线。七方程 为 尸 土7令x=4叵,则y=容，故|/屏哼.则直线。后：丁 =矗*一2夜）.由，y=-2 V 2)272 得(9 2*)2+8/2犬1 6产一1 4 4 =(),-二11 6 98后所以X|+1 6r+1 4 4-，x.x2=-2产9 2/一9G
32、D-HE-GE-DH=(j2-x2,t-y2)-(4 2-xi,t-yi)-(x2-2y2,y2)2中2 +2 y 必-6五(%|+)-(X+必)+3 2、+6A/2（玉 +）+4厂 +32/4（r+8）（r2+9）一 2一一 9=0.+4产+32所以 GD-HE =GE-D H，所以6。|卜050=口目。”卜05（）即四=四 G E H E【点睛】关键点睛：本题第二问不能直接计算长度，否则计算量过大，而是转化为证明向量数量积之间的关系，采取设E（4&1）,从而得到直线OE方程，再使用经典的联立法，得到韦达定理式，然后证明GO-Z/E GEDH=0即可.22.椭圆曲线加密算法运用于区块链.椭圆
33、曲线。=（工,旧4 2=丁+成；+伍4a3+27#O.P e C关 于x轴的对称点记为取.C在点P（x,y）（y。0）处的切线是指曲线y=yJxi+a x+b在点P处的切线.定义“”运算满足：若P e C Q e C,且 直 线 尸Q与C有第三个交点R,则尸Q=R；若尸6。,。6。，且 。为 7的切线,切点为,则P3Q =户;若P e C,规定P户=0,且/0*=0*QP=P.（1）当4a+2 7 =0时,讨论函数（x）=/+ox+b零点的个数；（2）己知 运算满足交换律、结合律，若P e C,Q e C,且PQ为C的切线，切点为P,证明：PP =0；闭 已 知。（与 方）。,。（孙 必）6。
34、，且直线2。与C有第三个交点，求PQ的坐标.参考公式：rn n（m ri）jT r+m n +n2）【答案】（1）见解析（2）证明见解析(2 (A2)(3)-x,-x2,-|+2%1 +x2 y,%一/1%一马|_ 1七一1 ,【解析】【分析】(1)利用导数讨论函数的单调性后求出极值，从而可判断零点的个数.(2)利用“”运算的性质计算PPQ。后可得证明.(3)设直线尸。斜 率 =人【小 问1详解】由题设可知a。有(x)=：若a=0,则匕=0,则力(x)=若a、r 2 时，一,利用点在曲线上结合因式分解可求第二个点的坐标.一 冗23/+，尤3,此时6(无)仅有一个零点；二 一 反2二 旧.厅(幻
35、0,当q时,h M0,V 3 V 3故(X)在 卜0,一，(+C在卜 上h(x)单调递减.因为4/+27k=0，若匕0,则。=叵？=一冽 V 2 7 3 V 3此时丛栏=臼曜+正Y 3 V 3。上为单调递增；7_三+匕=。_,后=0,而(后)0，Mw)=0,所以/Z(x)有2个零点.当bO,/?(x J =O,所以/Z(x)有2个零点.当。=0,有人=0,则/z（x）有1个零点.【小问2详解】因为P Q为C在点P处的切线，且Qe C,所以PQ =P,故P（PQ）=P户=0*,故（PP）Q）。=0*。=Q,因为“运算满足交换律、结合律，故（P尸）Q）0=尸（P（Q。“二2（尸0*）=尸尸,故PP
36、 =Q.【小问3详解】直线PQ的斜率 =仁&,设尸。与C的第三个交点为（七,%），则%=4（七一2）+必，代入y；=X；+3+b得22（X,-X,）+2肛（&一 X）+才=W+映 +。，而 y；-x+axt+b,故 X）（另一x j-+2 2 y,（X,-X）+%：+o x+b=X：+映 +。，整理得到：22（七一%）-+2 4 y （七_%J =W _%；+。（工3 _百），故几2（毛一玉）+2/l y =考+x；+石毛+a 即 xj+（x,-A2x3+x+万百-2 2 y,+a=0,同理可得石+（尤2 -）*3 +*工,-2 4 y2 +a=0,两式相减得：（不一与）七+52-+&士）2 4（x -%）=，（）2）故龙3+（%+/）+丸2 2 2x-x2=0,/_ 2所 以&+（石+%）+%2/1 2 =0,故 忍=万 一斗，故 刍=-X j X2,所以）J（壮卜、22+X，因此产。的坐标为:C、2 +2x+x2k%）x2?一y【点睛】思路点睛：函数新运算问题，需根据运算的性质选择合理的计算顺序来处理等式,而三次函数的零点问题，注意结合极值的符号处理零点的个数.