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1、2022-2023学年北京市东城区高二上学期期末考试数学试题一、单选题1 .已知向量。=（8,-2,1）,1=（T,1,k）,且环区，那么实数司的 值 为（）A.-B.-C.2 D.2【答案】B【分析】根据平行关系可知5 =须，由向量坐标运算可构造方程求得结果.-4=8 2【详解】/allb.-.b=2a（A e R）,CA=vl2+12+22=R ,所以 sinNC4,O=CD 限故选：A马_ C,A7.如图，点。是正方形ABC。两条对角线的交点.从这个正方形的四个顶点中随机选取两个，那么这两个点关于点。对称的概率为()A.-5【答案】C【分析】先求出事件的基本总数，再求出满足条件的基本事件
2、数，利用古典概型计算即可.【详解】从四个顶点选两个的情况数为：C：=6,选的两个点关于中心。对称的情况有：A C 与 两 种,2 1所以所求概率为：/=-=-,6 3故选：C.8.圆 心 为 半 径/*=3 的圆的标准方程为()A.(x-l)2+(y+2)2=9 B.(x+1)2+(y-2)2=9C.(X-1)2+(J；+2)2=3 D.(x+l)2+(y-2)2=3【答案】B【分析】根据圆的标准方程的形式，由题中条件，可直接得出结果.【详解】根据题意，圆心为(-1,2),半径/=3圆的标准方程为(x+l)2+(y-2)2=9；故 选:B.9.已知正四棱锥P-ABCZ)的高为4,棱 的 长 为
3、 2,点 H 为侧棱PC上一动点，那么面积的最小值为()“B.4 C.f D.半【答案】D【分析】根 据 正 四 棱 锥 的 性 质 得 到 平 面 A8CD，O H B D,然后根据PO=4,0C=应，得到。”的范围，最后根据三角形面积公式求面积的最小值即可.取 3。中点。，连接CW、PO、0C,因为四棱锥P-M C D 为正四棱锥，所以P 0 1 平面ABC。，DH=BH,因为。为 3。中点，所以Q”J_8Q,因为O C u平面ABC。，所以PO_LOC,因为 43=2,PO=4,所以 80=2 0，0C=6,4XJ2 4在直角三角形POC中，当。HJ_PC时，最小，为I,=*,当点和点户
4、重合时，OH最大,V42+2 3*4 最大为4,所以。“亍 4,S.H B D=g x 2&0 H =50H，所以当0 H=：时，的面积最小，为 逑故选：D.1 0.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将第一次得到的点数记为X,第二次得到的点数 记 为 那 么事件“2”16”的概率为（）A.B.C.-D.9 36 6 3【答案】C【分析】由已知先列举出事件总数，然后解出不等式，找出满足条件的事件数，结合古典概率计算即可.【详解】由题意第一次得到的点数记为X,第二次得到的点数记为y,记为（x,y）,则它的所有可能情况为：（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,1）,
5、（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,1）,（3,（3,3）,（3,4）,（3,5）,（3.6）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（4,5）,（4,6）,（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,（6,6）共 36种，由2”1 6,即2，424，由y=2”在 R 单调递增,所以x+y 4 4,所以满足条件的（x,y）有：（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（2,2）,（3）共 6 种，所以事件“2中 4 16”的概率为：尸=二=:，36 6故选：C.
