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1、习 题 解 答 1.利 用 对 角 线 法 则 计 算 下 列 三 阶 行 列 式:2 0 1 a b c(1)1-4-1;(2)b c a*-1 8 3 c a b1 1 1 X y x+y(3)a b c9(4)y x+y xa2 b2 c2x+y工 y解(1)原 式=2x(-4)X3+0X(-1)x(-D+1X1X8-l x(-4)x(-l)-2 x(-l)x 8-0 x i x 3=-4；(2)原 式=acb+bac+cba _ cJ-a3-63=3abc a3-b3-c3;(3)原 式 l*b*c2+l*c*a1+l,a*b2-l,b,a2-l,c b2-l,ac2=be2+ca2+
2、ab2 ba1-cb2-ac2,=c2(b-a)+ab(b-a)c(b2-a2)=(a-b)(b c)(c-a)i(4)原 式=x(x+j)y+j/x(.r+j)+(x+j)yr-(x+y)3-x3-yJ=-2(x3+/).2.按 自 然 数 从 小 到 大 为 标 准 次 序，求 下 列 各 排 列 的 逆 序 数：(1)1 2 3 4;(2)4 1 3 2;(3)3 4 2 1；(4)2 4 1 3;(5)1 3(2n-1)2 4(2)；(6)1 3,(2n-1)(2n)(2n-2)2.解(1)此 排 列 为 自 然 排 列，其 逆 序 数 为 0;(2)此 排 列 的 首 位 元 素 的
3、 逆 序 数 为 0;第 2 位 元 素 1 的 逆 序 数 为 1;第 3 位 元 素 3 的 逆 序 数 为 1;末 位 元 素 2 的 逆 序 数 为 2,故 它 的 逆 序 数 为 0+1+1+2=4；(3)此 排 列 的 前 两 位 元 素 的 逆 序 数 均 为 0;第 3 位 元 素 2 的 逆 序 数 为 2；末 位 元 素 1 的 逆 序 数 为 3,故 它 的 逆 序 数 为 0+0+2+3=5；(4)类 似 于 上 面，此 排 列 的 从 首 位 元 素 到 末 位 元 素 的 逆 序 数 依 次 为 0,0,2,1,故 它 的 逆 序 数 为 0+0+2+1=3；(5)
4、注 意 到 这 2”个 数 的 排 列 中，前 n 位 元 素 之 间 没 有 逆 序 对.第”+1 位 元 素 2 与 它 前 面 的 n-1 个 数 构 成 逆 序 对，故 它 的 逆 序 数 为 n-1;同 理，第”+2倍 元 素 4 的 逆 序 数 为”-2;；末 位 元 素 2 n 的 逆 序 数 为 0.故 此 排 列 的 逆 序 数为（”-1）+（曾-2）+0=:（”-1）;(6)与(5)相 仿，此 排 列 的 前 n+1 位 元 素 没 有 逆 序 对；第”+2 位 元 索(2n-2)的 逆 序 数 为 2;第”+3 位 元 素 2n-4 与 它 前 面 的 2”-3,2”-1
5、,2n,2-2 构 成 逆 序 对,故 它 的 逆 序 为 4；末 位 元 素 2 的 逆 序 数 为 2(”-1),故 此 排 列 的 逆 序 数 为 2+4+2(”-1)=-1).3.写 出 四 阶 行 列 式 中 含 有 因 子。“牝 3的 项.解 由 行 列 式 定 义 知 这 项 必 还 含 有 分 别 位 于 第 3 行 和 第 4 行 的 某 两 元 案，而 它 们 又 分 别 位 于 第 2 列 和 第 4 列，即“32和 a”或 和 注 意 到 排 列 1324与 1342的 逆 序 数 分 别 为 1与 2,故 此 行 列 式 中 含 有。“即 3的 项 为-a”a23a3
6、2。与 a23a34a42 4.计 算 下 列 各 行 列 式:2 15 解 D411001251202142071-12042361122-a h,bdbfac_ cdcfaede ef（4）a-1001b-10141 0021510221240710002-7-1512-4-2070 001-1022=0(因 第 3、4行 成 比 例);1 2 0 2 1 2 0 20 1 1 7 ry f15r20 1 1 70-15 2-20+7。0 0 1 7 850-7 2-4,0 0 9 45 D251510204636222=0(因 有 两 行 相 同);r i v D=a d fr j T
