《2022-2023学年北京市西城区高二上学期期末考试数学试题(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年北京市西城区高二上学期期末考试数学试题(解析版).pdf（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 1 页 共 14 页 2022-2023 学年北京市西城区高二上学期期末考试数学试题 一、单选题 1直线30 xy的倾斜角等于（）A45 B90 C120 D135【答案】D【分析】由30 xy得3 yx，据此可得答案.【详解】由30 xy得3 yx，得直线斜率为1，则倾斜角为135.故选：D 2抛物线24xy的准线方程为（）A1x B=1x C1y D1y 【答案】D【分析】根据抛物线方程求出2p，进而可得焦点坐标以及准线方程.【详解】由24xy可得2p，所以焦点坐标为0,1，准线方程为：1y ，故选：D.3在空间直角坐标系Oxyz中，点1,3,0,0,3,1AB，则（）A直线AB坐标平
2、面xOy B直线AB坐标平面xOy C直线AB坐标平面xOz D直线AB坐标平面xOz【答案】C【分析】求出AB及三个坐标平面的法向量，根据AB与法向量的关系判断【详解】(1,0,1)AB ，坐标平面xOy的一个法向量是(0,0,1)，坐标平面xOz的一个法向量是(0,1,0)，坐标平面yOz的一个法向量是(1,0,0)，这三个法向量与AB都不平行，但(0,1,0)0AB，点,A B均不在坐标平面xOz上，因此AB与坐标平面xOz平行，故选：C 4在4(21)x的展开式中，2x的系数为（）A6 B12 C24 D36【答案】C【分析】先求二项式展开式的通项公式，然后根据通项公式计算求解即可.第
3、 2 页 共 14 页【详解】4(21)x展开式的通项公式444144C(2)12CkkkkkkkTxx，令42k，得2k，所以在4(21)x的展开式中，2x的系数为4 2242C4624，故选：C 5在长方体1111ABCDABC D中，13,2,1ABBCAA，则二面角1DBCD的余弦值为（）A55 B2 55 C1010 D3 1010【答案】D【分析】画出长方体1111ABCDABC D，1DCD为二面角1DBCD所成的平面角，求出1cosDCD的值即可得出答案.【详解】长方体1111ABCDABC D中，13,2,1ABBCAA，110CD，BCCD，BC 平面11DCC D,1CD
4、 平面11DCC D,1BCCD,又平面1D BC平面BCDBC，1DCD为二面角1DBCD所成的平面角，1133 10cos1010CDDCDCD，所以二面角1DBCD的余弦值为3 1010.故选：D.6若直线340 xym与圆22(1)1xy相离，则实数m的取值范围是（）A,82,B,28,C,22,D,88,【答案】B【分析】根据直线与圆相离则圆心到直线的距离大于圆的半径即可求解.【详解】因为直线与圆相离，第 3 页 共 14 页 所以圆心(1,0)到直线340 xym的距离223134mdr，解得2m 或8m，故选:B.7 2 名辅导教师与 3 名获奖学生站成一排照相，要求 2 名教师
5、分别站在两侧，则不同的站法共有（）A33A种 B332A种 C5353AA种 D35A种【答案】B【分析】先排好教师再排学生即可.【详解】2 名教师排在两边有22A2种排法，3 名学生排在中间有 33A 种排法，所以共有332A 种排法；故选：B.8设aR，则“1a”是“直线1:20laxy与直线2140：lxay平行”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】计算直线平行等价于1a 或2a，根据范围大小关系得到答案.【详解】直线1:20laxy与直线2140：lxay平行，则12a a，1a 或2a，验证均不重合，满足.故“1a”是“直
6、线1:20laxy与直线2140：lxay平行”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.9如图是一个椭圆形拱桥，当水面在l处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面2m，水面宽6m，那么当水位上升1m时，水面宽度为（）A3 3m B3 3m2 C4 2m D4 2m3【答案】A 第 4 页 共 14 页【分析】根据题意可得桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：22194xy，求直线1y 被椭圆所截得的弦长，代入椭圆方程即可求解.【详解】以图中水面所在的直线为x轴，水面的垂直平分线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
