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1、【精品】人教版九年级数学中考压轴试题（含答案）1.（8分）一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，在平面直角坐标系xOy中，设单位圆的圆心与坐标原点0重合，则单位圆与x轴的交点分别为（1,0）,（-1,0）,与y轴的交点分别为（0,1）,（0,-1）.在平面直角坐标系xOy中，设锐角a的顶点与坐标原点0重合，a的一边与x轴的正半轴重合，另一边与单位圆交于点P（xi,y D,且点P在第一象限.（1）xi=cos a（用含a的式子表示）；y尸sin a（用含a的式子表示）；（2）将射线0 P绕坐标原点0按逆时针方向旋转9 0 后与单位圆交于点 Q（X2,y2）.判断力与X2的数量关系，并证明；yi+
2、y2的取值范围是：lyi+yzW亚.【分析】（1）如图作PF_Lx轴于F,QE_Lx轴于E.则0F=0P c o sa,PF=OP-sina,由此即可解决问题;(2)过点P作PF_Lx轴于点F,过点Q作QE_Lx轴于点E.只要证明、()名ZkOPF即可解决问题；当P在x轴上时,得 至IJ力+丫2的最小值为1,由y i+y2=PF+QE=0E+0F=EF,四边形QEFP是直角梯形，PQ=,EFW PQ,即可推出当EF=PQ=V时，得 至(J门+丫2的最大值为V2;解答 解：(1)如图作P F x轴于F,Q E x轴于E.则OF=OPcos a,PF=0P*sin a,/.Xi=cos a,y i
3、=sin a,故答案为cos a,sin a；结 论：yi=-x2.理由：过点P作PF_Lx轴于点F,过点Q作QE_Lx轴于点E.A ZPF0=ZQE0=ZP0Q=90,.,.ZP0F+Z0PF=90,ZP0F+ZQ0E=90,.,.ZQ0E=Z0PF,V0Q=0P,.,.QOEAOPF,.PF=OE,VP(xi,yD,Q(x2,y2),/.PF=yi,0E=-x2,y产 一 X2当P在X轴上时，得到w+y2的最小值为1,Vy i+y2=PF+QE=OE+OF=EF,.四边形QEFP是直角梯形，PQ=V2,EFWPQ,.,.当EF=PQ=&时，得到力+丫2的最大值为心/.lyi+y2 V2.故
4、答案为IVyi+yzW E.【点评】本题考查圆综合题、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、直角梯形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.2.(5 分)点 P(1,4),Q (2,m)是双曲线y=K图象上一点.X(1)求 k 值和m值.(2)。为 坐 标 原 点.过 x 轴上的动点R 作 x 轴的垂线，交双曲线于点 S,交直线0Q于点T,且点S 在 点 T 的上方.结合函数图象，直接写出R 的横坐标n 的取值范围.【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题；(2)利用图象法即可解决问题；【解答】(1)解：点P (1,4),Q (2,
5、m )是双曲线y=k 图象上X一点.，.4=亨，/.k=4,m=2.(2)观察函数图象可知，R的横坐标n的取值范围：0 1 1 2 或 1 1 -2.【点评】本题考查反比例函数图象上点的特征、待定系数法等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.3.(5 分)小明同学要测量学校的国旗杆B D 的高度.如图，学校的国旗杆与教学楼之间的距A B=2 0 m.小明在教学楼三层的窗口 C测得国旗杆顶点D 的仰角为1 4 ,旗杆底部B的俯角为2 2 .(1)求N B C D的大小.(2)求国旗杆B D的高度(结果精确到1 m.参考数据:s i n 2 2 -0.3 7,c o s 2
6、 2 40.9 3,ta n 2 2 40.4 0,s i n l4 0.2 4,c o s l4 0.9 7,tanl4 0.25)D可J m 、m_、,4B【分析】（1）过c作CEAB交BD于E.根据题意可得答案；（2）在RtaCEB中，利用三角函数可得tanNECB=整，代入数据可得BE的长，然后在RtCED中可得tanNDCE=萼=襄Q 0.2 5,进vE ZU而可得ED长，再求和即可.【解答】解：（1）过C作CEAB交BD于E.由已知，ZDCE=14,ZECB=22,.,.ZDCB=36；(2)在 RtZCEB 中，ZCEB=90,AB=20,ZECB=22,tan NECB=:2
7、0.4,CE 20.B E*在 RtZsCED 中，ZCED=90,CE=AB=20,ZDCE=14,tan N D C E=*绊0.25,CE 20.DE-5,，B 3 1 3,国旗杆BD的高度约为13米.D.Em 、m _、IA B【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决.4.（5分）如图，A B是。的直径，C、D是。上两点，A C =B C.过点B作。的切线，连接A C并延长交于点E,连接A D并延长交于点F.(1)求证：A C=C E.(2)若 A E=8&,s i n Z B A F=|求 D F 长.5【分析】（1）
8、连接B C,想办法证明A C=B C,E C=B C即可解决问题；（2）首先证明/D B F=N B A F,可得 s i n N B A F=s i n N D B F=1-g,由此b D r即可解决问题；【解答】（1）证明：连结B C.：A B是 的 直 径，C在。上A Z A C B=9 0 ,A C=B C.,.A C=B C.*.Z C A B=4 5O.Y A B 是。0的直径，E F 切。于点B,Z A B E=9 0 ,：.Z A E B=4 5 ,.A B=B E,/.A C=C E.(2)在 R t A B E 中，Z A B E=9 0 ,A E=8&,A E=B E；.