6、11.地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波 抢在 地震波 之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek和 Pujol提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台A站和8 站相距10km.根据它们收到的信息，可知震中到5 站与震中到A站的距离之差为6km.据此可以判断，震中到地震台B站的距离至少为（）A.8km B.6km C.4km D.2km【答案】A【分析】设震中为尸，根据双曲线的定义以及1 p A
7、 i+|P 8 1 2 1 A 8|=1 0可求出结果.【详解】设震中为尸，依题意有I尸例-|P A|=6|A 8|=1 0,所以点尸的轨迹是以A8为焦点的双曲线靠近A的一支，因为1 P A i+|P B以48|=1 0,当且仅当A,P,8三点共线时，取等号，所以|8|-6+|总 日0,所以|尸3但8,所以震中到地震台8站的距离至少为8 k m.故选：A1 2.对于数列 4 ,若 存 在 正 数 使 得 对 一 切 正 整 数“，都 有 同 则 称 数 列 叫 是有界的.若这样的正数不存在，则称数列 5 是无界的.记数列 q 的前项和为S，下列结论正确的是()A.若4=：，则数列 凡 是无界的
8、 B.若q,=si n，则 数 列 是 有 界 的C.若,=(-1),则数列 S,是有界的 D.若。“=2 +，则数列 S,是有界的【答案】C【分析】根据|。“区1可知A错误；由|?|=卜 布“|可知|%|不存在最大值，即数列 4无界；分别在为偶数和为奇数的情况下得到5.，由此可确定知C正确；采用放缩法可求得S +由 可知 D 错误.I 2 +1 )2几 +1|_3)【详解】对于A,同=4=5 41恒成立，.存在正数M=l,使 得 4M恒成立，二数列 4是有界的，A错误；对于 B,|a,J=|si n|=Hsi n|,.|si n n|l,：.an,即随着的增大，不存在正数”,使 得 同4M恒
9、成立，二数列%是无界的，B错误；对于C,当为偶数时，5 =0;当为奇数时，5=-1;存在正数M=l,使得恒成立，二数列 S,是有界的，C正确；14 4 _(1 1 )对于 D，/=彳4(21)(2 +1)=4 罚 一 罚 二c c 1 1 1 1 /1 1 1 1 1 1 22 32 n2(3 3 5 2n-l 2n +lJc /1 8 (2 八=2+4 1-=2+-=2 n-+2；I 2H+1J 2 +l I 2 +l J2 2 1 、-.-y=x-在(0,+8)上单调递增，-e -,+故答案为：114 .在等差数列%中，q=2,at=a2+6,则 为=.【答案】3-l,(e N*)【分析】
10、利用已知条件求出公差，利用等差数列通项公式求解即可.【详解】设等差数列的公差为d,由 4 =2,a4=a2+6,所以 4+3 d =q+d +6=d =3,所以4=6 +(-l)d =2+(-1)x 3=3-1,(N*),故答案为：3-l,(e N)15.两条直线4：3x-4 y-2=0 与/2：3x-4 y+8 =0 之间的 巨离是.【答案】2【分析】根据平行直线间距离公式可直接求得结果.【详解】由平行直线间距离公式可得:3 4之间的距离d =8 +2EH=2故答案为：2.16.试写出一个中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为y=2x 的双曲线方程.【答案】V-片=1（或其它以丫=2了
11、为渐近线的双曲线方程）4【分析】根据题意写出一个即可.【详解】中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为y=2x 的双曲线方程为/一片=%（a 工0）故答案为：/-=1 （或其它以），=2%为渐近线的双曲线方程）417.已知点P是曲线o?+勿2=1（其中，人为常数）上的一点，设 M,N是直线丁 =%上任意两个不同的点，且|M V|=1.则 下 列 结 论 正 确 的 是.当而 0 时，方程0 +刀2 =1表示椭圆；当4 人（）时，方程欠2+勿2 =1表示双曲线；当=L，b=。,且Z=4 时，使得 M NP 是等腰直角三角形的点P有 6个；24 o当。=1,6 =。，且0 f 0 时可表示圆，
12、当必0时，取。+勿？表示双曲线，故错误，正确；在中：椭圆方程为+?=1,椭圆与直线/均关于原点对称，24 8设点?（2 c o s。,2夜 s i n。），则点P到直线/的距离为d=l2 c o s 9/0 s in 6 =-1_ j J.=4 s i n,一 勺 w 0,4 .7 2 V 2 I 3)1 J对：f =4 时，(1)若尸为直角顶点，如 图 1,则|M N b f =4,d =2&4,满足 M V P 为等腰直角三角形的点P有四个,(2)若 不是直角顶点，如图2,则|M N|=/=4,4=4,满足APMN是等腰直角三角形的非直角顶点故f=4 时，使得MVP是等腰直角三角形的点P
