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1、线性代数课后习题答案（同济大学第五版）第一章行列式1 .利用对角线法则计算下列三阶行列式：2 01解1一4-1-183=2x (-4) x3+0x (-1) x (-l)+lxlx8-0xlx3-2x (-1) x8-lx (-4) x (1)=-24+8+164=4.c 人 h c Qc解acbvbac-cba-bbb-aaa-ccc =3 abcalyc.1ci111 a b c a2 b2 c211b cb2 c2=bc-rca-ralf-a(?-b-clj =(a-Z)b-c)(c-a).x y x+y(4) y x+y x .x+y x yxyx+y解 y %+y xx+y x y=
2、*(A+y) y+ yx(x+y)+(x+y) yx-y-(x+y)-x=6xyx-y)-y6x yx-yx=-2 C?+/).2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数:(1)1234;解逆序数为0(2)4132;解逆序数为4:41,43,42,32.(3)3421;解逆序数为5:32,31,42,41,21.(4)2413;解逆序数为3:21,41,43.(5)13(2/7-1)24(2/?);解逆序数为若立：32(1个)52,54(2个)72,74,76(3个)(2/7-1)2,(2n-l)4,(2/7-1)6,(2ml)(2片2)31个)(6)13(2/7-1)(2/7)(2
3、/7-2)2.解逆序数为n(n-l):32(1个)52,54(2个)(2n-l)2,(2/2-1)4,(2/7-1)6,，(2/7-1)(2/7-2)31个)42(1个)62,64(2个)(2/7)2,(2/7)4,(2/7)6,(2)(22) g 个)3 .写出四阶行列式中含有因子可3的项.解含因子囱出3的项的一般形式为(-1)其中rs是2和4构成的排列，这种排列共有两个，即24和42.所以含因子加丽的项分别是(-1)a“a23a32a产(-1)句1 a23 a32 al尸一句1 a23 a3244,(1)did23a31al2=(1) a”a23a34al2=a”a23a3i&2.4 .计
4、算下列各行列式:4207202111 CM 1141100111104 CM4236-2023150200423411-2112312-rM0202423611-12 o 2315 T 11112242361T2O 2315o-020042301 T 2 o2310-911-Aabcdef.-11=adfbce 1-1oold o 11 c -1 To - o qt oooolu QI CT 人邛To OT oo IF oo Ju o 1- c T 1 IP t o 0700c3+dc2+ab a ad=-1 c 1+cd0-10-abcdvab+cch-ach-1.|l+a a 二| o1
5、Aad+cd1+ab15.证明:/ ab b2(1)2a a+h 2Z;=(a-Z?)3；111证明2a1aba+b1b22h1C2CC3-Aa2 ab-a2 b2-a22a b-a 2b-2a100=(b-a)(b-a)E ba =()3x=（标+分）_z )(a-c)(a-d)(b-c)b-d)(,c-d)(s+Zh-c+g);证明ld6/26/41 cc2c4lbz72/7414I6Z2I674loo o1b-ab(b-d)b2(b2-a2)I1c-ad-ac(c-a) d(d-d)c2(c2a2) d2(d2-a2)111bedb2(b+a) c2(c+a) d2(d+d)111=(b
6、-a)(c-a(da)O c-bd-b0 c(c-b)(c+b+d) d(d-b)(d+b+a)=(j)(c“)(/)(c6)( j)L+q)d(d+b+a)=(a-27)(a-c)(a-d)(Z-c)(b-d)(c-d)(a+tn-c+d). n , oo - - + oo 3 X 生 03。 xo - o a”11 -QX + , +/_1汨/ j口(。t +1)-(Q - J+DI n+l/ J1(+l)+(-1)+1_=(-1)2-(-1)2- n(Dn+l/ j1w+l/ j解再按最后一行展开得递推公式DkandnDi-2bnCfJ)2n2,即，尸-b“C)于是而02=11(44-匕
