《2021年普通高等学校招生全国统一考试数学（ 新高考 I 卷) 解析版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年普通高等学校招生全国统一考试数学（ 新高考 I 卷) 解析版.pdf（17页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2021年普通高等学校招生全国统一考试(新高考I 卷)数 学一、单选题1.设集合4=%|-2%4 ,f i =2,3,4,51，则 A p|8=()A.2B.2,3C.3,4D.2,3,4答案：B解析：Af i B =2,3,选 B.2.已知 z=2 i,贝！lz(z+i)=()A.6-2;B.4-2/C.6 +2zD.4 +2 i答案：C解析：z =2+z,z(z +z)=(2-i)(2+2i)=6 +2z,选 3.已知圆锥的底面半径为Q ,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A.2B.25/2C.4D.47 2答案：B解析：设母线长为I,则兀 1 =2 兀n I=2 T T4.下
2、列区间中，函数/（x）=7 s i n（x：）单调递增的区间是（）6A.（0,5B.c/3万、C.（71,）2D.（四,21）2答案：A解析：f M 单 调 递 增 区 间 为：7 7 7-2 k7i-x-2 k i-x 2 k7r-（k e Z）,令 k=。，故2 6 2 3 3选 A.2 25.已知片，居是椭圆C:土+上=1的两个焦点，点M 在 C 上，则IMEHMEJ的最大9 4值 为（）A.13B.12C.9D.6答案：C解析:IM 用+|M|由椭圆定义，I叫1 +1叫|=6,则|儿用|鸟区（2)2=9,故选 C.6.若tan”2,则 包 丝 土 包 3sin 8+cos。)6A.一
3、一525答案：C解析：sin6(1+sin2。)_ sin(sin?O+cos?e+2sin6cos6)sin 0+cos 0 sin 4-cos 6sin2。+sin 6cos 3 tan2 6+tan 0 2.、4八=-=-=，故选 C,sin2+cos2 0 ta/O +l 57 若过点(。,)可以作曲线y=的两条切线，则()A./v QB.ea hC.GaebD.0b,切线方程为y-b =e(x a),又P(/,%)在切线上以及=/上，则有 ex -b =e (x0-a),整理得短(与一。-1)+6 =0,令 g(x)=e”(尤一。-1)+)，则 g(x)=e*(x-a),g(无)在(
4、-8,0)单调递减，在(。,+。)单调递增，则g O)在x =。时取到极小值即最小值g(a)=b-e,又由已知过(。,。)可作y =的两条切线，等价于g(x)=e x-a-1)+b有两个不同的零点，则g mi n(x)=g(a)=b-ea oo时，c(x -t z -1)0,则 e(x a 1)+人一 b,：,b 0,当x =l +a a时，有g(l +a)=/?0,即g(x)有两个不同的零点.：.0 b)2+(%-)2+-,+(%-)2V nn 二 二 二 ，C 正确；=J(%一 九 产 +(%2-%)4-i-(Xn X)2=SV n对于D选项：、，_ 丫工,，,两组样本数据极差相同，D正确
5、。y,一七十c10.已知。为坐标原点，点片(cos a,sin a),(cos/?,-sin/?),/(cos(a+/?),sin(a+夕),A(l,0),则()九|西|=|南B.画1=1汨C.丽 西=丽丽D.丽 丽=困砥答案：A、C解析：I OF|=Jcos2 a+sin2 a=1|OP21=Jcos2=+(-sin 0 y =T 正确，AP=(co s-l)2 4-sin2 a=2-2cos6Z 宿=(8 s?-l)2+(-s in 0 2=2 _ 2 8 s 2-2 8 s a-2 _ 2 8 s A B错;OA-Of-cos(a+J3),。耳。鸟=co saco s-sin asin，
6、=cos(a+),，C 正确;O A O -cos a,OP2 OP3=c o s cos(a+0 -sin 夕 sin(a+0)=cos(a+2 0 ,.D 错.11.已知点尸在圆(x 5y+(y 5)2=16上，点4(4,0),8(0,2),则()A.点P到直线A B的距离小于10B.点p到直线AB的距离大于2C.当NPB4最小时，|尸8|=3后D.当 NP84 最大时，|P8|=3j1答案：A、C、D解析：由已知易得直线A8的方程为x+2y 4=0.圆心(5,5)到直线4 8的距离d|5+1。-4|1而飞，直线AB与圆相离,则尸到AB的距离的取值范围为垮 T+4 11 U又 4 0)的焦