9、A B=8,在 R tZ i A B F 中，A B=8,s i n N B A F 咯解得：B F=6,连结 B D,则N A D B=N F D B=9 0。，V Z B A F+Z A B D=9 0 ,Z A B D+Z D B F=9 0 ,Z D B F=Z B A F,V s i n Z B A F=v-,5.s i n Z D B F=-,5 D F=2【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.5.如图，P是会所对弦四上一动点，过点尸作尸人四交症于点C,取 在 中 点 连 接 S 已知=6须
10、，设4月两点间的距离为x c勿，C.两点间的距离为y c勿.(当点尸与点力重合时，y的值为0；当点户与点方重合时，y的值为3)小凡根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.y/c?n Ax/cm 、r*_ (点，画出该函数的图象；(3)结合所画出的函数图象，解决问题：当N C=3 0 时-，4尸的长度 约 为3.3 cm.DB【分析】(1)根据对称性可知：当x=2和x=4时-，PA=BP=2,因为尸C L力氏P C L A B,即可推出q =C=7 3.42-22,再利用勾股定理即可解决问题；(2)利用描点法即可解决问题；(3)函数图象与直线尸x的交点的横坐标即为必的
11、长，利用图象法即可解决问题；【解答】解：(1)如图，根据对称性可知：根据对称性可知：当x=2和x=4时，PA=BP=2,：PCV AB,P C LAB,：.PC=P C =丘.d,.,=V l2+3.42-22 2.9.故答案为2.9.(2)利用描点法画出图象如图所示:y/cm A(3)当/DCP=30 时 一，CD=2PD,即 尸 x,观察图象可知：与函数图象与直线y=x 的交点为(3.3,3.3),.加7的长度为3.3.【点评】本题属于圆综合题，考查了勾股定理，函数图象，直角三角形 3 0 度角的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用对称性解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考压轴
12、题.6.如图，比是等边三角形，D,“分别是4 C,a 边上的点，且AD=CE,连接初，至相交于点反(1)N 石的度数是6 0 ；(2)如 果 写=,，那么黑=1 ；AC Z D r(3)如果供=工时，请用含的式子表示4F,跖的数量关系，并证AC n【分析】(1)易证力但“阳 可得/加?=N 4 册 根据外角等于不相邻两个内角的和即可解题.(2)如图1中，当档=春时，由题意可知：AD=CD,BE=CE.利用AC N等腰三角形的性质即可解决问题；(3)设 AF=x,BF=y,AB=BC=AC=n.AD=CE=,由板运CAE,推出初=/,没BD=AE=m,利用相似三角形的性质，列出关系式即可解决问题
13、；【解答】解：(1)比1是等边三角形，：.AB=AC,ZBAD=ZC=6Q,在 初 和/四 中，AB二AC N B AD=N C,AD=CE：./ABDACE(弘S).ZDAF=/ABD,：.ZBFE=ZABLh-ABAF=ZDAF+ABAF=ZBAD=6Q,故答案为：6 0 .(2)如图1中，当供=看时，由题意可知：AD=CD,BE=CE.Av Z图1.4山是等边三角形，BE=EC,AD=CD,ABAE=y Z BAC=1 X 60=30,ZABD=ZABC=30,：.ZFAB=ZFBA,：.FA=FB,迪=1,B F故答案为1.(3)设/Q x,BF=y,AB=BC=AC=n.AD=CE=
14、1,:XAB恒XCAE,BD=AE,/DAF=/ABD,设 BD=AE=m,：/ADF=ABDA,.ADFSXBDA,.更=也 AB -B D，u)，n m：AFBE=Z.CBD,/BFE=/C=6G ,.BFESXBCD，.B F =B E*B C-B D，.工=更，n i n+得 到：3y n-1.AF _ 1丽【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质的等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题.7.对于平面直角坐标系x O y中的点P和。给出如下定义：若。上存在一个点一,使得/4=阳 则称点夕为。的“等径点”，
15、已知点4)，E(0,2),尸(-2,0).(1)当。的半径为1时，在点，E,尸中，。的“等径点”是，；作直线防 若 直 线 跖 上 的 点7(勿，n)是。的“等径点”，求勿的取值范围.(2)过点月作E G I E F交x轴 于 点G,若也各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，求这个圆的半径r的取值范围.【分析】(1)根 据“等径点”的定义可知，“等径点”到圆心的距离小于等于圆的半径的2倍，由此即可判定；如图2中，设直线如交半径为2的。于 点 木 连 接 如 作 砌J _OF于M.当 点7在线段Q T上时，点7是“等径点”，求出点的坐标即可解决问题；(2)因为必G各边上所有的点都是某个圆的“等径
16、点”，所以这个圆的圆心0是线段对的中点，易 知0(2,0),设这个圆的半径为r.根 据Q G W 2 r,构建不等式即可解决问题；【解答】解：（1）根 据“等径点”的定义可知，“等径点”到圆心的距离小于等于圆的半径的2 倍.即半径为1 的。的“等径点”在以。为圆心2 为半径的圆内或圆上.如图1 中，观察图象可知：在点 E,6中，。的“等径点”是如图2中，设直线砥交半径为2的。于点7 T,连接神，作用人t an N 砒2=黑=,Ur.N0RT=6O,：0F=O K,.0/加是等边三角形，：.0F=0K=FK=2,：KM LOF,/.FM=0M=1,KM=如2-/-M,:.K(-1,),.当点7在线段网上时，点 T是“等径点”，-2W W-1.：.EF=20F=A,FG=2EF=8,：.0G=6,由题意%各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，这个圆的圆心 0是线段分。的中点，Q(2,0),设这个圆的半径为二由题意：QGW2r，4W2r,.在2,即这个圆的半径r的取值范围为r22.【点评】本题属于圆综合题，考查了“等径点”的定义，解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题.