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1、1.1.1 正弦定理教学目标.知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题过程与方法：让学生从已有的儿何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系,引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。.情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。一教 学 重 点 一正弦定理的探索和证明及其基本应用。.
2、教学难 点 一已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。.教学过程一一.课题导入.如 图 1.1T,固定A A B C 的边CB 及 NB,使边A C绕着顶点C 转动。思考：ZC 的大小与它的对边A B 的长度之间有怎样的数量关系？一显然，边 A B 的长度随着其对角NC 的大小的增大而增大。.能 否 用 一 个 等 式 把 这 种 关 系 精 确 地 表 示 出 来？二.讲授新课一 探索研究 .在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图，在 R t A A B C中，设 B C=a,A C=b,A B=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义,
3、士 a.1有 一=s i n 4s i n 力 s i n 6 s i n C从而在直角三角形A B C中,b.=s i n z j又 s i n C=1 =cs i n J s i n 6 s i n。则bab思 考 1：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？(由学生讨论、分析).可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：一如 图 1.1-3,(1)当A A B C 是锐角三角形时，设边A B 上的高是CD,根据任意角三角函数的定义，一有 CD=a s i n 8 =6 s i n/,贝 IIabs i n 力 s i n 6同理可得bs i n。s i n 8从而as i n lbs
4、inBs inCA c B（2）当A A B C 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）思考2：还有其方法吗？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这问题。（证法二）：过点A 作单位向量;7 JL万，由向量的加法可得 花=就+历贝IJ 7.万=，（万+而）：.J-AB =J-AC+J-CB|A B|COS（9 00-A）=0+P|C B|COS（9 00-C）/.c s i nA=s i nC,即s i nA s i nC_ 卜同理，过点c作j L B C,可得 卷 二从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理:在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 一 三=彳=
5、一 三s i n/1 s i n8 s i ne 理解定理（1）正弦定理说明同-三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使=As i n/f,b -ks inB ,c=ks inC；（2）=-=上=，等 价 于*=上，=上，二 _=3s i n4 s i nZ?s i nC s i n/s i n/?s i nC s i nB s i n J s inC思考：正弦定理的基本作用是什么？已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 且=空 粤；s i nn 已 知 三 角 形 的 任 意 两 边 与 其 中 一 边 的 对 角 可 以 求 其 他 角 的 正 弦
6、值，如s i n4 =；s i n8。b一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。例题分析例 1.在 AABC 中，已知 A=3 2.0,5=81.8,a=4 2.9 c m,解三角形。解：根据三角形内角和定理，C=180-(A+B)=180-(3 2.0+81.8)=6 6.2；1T）1m,t/s i nB 4 2.9 s i n81.80 、根据正弦定理，-淅=一32.0。“80（皿）；根据正弦定理，,二 丝 呼=42.9s;66 21；7 4s i n A s i n3 2.0评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。练习：在A A 8 C 中，已知下列条件解三
7、角形。(1)A =4 5,C =3 0,c=10 cm,(2)A 6 0,8=4 5,c=2 0 cm例 2.在 A 4 B C 中，已知q=20c m,6=28c m,A=4 0,解三角形（角度精确到1,边长精确 到 1c m）。解：根据正弦定理，s i n8=生虫4=当 黑=-0.89 9 9.因为 0 8 o）,这个k与 ABC有什么关系？s i n 力 s i n/s i ne三.课时 小 结（由学生归纳总结）（1）定理的表示形式：号=，=三=.=仪：0）：s i n/1 s i n5 s i ne s i n/f+s i n+s i nca=As i n J,b =ks inB ,c