7、ar f-bbb er b=abcdefT C11-1In+riabcdef,、ri+z(4)D=0100-1001+abb-10102a11+ab-10a-1ad12.0001d1+cd0=4abcdef j按 展 开，、，、3（一 1）（一 按 门 展 开(-1)(-l)51+ab-101+ab-1a 0c 11 dad1+cd=(1+a6)(l+cd)+a d.5.求 解 下 列 方 程：2/1 1=0X2)2 2 2-1 1/1 a。x3 a3 b3互 不 相 等.2=0,其 中 a,b,c3C解（D 左 式 二 rt 4-(i+3)(x+3)12-11X+1101X+11 0 0,2
8、-C|,、(1r+3)2 x-1 1-1 2 x+1_/人 工 一 1 1,-(Z+3)=(i+3)(1-3).I x+1于 是 方 程 的 解 为：I=-3,12=打,工 3=-百;(2)注 意 到 方 程 左 式 为 4 阶 范 德 蒙 德 行 列 式，由 例 1 2的 结 果 得(x-a)(x-6)(x-c)(a-6)(a-c)(-c)=O.因 a,6,c 互 不 相 等，故 方 程 的 解 为：叫 6.证 明：Q、工 2=b(4)a22a1ab b2a+b 2b(a-b)3;3+63)az+bxax+byay+bzax+byay+bzaz+bx1ay+bzaz+bxax+by a2(a
9、+1)2(a+2(a+3)2b2(6+1)2(6+2尸(b+3)2c2(c+l)2(c+2)2(C+3)2d2(d+l)2(d+2)2(d+3)21aa2bb2dd1 112yzy zz x1 ya b(a-6)(a-c)(a-d)(6-c)(6-d)(c-d)(a+6+c+d);0000 x00=a.N.+QN+ao 0 0 0证(1)左 式 a2-b22(a-6)0*ab-b2a b02b1ci-2 q(a-b)1 ah-b2b22b10 400a-b0=(a-I)=右 式;(2)将 左 式 按 第 1列 拆 开 得=aDi+bD2ax ay+bz az+,bxby ay+bz az+bx
10、左 式=ay az+bx ax+by十 bz az+bx ajc+byaz cue+by ay+bzbx ax+by ay+bz其 中.r ay+bzD|=y a z+bxz a x bya z+bxa x+byay+bzx ay+bz zy a z+bx xz a x+by yyD2=zJ Ca z+bxa x+byay+bza z+bxa x byay+bzzxyay+bza z+bxa x+by于 是 n yD=aD,+hD2=+65)y z x=右 式.(3)左 式 b2cl22a+126+12c+12 d+12+32 b+32c+32 4+32a+526+52 c+52 d+5z x
11、 y2a+1b 2+l2c+12 d+122222222=0(因 有 两 列 相 同);(4)左 式-1r j-ar2r?-art10001b-Qb(b-a)1a)b2(b2 a2)c2(c2 a2)d-ad(d-a)d2(d2 a2)1 1 1按 c 展 开-Q)-a)(c-a)(d-q)b c d各 列 提 取 公 因 子 b2(b a)c2(c a)d2(d+a)1 1 1r3-6(A+a)r j.-(6-a)(c-a)(d-a)0 c-b d-br?-brt0 x yc-b d-b=(-a)(c-a)(d-a)9“y其 中:工=，(0+)+b+y d2d+a)-W(6+a)=J(a+b
12、+d)(d b).故 c-6 d-b 1 1=(c-b)(d-b)yc(a+6+c)d(a+6+d)=(c b)(d-b)d(a+b d)-c(a+6+c)=(c-6)(d-b)(d-c)(a+)+d2 c?=(c-6)(d-b)(d-c)(a+6+c+d),因 此，左 式=(6-a)(c-a)(d-a)(c-6)(d-6)(d-c)(a+6+c+d)=右 式.(5)证 一 递 推 法.按 第 1列 展 开，以 建 立 递 推 公 式，-1x-1 02.=工&+(-1 尸%。,*X-1=xD+(-l)2+2a0=xD+aQ.又，归 纳 基 础 为：D i=a.(注 意 不 是 z),于 是 D
