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1、2021-2022学年福建省南安市高一下学期4月阶段考试数学试题一、单选题1 .在 A B C 中，a=5,b=3,则 s i n A：s i n 8=()A-1B-1D.75【答案】A【解析】由条件利用正弦定理可得 驾=3,运算求得结果.s i n B b【详解】在AASC中,k 5,b=3,则由正弦定理可得53故选：A.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于简单题.2 .在一ABC中，若。=币,b=3,c=2,则4=()A.3 0 B.60 C.4 5D.9 0【答案】B【分析】利用余弦定理求解即可.【详解】因为。=J 7,b =3,c =2 ,所以由余弦定理得8s4 =/二9 +4-7
2、2 x 3 x 22又0 v A v l 8 0 ,则。=60。.故选：B.3.已知复平面内向量办（。为坐标原点）的坐标为（-2,1）,则向量o对应的复数为（）A.2+iB.2+iC.l-2 iD.l +2 i【答案】A【分析】复数-2 +i对应的点为（-2,1）,即得解.【详解】解：复数-2 +i对应的点为（-2,1）,又 向 量 办（。为坐标原点）的坐标为（-2,1）,故选：A.4.利用斜二测画法画一个水平放置的平面四边形的直观图，得到的直观图是一个边长为1的正方形（如图所示），则原图形的形状是（）【答案】A【详解】设直观图中的正方形为Q 4 B C,则有41,0）,8（0,应），则对应在
3、原图形中有OALO5且（）A=1QB=2版,故选 A5.在 _ABC中，a=4,b=,C=60。，贝 hA B C 的面积为（）A.1 B.2 C.73 D.2 G【答案】C【分析】直接利用三角形面积公式S=；帅 sin C 进行计算.【详解】_ABC的面积为L .sinC=1 x 4 x lx 3 =G.2 2 2故选：C【点睛】本题考查三角形面积公式，属于基础题.6.如图所示，三棱台ABC-ABC截去三棱锥A-A B C 后，剩余部分几何体是（）BA.三棱键 B.三棱柱 C.四棱锥 D.不规则几何体【答案】C【分析】根据图形特点进行判断.【详解】根据图形可见，底面四条边，所以为四棱锥.故选
4、：C.7.复 数 答 的 共 聊 复 数 是（）1-2 13 3A.一 一 i B.-i C.-i D.i5 5【答案】C【分析】利用复数的乘除运算求出答=i,结合共辄复数的概念求出它的共轨复数即可.1-2 1【详解】由题意知,2 +i令 z =-v l-2 i(2 +i)(l+2 i)=j(l-2 i)(l+2 i)-1所以复数的共辗复数为w=_ i,故选：C8.在中，角 4 8,C所对的边分别为,尻c,若c =2 a c os B,则三角形一定是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知的式子统一成角的形式，再利用三角函数恒等
5、变换公式化简变形即可判断三角形的形状【详解】因为c =2 a c os B,所以由正弦定理得s i n C =2 s i n A c os B,所以 s i n;r-(A +8)=s i n(A +B)=2 s i n A c os B,所以 s i n A c os B+c os A s i n 3 =2 s i n A c os B,所以 s i n A c os B-c os A s i n 8 =0 ,所以s i n(4-8)=0,因为A,8 w(0,;r),所以A-8(-I,)，所以A-B =0,所以A =8,所 以 A B C 为等腰三角形，故选：C二、多选题9.在。ABC 中，若
6、 =2 力=2/J,A=30。，则 B为()A.60 B.150 C.120 D.30【答案】AC【分析】由大边对大角可知B 30。，从而得8 6(30。,150。)，由正弦定理可得sinB=3,根据特殊2三角函数值即可得答案.【详解】解：因为4=22=26,4=30。,所以3 A =30。(大边对大角),由正弦定理可知a _ bsin A sin Bsin B=Z?sin A又因为 8 w(30。,150。)，J 8=60。或 3=120。.故选:AC.21 0.下面是关于复数z(i 为虚数单位)的命题，其中真命题为()A.|z|=&B.z2=2iC.z 的共轮复数为l+i D.z 的虚部为
7、_【答案】ABD【分析】根据复数的运算法则，化简复数为z=-1-i,结合复数的基本概念，逐项判定，即可求解.2 2(-1)【详解】由复数2=二 一二.、=-1 T,-l+i(-l+i)(-l-i)则|z|=J(-l)2+(-l)2=近,所 以 A 正确；因为z2=(-l-i =(l)2+2i+(i)2=2i,所以 B 正确;根据共辗复数的概念，可得复数Z的共胡复数为)=_l+i，所以C 不正确；根据复数的基本概念可得，复数z 的虚部为T,所以D 正确.故选：ABD.1 1.下列说法正确的是()A.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱B.棱锥的侧面一定都是三角形C.棱台各侧