8、=ks inC（0）（2）正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。四.课后作业：P 10面 1、2 题。1.1.2余弦定理（二）.一、教学目标一1.知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。.2 .过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理,三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。一3 .情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件
9、下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。.二、教学重、难 点 一重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；.三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。.难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。.四、教学设想一 复习引入 余弦定理及基本 作 用.已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边一a?=分2+b,只 有 解；（2）如果已知的A是锐角，a b,或2%,只有一解；（3）如果已知的A是锐角，a V b,1、a b s i n A ,有二解；2、a =b s in A,只有-解：3、a Y b s i n A ,无解。评述：
10、注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且6 s i n/a 6时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。随堂练习1（1）在A A BC中，已知a =8 0,6 =1 0 0,N/=4 5,试判断此三角形的解的情况。（2）在A A BC中，若a =l,c =；,N C =4 0,则符合题意的b的值有 个。(3)在A A B C 中，a =x cm，b =2 cm,N 6 =4 5,如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。(答案：(1)有两解；(2)0；(3)2Vx +/o 是钝角0 AAec 是钝角三角形 2 52+32,BPa2b2+c2,二 A A BC 是钝
11、角三角形。随堂练习2 在 A A BC 中,已 知 s i n/:s i n 5:s i n。=1:2:3 ,判断A A BC 的类型。(2)已知A A B C 满足条件a c o s/=6 c o s 3 ,判断A A B C 的类型。(答案：(1)A A BC 是钝角三角形；(2)A BC 是等腰或直角三角形)例 3.在 A A BC 中，力=6 0 ,b =i面积为 苧,a +b +cs i n/l +s i n 6 +s i n C的值分析：可利用三角形面积定理5 =$行。=%5 曾6 =强 3 1 1 力以及正弦定理a _ b _ c _ a +b +cs i n/1 s i n 8
12、 s inC s i n/+s i n 8 +s i n。1瓜解：由 S =6 c s i n/=得c =2,贝 i j =+/-26 c c o s 4=3,H P =V 3 ,“h a +b +c a 0从血：方=-：7 =2s inA+s inD +s inC s i n/随堂练习3(1)在A A B C 中，若a =5 5,6 =1 6,且此三角形的面积S =220 囱，求角Ca2+h2_c2(2)在A A B C 中，其三边分别为a、b、c,且三角形的面积S=：,求角C(答 案:(1)6 0 或 1 20；(2)4 5)课堂小结(1)在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两
13、解或一解或无解等情形;(2)三角形各种类型的判定方法；(3)三角形面积定理的应用。五、作 业(课时作业)(1)在A A B C 中，已知6 =4,c =1 0,6 =3 0,试判断此三角形的解的情况。(2)设 x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x 的取值范围。(3)在 A A B C 中，4 =6 0 ,a =l,b +c=2,判断 A A B C 的形状。(4)三角形的两边分别为3 c m,5 c m,它们所夹的角的余弦为方程5/7 x-6 =0的根,求这个三角形的面枳。1.1.2余弦定理（一）.（-）教学目标一1 .知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法
14、，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。.2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，.3 .情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。（二）教学重、难 点 一重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；.难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。一（三）教学设想一复习旧知.运用正弦定理能解怎样的三角形？.已知三角形的任意两角及其一边，一已知三角形的任意两边与其中一边的对角，创设情景问 题 1：如果已知三