7、点为f，P为C上一点，p”与x轴垂直，Q为x轴上一点，且P Q _ LO P.若|F Q|=6,则C的准线方程为.答案：3x=2解析：n FO P F 6 c因为尸尸垂直X轴，故点P坐标为(p),又因为O P L P/则/=而=2,即5=2,3故 =3,则准线方程为x =一 二.215.函数/(x)=|2x-l|-21n x的最小值为.答案：1解析：1 7 1当 x 时，/(%)=2x-l-21n x,f(x)=2一一，/(x)0 时，-x 02x2时，尤1,，/(/在(；,1)上单调递减，在(L”)上单调递增，当时，/(x)=l-2x-21n x,函数单调递减，综上，函数在(0,1)上单调递
8、减，在(1,”)上单调递增，所以函数最小值为/(D =L16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为2 0 d m x 1 2 d m的长方形纸，对折1次共可以得到lO d m x l2 d m ,2 0 d m x 6d m两种规格的图形，它们的面积之和S=2 40 d m，,对折2次共可以得至1 1 5d m x 1 2 d m,1 0 d m x 6d m ,2 0 d m x 3 d m三种规格的图形，它们的面积之和S?=I SO d n?,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折次，那么t s =d m 2.k=答案：52
9、40/1 +72 02解析：3 3 5 5(1)易知有 2 0 d m x d m,lO d m x d m ,5d m x 3 d m d m x 6 d m ,d m x 1 2 d m ,4 2 2 4共5种规格.(2)由 题 可 知 对 折%次 共 有 女 +1种规格，且面积为辞，故S&=2 4()；+1),则Z S*=2 4()Z 7 r，记Z,=Z刀T,则/=Z于TT，故&=1&=1 乙 A=1 N 乙 k=l N几 十 1=1+产方)_四=3_”则T=3 9,故2 向 2 2n+l 2 1-22 4 0(3-*)=72 0-竽竺.k=L四、解答题1 7.已知数列。满足q=1,ai
10、l+%+1,为奇数%+2,为偶数(1)记4=%,，写出4，”,并求数列也,的通项公式;(2)求 4 的前2 0项和.答案：见解析；解析：(1)4=。2=4+1 =2,%=%+2 =4,b2=a4=a3+1 =5,h,+-2 =a2n+2 a2=(42+l+1)-a2=4 +3 2=3.是以3为公差的等差数列，二=2 +5 -1)x 3 =3 -1.、1 0(2 +29)-(2)a,+g -。20=-=1 55,q+q,+4 +,+。1 9 =a，1 +4 -+,+4()1 =1 55 1 0 1 45S2 0=1 55+1 45=3 0 0.1 8.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类
11、问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得2 0分，否则得0分；8类问题中的每个问题回答正确得8 0分，否则得0分.己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答4类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.答案：见解析；解析：(1)若小明先回答A问题，记X为小明累计得分
12、，则X的取值可能为：1 0 0,2 0,0,因 为 各 题 互 相 独 立，由 分 步 完 成 原 理 得P(X=1 0 0)=0.8 x 0.6=0.48 ,P(X =2 0)=o.8 x(1 -0.6)=0.3 2 ,=0)=1-0,8 =0,2,列表如下:则 X 的数学期望E(X)=100X0.48+20X0.32+0X0.2=54.4.X100200p0.480.320.2(2)若小明先回答6问题，记y为小明的累计得分，则y的取值可能为1 0 0,8(),0,因为 各 题 互 相 独 立，由 独 立 性 原 理 知P(y =1 0 0)=0.6x 0.8 =0.48 ,p(y =8 0
13、)=0.6x 0,2 =0.1 2,P(y =)=1-0 6=0.4,列表如下:Y100800P0.480.120.4先答 B 类,则 的数学期望为：(y)=1 0 0 x 0.48 +8 0 x 0.1 2 +0 x 0,4=57.6,由(1)知E(E(X),.小明先选B类问题作答.1 9.记A 4 8 c的 内 角AR C的对边分别为己知，点。在 边AC上,BDsin Z A B C =asinC.(1)证明：B D =b；(2)若A O =2 OC,求c o s Z A B C.答案：见解析；解析：(1)由班)s i n N A B C =a s i n C,根据正弦定理可得，.，又白=