7、)%；=2ax b、q 4所以。(陪-姐).1=1(5) ZMet(a”),其中 a,：尸解 aij=| i-j,(6)D=det(a.)=r-rir2 T3。2+q=(7尸Dn =1234一一二 o nn3210- fsj 11 o11._1012-01233-)222 o -)2200一一：000-2一n-2n-32n-42n-531)2其中1+ q 1111+出*1111+4金311+10000- H6Z100001一2a20.0010一%a3001000an-an-10000一“1+tz/1114-15-2-2O8.用克莱姆法则解下列方程组:二1114-11111)-1-212-315
8、I-2I-2O-A42一一5-2I-2IO 11111-211113一一2115114-15-2-2O04 Jn 21.吟=3,Q 1 D、rA1-5/一万一/，与所以=-1145,00065006510651011 n 510005玉+6%=1x1+5x2+6a3=0x2+5x3+6x4=0.x3+5x4+6x5=0x4+5x5=1解因为000650065065106510051000=1507, D2=000650065106510651001i 11一一20006511 C(l-D C(IJ n,u 11065106510051000=703, D.=00065006511A cu,11
9、6510051000一一421A2=looo0065065106510051000所以r_1507 r 1145703 r ,-395 r 21216652665366546654665Axx+x2-x3-Q9.问4取何值时，齐次线性方程组玉+月%2+七=0有非零解?xt +2/zx2+x3=0解系数行列式为A 11D=1/Ll 1=一川.1241令加0,得/=0或2=1.于是，当片0或时该齐次线性方程组有非零解.(1-2)-22+4=010.问A取何值时，齐次线性方程组2X+(3-/i)x2+x3=0有非零解?百+%2+(1丸)%3=0解系数行列式为D=1zl 22 3-A1 1411-21
10、A 3+/1 421-A1011-2=(1-2)3+(2-3)-4(1-2)-2(1-2)(-3-2)=(1力，+2(1A)+A3.令必0,得A=0,2=2或 Q3.于是，当A=0, Q2或Q3时，该齐次线性方程组有非零解.第二章矩阵及其运算1.已知线性变换:xl=2yl +2y2+ y3%2=3乂+%+5%，x3=3yl+2y2+3y3求从变量M,心，用到变量几上2,必的线性变换. I . I 7 yly2% zr 916A37f-6112-4101%=-6Z+Z2+3z3所以有%2=12Zi-4z2+9z3.a3=-10z1-z2+16233.解(11设人=11U-i1 A (123、1,
11、 B=124，一2-2、4(I 13AB-2A=311J T1人l-lo丫人1Xu _1111-1u 1111zr k2-254.计算下列乘积:431-21丫7、(2)求3AB-2A 及 ArB.23、-2451Jfl 1-211J1322)-172029一2,Xm7341MV o1丫7、(4x7+3x2+ lxl、-232= lx7+(-2)x2+3xl(123)2；、5x7+7x2+0xl ?(123)2=(lx3+2x2+3xl)=(10).1(-12);(?罚,故U+0(J-而H才一皮6 .举反列说明下列命题是错误的：(1)若才=0,则4=0;解取A=C1)，则才=0,但麻o.若才=4
12、贝IJ 4=0或4=解取A=(j ：),贝IJ才=4但麻0且麻(3)若4笈/匕且上0,则不Y.解取A=(o o X=-1 y=(01贝ij力心力匕且但四Y.7 .设 A =解A?=A = A?A =(i oYi o)i o1人41)3A 1Jf210)8.设4=021,求、00%解首先观察。1 OYA 1 0、(X-A2= 0 A 1 0 A 1、0 0 410 0乙0I。22 1 )22 220后设无 o4A3243储322,勿4尤，(00九)(无5九10均A5=A4-A=0尤5力(00尤 J用数学归纳法证明：当岳2时，显然成立.即1)小一2)(A 010假设4时成立，则A+1时,龙k无7A
13、k+l=AkA=0无00龙+1出+1)尤T(31龙-J=0尤+1也+1)无700尤+19 .设46为A阶矩阵，且力为对称矩阵，证明46也是对称矩阵.证明因为=4所以(Ha助=区犬氏Fab,从而力8是对称矩阵.10 .设月,6都是阶对称矩阵，证明是对称矩阵的充分必要条件是力必力.证明充分性：因为心4 F=B,且AB=B4,所以(A/=(BA)=/E=ab,即48是对称矩阵.必要性：因为心4 E=B,且(第力及所以 ab=mt=eat=ba.11.求下列矩阵的逆矩阵:解 A2 D4=L故存在.因为cos。-sin，）（sin。cos。）,解Y需言盼小1犯故下存在因为4*=fAi A2i=（ cos