13、.|二 血+即=X(XDH-|+即)+。=x2 Dw-|+a x+a0=x-D)+a 工+a(x+a0=a0+x+a2j：2+.证 二 按 最 后 一 行 展 开 得=a0+atx+a2x2+a,.|x+ax.7.设”阶 将 列 式。=（与），把 D 上 下 翻 转、或 逆 时 针 旋 转 90、或 依 副 对 角 线 翻 转,依 次 得 a.i a,a,-a,明”a,D,=:,D2=:,D3=:,In alh an at aH l-au证 明 D1=I）2=（-D,D3=D.证（1）先 计 算,为 此 通 过 交 换 行 将 D,变 换 成 D,从 而 找 出 D,与 D的 关 系.D,的
14、最 后 一 行 是 D 的 第 1 行，把 它 依 次 与 前 面 的 行 交 换，直 至 换 到 第 1行,共 进 行-1 次 交 换；这 时 最 后 一 行 是 D 的 第 2 行，把 它 依 次 与 前 面 的 行 交 换，直 至 换 到 第 2 行，共 进 行-2次 交 换；，直 至 最 后 一 行 是。的 第”-1行,再 通 过 一 次 交 换 将 它 换 到 第”-1行，这 样 就 把 D,变 换 成 D,共 进 行（-1）+（-2）+1=y（H-1）次 交 换，故=注!,上 述 交 换 行 列 式 的 行（列）的 方 法，在 解 题 时，经 常 用 到.它 的 特 点 是 在 把
15、 最 后 一 行 换 到 某 一 行 的 同 时，保 持 其 余 M-1 个 行 之 间 原 有 的 先 后 次 序（但 行 的 序 号 可 能 改 变）.2,同 理 把 D 左 右 翻 转 所 得 行 列 式 为（-（2）计 算 注 意 到 D2的 第 1,2,，”行 恰 好 依 次 是 D 的 第 叫 n-1,，1列,故 若 把 D2上 下 翻 转 得 则 D2的 第 1,2,-,行 依 次 是 D 的 第 1,2,，”列，即 方 2=。丁 于 是 由（1）D2=（-1）T-1,万 2=（T）；TD T=（-（3）计 算 功.注 意 到 若 把 D,逆 时 针 旋 转 90得 方 3,则
16、D）的 第 1.2,-,列 恰 好 是 D 的 第%”-1,，1 列，于 是 再 把 D,左 右 翻 转 就 得 到 D.由（1）之 注 及，有 D3=（-1）TU,D3=D.注 本 例 的 结 论 值 得 记 取，即 对 行 列 式 D 作 转 置、依 副 对 角 线 翻 转、旋 转 180 所 得 行 列 式 不 变;作 上 下 翻 转、左 右 翻 转、逆（顺）时 针 旋 转 90 所 得 行 列 式 为 8.计 算 下 列 各 行 列 式（D 4 为 及 阶 行 列 式）：a 1（1）D=，其 中 对 角 线 上 元 素 都 是 a,未 写 出 的 元 素 都 是 0;1 a提 示：利
17、用 范 德 蒙 德 行 列 式 的 结 果.b*bi，其 中 未 写 出 的 元 素 都 是 0；(5)D.=det(%),其 中 a;=I i-j I;1+以 1 1 11 1+a2 1(6)DM=.，其 中 即 以 4。0 1 1 1+a”(1)解 一 把 D.按 第 一 行 展 开 得 0 aD.=a+(-l)J.a1 0按 第 一 列 展 开 a+-1 尸.1.厂-2=d-2(-1).(2)本 题 中 D 是 教 材 例 8中 行 列 式 的 一 般 形 式，它 是 一 个 非 常 有 用 的 行 列 式,在 以 后 各 章 中 有 不 少 应 用.解 利 用 各 列 的 元 素 之
18、和 相 同，提 取 公 因 式.=(x-a)*lx+(n-l)a.(3)解 把 所 给 行 列 式 上 下 翻 转，即 为 范 德 蒙 德 行 列 式，若 再 将 它 左 右 翻 转，由 于 上 下 翻 转 与 左 右 翻 转 所 用 交 换 次 数 相 等，故 行 列 式 经 上 下 翻 转 再 左 右 翻 转(相 当 于 转 180,，参 看 题 7)其 值 不 变.于 是 按 范 德 蒙 德 行 列 式 的 结 果，可 得 1 1-1a-n a n+1 a.=(：-，):(4)解 本 题 与 例 11相 仿，解 法 也 大 致 相 同，用 递 推 法.由 例 io,J,、八 O-.d,b
19、nc 即 有 递 推 公 式 D2.=(.a,d.-b.c,)DI(.n.a.b,另 一 方 面，归 纳 基 础 为=/心-d 利 用 这 些 结 果，递 推 得 D2.=(a.d.-6,c.)(!-*|C|)=口(4 4-btct).解(6)解 将 原 行 列 式 化 为 上 三 角 形 行 列 式.为 此,从 第 2 行 起，各 行 均 减 去 第 1行，得 与 例 1.3相 仿 的 行 列 式 其 中 4=1+曲+喀/=1+与/于 是 9.设 D=3 1-1 2-5 12 01-53 4,D 的(i,j)元 的 代 数 余 子 式 记 作 A“，求 1-13-3A3 1+3A3 2 2A