14、a c，：,B D b=b?，：.B D =b.2 1(2)A D =-b,C D =-b,又 由(1)B D =b3 34,9 .)2 13,2 2 1,，,。，10,2 2-b+b-c-b-c+b-a 一b-ac o s Z A D B=-2 -=-2-,c o s Z B D C =9-=-,2 2,b ,b,4-,b2 ,2 1,b ,b,2-,b23 3 3 313 20c o s Z A D B 4-c o s Z B D C=0,b1-c2-h2-2/=0,9 91 1 9 c2 c/C、2 11 c 八 _ c _,、-2 ac c-2a 0,（一）-F2=0,一=3或一，3
15、a 3 a a 3cos ZABC=a2+c2-h22ac=7 或7:（舍）,12 6八 7cos NABC .1220.如图，在三棱锥A BCD中，平面AB。，平面BCD,AB=A D。为8的中点.(1)证明：Q 4CD；(2)若 OCD是边长为1的等边三角形，点E在 棱AO上，DE=2EA，且二面角E-8C-的大小为4 5 ,求三棱锥A-BCD的体积.答案:见解析解析:(1)平面ABZ)_L平面BCD,平面43。口平面3 8 =3。，；45=4),。为3。中点，A AO 1BD,AOu 平面 A8Z），平面 BCD,CDu 平面 BCD,AO LCD.(2)方法一：取。中点F,0 8为正三
16、角形，.CF_LOZ),过。作OM/C产与BC交于M点，则OM_LOD,；.OM,OD,两两垂直，以。为坐标原点，分别以OM,0。，Q4为x,y,z轴建立空间直角坐标系，5(0,1,0),C(y-,1,0),。()/,()，1 2设A(),(V),则 凤0,不)，。4_1平面8。，平面8。的法向量为3=。,%2),n-BC=On-BE =O 旦+为=02 24 2y+tz=013-3不妨设x =G，贝U y =-i，z=2,则=(百,_ j,2),2二面角七一3 C-。的大小为45,72 _ n-OAc _ 1 1 1 V 3 _ V 3S OCD-x l x l xyv=L sA-BCD-3
17、 uBCD也X走3 26方法二：过E作交3。于点“，再过“作 印_ L B C交3 C于点/,显然这样会有 印，平 面8 C D，而这个正三角形O C D加 上30=)0，可 知3 C _ L C D,意味着H I/CD,同时很自然的也会有四，印，而二面角E 3 C。很显然就是N E 7”，这个是45,说明E H =H 1，综合上面的条件，会得到O H AE I 心 u BH c=2 BH H l“=一，然后=2,再 然 后 一=,故D HH l=E H =-3同时空E D 2E D 2AO AD 3D H3 BD CD得至ij A O =1,那么 就 有匕=*S ；x l x；x l x 6
18、 邛.21.在 平 面 直 角 坐 标 系x O y中，已 知 点 耳(-&7,0),6(J 17,0),点M满足IM F1|-|MF21=2.记M 的轨迹为C.(1)求C的方程;(2)设点T在直线x =，上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，2。两点，且 T A T B T P -T Q,求直线A B的斜率与直线P Q的斜率之和.答案:见解析解析:(1)c=V 17，2a =2,=1,=4,2C表示双曲线的右支，C的 方 程 为/一 上-=1。21).16B(x2,y2),(16-Z：12)%2+(k-2ktm)x-k.+km-m2-16=0,|L 4|-|T O|=(1+A：1)2(
19、XI-1)U2-1)=(1+A:12)X1X2-(X1+X2)+1=(1+女 )ky/Ti kj-ITT 16 4 1 2k.m-k,2 1 .5 1 +N16 Z J+2设=*同理可得|77十|70=(1+&2)=,k2-16(1+婷)m-+1 2=(1+V)-m-+12 n 62 16婷=婷 一 16&2,.勺2 =网2,A k j 16 k?16k、手 k?,：.k、=-k2,匕 +&=0.22.已知函数/(x)=x(l-lnx).(1)讨论)(x)的单调性;(2)设a,b为两个不相等的正数，S.b n a-a n b a-b,证明：2，+工 6.a b答案：见解析解析：(1)f(x)=
20、-ln x,令尸(x)=O n x =l,当0 x 0,/(x)单调递增；当 1 时，/,(x)0,/(x)单调递减.In a In Z?1 1 In a+1 lnZ?+1(2)=-,；.-=-,a b b a a b令,=加，-=n ,即证 2m+e,m(l-In in)=n(l-Inn),a b令 令x)=x(l Inx),f(x)=-In x,令 f(x)=0=x=1,当0 xo,/(x)单调递增；当X1 时，f(x)0,f(x)单调递减.f(m)=f(ii),0m 1,n2,即证/()/(2 s)，即证/(根)0,Fx)单调递增，；.F(x)/=0,左边x(2-x)证毕！再证右边：；m(l-In m)-n(-In/?)m,要证加+止 e,即证(1-In )+e,令 g(x)=x(l-lnx)+x,x。，g(x)在(l,e)上单调递增，g(x)g(e)=e,g()e,证毕!