15、角形的两边及其夹角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形。.从量化的角度来看，如何从已知的两边和它们的夹角求三角形的另一边和两个角？一问题2：如何从已知两边和它们的夹角求三角形的另一边？一即：如图 1.1-4,在 A A B C 中，设 B C=a,A C=b,A B=c,一已知a,b 和NC,求边c?.探索研究L联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？.用正弦定理试求，发现因A、B 均未知，所以较难求边c。.由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。A=+273从而 c2=a2+b2-2abcosC（图 1.1-5）同理可证 a2-b1+c
16、2-2bccosA b2-a2+c2-2 a c c o s B余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即：a2=Z?2+c2-2 b ccos A b2=a2+c2-2 a ccos B/=a2+b2-2 a b eos C思考3：你还有其它方法证明余弦定理吗？(两点间距离公式，三角形方法)思考4：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？(由学生推出)从余弦定理，又可得到以下推论：c o s A=b2+c2-a22 hcc o sB=i2 a cc o s C=b2+a2-c22 ha思考5
17、：余弦定理及其推论的基本作用是什么？已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考6：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？(由学生总结)若A A B C中,C=9 0 ,则c o s C=0,这时,2=+/由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。例题分析例 1.在 A B C 中，已知 a=2百，C-V 6+V 2 ,B=6 0 ,求 b 及 A解：v f t2=a2+c2-2 c c o s B=(2/3)2+(V 6+V 2)2-2-2 V
18、3-(7 6+7 2)0 0 5 4 5 0=1 2+(指+应/一4而 6+i)=8b=2叵.求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:解法一：.c o s i 4 =从+0 2 一 2 _(2应)2+(遥+&)2-(2 百)2 _ 12 b c2 x 2 7 2 x(7 6+7 2)2 4=6 0.解法二：.s i n A=g s i n 8=第s i n 4 5 ,又：后+近 2 4+1.4=3.8,b 2 V 22V3 2 x 1.8=3.6,Z.a c,即0 力 3)例 1：已知数列 a,J的第一项是1,以后的各项由公式*=1+一给出，写出这个数列的前五项.3 5 8解：1,2,.2
19、3 5若记数列%的前项之和为S”,则=(n2)(=1)练习:已知数列%的前项和为：(1)S”=2M-叫(2)Sn=n2+n+1,求数列 凡 的通项公式.例 2.已知%=2,a“+i=”“-4,求可以写出：。|=2g=-2 吗=-6,。4=-1 0,，观察可得：atl=2+(n-1)(-4)=2-4(n-1)解法二：由题设：氏+1 -%=-4,a an-=-4an-an-2=-4%_2-an-3=-4累加法观察法4 一 二相加得：。一 =-4(n-1)QN-2 4(n 1)例 3:已知%=2,n+1=2a”,求.解法一：ax=2,a2=2x2=22,a,=2x22=23,1,观察可得：%=2解法
20、二:由%+1=2%,A an=2an_i,迭乘法三、课堂小结：1 .递推公式的概念；2 .递推公式与数列的通项公式的区别是:J a,i a-2，即巴 =2a,ix4x x=2Ta吁3%/.an=a,-2 1=2(1)通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相临两项(或项)之间的关系.(2)对于通项公式,只要将公式中的依次取1,2,3,4,即可得到相应的项，而递推公式则要己知首项(或前项)，才可依次求出其他项.3.用递推公式求通项公式的方法：观察法、累加法、迭乘法.四、作业1.阅读教材P 30 33面2 .习案作业十2.1数列的概念与简单表示法(一)一一、教学要求：.理解数列及其有
21、关概念；了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式.二、教学重点、教学难点：重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.难点：根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式.三、教学过程：导入新课“有人说，大自然是懂数学的”“树木的，。”，(一)、复习准备：1 .在必修课本中，我们在讲利用二分法求方程的近似解时:曾跟大家说过这样一句话:“一尺之植，日取其半，万世不竭”，即如果将初始量看成“1”，取其一半剩“，再2取一半还剩“_ 1”.如此下去，即得到1,-.4 2 4 82 .生活中的三角形数、正