20、33+2A3 4解 与 例 13相 仿，A力+3 A M-2 A J J+2A”等 于 用 1,3,-2,2 替 换 D 的 第 3 行 对 应 元 索 所 得 行 列 式，即A JI+3 A J J-2 A JJ+2A34=3-51113-53-2-133-2 0023-5-14-42-42-3-12-23-1-1=4J+C j0003-51rj-r(-2)拉 M开-21003-5-13-23100-2-140-1-13-1-23=24.10.用 克 拉 默 法 则 解 下 列 方 程 组:(D i=01 1 1 1 1解 D=1235-202-1 4 0-2 3-32 111 1 1000
21、0012100-1一 2-2-13-54-51 13814小 一 2八 10-5-3-2-1ill85333-200-7815-4-10-1 0 93 3 5按 C 3展 开-27 0 32-2-4 23-22-10-1-1 0-13 09 9-27 3223-22=-1 4 2；1 5 1 1 1 5 1 15=1-2-1 4 一 八 0 一 7-2 32-2-1-5 0-1 2-3-73 0 2 11口-310-1 5-1 8-7-2 3 23 0-1 3rt-2 r3-3-7 33 0-31Q-3 r3-1 5-1 8-15-1 8按 t 展 开 23-13=-2 8 4;33-311
22、1 5 10 1-7 30-5-1 2-70-2-15 8D J=:125-214 r i-h2-3-2-5rj-2rl3 1 0 1 1r”-3r 3+5小:115-713 4+2r2。0-47 800-29 141 1-4 7 8=-426;0 1-2 9 141 1 1 51 2-1-2 r?-ri1 1 1 50 1-2-70-5-3-120-2-1-15-13-47=142,-5-29l 2-33-1-21 2 01 1 10 1-2n-2riL-3门 5-7+2r20 0-13-470 0-5-2 9由 克 拉 默 法 则，得 二 Di 一 1 一 一 _ D?_ 勺 一。4 一
23、1工 1=方=1，工 2=万=2,孙 _ F _ 3,比 4-F-1;5 6 0 00 5 6 6 0(2)D=而 0650 1 5106 按 门 展 开 5 1 5 6 1 56 00515156 05 65061 56 00 1=5=65;(*1 5 1 50 1 56 0 01 5 6=114,0 1 5于 是 D=325-114=2 U；6 0 05 60015 6 0按 Q 展 开 口=1 51 5 60 10 50 66-55 10 06 05 6D2=按 c2展 开 5 1 0 01 0 6 00 0 5 60 1 1 5=-1 9+180=161；03=)=5100651000
24、65按 C 3展 开=5-114=-109;5100651006511001由(*)式-1+65=64.100100按 j 展 开 00610065065100510065510651065510+51065100651065065由 克 拉 默 法 则，得 _ D|_ 151X=D=_ 2 n,X 2=D-=2 n-J 3=2=-122方.2TT，_ 64万 一 2 T r11.问 取 何 值 时，齐 次 线 性 方 程 组 Ax|+x2+Xj=0,|+3c2+1 3=0,+2 仪 2+%=。有 非 零 解？解 由 定 理 5,此 时 方 程 组 的 系 数 行 列 式 必 须 为 0.A
25、1 11 10 0因 D=故 只 有 当=0 或;1=1时，方 程 组 才 可 能 有 非 零 解.当=0,原 方 程 组 成 为 J A X|+1 2+工 3=0，(X|十 3=0，显 然 斗=1,工 2=1-入，4=-1 是 它 的 一 个 非 零 解；当 a=1,原 方 程 组 成 为 x1+x2+Xj=0,X,+x3=0,x,+2LZ2+q=0,显 然，工 i=-1，l z=0,小=1是 它 的 一 个 非 零 解.因 此，当=0或 4=1时，方 程 组 有 非 零 解.注 定 理 5(或 定 理 5)仅 表 明 齐 次 线 性 方 程 组 要 有 非 零 解，它 的 系 数 行 列式
