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1、学习必备 精品知识点 第十四章 一次函数 14.1 变量与函数 1、变量与常量的意义 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable）。数值始终不变的量为常量。友情提醒：在某一个变化过程中，变量、常量都可能有多个。常量可以是一个实数，也可以是一个代数式（数值始终保持不变）。例 1、写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是变量，哪些量是常量？1、在一根弹簧的下端悬挂中重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化规律，如果弹簧原长 10cm，每 1kg 重物使弹簧伸长 0.5cm，怎样用含重物质量 m(单位：kg)的式子表示受力后弹簧长度 L（单位：c
2、m）？2、用总长为 60m 的篱笆围成矩形场地，求矩形的面积 S（m2）与一边长 x(m)之间的关系式；3、某种活期储蓄的月利率为 0.16%,存入 10000 元本金，按国家规定，取款时，应缴纳利息部分的 20%的利息税，求这种活期储蓄扣除利息税后实得的本息和 y(元)与所存月数 x 之间的关系式.4、如图，每个图中是由若干个盆花组成的图案，每条边（包括两个顶点）有 n 盆花，每个图案的花盆总数是 S，求 S 与 n 之间的关系式.2、函数的概念 一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y
3、 是 x 的函数。如果当 x=a 时，y=b，那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值。注意：1、对函数概念的理解，主要应该抓住以下三点：有两个变量；一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化；自变量每确定一个值，函数有一个并且只有一个值与之对应。2、函数不是数,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。3、自身先改变的是自变量,随之而变的是函数。例 1、判断下列变量之间是不是函数关系：（1）长方形的宽一定时，其长与面积；（2）等腰三角形的底边长与面积；（3）某人的年龄与身高。例 2、一辆汽车的油箱中现有汽油 50L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y（单位：L）随行驶里程 x（单位：km
4、）的增加而减少，平均耗油量为 0.1L/km。（1）写出表示 y 与 x 的函数关系式。（2）指出自变量 x 的取值范围。（3）汽车行驶 200km 时，油箱中还有多少汽油？解：（1）y=50-0.1x （2）0 x500 （3）x=200,y=30 3、函数的表示方法 函数的表示方法为解析法、列表法和图形法，这三种方法在解决问题时是可以相互转化的。解析法：把两个变量的函数关系用一个等式来表示，该等式简称解析式 优点：函数关系清楚，容易由自变量的值，求出对应的函数值（反之也可），便于利用解析式来研究函数的性质。列表法：列出表格来表示两个变量的函数关系。如：银行的利息表，三角函数表，平方根表。优
5、点：不用计算，就可求出函数值。图像法：用图像表示两变量之间的关系如：医务室的身高图，气象台的气温变化图。我国人口出生率变化的曲线图。优点：形象直观地表示出函数的变化情况。学习必备 精品知识点 例1 一水库的水位在最近 5 消耗司内持续上涨，下表记录了这 5 个小时水位高度.由记录表推出这 5 个小时中水位高度 y(单位米)随时间 t（单位：时）变化的函数解析式，并画出函数图象；据估计这种上涨的情况还会持续 2 个小时，预测再过 2 个小时水位高度将达到多少米？解：（1）y=0.05t+10 (0t7)（2）当 t=5+2=7 时，y=0.05t+10=10.35 预计 2 小时后水位将达到 1