22、方形数.阅读教材.提问：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序号有什么关系？一(二)、讲授新课：1 .教学数列及其有关概念：一(1)三角形数：1,3,6,1 0,_(2)正方形数：1,4,9,1 6，一 1I ,111(2)1,2,3,4的倒数排列成 L展3 7 的一列数：.(3)-1的1次第，2次第，3次幕，排列成一列数：-1,L T,1,-1 o o o o o(4)无穷多个1排列成的一列数：1,1,1,1,0 0 0 0 0 0 .有什么共同特点？1.都是一列数；2.都有一定的顺序.数列的概念：按照一定顺序排列着的列数称为数列，数列中的每个数叫做这个数列的项.一辩析数列的概念：(1)“1
23、,2,3,4,5”与“5,4,3,2,1”是同一个数列吗？_与“1,3,2,4,5”呢？-数列的有序性一(2)数列中的数可以重复吗？.(3)数列与集合有什么区别？.集合讲究：无序性、互异性、确定性，数列讲究：有序性、可重复性、确定性。数列中每一个数叫数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项(或首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项.排在第n位的数称为这个数列的第n项.数列的一般形式可以写成外,。2，生，凡，简记为 4.数列的分类：(1)按项数分：有穷数列与无穷数列，(2)按项之间的大小关系：递增数列、递减数列、常数列与摆动数列.数列中的数与它的序号有怎样的关系？序号可以看作自变量，数列
24、中的数可以看作随着变动的量。把数列看作函数。即：数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取 值 对 应 的 一 列 函 数 值。反 过 来，对 于 函 数 了 =X),如 果 )(I=I,2、3、少 有意义，可以得到一个数列：/(1)/(2)/(3)如果数列%的 第 n 项与项数之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。2.应用举例例 1、写出下列数列的一个通项公式，使它的前4 项分别是下列各数:函数数列(特殊的函数)定义域R或 R 的子集N*或它的子集解析式y=FO O%=/()图象点的集合一些离散的点的集合(1)1,(2)2,0,
25、2,0.2 3 4练习：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(3)0,1,0,1,0,1,；(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,；(5)2,-6,18,-5 4,1 6 2,.例 2.写出数列1,2*,巳3 4,二5.的一个通项公式，并判断它的增减性。4 7 10 13思考:是不是所有的数列都存在通项公式？根据数列的前几项写出的通项公式是唯一的吗？例 3.根据下面数列%的通项公式，写出前五项：n(1)%=-(2)an=(-l)n n +1例 4.求数列2/+9+3 中的最大项。例 5.已知数列%的通项公式为%=log2(r+3)-2,求 log2 3 是这个数列的第几项?三
26、.小 结：数列及其基本概念，数列通项公式及其应用.四、巩固练习：1.练习：P31面 1、2、题、2.作业：习案九。2.2 等差数列(-).一、教学目标一1、掌握 判断数列是否为等差数列 常用的方法；一2、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用.一3、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用.一二、教学重点、难点.重点：等差数列的通项公式、性质及应用.一难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.三、教学过程.(一)、复习.1.等差数列的定义.一2.等差数列的通项公式：.an=ax+(n-X)d(an=am+(n-m)d an=pn+q(p、q 是常数)_3.有几种方法可以计算
27、公差d:_ d=a,a,i d=%口 n-n-m4.an是首项a l=l,公差d=3的等差数列，若 an=2005,则 n=()A.667 B.668 C.669 D.670.5.在 3与27之间插入7个数，使它们成为等差数列,则插入的7个数的第四个数是()A.18 B.9 C.12 D.15.二、新课.1.性质：在等差数列a j 中，若 m +n=p+q,则 am+an=ap+aq _特别地，若 m+n=2p,则 am+an=2aP例 1.在等差数列a j 中.(1)若 a5=a,al0=b,求 al5；_(2)若 as+as=m,求明+比;.(3)若由=6,a8=1 5,求 aM；.(4)
28、若 41+&+5=30,a6+d7+aio=80,求 an+ai2+*+ai5.解：(1)2aio=as+a%即 2b=a+a5,*ais=2b-a;_(2)V 5+6=3+8=11,/.a5+a6=a3+a=m_(3)a8=a.5+(8-3)d,即 15=6+3d,/.d=3,从而 a】产&什(14-5)d=6+9X3=33.(4)v 6 +6 =1 1 +1,7 +7 =1 2 4-2,/.2%=%+%,2a7=a2+a1 2从而(q +6 Z p +。5)+(q +C l2+5)=2(。6 +%+6 ZI 0)4 +t/p +。5 =2(。6 +/+,+()(4 +e+牝)=2 x 8