26、 必 为 零.至 于 这 条 件 是 否 充 分 将 在 第 三 章 中 予 以 解 决，目 前 还 是 应 验 证 它 有 非 零 解.下 题 也 是 同 样 情 形.12.问 A取 何 值 时，齐 次 线 性 方 程 组(1-A)X|-2X2+4必=0,N=0或 4=2或 4=3,并 且 不 难 验 证:当 a=0时，皿=-2,工 2=1，N 3=1；当 A=2时，2=-2,工 2=3,%=1；当 4=3时，皿=-1,以=5,小=2均 是 该 方 程 组 的 非 零 解.所 以 当 入=0,2,3时 方 程 组 有 非 零 解.习 题 解 答”(-1;a x+a 建+013工 3=(X),
27、X2)|X J alx+aUx2+a23x3.即 3孙+223X2+33 3 3x I=a II X|+a 2 1 2+a”i j i 3+a n X j X|十 以 22%；十+A B+aux3x1+a 33X 3=aMx?+a12x+233X3+2al2x)x2 2anxlx3+2a23与 工 3 解 AB1 1 11 1-11-1 1于 是 3AB-2A=3E006i n5-5915-15272-25340860.241805-591860-222,222-22-22-2 13-2-174 292220-2.因 AT=A,BP A 为 对 称 阵，故002A 7 B=AB=5-59860
28、3.已 知 两 个 线 性 变 换 121=2“+/，-2“+3%+2%，,%=4“+”+5”，求 从 Z|9Z2 9Z3到 N.2，%的 线 性 变 换.解 依 次 将 两 个 线 性 变 换 写 成 矩 阵 形 式:V=-3与+%,”=2町+力=一 的+3之 3,X=A Y.Y=BZ,其 中 A=2-24031125,B=-3 1 02 0 10-1 3分 别 为 对 应 的 系 数 矩 阵；X=阵 形 式 为.在 这 些 记 号 下，从 到 八，工 2，工 的 线 性 变 换 的 矩 这 里 矩 阵 C=ABX=A Y=A(R Z)=(A B)Z=CZ,即 有 4.设 A=1123产=-
29、6 句+x2+3Z3，工 2=12z1-4Z2+9与 xy=-10z|N+16Z3.)-0(1)AB=BA 吗？(2)(A+B)2=A2+2AB+B2吗？(A+B)(A-B)=A 2-BM解（1）因 AS=(I D C VC M T 3(二)(3 3 故 A-(2)(A+B)2=(A+B)(A+B)=A2 4-AB 4-BA+B2,但 由(1),ABH5A,故 AE+5AH 2AB,从 而(A+B)2HAz+2AB+B1；(3)(A+B)(A-B)=A?+BA-AB-JJ2,但 由(1),A B W B A,故 BA-A B N O,从 而(A+B)(A-B)A2-B2.5.举 反 例 说 明
30、 下 列 命 题 是 错 误 的：若 A,=O,则 4=O;(2)若 A?=A,则 A=O 或 A=E：(3)若 AX=A Y,且 A声 O,则 X=Y.解 取 A=(：有 T=O,但 A H O;(2)取 A=(：),有 A、A,但 A#O 且 A r E;取 A=C J*=(：J=(：J 有 A X 3,且“O,但 X K Y.6.设 4=(；),求 AA，A”.解 直 接 计 算 得*=（；扉:=（:制：一 般 可 得(2.3)事 实 上，当 女=1时，（2.3）式 显 然 成 立;设 当 女 二 时，（2.3）式 成 立，那 么 当 k 二+1时,由 归 纳 法，知（2.3）式 成 立
31、.A 1 07,设 A=0 A 1,求 A”.0 0 A解 把 A 写 成 两 个 矩 阵 之 和 A000A00 0 10+0 0A 0 001=AE+B,0.0其 中 三 阶 矩 阵 6=0.01 0 0 0 10 1 满 足 谈=0 0 0,8=O a 3).0 0j 10 0 0于 是 A,=(AE+B)=CAE+C X lB+-+C：B=E+C，-B+C*zB?8.设 4,B 为”阶 矩 阵，且 A 为 对 称 阵，证 明 AB也 是 对 称 阵.证 根 据 矩 阵 乘 积 的 转 置 规 则,有(BTAB)T=BTAr(BT)T=BTAB(因 A 为 对 称 阵)，故 由 定 义，