6、0.35 米。4、函数图象的意义 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象（graph）。例 1 下面的图象反映的过程是小明从家去菜地浇水，有去玉米地锄草，然后回家。其中 x 表示时间，y 表示小名离家的距离。根据图象回答问题：菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？；小明给菜地浇水用了多少时间？菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？小明给玉米锄草用了多少时间？玉米地离小名家多远？小明从玉米地走回家的平均速度是多少？5、画函数图像的一般步骤 1、列表:2、描点:3、连线:。6、函数自变量的取
7、值范围：【三招确定“函数自变量取值范围”】一个函数关系式的自变量取值是有一定范围的，自变量取值范围必须使关系式或题中条件有意义。那么如何才能准确地确定自变量的取值范围呢?下面介绍三种方法:第一招:必须使含自变量的代数式有意义.解析式是整式时,自变量取值范围是全体实数.例如:指出下列各函数的自变量取值范围:y=x2-1 ；y=3x-2；y=-5x.解:这三个函数式中,右边的式子都是含自变量 x 的整式，所以它们的自变量取值范围是全体实数。为变量数值始终不变的量为常量友情提醒在某一个变化过程中变量常量都可能有多个常量可以是一个实数也可以是一个代数式数值始终保持不变例写出下列各问题中所满足的关系式并
8、指出各个关系式中哪些量是变量哪些量是常量在长怎样用含重物质量单位的式子表示受力后弹簧长度单位用总长为的篱笆围成矩形场地矩形的面积与一边长之间的关系式某种活期储蓄的月利率为存入元本金按国家规定取款时应缴纳利息部分的的利息税这种活期储蓄扣除利息税后个图案的花盆总数是与之间的关系式函数的概念一般的在一个变化过程中如果有两个变量和并且对于的每一个确定的值都有惟一确定的值与其对应那么我们就说是自变量是的函数如果当时那么叫做当自变量的值为时的函数值注意对学习必备 精品知识点 解析式是分式时,自变量的取值范围是使分母不为 0 的实数.例如:确定下列函数的自变量取值范围:y=2x；y=21x；y=211x 解
9、：这三个函数式中，右边的式子都是含自变量 x 的分式，所以分母不为零时，函数有意义。所以中的 x0；中的 x-1；中的 x1 且 x-1 解析式是偶次根式,自变量的取值范围是被开方数为非负数.例如：确定下列函数的自变量取值范围:y=2x；y=31x ；y=11x ；y=21x 解：x 2；全体实数；010 xx 即 x 0 且 x1；全体实数 含有零指数、负整指数幂的函数,自变量的取值范围是使底数不为零的实数.例如：确定下列函数的自变量取值范围:y=02x；y=31 1x 解：x-20，x 2;101 10 xx 即 x-1 且 x0 第二招:必须使实际问题有意义.例如：一辆汽车的油箱中有汽油
10、 40 升，该车每千米油耗为 0.4 升，请写出油箱剩余油量 Q（升）与行驶路程 s（千米）之间的函数关系式，并确定自变量取值范围。解：Q=40-0.4s 4000Qs 40400.400ss 0s10 自变量取值范围为 0s10 第三招:必须使图形存在.例 1：A、B、C、D四个人做游戏 A、B、C三人站在三个不同的点上构成一个三角形且BAC=40，D在ABC内部移动，但不能超越ABC。则 D与 B、C构成一个三角形，则BDC的度数的取值范围是_.解:40 BDC 180 例 2:已知等腰三角形的周长为 20cm，请写出底边长 y（cm）与腰长 x（cm）之间的函数关系式，并确定自变量 x
11、的取值范围。解：y=20-2x xxyxyx 22022020 xxx 5 x10 例 3：已知等腰直角ABC的直角边长与正方形 MNPQ 的边长均为 20 厘米,AC 与 MN在同一直线上,开始时点 A与点 N重合.让ABC以每秒 2 厘米的速度向左运动,最终点 A与点 M重合,则重叠三角形部分的面积 y(cm2)与时间 t(秒)之间的函数关系式为_.自 变量 t 的取值范围是_.分析:在移动的过程中,重合部分的三角形也为等腰直角三角形 AN=2t,则 MA=20-2t,所以解析式可求.由 0MA 20 可确定自变量取值范围解:y=212022t,自变量 t 的取值范围是 0t 10 14.