29、0 3 0 =1 3 0.2.判断数列是否为等差数列的常用方法：(1)定义法：证明aa*d (常数)例 2.已知数歹U E J的前n 项和为SF3n2-2n,求证数列a j 成等差数列,并求其首项、公差、通项公式.解：当 n=1 时，&二S尸 3-2 二 1;当 n22 时,a=Sn-Sn-i=3n2-2n-3(n-I)2-2(n-1)=6n-5;V n=l 时 满足 an=6n-5,.an=6n-5首项ai=l,a-4.尸 6(常数)数列 a j 成等差数列且公差为6.(2)中项法：利用中项公式，若 2b=a+c,则 a,b,c 成等差数列.(3)通项公式法：等差数列的通项公式是关于n 的一
30、次函数.例 3.已知数列%的通项公式为4=p +%其中p、q 为常数，且 pW O,那么这个数列一定是等差数列吗？分析：判定%是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也 就 是 看%-见 一(n 1）是不是一个与n 无关的常数。解：取数列%中的任意相邻两项a“与%t（n l）,求差得 an-a“_|=（p n+q）-p n-I）+q =p n+q-（p n-p +q =p它是一个与n 无关的数.所以%是等差数列。课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？这个数列的首项为=p+q,公差d=p。由此我们可以知道对于通项公式是形如 =p n+q的数列，定是等差数列，一次项系数p 就是这个
31、等差数列的公差,首项是p+q.如果一个数列的通项公式是关于正整数n 的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。探究引导学生动手画图研究完成以卜 探究：在直角坐标系中，画出通项公式为*=3-5 的数列的图象。这个图象有什么特点？在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列an=p n+q与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。分析：（Dn为正整数，当 n 取 1,2,3,时，对应的凡可以利用通项公式求出。经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点；画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一次 函 数 当 x 在正整数
32、范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论：等差数列an-p n+q的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集，是 y=px+q定义在正整数集上对应的点的集合。该处还可以引导学生从等差数列明=+q 中的p 的几何意义去探究。三、课堂小结：1.等差数列的性质；2.判断数列是否为等差数列常用的方法.四、课外作业1.阅读教材第110 114页；2.教材第39页练习第4、5 题.作业：习案作业十二2.2 等差数列（一）一、教学目标一1.知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式：能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；一2.过程与方法:让学
33、生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；山学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中.二、教学重、难 点 一重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；一难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。一三、教学设想一 创设情景上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们先学习一类特殊的数列。.探索研究_由学生观察分析并得出答案：一（放投影片）1、在现实生活中，我们经常这样数
34、数，从 0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0,5,_ _ _,_ _ _ _,_ _ _ _,.2、2 0 0 0 年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了 7 个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：k g）：4 8,5 3,5 8,6 3。.3、水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为1 8 c m,自然放水每天水位降低2.5 m,最低降至5 m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：1 8,1 5.5,1 3,1 0.5,8,5.54、我国现行储蓄
35、制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金X （1+利率X寸期）.例如，按活期存入10 000元钱，年利率是0.7 2机 那么按照单利，5 年内各年末的本利和分别是：各年末的本利和（单位：元）组成了数列：10 07 2,10 14 4,10 216,10 28 8,10 3 6 0 .思考:同学们观察一下上面的这四个数列：0,5,10,15,20,时间年初本金（元）年末本利和（元）第 1 年10 00010 07 2第 2 年10 00010 14 4第 3年10 00010 216第 4年10 00010 28 8第 5