8、棱所在直线必交于一点D.有两个面为矩形且相互平行，其余四个面均为等腰梯形的几何体一定是四棱台【答案】BC【分析】对 A,根据棱柱的定义即可判断；对 B,根据棱锥的定义即可判断；对 C,根据棱台的定义即可判断：对 D,根据棱台的定义即可判断.【详解】解：对 A,如图所示：将两个平行六面体合在一起，但不是棱柱，故 A 错误；对 B,根据棱锥的定义可知：棱锥的侧面一定都是三角形，故 B 正确：对 C,根据棱台的定义可知：棱台各侧棱所在直线必交于一点，故 C 正确;对 D,如图所示：该几何体的上下底面是两个全等的矩形，两矩形平行，且上面矩形的长与下面矩形的宽对应平行，则四个侧面均为等腰梯形，但四条侧棱
9、并不交于同一点，故不是四棱台，故 D 错误.故 选：BC.1 2.在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹簸或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为了一种时尚旅游产品.有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠“，帽坡长20厘米，帽底宽2 0 G 厘米，关于此斗笠，下面说法正确的是（）A.若 每 100平方厘米的斗笠面需要价值1 元的材料，此斗笠的制作费为2岳 元B.用此斗笠盛水，则需耍10
10、00万立方厘米的水才能将斗笠装满C.斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为120D.过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为100G 平方厘米【答案】ABC【分析】根据圆锥的母线长为2 0,底面半径为1 0 G，分别求圆锥的侧面积，体积和轴截面判断.【详解】如图所示：由题意知：PA=20,AB=20y/3,A.圆锥的侧面积为：S=/rr/=7rx 1073 x 20=2 0 0 ,所以若每100平方厘米的斗笠面需要价值1元的材料，此 斗 笠 的 制 作 费 为 元，故正确；B.PO=J 尸牙一（；ABJ=10,圆锥的体积为V=g仃2 PO=gx万 x（106）,1 0
11、 =1000万，所以用此斗笠盛水，则需要1000万立方厘米的水才能将斗笠装满，故正确；C.$皿44尸 0=半=乌则4 4Po=6 0,所以ZAP8=120，所以斗笠轴截面（过顶点和底面PA 20 2中心的截面图形）的顶角为120,故正确；D.由C 知斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为120,所以过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为S=gx20 x20 xsin90=200平方厘米，故错误；故选：ABC三、填空题13.已知“，h,c 为 ABC 的三边，8=120。，则。2+/+/一乂=.【答案】0【分析】由余弦定理化简求值.【详解】b2=a2+c22accos
12、 B=a2+c22accos 20=a2+c2+ac,2+2=0.故答案为：014.已知2 i-3 是关于x 的方程x2+6x+q=0(4 R)的一个根，则 该 方 程 的 另 一 个 根 为.【答案】-3-2 i【分析】由韦达定理可得两根之和为-6,计算可得所求另一根.【详解】解：2 i-3是关于x 的方程x2+6x+q=0(q eR)的一个根，设该方程的另一个根为工,可得%+(2i-3)=-6,解得 x=-3-2 i.故答案为：-3-2 i.15.如图，若斜边长为2直的等腰直角一A 9C (8 与O 重合)是水平放置的4 3 c 的直观图，则/S C 的面积为.【答案】472【分析】还原原
13、图，计算面积即可.【详解】在斜二测直观图中，由 ABC为等腰直角三角形,AB=2也,可得AC=2,BC=2.还原原图形如图：则 A 8 =4 BC=2,则 S yc=x ABx BC=x 4 /2 x 2=4 /2,故答案为：4 0.1 6.如图所示，半径为R的半圆内（其中N 5 4 C =30。）的阴影部分以直径A8所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为【分析】要求旋转后阴影部分的体积即是球的体积减去两个圆锥的体积，根据A B =2R,t a nZ B A C =且，可以求得A C,BC、CD的长，再根据圆锥的体积公式和球的体积公式进行计算.3【详解】解：A B为直径，Z
14、4 C B =9 0 .t a n Z B A C =,3s i n ABAC=,2Be又 s i n ABAC ,AB=2R,AB,BC=2R义 二=R,AC=,CD=-R.2v 2.-.v；=CD2(AD+BD)=Ry,.V=V,-V；=7?,-R3=-?32,3 2 6故答案为：劣 贤oB四、解答题1 7 .已知复数Z=l +i,z2=3-i.求住；Z|若z=a +4 i(a eR)满足Z +Z 2为纯虚数，求|z|.【答案】(1)1 2i(2)5【分析】(1)根据复数代数形式的运算法则即可求出;(2)根据纯虚数的概念即可求出参数。，再根据复数模的计算公式即可求出.【详解】(1)z,_