7、根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：22194xy，当水位上升1m时，水面的宽度也即当1y 时，直线1y 被椭圆所截的弦长.把1y 代入椭圆方程可得：3 32x ，所以当水位上升1m时，水面的宽度为3 3m，故选：A.10设点1,0A，2,3N，直线:210l xaya，AMl于点M，则MN的最大值为（）A34 B6 C4 D3 21【答案】B【分析】依题意可得直线AM的方程，再联立直线l的方程，消a后可得到M的轨迹方程为22111xy，则所求MN的最大值为圆心到点2,3N 的距离加上半径，由此即可求解【详解】依题意可得直线AM的方程为1ya x，联立2101xayaya x，
8、消a整理得22111xy，所以点M的轨迹是以1,1为圆心，1 为半径的圆，故MN的最大值为222 13 116 ，故选：B 二、填空题 11设3,2,1,4AB，则过线段AB的中点，且与AB垂直的直线方程为_.【答案】2310 xy 【分析】求出线段AB的中点坐标和斜率，利用点斜式写出直线方程.【详解】因为3,2,1,4AB，所以线段AB的中点1,1C ，且423132ABk .第 5 页 共 14 页 所以与AB垂直的直线的斜率为112332ABkk ，所以过线段AB的中点，与AB垂直的直线方程为2113yx，即2310 xy.故答案为：2310 xy 12在61xx的展开式中，常数项为_【
9、答案】20【分析】根据展开式的通项公式求解即可.【详解】在61xx的展开式的通项公式为66 21661kkkkkkTC xC xx，所以令620k，解得3k，所以常数项为3620C 故答案为：20 13设F为抛物线2:4C yx的焦点，点A在抛物线C上，点3,0B，且AFBF，则AB _.【答案】2 2【分析】由题意可设,A x y，且满足24yx，因为=2AFBF，由两点间的距离公式代入可求出1,2A，即可求出AB.【详解】由题意可得，1,0F，2BF，设,A x y，且满足24yx，此时0 x，则2221142AFxyxx，解得：1x，此时2y ，所以1,2A，故221 322 2AB .
10、故答案为：2 2 14记双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为 e，写出满足条件“直线2yx与 C无公共点”的 e的一个值_【答案】2（满足15e皆可）第 6 页 共 14 页【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线byxa 中02ba即可求得满足要求的 e值.【详解】解：2222:1(0,0)xyCabab，所以 C 的渐近线方程为byxa,结合渐近线的特点，只需02ba，即224ba，可满足条件“直线2yx与 C无公共点”所以221145cbeaa，又因为1e，所以15e，故答案为：2（满足15e皆可）15如图，在正方体1111ABCDABC D中，2,ABE为棱1DD的中点，
11、F是正方形11CDD C内部（含边界）的一个动点，且1/B F平面1ABE.给出下列四个结论：动点F的轨迹是一段圆弧；存在符合条件的点F，使得11B FAB；三棱锥11BD EF的体积的最大值为23；设直线1BF与平面11CDD C所成角为，则tan的取值范围是2,2 2.其中所有正确结论的序号是_.【答案】【分析】对于，利用线线平行可证得平面1/ABE平面1MNB，进而知动点F的轨迹；对于，利用垂直的性质的可判断；对于，利用三棱锥的体积公式可求得；对于，利用线面角的定义结合三角形可求解；【详解】对于，分别取1CC和11DC的中点,N M，连接MN，1MB，1NB，第 7 页 共 14 页 由
12、正方体性质知1/MNAB，11/NBEA，1,MN NB 平面1ABE，11,AB EA 平面1ABE，所以1,/MN NB平面1ABE,又1,MN NB 平面1MNB，1MNNBN，所以平面1/ABE平面1MNB，当F在MN上运动时，有1/B F平面1ABE，故动点F的轨迹是线段MN，故错误；对于，当F为线段MN中点时，11MBNB，1B FMN，又1/MNAB，11B FAB，故正确；对于，三棱锥11BD EF的体积11111233D EFD EFVSBCS，又1max12 112D EFS 所以三棱锥的体积的最大值为23，故正确；对于，连接11,B F C F，则1BF与平面11CDD