36、 年10 00010 3 6 04 8,53,58,6 318,15.5,13,10.5,8,5.5 10 07 2,10 14 4,10 216,10 28 8,10 3 6 0（4）看这些数列有什么共同特点呢？引导学生观察相邻两项间的关系，一由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2 项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。一 等差数列的概念L等差数列：一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同个常数，那么这个数列就叫做等差数列。一这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5,
37、5,-2.5,7 2。_注意：公差d 定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；.对于数列%，若a -aM-1=d(d 是与无关的数或字母)，与 2,nN ,则此数列是等差数列，d为公差；(3)若由0,则该数列为常数列.提问：(1)你能举一些生活中的等差数列的例子吗？.(2)如果在a与6中间插入一个数A,使a,A,力成等差数列数列，那么A应满足什么条件？.由学生回答：因为a,A,b组成了一个等差数列，那么山定义可以知道：一A-a=b-A 所以就有 A=0 2由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与 b的等差中项。.不难发现，在一个等差数列中，从 第 2 项
38、起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项。如数列：1,3,5,7,9,11,13 中，5 是 3 和 7的等差中项，1和 9的等差中项。一9是 7和 11的等差中项，5 和 13 的等差中项。一看来，勺+。4 =。+。5,4 4 +。6 =+%从而可得在一等差数列中，若 m+n=p+q 则ain+an=ap+aq 等差数列的通项公式 一提问：对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？.、我们是通过研究数列 凡 的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。一由学生经过分析写出通项公式：一猜
39、想得到这个数列的通项公式是凡=5 猜想得到这个数列的通项公式是=4 8 4-5(/2-1)猜想得到这个数列的通项公式是%=18 -2.5(”-1)猜想得到这个数列的通项公式是%=1007 2+7 2(”-1)(2)、那么，如果任意给了一个等差数列的首项卬和公差d,它的通项公式是什么呢？一引导学生根据等差数列的定义进行归纳：一a2 a=d,(n-1)个 等 式 J%-%=4a4=d,所以 a2=a+d,a3=a2+d,a3=a2+d=+d)+d=a+2d,a4=a3+d,a4=a3+d=(at+2d)+d=a+3d,思考：那么通项公式到底如何表达呢？得出通项公式：以4为首项,d 为公差的等差数列
40、*的通项公式为：*=a,+(l)d也就是说，只要我们知道了等差数列的首项为和公差d,那么这个等差数列的通项就可以表示出来了。选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：(迭加法)：%是等差数列，(迭代法)：%是等差数列，则 有a=a_i+d所以 a-an_x=d,a,-an-2=d,an-2-a-3=d,=an_2+d+d=an_2+2d=afJ_3+d +2d=a,.-3+3da2 ay=d,两边分别相加得%-q =(l)d,=6+(n )d所以*=q+(n-l)d 所以 a=a+(n-l)J 例题分析例 1、求等差数列8,5,2,的第20项.-401是不是等差数列-5,-
41、9,-13,的项？如果是，是第几项？解：由%=8,d=5-8=-3,n=20,a2Q=8 +(21-l)x(-3)=-49由6=-5,d=-9-(-5)=-4,得这个数列的通项公式为an=-5 -4(-1)=-An-1,由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-l 成立。解这个关于n的方程，得 n=100,即-401是这个数列的第100项。例 2：(1)在等差数列%中，已 知%=10,%2=3 1，求首项可与公差d(2)已知数列 册 为等差数列为=彳,。7=一彳，求为5 的值.解：(1)解法一：；。5=1 0，%2=3 1，则at+4 d =10%=-2a 1+1 I d
42、=31 d =3所以，这个等差数列的首项是一2,公差是3.解法二：V al 2 ai+1 d=31=10+7 J =J =3,由 10=。+(5-l)x 3 得 a 1=-2所以，这个等差数列的首项是一2,公差是3.例 3：梯子最高一级宽33c m,最低一级宽为110c m,中间还有10级，各级的宽度成等差数歹 i j,计算中间各级的宽度.解：设%表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知：%=33,tzI 2=110,/7=12:.%2=%+(12 1)J ,即 10=33+11 d 解得：d =7因此，g=33+7 =40,%=4 0 +7 =47,%=5 4,%=6 1,牝
43、 6 8,%=7 5,%8 2,%=8 9,%。=96,=103,答:梯子中间各级的宽度从上到下依次是40c m,47 c m,5 4c m,6 1c m,6 8 c m,7 5 c m,8 2c m,8 9 c m,9 6 c m,103c m.例 4：三个数成等差数列,它们的和为18,它们的平方和为116,求这三个数.解：设这三个数为a-d,&k dQd+a+a+d=18则4l(a-rf)2+a2+(+J)2=116解得这三个数依次为4,6,8或 8,6,4 注(1)设未知数时尽量减少未知数的个数.(2)结果应给出由大到小和由小到大两种情况.例 5：已知四个数成等差数列，它们的和为28,中