13、有 6 个，正确；对：0 fv 4 时，(1)若尸为直角顶点，如 图 1,则 =%4,满足&WNP为等腰直角三角形的点P 有四个.(2)若 P 不是直角顶点，如图3,则J =/4,满足M2VP是等腰直角三角形的非直角顶点尸故0 f，平面ABC。证明：因为平面PAD，平面ABC。，P A Y A D,P A u平面PA。，平面以0 c 平面=,所 以 小，平面ABC D.条件：P A Y A B证明：因为R4J_AD,P A A.A B,且 AB,A。u平面A8C）,ABrAD=A,所以PA J_平面ABCD（2）由（1）知 PA_L 平面 ABC。，ABAD,AB,AD,AP 两两垂直，以A
14、为原点，A&ADAP分别所在的直线为x,y,z轴，建立如图空间直角坐标系，则尸（0旦2）,A（0,0,0）,2（0,1,1）,C（2,2,0）,所 以 前=（2,2,0）,而=（0,1,1）由（1）知平面ABC。的法向量Q =（0,0,2）,_ .、n-AC =2x+2y=0设平面AC。的法向量为 =（%y,z）,则 _ ,n A Q =y+z=0 x+y=0 人，一/、即 八，令 丁=1，则=（T-i）,设平面AC。与平面4 5 8 夹角的为。，所以平面AC。与平面ABC。夹角的余弦值为立3（3）由已知得8（2,0,0）,丽=（2,0,0）,2 1.已知圆 C:x2+y2 2x+4)，-4
15、=0,圆。1：(*-3)2+(丫-1)2=4及点。(3,1).判断圆C 和圆C1的位置关系；（2）求经过点P 且与圆C 相切的直线方程.【答案】（1）相交 y=l 或 12x+5y-41=0【分析】（1）根据两圆方程可确定圆心和半径，由圆心距与两圆半径之间的关系可确定两圆位置关系;（2）易知切线斜率存在，则可设其为y-l=k（x-3）,利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得3进而得到切线方程.【详解】（1）圆C 方程可整理为：（x l）?+（y+2）2=9,贝 IJ圆心C。,2）,半径r=3；由圆G 方程可知：圆心（3,1）,半径=2；/|CC|=,J(l-3)2+(-2-l)2=V13,r
16、+r=5,r-z；=1,：.r-C C 6 0）的离心率为半，一个顶点为A（0,l）.求椭圆E 的方程；若过点A 的直线/与椭圆E 的另一个交点为8,且|4用=:&,求 点 8 的坐标.【答案】5+丁=1【分析】（1）根据椭圆中名尻c 的关系求解即可；（2）先 利 用=求出点5 的轨迹方程，然后求点5 的轨迹方程与椭圆1+小 的 交 点 即 可，求值的时候一定要注意变量范围.【详解】（1）由题可知 =也；b=,又因为=6 2+/,解得a 2a=2b=lc=1所以椭圆后的方程为A,（2）设双X,y）,因为|4回=也,所 以 有 犬+（-1）2=m丫 23?则点4 为椭圆上+丁=1与圆f+G-y
17、=*的交点，2 9八（下芍联立,解得y=-g 或 y=（舍去，因为所以有，4x=3 或y =-34x=；,故点B的坐标为（土：-；X2 2 1y +r =1412yn,0 23.已知无穷数列%满足公式y“s=2,设 y=a（0 4 a 4 1）.2-2%,万 4%41 若 小，求力的值;（2）若 为=0，求”的值;（3）给定整数M（M N3）,是否存在这样的实数”，使数列”满足:数列”的前项都不为零:数列 中从第M+1 项起，每一项都是零.若存在，请将所有这样的实数。从小到大排列形成数列 “,并写出数列 q 的通项公式；若不存在，请说明理由.【答案】(1)%=1(2)。=0,1,(3)存在这样
18、的%?=等上=1,2,3,L ,2 修，理由见解析【分析】(1)根据%,求出内，%；(2)%=。，(i)当04%时，可 得 当=。,由 M的范围可得与的关系可得。；(ii)当;4%1 时，由%=2-2%得 为，再分34y 41 根据上与必可得答案(3)存在这样的。，根据W+i =0,加 工0 和(2)可 知 加=1,加_|=g ,分0 4 yM-2 ：、讨论，根 据 与 加 一 2 关系类推，可得答案.，【详解】(1)因为=；,所以%=2 y=g,%=2-2%=1 ;(2)因为=0,(i)当时，%=2%，所以必=，此时，若则必=2 乂,。=凶=0；若;则必=2-2%“=1.(ii)当;4 y2
19、 1 时，=2-2%,所以 2 =1,此时，若 则 2 =2%,=乂 J；若 g w y Vl,则必=2-2%,=必=g.综上所述，。=0,1 1；(3)存在这样的。，因为+i =o，y,，由 可知=1，坨 一 1=g，当 04加_ 2 时，-1=2%-2，所以加一2=：，I 3(ii)当4 I时，=2-2%_ 2，所以加-2=2 M班 1 3 5,2w-l以此尖推，y =%-(*)=产 ，产 产，L，2公，所以数列%的通项公式为=猾，=1，2,3,L ,2 9.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是由递推关系可得数列的结果，寻找规律，本题考查数列的递推关系的应用，考查了学生推理能力、运算能力.