13、C所成角11FCB，则12tanC F，又1212C F，所以tan的取值范围是2,2 2，故正确；故正确结论的序号是，故答案为：三、解答题 16从 4 男 3 女共 7 名志愿者中，选出 3 人参加社区义务劳动.(1)共有多少种不同的选择方法？(2)若要求选中的 3 人性别不能都相同，求共有多少种不同的选择方法？【答案】(1)35(2)30 【分析】（1）7 名志愿者中选出 3 人共有37C种；（2）选中的 3 人性别不能都相同，即为 1 男 2 女或 2 男 1 女，即12214343C CC C.第 8 页 共 14 页【详解】（1）7 名志愿者中选出 3 人共有377 6 5C353！
14、种；（2）选中的 3 人性别不能都相同，即为 1 男 2 女或 2 男 1 女，则有12214343C CC C4 3 6 330种.17如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，底面ABCD为正方形，E为线段AB的中点，2PAAB.(1)求证：BCPE；(2)求平面PAB与平面PBD夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)33 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理可得PABC,再根据底面是正方形可证明线面垂直，即可得BCPE；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求得平面PAB与平面PBD的法向量，即可求得二面角的余弦值【详解】（1）由PA 平面ABCD，根据线面垂直的性质定理可知
15、，PABC 又因为底面ABCD为正方形，所以ABBC，又因为PABAA，且 PA,BA 含于平面 PAB,所以BC平面PAB；E为线段AB的中点，PE 平面PAB，所以，BCPE（2）根据题意可知，以 A点为坐标原点，分别以 AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：第 9 页 共 14 页 则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)ABDP；则(2,0,2),(0,2,2)PBPD，设平面PBD的一个法向量为(,)nx y z，得220220n PBxzn PDyz，令1z 可得，1,1xy，即(1,1,1)n；易知，(0,2,0)AD
16、是平面PAB的一个法向量，设平面PAB与平面PBD的夹角为，则23coscos,332n ADn ADn AD 所以，平面PAB与平面PBD夹角的余弦值为33 18在平面直角坐标系中，1,0,1,0AB，曲线C是由满足直线PA与PB的斜率之积等于定值 R的点P组成的集合.(1)若曲线C是一个圆（或圆的一部分），求的值；(2)若曲线C是一个双曲线（或双曲线的一部分），且该双曲线的离心率2e，求的取值范围.【答案】(1)1(2)1，【分析】（1）由题意知，,PA PB的斜率存在，设,P x y代入斜率公式，再由斜率之积为定值，化简满足圆的条件即可求得的值.（2）由题意知，,PA PB的斜率存在，设
17、,P x y代入斜率公式，再由斜率之积为定值，化简满足双曲线的条件及离心率2e 即可求得的取值范围.第 10 页 共 14 页【详解】（1）设,P x y且1x ，1,0,1,0AB，由题意知，,PA PB的斜率存在，则 0011PAPByykkxx 即211yxx，可化为2211yxxx1x ，因为曲线C是一个圆（或圆的一部分），所以2211yxxx，可化为220 xy，所以140解得1.（2）设,P x y且1x ，1,0,1,0AB，由题意知，,PA PB的斜率存在，则 0011PAPByykkxx 即211yxx，可化为2211yxxx1x ，因为曲线C是一个双曲线（或双曲线的一部分）
18、，所以2211yxxx，可化为210yx，所以222221,1abcab，因为2cea，所以222121cea解得1，所以的取值范围为1，.19已知椭圆2222:1(0)xyCabab的一个焦点为3,0F，其长轴长是短轴长的 2 倍.(1)求椭圆C的方程；(2)记斜率为 1 且过点F的直线为l，判断椭圆C上是否存在关于直线l对称的两点,A B若存在，求直线AB的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1)2214xy(2)不存在 【分析】（1）由c及2ab，根据222abc，解得,a b，写出方程.第 11 页 共 14 页（2）先假设存在，设出直线AB的方程，与椭圆方程联立，求得中点坐标，代入l