12、2 一次函数 CMPQNBA为变量数值始终不变的量为常量友情提醒在某一个变化过程中变量常量都可能有多个常量可以是一个实数也可以是一个代数式数值始终保持不变例写出下列各问题中所满足的关系式并指出各个关系式中哪些量是变量哪些量是常量在长怎样用含重物质量单位的式子表示受力后弹簧长度单位用总长为的篱笆围成矩形场地矩形的面积与一边长之间的关系式某种活期储蓄的月利率为存入元本金按国家规定取款时应缴纳利息部分的的利息税这种活期储蓄扣除利息税后个图案的花盆总数是与之间的关系式函数的概念一般的在一个变化过程中如果有两个变量和并且对于的每一个确定的值都有惟一确定的值与其对应那么我们就说是自变量是的函数如果当时那么
13、叫做当自变量的值为时的函数值注意对学习必备 精品知识点 1、正比例函数 一般地，形如 y=kx（k 是常数，k0）的函数，叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数 例 1、写出下列函数的关系式。（）圆的周长 L随半径 r 的大小变化而变化。（）铁的密度为 78g/cm3铁块的质量 m（g）随它的体积 V（cm3）的大小变化而变化。（）每个练习本的厚度为 05cm一些练习本摞在一些的总厚度 h（cm）随这些练习本的本数 n 的变化而变化。（）冷冻一个 0的物体，使它每分钟下降 2 物体的温度（）随冷冻时间 t（分）的变化而变化。2、正比例函数解析式与图象特征之间的规律：正比例函数 y=kx（k 是
14、常数，k0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线 y=kx当K0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随 x 的增大 y 也增大；当 k0 时，直线 y=kx+b 由左至右上升；当 k0 时，y 随 x 增大而增大当 k0 时，交点在原点上方当 b=0 时，交点即原点当 b0 b0 （2）k0 b0 （3）k0 （4）k0 b0 解答：（15，0）（0，-3）三、四、一 增大 （1）三、二、一 （2）三、四、一 （3）二、一、四 （4）二、三、四 例 3、若函数 y=mx-（4m-4）的图象过原点，则 m=_，此时函数是_ 函数 若函数 y=mx-（4m-4）的图象经过（1，3）点，则
15、 m=_，此时函数是_函数 例 4、若一次函数 y=（1-2m）x+3 图象经过 A（x1、y1）、B（x2、y2）两点当 x1 y2，则 m的取值范围是什么？答案：例 31 正比例 13 一次 例 4解：当 x1y2，y 随 x 增大而减小 据一次函数性质可知：只有当 k0 时，y 随 x 增大而减小 故 1-2m12.b=0 k 0 经过一、三象限 y 随 x 的增大而增大 k 0 经过一、二、三象限 y 随 x 的增大而增大 为变量数值始终不变的量为常量友情提醒在某一个变化过程中变量常量都可能有多个常量可以是一个实数也可以是一个代数式数值始终保持不变例写出下列各问题中所满足的关系式并指出
16、各个关系式中哪些量是变量哪些量是常量在长怎样用含重物质量单位的式子表示受力后弹簧长度单位用总长为的篱笆围成矩形场地矩形的面积与一边长之间的关系式某种活期储蓄的月利率为存入元本金按国家规定取款时应缴纳利息部分的的利息税这种活期储蓄扣除利息税后个图案的花盆总数是与之间的关系式函数的概念一般的在一个变化过程中如果有两个变量和并且对于的每一个确定的值都有惟一确定的值与其对应那么我们就说是自变量是的函数如果当时那么叫做当自变量的值为时的函数值注意对学习必备 精品知识点 b0 k 0 经过一、二、四象限 y 随 x 的增大而减小 b 0 经过一、三、四象限 y 随 x 的增大而增大 k 0 或 ax+b
17、0（a，b 为常数 a0）的形式，所以解一元一次不等式可以转化为：当一次函数值大（小）于 0 时，求自变量相应的取值范围。1、由于一次函数图象是一条直线，它与 x 轴相交，在 x 轴上方的图象对应的函数值 y 大于 0，则图象对应的自变量 x 为相应的自变量取值范围；在 x 轴下方的图象对应的函数值 y 小于 0，则图象对应的自变量 x 为相应的自变量取值范围。也是相应的不等式的解集。2、还可以看成比较两个一次函数在同一个自变量 x 所对应的值的大小；并找到相应的取值范围。3、学会利用函数图象的信息解决实际问题。例 1、对于一次函数 y=(m-4)x+2m-1，若 y 随 x 的增大而增大，且
18、它的图象与 y 轴的交点在 x 轴下方，那么 m 的取值范围是_.3、一次函数与二元一次方程（组）以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上.反过来,一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程.即:二元一次方程(数)对应相应的一次函数的图象(形)从函数的观点看解二元一次方程组 从“形”的角度看：解方程组相当于确定两条直线的交点坐标。从“数”的角度看：解方程组相当于考虑当自变量为何值时,两个函数值相等以及这个函数值是何值。为变量数值始终不变的量为常量友情提醒在某一个变化过程中变量常量都可能有多个常量可以是一个实数也可以是一个代数式数值始终保持不变例写出下列各问题中所满足的关系式并指出各个关系式中哪些量是变量哪些量是常量在长怎样用含重物质量单位的式子表示受力后弹簧长度单位用总长为的篱笆围成矩形场地矩形的面积与一边长之间的关系式某种活期储蓄的月利率为存入元本金按国家规定取款时应缴纳利息部分的的利息税这种活期储蓄扣除利息税后个图案的花盆总数是与之间的关系式函数的概念一般的在一个变化过程中如果有两个变量和并且对于的每一个确定的值都有惟一确定的值与其对应那么我们就说是自变量是的函数如果当时那么叫做当自变量的值为时的函数值注意对