14、。sin。）（血422）1-sine cos。/所以 A-=-LA*=fcos sm。|A|（sing cos（9J I 7 12 3 12 3 444 12 3 rAalAfl 2-B解 A=34-2.|J|=20,故/T存在.因为（5-41 Jf-420）13613214-21所以4-1_j_4*飞6-2_13T1610a 13-27-J12.解下列矩阵万程:解10 fl 0fo(4)1I。00X000)1 ojfl -43)20-1U -2 Ojfl -4 3 2 0-1 J -2 0fo 1 oY1100(00 DY10 OY1001人。1 ojC (2 T 1=13 oj U 0o)
15、-4 .-2jfo 10Y1-43V10=10020-100、001人1-2010113.利用逆矩阵解下列线性方程组:玉+212+3%3=1力(A-D =2E=/TJ (A-)=2/3 AT =；( A - E),又由才一力一2房但(力+204-3(4+20=4=(J+2)(/13)=4 E,所以(J+29(力+2。(A-3)=-4(4+2)，(A+2E)-t=j(3E-A).16 .设4为3阶矩阵，|A|=；,求|(2力尸-5琳|.解因为AT=A*,所以|(2A 尸一5A*|=|；AT5|*4|=|；4一|a=|-2Al |=(-2)31 Al |=-81A |-1=8x2=16.17 .设
16、矩阵4可逆，证明其伴随阵心也可逆，且(价尸=(丁)*证明由4-1=54*,得力*=下，所以当月可逆时，有|肚|=|2|=|川1仁,从而心也可逆.因为A=AAl,所以W=AlA.又A=(AT)*=|A|(AT)*,所以(A*)=AA=AlA，)*=(T)*.18 .设阶矩阵力的伴随矩阵为/*,证明：若|川=0,则法|=0;(2)|的=|4尸.证明用反证法证明.假设I捌M,则有心(小尸=由此得 A=A A*(川储*尸=，所以上=q这与|/*|M矛盾，故当|川=0时，有4*|=0.由于4-1=者4*,则44*=|由于取行列式得到AA*=A.若M,则|加|=|4尸;若办=0,由知体1=0,此时命题也成
17、立.因此M*1=14尸.033、19 .设4=110, AB=A+2B,求3.-123解由 A&=A+2E 可得(J-2Z) B=A,故3 3、1 02 3J(0 3 3、-12 3Ij(-23B=(A-2E)A=1-1、12(101)20 .设4=020,且4%丘才+反求B.U 0 V解由4阶氏#+8得(J-tE) B=-E, U-Z)5=U-Z)(4欧001因为|A-E|=010=1。0,所以储一切可逆，从而100(2 o n B=A+E=030U 02)21 .设上diag(l,-2,1), A*BA=2BA-8E,求笈解由由胡=2胡-8/得(J*-268A=-8瓦B=-8(A*-2)/
18、T=-8月(/*-2近=-8(AA*-2A)l=一8(且24=-8(-2且24T=4(EM)t=4diag(2,-1,2)2)=4diag(1,-l,=2diag(l,-2,1).1000、22 .已知矩阵力的伴随阵4*=J)-308,且物工用+3上求氏解由| J*|=|川,=8,得|4|=2.由力_=+3/得得以3A,居3(J-Z)-1J=3A (仄彳)A=3(E-1a*)-1=6(2E-A*)-1r6o o O0 0 6 0(1 o o o Y10100-1010(030-6)-1 0)0 2 5设尸力代A,其中尸=由b4代A,得4=公/，所以/=月=心”产.1 Uh A=求下.1 4 Y
19、 1 01 11 0 212732-684(124.设力七月,其中尸=1求9(月)=/(5R6由/).解(A)=A8(56A+A2)=diag(l,l,58)diag (5,5,5)-diag (-6,6,30)+diag (1,1,25)=diag(l,l,58) diag(12,0,0)=12diag(l,0,0).叭 a)=p(p12 r=宙尸。(A)尸*fl 1 1Y1 =-2 10-20OY-2 -2 -2、-3i n11.25.设矩阵4 证明因为nJ6及4+6都可逆，证明了+/也可逆，并求其逆阵.a-(a+&夕夕+r=r+k,而丁储+而犷是三个可逆矩阵的乘积，所以/+而夕何逆，即下
20、+/可逆.(一+夕 I) T=丁(出 BT=B(A+助A.12 1026.计克 oo2i0 0 0 3103n012-100-23,000-3)解设 A =1”=()4=(=( eye蛇/a的+硝AB+B2=6记-；sfo -3)=(-0-9)-所以即27.解而故28.解则( e、e幻/a9+与(o 4人。&广I。 A/?)fl 20100(00qoo2439-_524021001020oYi设A=4-30010032-20-i3一3)fl0010210052、2-4-430-9jA=B=-C=D=11_1-1BD验证AC000-l：01O20 ，求I组及22,A=Av 1*11 oo 22