19、，求得m，验证0，得结论不存在关于直线l对称的两点.【详解】（1）22223,244()cababac 24,2,1aab 椭圆C的方程2214xy（2）假设存在关于l对称的两点,A B:3l yx，设AB的方程为yxm 直线AB与椭圆C的方程联立2214yxmxy 得2258440 xmxm 设1122(,),(,)A x yB xy 则12121282,()255mmxxyyxxm，AB的中点4(,)55m m代入yx3 解得5 33m 此时216800m ，所以椭圆C上不存在关于直线l对称的两点,A B.20如图，在四棱柱1111ABCDABC D中，1AA 平面1，ABCDABCDAD
20、CD，12，AAABE为线段1AA的中点，再从下列两个条件中选择一个作为已知.条件：ADBE；条件：2BC.(1)求直线CE与11B D所成角的余弦值；(2)求点1C到平面BCE的距离；(3)已知点M在线段1CC上，直线EM与平面11BCC B所成角的正弦值为2 23，求线段CM的长.【答案】(1)1515 第 12 页 共 14 页(2)2 63(3)CM的长为12或32.【分析】选或，都能得到，DAAB，后如图以A为原点建立空间直角坐标系.则可利用向量方法求线线角，点面距离，面面角解决问题.【详解】（1）若选择，因1AA 平面 ABCD，DA 平面 ABCD，则1DAAA，又ADBE，1A
21、A 平面11ABB A，EB 平面11ABB A，1AAEBE，则DA 平面11ABB A，又AB平面11ABB A，则DAAB；若选择，做CFAD，交 AB 于 F，又ABCD，则四边形 DCFA 是平行四边形，则1CDCFADAF，又2AB，则1FB.则在CFB中，222CFFBBC，得CFAB，又CFAD，则ADAB.故11，DAAADAABAAAB，则如图建立以 A为原点的空间直角坐标系.则111 1 00 0 11 0 20 2 2,，,，,，,CEDB，得1111 112 0,，,CEB D，则直线CE与11B D所成角的余弦值为：11111151535CEB DCEB D.（2）
22、因10 2 01 1 00 0 11 1 2,，,，,，,BCEC，则11 1 011 10 0 2,，,，,CBCECC.设平面BCE的法向量为111,xny z，则111110000 xyzn CExyn CB，取1,1,2n，则求点1C到平面BCE的距离142 636CCndn.（3）因点M在线段1CC上，则设1 1,Mt，其中0,2t.又0,0,1E，则1 11,EMt.又11,1,00,0,2CBCC，设平面11BCC B法向量为222,mxyz，则222100200 xym CBzm CC，取1,1,0m，则直线EM与平面11BCC B所成角的正弦值为：第 13 页 共 14 页
23、222 2132221EMmtEMmt或32t.得线段CM的长为12或32.21已知椭圆22:116xyCtt的焦点在x轴上，且离心率为12.(1)求实数t的值；(2)若过点,P m n可作两条互相垂直的直线12,l l，且12,l l均与椭圆C相切.证明：动点P组成的集合是一个圆.【答案】(1)3t (2)见解析 【分析】（1）根据椭圆的离心率即可求解，（2）联立直线与椭圆的方程，根据相切得判别式为 0，进而代入切线中的kk,kmnb，化简即可求解.【详解】（1）椭圆22:116xyCtt的焦点在x轴上，且离心率为12，所以216114ttet，解得3t，（2）当3t 时，椭圆方程为2214
24、3xy，设与椭圆相切，且斜率存在的直线方程为ykxb，所以222223484120143yk xbkxk bxbxy，由于相切，所以222=84 3 44120k bkb，化简得22430kb，设过点,P m n且斜率为0k的直线方程为ykxmn，即ykxkmn，所以将kk,kmnb代入得22430kkmn，第 14 页 共 14 页 化简得22224230knkmnk m，将1k代入得22221114230nmnmkkk，化简得22224230n kkmnmk，由相加得2222227117kkmnmn，当12,l l其中一条切线无斜率时，此时23P,也满足227mn，综上可知：动点,P m n组成的集合是一个圆，且圆的方程为227mn【点睛】根据直线与曲线相切，转化成判别式为 0，进而得到等量关系式，可将关系式进行适当的变形，根据弦长公式，或者利用向量共线等方式，化简运算即可求解.