15、3-i (3-i)(l-i)_ 3-3i-i-l7 一 I TT (l +i)(l-i)-(2)因为 z+z?=(a+3)+3i为纯虚数，.a+3=o,。3.即 z=-3+4 i,|z|=J(-3)2+4、=5 .1 8 .ABC的内角A,B,C的对边分别为，b,J已知a =b=2,A =6 0 .(1)求s i n B的值;(2)求c的值.【答案】(1)s i n8=叵；(2)c =3.7【分析】由正弦定理求出s i n8,由余弦定理列出关于。的方程，然后求出J【详解】解：(1)因为a =J 7,b=2,A =6 0。.由正弦定理一j=二，可 得 及 _ =_,所 以s i nB =囱：s
16、i n A s i n 8 s i n 6 0 s i n B 7(2)由 余 弦 定 理=加+c?-26 c c os A,7 72=22+c2-2x 2c c os 6 0 c =3,c =1 (舍)，所以c =3.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，在已知两边和一边对角时可用余弦定理列方程求出第三边.1 9.如图所示，正六棱锥的底面周长为2 4,，是8C的中点，0为底面中心，Z S H O =6 0 ,(1)求出正六棱锥的高；斜高；侧棱长(2)求出六棱锥的表面和体积【答案】(1)高为6,斜高为4 万，侧棱长为2屈(2)表面积是7 2石，体积是4 8 6【分析】(1)由条件依次求得SO,S
17、H,S 3 的长即可.(2)由棱锥表面积及体积的计算公式，求得表面积和体积.【详解】(1)因为正六棱锥的底面周长为2 4,所以正六棱锥的底面边长为4.在正六棱锥S A B C。砂 中，SB=S C,，为 8c中点，所以因为0是正六边形A B C D E F的中心，所以S O为正六棱锥的高.O H =BC=2/3,在心SO“中，Z 5 H O =6 0,所以S0 =0”t a n6()o=6.2在 Rt S O H 中,SH=ISO2+O H2=4 5/3 在Rt SHB 中,SH=4 7 3,B H =2,所以 SBuy/SH?+BH?=2岳故该正六棱锥的高为6,斜高为46，侧棱长为2炳.(2
18、)A S B C W f f i -B C x S H=-x 4 x 4 7 3=8 ,O B C 的面积为2 3 C x O”,2 2 2 2所以正六棱链的表面积为6 x 4 6 +6 x 8 6 =72 6，体积为gx 6 x 4 石 x 6 =4 8 石.20.已知复数 z=-+(/-3切)i(m e R).(I)当加取什么值时，复数z 是纯虚数？(II)当机=1 时，求一-|z+4+i|【答案】(I)=-1；(II)20.【分析】(I)利用复数为纯虚数的充要条件即可得出；(I I)利用复数的运算法则即可得出ire-2m-3.【详解】(1)若 Z为纯虚数，贝-m-=0u,解得机=-.m2
19、-3m H 0故当加=一1时，复数z是纯虚数.(II)当机=1时，z=Y-2 i,V zz=(-4-2i)(-4+2i)=20,21.ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,h,c,已知2sin A 3cosc+ccos8)=(1)求 A；(2)若 A 为锐角，4=5,一/R C 的 面 积 为 地，求 的 周 长.2【答案】或 去 (2)5+V55.【分析】(1)由正弦定理将边化为对应角的正弦值，即可求出结果；(2)由余弦定理和三角形的面积公式联立，即可求出结果.【详解】(I)2sinA(/?cosC+ccosB)=yfia由正弦定理得 2sirL4(sinBcosC+sinGcos3)
20、=/5sinA,sin(B+C)=即 sinA=又 Aw(0,乃)，A=A=.(ID A=(，由余弦定理得=/+/-2Z?ccosA,B|J 25=b2+c2-be 25=(/?4-c)2-3bc,而，M C 的面积 为 速 -besinA=be=10.2 2 2(b+c)2=25+30=55 b+c=y/55 一 ABC的周长为 5+病.【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，属于基础题型.2 2.如图矩形O A B C 是水平放置的一个平面四边形0 4 8 c 的直观图，其中。A=3,CfC=.(I)画出平面四边形0 A B e 的平面图并标出边长，并求平面四边形O A B C 的
21、面积；(2)若该四边形0 A B e 以 0 A为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积.【答案】(1)平面图见解析，面积为6 血；(2)体积为24 T，表面积为24 扬.【分析】(1)根据斜二测画法所画的直观图与平面图的关系作出平面图形O A 8 C,然后根据面积公式求解出面积即可；(2)画出几何体的直观图，然后根据圆柱、圆锥的体积和表面积公式求解出旋转形成的几何体的体积及表面积.【详解】(1)平面四边形。4 3 c 的平面图如下图所示：所以面积为3x 2夜=6 五 :(2)旋转而成的几何体如下图所示:该几何体可以看成圆柱挖去一个同底的圆锥再加上一个同底的圆锥，由（1）可知圆柱的底面圆半径为r=后二了=2 0，母线长为/=3,所以体积丫=万产/=（2夜7 4 3=24万；所以表面积S=24/7+2）=2乂（）乂2拒乂3）+2万 乂2血乂3=2 4 0万.