32、知 BTA B 为 对 称 阵.9.设 A,B 都 是”阶 对 称 阵，证 明 A B 是 对 称 阵 的 充 要 条 件 是 AB=BA.证 B AT=A,BT=B,ftA B 为 对 称 阵 0(4 8)1=ABBA=A B.10.求 下 列 矩 阵 的 逆 阵：1 2-1(3)3 4-2；5-4 1.cos 0(e g 解(1)由 二 阶 方 阵 的 求 逆 公 式(教 材 例 10)得:尚 匕 二 H 一；T2 5 cos 6sin 0-sin 0cos 01 I cos 0 sin 0cos2 9+sin2 0-sin 0 cos 0I cos 0 sin 0-sin 0 cos 6
33、 1-1-2=2W0,故 A 可 逆，并 且 11 2 因 I A l=3 45-4M u=4-42I=-4,M2I=2-1=-2,MJI=24-1-2=0,-4 1%=35-21=13,Mi2=15-11=6,M 3 2=1312=1.M|3=354-4=-32,M?3=152-4=-14,M 3 3=1324=-2,于 是 AM ii-Mu Mu=_|_A_|AA=_2L-M2 Mn-Mn3-M”M.-2 1 0-4 2 0=J_-13 6-1=13,12 3 2,-32 14-2,-16 7-1(4)因。逆 2 故 4 W 0,1,2,，n.于 是 矩 阵 B=diag（/，a，）是 有
34、 意 义 的 并 且 因 AB=diag(|,牝，a“)diag(W“d)=diag(l,l，l)=E,由 定 理 1 的 推 论，知 4 可 逆，且 4 7=5=揄 8（=，；）注 本 题 结 论 值 得 记 取，可 当 作 公 式 用.11.解 下 列 矩 阵 方 程：,、/I-1 3(2)X 2 1 0=4 3 211-1 1J解（1）因 矩 阵，;）的 行 列 式=1,不 为 零，故 它 可 逆，从 而 用 它 的 逆 矩 阵 左 乘 方 程 两 边,得.(2)记 矩 阵 方 程 为 2det A=21故 A 可 逆，用 A T右 乘 方 程 的 两 边 得 X=B A*.又，M/Mg
35、A=-rA-lAl A 于 是 记 A=Mn-M|2M,1/-6 6了(-8 151 4I 2)B=-M Z3-1 33 2-2-3-28 J(o03321-2-3i-2012T0 13-23 0_ J,则 矩 阵 方 程 可 写 为 2=_135AXB=C.因|A|=6 H 0,|B|=2 0,故 A,B 均 可 逆.依 次 用 4 一,和 5 T 左 乘 和 右 乘 方 程 两 边 得 X=A C B 1-1 犷:一;）（一;丁 北-:(C:)/I;1021 1I。0（4）本 题 与（3）相 仿.因 矩 阵 1,01 01 10 0?00 00 1 的 行 列 式 都 是-1,故 0 1J
36、 0 1 0：均 是 可 逆 阵，并 且 0 1 01 0 0,0 0 11 0101 00 00 11 00 00 10100 00 11 0故 得 X=12.利 用 逆 矩 阵 解 下 列 线 性 方 程 组:)xi+2%+3j=1,(x,-x2-=2,2x)+2X2+5工 3=2,(2)2叫 一 工 2-3%=1，341+5必+%=3;3x1+2X2 5X3=0.解 将 方 程 组 写 作 矩 阵 形 式 Ax=b,这 里，A 为 系 数 矩 阵，*=(，2，巧 尸 为 未 知 数 矩 阵，b 为 常 数 矩 阵.1 2 3 因|A|=2 2 5=15X0,故 A 可 逆，于 是 3 5
37、 1,即 有 1 因 I A l=23以=1，x2=0,x3=0;_ 1-1-1-3=3#0,故 A 可 逆，于 是 2-5即 有X|=5,工 2=0,x3=3.13.已 知 线 性 变 换 Hi=2力+2y2+y),工 2=3yl+%+5y3,.工 3=3”+2%+3%.求 从 变 量 干，工 2,工 3到 变 量 的 线 性 变 换.解 记 X=(口，工 2，七 尸=(，/，3尸，则 线 性 变 换 的 矩 阵 形 式 为*=2 2 1Ay,其 中 A 为 它 的 系 数 矩 阵.因 det A=3 1 5=1X 0,故 A 是 可 逆 阵，于.3 2 3.是 从 变 量 X,x2,x3到