44、间两项的积为40,求这四个数.解：设 这 个 数 为a-d,a+d 3d则a 3 d+。一d+a+d+3 d=28(a -d)(a+d)=40/Q =7 _ f a =3解得：，或，d =3 d =7/.这四个数依次为-2,4,10,16 或 16,10,4,-2.例 6.某市出租车的计价标准为1.2元/k m,起步价为10元，即最初的4k m(不含4 千米)计 费 10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14k m处的目的地，且一路畅通，等候时间为0,需要支付多少车费？解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4k m时，每增加1k m,乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列*来计
45、算车费.令为=11.2,表示4k m处的车费，公差d=L 2。那么当出租车行至14k m处时，n=l l,此 时 需 要 支 付 车 费=11.2+(l l-l)X 1.2=23.2(元)答：需要支付车费23.2 元。随堂练习课本39 页“练习”第 1、2 题；课堂小结等差数列定义：艮|J a,一a,-=d (n 22)等差数列通项公式：a“=%+(-l)d (n 2l)推导出公式：an-am+(n -m)d四、作 业 习案作业十一。2.3 等差数列的前项和(二).教学要求:进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式
46、与前；:项和的公式研究、的最值、a 4如果A“，区分别是等差数列%,瓦,的前项和，则广=六b“教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式.一教学难点：灵活应用求和公式解决问题.教学过程：一复习准备：1、等差数列求和公式：s“=她詈2,2、在等差数列 册 中(1)若。5=。,。1 0=求。1 5；(3)若。5=6,熊=1 5,求 a 1 4；(2)若 4 3+恁=?%求。5+。6；(4)若。+。2+。5=30,。6+田+,+。1 0=8(),求+1 5-二、讲授新课：一1、探究：等差数列的前项和公式是一个常数项为零的二次式、例 1、已知数列%的前八项和为S=+；，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数
47、列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？【结论】数列/的前项和S“与%的 关 系：.由S”的 定 义 可 知，当n=l时，S=4 ；当n 2 2时，*=S,-S,I ,即i 7练习：已知数列*的前项和S“=：2+：n +3,求该数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？.探究：一般地，如果一个数列%,的前n项和为S“=p 2+g +r,其中p、q 为常数，且。0,那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？_(是，a=p +q +r,d=2p).由此，等差数列的前项和公式S“=n a+迪尚可化成式子：Sn =j n2+(a,-|)n.当d W O,是一个常数项为零的二次式.一2
48、.教学等差数列前项和的最值问题：例题讲解：一例2、数 列 是 等 差 数 列，a,=5 0,J =-0.6.(1)从第几项开始有%0,d 0,前n项和有最大值.可由a.2 0,且W O,求得n的值；一当%0,前n项和有最小值.可由a“W 0,且明+2 0,求得n的值、(2)由S0=9 1 1 2+包1 g)n利用二次函数配方法求得最值时n的值、练习：在等差数列%中，处=-1 5,公差d=3,求数列 氏 的前n项和S”的最小值.2 4例3、已知等差数列5,4 y,3-，.的前n项的和为S“，求使得S,最大的序号n的值。归纳：(1)当等差数列%首项为正数，公差小于零时，它的前n项的和为S“有最大值
49、,可以通过 0且 0 的 n 值;(2)由S,=叫+今ad=gn2+一g),利用二次函数的性质求n的值；(3)利用等差数列的性质求.四、课外作业：作业：习案作业十四。补充题：(依情况而定)1 .(1)已知等差数列加力的a n=24 3 n,则前多少项和最大？(2)已知等差数列 惊 的通项b“=2n-1 7,则前多少项和最小？解：(1)由 a n=24-3n 知当”0 ,当“2 9时，*0,，前 8项或前7 项的和取最大值.(2)由b n=2n-l 7n 知当 8时，。“Q,.前8 项的和取最小值.2.数列闻 是首项为正数a.的等差数列，又 S9=S*.问数列的前几项和最大？解:由 Sg=S7
50、得 9 a 5=1 7 a%2a(+25 d =0,A a”+为 4 =0，所以相邻两项之和为0.又q 0,.,.4 3 0,%4 0.S1 3最大.说明：卬3 +1 4 =0 也可以这样得出 S|7-Sg =0 n 4 0+%|+7 =0 n a 1 3+。1 4 =0.3.首项为正数的等差数列 a。,它的前3 项之和与前1 1 项之和相等，问此数列前多少项之和最大？解法一:由 S3=Su 得:3 q+d =llq解之得22d,=-2-%0.S。n(n-l),1 2 1 4n=几a 1H-d=-4 4-a 1 故当n=7时,S n最大，即前7 项之和最大.解法二:由an=0解得:一 一,所以