21、o=4,|a8ha8IIHAPI4I8=io,6.(540054240262A4=29.设阶矩阵4及s阶矩阵3都可逆，求GGGGzznk=4 o1设眸AwO纥 E。/ L=H7 GG A E r 3 f 1 c c A B zr k=ad24。08B-OAD-GGGGJ、 nEO。-GGGA A Br I !-TXUA 0000CD、+ BD3 CD)+ BD4-O-BB-1-一一-必=纥rh 以组 J AD2=O由此侍cdx+bd3=oCD2+ BD4=Es（遥=（一指丹.求下列矩阵的逆阵：所以30.603200852100(1)-38250038-002525001200S O 32J00
22、85115200是.1111o 4311702004110031 z/IIK 0212A-1121设/ I2)?/(角A08 Ac z/ll=004311212第二章矩阵及其运算1 .已知线性变换:百=2%+2%+为2=3x2-76-49丫3-7%，y =-7%412+9网%=6%+3%2-7玉.2.%=3%+2x2-4x3%=2%+%X=_3z】+ Z2%2=2乂+3%+2%,y2=2zl + z3 ，%3=41+%+5%y3=-z2+3z3求从Z1, Z2, Z3到*, X2,用的线性变换.解由已知1Y-3 1-214-24oY a、5人 0 -1AZ37f-61916入Z3J12-4k
23、101x1=-6z1+z2+3z3所以有2=12。一422+923.&=-104Z2+1623(3.设4=1解 3AB-2A=3 1ro=3 0(2559B= -111-16 -2 10J-2 4 ,求力以2力及2 3、 ( 1 1 A-1 -1-1-2 4-2 11 -1-2-2413 22、-17 20 ,292J1-1-1-240J4.计算下列乘积:(431丫7、(1)1-232；(570A1Jf411531丫7、-2321AV(4x7+3x2+lxl )=lx7+(-2)x2+3xl、5x7+7x2+0xl )得B4吗？解 ABBA.因为AB =,所以A班班.（2）（由2=1+2力a后
24、吗？解（力+024+2/以氏因为 A + B=（： I）,公第喉椒但一+叫有砥如仔焦所以（出出4+244发（3）（力+而（4一6=#一片吗?解（月+而（月-而沙2-氏因为a+吒n 5；）,(A+B)(A-B)=g .张 W 而春阳;初;灯,故(由(A-助手#-F.6.举反列说明下列命题是错误的:(1)若#=0,则4=0;解取A=(2)若才=4则4=0或月=解取4=,则才=4但麻0且麻贝IJ4长力匕且左0,但屏九，求才，/，.一，/.(3)若月照4K且存0,则上F.解7.设4=解A2=AA3=A2A =1 ovi o2A 1AA 13A(A 108.设4=0/I 1,求才.(004解首先观察(X
25、 1A2= 0 A(0 022 1 22 2A 0 A2 JoY/t10以01 oA210 AJ(x-=01“3尤3储A3=A2-A=0允3下，、004万6徜A4= A3- A =0423,、00壬（尤5/10研A5=A4-A=052*、00无用数学归纳法证明:当k=2时，显然成立.假设4时成立，则出4时,无+】（/+1）尤T=0无T00（攵+1）.一休+1）尤-1无+1由数学归纳法原理知:尤女尤T 女伏-1）,才-2、-2寿=0无k.00无k）9 .设48为阶矩阵，且1为对称矩阵，证明至仍也是对称矩阵.证明因为A=A,所以（Ra 6弘RA）t=Bab=Bab,从而反8是对称矩阵.10 .设4
26、8都是阶对称矩阵，证明46是对称矩阵的充分必要条件是4居员I.证明充分性：因为心4 E=b,且医砒所以（=（胡）T=4H=AB,即46是对称矩阵.必要性：因为心4 R=B,且（A而工AB,所以 AB=（A切 t=BA=BA.11 .求下列矩阵的逆矩阵：解 A =cos，一sm sin。 cos。cos6-sind sin。 cos。故彳存在.因为cosO sin。）-sin cos。r2 0、6 1 ,2-230812.解下列矩阵方程:2)(2 i -n X 210(1-11JTol 1111-1 r22 u32-1314fo :110(o10OYn -43Y120-101-20人。OYl -43Y10020-1001人1-20人01o oYlo 11 oj0)(21=1-13004-213.利用逆矩阵解下列线性方程组:%+2%2+3%5=1(1) 2x1+2x2+5x3=2；3X1+5x2+x3=3方程组可表示为fl 23丫玉%2=2J 玉=1从而有1 x2=0.x,=0x1-x2-x3=2(2x-x2-3x3=.3七+2%25%3=0解方程组可