38、 变 量 v，奥 力 的 线 性 变 换 的 矩 阵 形 式 为 又 示 于 是-7=A=63V了 2)3,y=A 7 X.-4 93-7,2 一 4-7-46 33 2即 V=-7x|-4 X2+9巧，2=6xj+3X2-7 X3,y3=3x|+2 X2-4 X3.14.设 A 为 三 阶 矩 阵，|降|=g，求|(2 4)T-5A I.解 因|A|=；#0,故 A 可 逆.于 是 由 A=I A I A=A，及(2 A)1,得(2A)-5 A=1 A-y A-1=-2 4-,两 端 取 行 列 式 得|(2A)-5A I=I-2A-”=(-2)l A L=-16.注 先 化 简 矩 阵，再
39、 取 行 列 式，往 往 使 计 算 变 得 简 单.0 3 315.设 A=1 1 0,AB=A+2B,求 B.-1 2 3解 由 A5=A+2B=(A-2E)B=A.-2 3 3因 A-2 E=1-1 0，它 的 行 列 式 det(A-2 E)=2W 0,故 它 是 可 逆 阵.-1 2 1用(A-2 E)7 左 乘 上 式 两 边 得 0 3 31 1 0-1 2 31 6.设 A=0-22121 00 21 01016 61 0 3 3,4 6=-1 2 3.2 0J 1 1 1 0，且 AB+E=A 2+B,求 B.解 由 方 程 Ab+E=A?+5,合 并 含 有 未 知 矩 阵
40、 B 的 项，得(A-E)B=A2-E=(A-E)(A+E).0 0又,A-E=0 11 010，其 行 列 式 det(A-E)=-1 X 0,故 A-E 可 逆，用 0,(A-E)T 左 乘 上 式 两 边，即 得 2 0 1B=A+E=0 3 0.1 0 2.17.设 A=d ia g(l,-2,l),A BA=2A-8 E,求 B.解 由 于 所 给 矩 阵 方 程 中 含 有 A 及 其 伴 随 阵 A，因 此 仍 从 公 式 A A-=IA IE着 手.为 此，用 A 左 乘 所 给 方 程 两 边，得，AA*BA=2ABA-8 A,又，|A|=-2 H 0,故 A 是 可 逆 矩
41、 阵，用 右 乘 上 式 两 边，得 I A|B=2A B-8E=(2A+2E)B=8E=(A+E)B=4 E.注 意 到 4+E=d ia g(l,-2,l)+d ia g(l,l,l)=d ia g(2,-l,2)是 可 逆 矩 阵，且(A+E L=diag传,-l,y j 于 是 B=4(A+E)T=d ia g(2,-4,2).18.已 知 矩 阵 A 的 伴 随 阵 A=由 昵(1,1,1,8),且 4碗 7=5 4 7+3 后,求 B.解 先 由 4 来 确 定|4|.由 题 意 知 4 T 存 在，有 A=|A|A，得 I 1|=|A 门=而 I 1|=8,故|A|=2.再 化
42、简 所 给 矩 阵 方 程 A B A=B Al+3E=(A-E)5A T=3E=（4-E）B=3A=（E-A*）B=3E.由 I A I=2.知 A 1=*=-diag（1,1,1,8）=diagfy,y,4E-Al=diag/y,y,y,-3j-得（E-A T）-，=diag（2,2,2,y于 是 B=3（E-A T/=3diag（2,2,2,-）=diag（6,6,6,-l）.19.设 P-A P=A 淇 中 P=；）,求 A”.解 本 题 与 教 材 例 13相 仿.因 P T A P=A,故 A=P4P-.于 是 Al=PAP1=：）：）T：-：）,T；2：）（一；二）1/1+2”4
43、+2 _/2 731 2 732*3（-1-2n 4 2”1-683-684/20.设 AP=PA,其 中 P=1求 W（A）=A 5 E-6 A+A2）:1 1 1解 因|P|=1 0-2=-6 H 0,故 P 是 可 逆 阵.于 是，由 AP=PA1-1 1得 A=P A P”，并 且 记 多 项 式 p（a）=z G-6N+Jr?）,有 a（A）=Pa（A）pT.因 A 是 三 阶 对 角 阵，故 3（A）=diag（中（-1）,p（l）,p（5）=diag（12,0,0）,于 是 3（A）=1,110-11 0.pl AH A2I A M=-2 1 0 0*1 0 Oj（*1 1 1=
44、4 1 1 1.1 1 1.注，由 于 夕(A)除(1,1)元 外 均 是 0,故 在 求 P时，只 需 计 算 P 的(1,1)元、(2,1)元、(3,1)元 的 代 数 余 子 式 和 A”.21.设 A*=O(左 为 正 整 数)，证 明 E-A 可 逆，并 且 其 逆 矩 阵(E-A)=E+A+A2+,+A-.证 由(E-A)(E+A+A?+二+A*)=E+A+AT-A-A?一 一 A=E-O=E,由 定 理 2之 推 论 知 E-A 可 逆，且 其 逆 矩 阵(E-A)t=E+A+.注 判 断 矩 阵 8 是 否 为 A 的 逆 矩 阵，能 直 接、最 简 单 的 方 法 就 是 验
45、 证 AB(或 者 BA)是 否 等 于 单 位 矩 阵，就 像 判 断 3是 否 为 右 的 逆 只 需 验 证 等 X3是 否 等 于 1 一 样.下 一 题 及 例 2.1都 是 这 一 思 想 的 应 用.22.设 方 阵 A 满 足 A2-A-2 E=O,(2.4)证 明 A 及 A+2E 都 可 逆，并 求 及(A+2 E)T.解 先 证 A 可 逆.由(2.4)式 得 A(A-E)=2E,.也 就 是 A 伐(A-E)=E.由 定 理 2之 推 论 知 A 是 可 逆 的，且 A T=：(A-E);再 证 A+2E 可 逆.用 例 2.1的 解 法，由(A+2E)(A-3E)=A
46、2-A-6E=2E-6E=-4E,即(A+2 E):(3 E-4)=E,同 理，知 A+2E 可 逆，且(A+2 E)T=：(3 E-A);23.设 矩 阵 A 可 逆,证 明 其 伴 随 阵 A 也 可 逆，且(A)T=(A 7)，.证 因=I A|E 及 lAlW O,由 定 理 2的 推 论 知 A,可 逆，且(A,)1=-：A,I A I另 一 方 面，因 A-(A T).=用 A 左 乘 此 式 两 边 得 比 较 上 面 两 个 式 子，即 知 结 论 成 立.2 4.设”阶 矩 阵 A的 伴 随 阵 为 A，证 明:(1)若 IA I=0,则 IA*|=0;(2)|A*|=|A|
47、-.证 因A A=lA lE,(2.5)当|A|=O 时，上 式 成 为 A A=0.要 证|A|=0,用 反 证 法:设 l/T IWO,由 矩 阵 可 逆 的 充 要 条 件 知，A 是 可 逆 矩 阵，用(A)T 左 乘 上 式 等 号 两 边，得 A=O.于 是 推 得 A 的 所 有”-1 阶 子 式，亦 即 A 的 所 有 元 素 均 为 零.这 导 致 A*=O.此 与 A 为 可 逆 矩 阵 矛 盾.这 一 矛 盾 说 明，当|A|=O 时，I/T 1=0.(2)分 两 种 情 形：情 形 1：|A|=0.由，|/T|=0=|A|，结 论 成 立；情 形 2：|A|#0.在(2
48、.5)式 的 两 边 取 行 列 式，得|A-|A|=|A-A|=|A|E,|=|A|-.于 是|A|=|A|一.注 本 题(2)的 结 果 值 得 记 取.解 与 教 材 例 15相 同，本 题 练 习 分 块 矩 阵 乘 法.记 Z 1 2又 A“8口+B 2 2=（0：-2222=（0故 原 式 3 4 0.4-3 026.设 A=0 0 20 0 2解 若 记 A 弋）（E?B12 _/II 1 1 12+2 2 l O B2J O A22B22）,:）+:.;）=（卜；）f o 一:M T 小 1 2 5 20 1 2-40 0-4 30 0 0-900D,求|A I及 A.2.其
49、中“（：R，4=G）则 A 成 为-个 分 块 对 角 矩 阵.于 是 AA：OO A；因 A：25 00 25=25E,故 A=5*E;A1-2(:川:心 可 参 看 习 题 6).代 人 即 得 A540000540000242600024.27.设 n 阶 矩 阵 A 与 s 阶 矩 阵 B 都 可 逆，求(1)OBAO(二 C B解(1)因 A 和 B 均 可 逆，作 分 块 阵 OO AB O工 F 弋 卜 由 分 块 矩 阵 乘 法 规 则,O 办，/于 是 OBAo 尸 逆 屈 oO B-A-1 OA OC B 求 的 逆 阵，就 是 求”+s 阶 方 阵 X,使 A OC BX
50、=E.,.(2.6)为 此，根 据 原 矩 阵 的 分 块 情 况，对 X 作 一 样 的 分 块,X=X“xl2X 2 1 X 2 2其 中 Xu,Xl l tX2l,X22是 未 知 矩 阵(为 明 确 起 见，它 们 依 次 是 X x s,sX*$，$矩 阵).把 上 式 代 入(2.6)式 得 到 E.0 O E J C b 八 比 较 上 式 两 端 两 个 矩 阵，有 八 it*2 1X 1 222A XI2CXn+BX2I CXI2+BXnAX”A X1 2CX叱 c x 于 是 得=O=X12=O;+BX12=E,=BX21=E,=X=B 1;+BX2,=O=BX2l=-CX