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1、人教版九年级数学上册期末压轴试题（含答案）1如图，AB是O的直径，C是O上一点，连接AC过点B作O的切线，交AC的延长线于点D，在AD上取一点E，使AEAB，连接BE，交O于点F 请补全图形并解决下面的问题：（1）求证：BAE2EBD；（2）如果AB5，sinEBD求BD的长 【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明BAE2BAF，再证明EBDBAF即可解决问题；（2）作EHBD于H由 sinBAFsinEBD，AB5，推出BF，推出BE2BF2，在 RtABF中，EHBEsinEBH2，推出BH4，由EHAB，推出，由此即可求出DH解决问题；【解答】（1）证明：连接AF AB是直径，AFB90
2、，AFBE，ABAE，BAE2BAF，BD是O的切线，ABD90，BAF+ABE90，ABF+EBD90，EBDBAF，BAE2EBD （2）解：作EHBD于H BAFEBD，sinBAFsinEBD，AB5，BF，BE2BF2，在 RtABF中，EHBEsinEBH2，BH4，EHAB，DH，BDBH+HD【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直径三角形解决问题，属于中考常考题型 2如图，P是所对弦AB上一动点，过点P作PCAB交于点C，取AP中点D，连接CD 已知AB6cm，设A，P两点间的距离为xcm，CD两点间的距
3、离为ycm（当点P与点A重合时，y的值为 0；当点P与点B重合时，y的值为 3）小凡根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究 下面是小凡的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y/cm 0 2.2 2.9 3.2 3.4 3.3 3（2）建立平面直角坐标系，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合所画出的函数图象，解决问题：当C30时，AP的长度约为 3.3 cm 【分析】（1）根据对称性可知：当x2 和x4 时，PABP2，因为PCAB，PCAB，即可推出PCP
4、C，再利用勾股定理即可解决问题；（2）利用描点法即可解决问题；（3）函数图象与直线yx的交点的横坐标即为PA的长，利用图象法即可解决问题；【解答】解：（1）如图，根据对称性可知：根据对称性可知：当x2 和x4 时，PABP2，PCAB，PCAB，PCPC，CD2.9 故答案为 2.9（2）利用描点法画出图象如图所示：（3）当DCP30时，CD2PD，即yx，观察图象可知：与函数图象与直线yx的交点为（3.3，3.3），AP的长度为 3.3【点评】本题属于圆综合题，考查了勾股定理，函数图象，直角三角形 30 度角的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用对称性解决问题，学会利用图象法解决问题，
5、属于中考压轴题 3如图，ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且ADCE，连接BD，AE相交于点F（1）BFE的度数是 60；（2）如果，那么 1；（3）如果时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证明 【分析】（1）易证ABDACE，可得DAFABF，根据外角等于不相邻两个内角的和即可解题（2）如图 1 中，当时，由题意可知：ADCD，BECE利用等腰三角形的性质即可解决问题；（3）设AFx，BFy，ABBCACnADCE1，由ABDCAE，推出BDAE，设BDAEm，利用相似三角形的性质，列出关系式即可解决问题；【解答】解：（1）ABC是等边三角形，ABAC，BADC6
6、0，在ABD和ACE中，ABDACE（SAS）DAFABD，BFEABD+BAFDAF+BAFBAD60，故答案为：60 （2）如图 1 中，当时，由题意可知：ADCD，BECE ABC是等边三角形，BEEC，ADCD，BAEBAC6030，ABDABC30，FABFBA，FAFB，1 故答案为 1 （3）设AFx，BFy，ABBCACnADCE1，ABDCAE，BDAE，DAFABD，设BDAEm，ADFBDA，ADFBDA，FBECBD，BFEC60，BFEBCD，得到：，【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质的等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解
7、决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题 4对于平面直角坐标系xOy中的点P和C，给出如下定义：若C上存在一个点M，使得MPMC，则称点P为C的“等径点”，已知点D（，），E（0，2），F（2，0）（1）当O的半径为 1 时，在点D，E，F中，O的“等径点”是 D，E；作直线EF，若直线EF上的点T（m，n）是O的“等径点”，求m的取值范围（2）过点E作EGEF交x轴于点G，若EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，求这个圆的半径r的取值范围【分析】（1）根据“等径点”的定义可知，“等径点”到圆心的距离小于等于圆的半径的 2 倍，由此即可判定；如图 2 中，设直线EF交半径为 2 的O
8、于点K，连接OK，作KMOF于M当点T在线段FK上时，点T是“等径点”，求出点K的坐标即可解决问题；（2）因为EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，所以这个圆的圆心Q是线段FG的中点，易知Q（2，0），设这个圆的半径为r根据QG2r，构建不等式即可解决问题；【解答】解：（1）根据“等径点”的定义可知，“等径点”到圆心的距离小于等于圆的半径的 2 倍即半径为 1 的O的“等径点”在以O为圆心 2 为半径的圆内或圆上 如图 1 中，观察图象可知：在点D，E，F中，O的“等径点”是D，E 故答案为D，E；如图 2 中，设直线EF交半径为 2 的O于点K，连接OK，作KMOF于M OF2，OE2
9、，tanEFO，OFK60，OFOK，OFK是等边三角形，OFOKFK2，KMOF，FMOM1，KM，K（1，），当点T在线段FK上时，点T是“等径点”，2m1 （2）如图 3 中，EFG是直角三角形，FEG90，EFG60，EF2OF4，FG2EF8，OG6，由题意EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，这个圆的圆心Q是线段FG的中点，Q（2，0），设这个圆的半径为r 由题意：QG2r 42r，r2，即这个圆的半径r的取值范围为r2【点评】本题属于圆综合题，考查了“等径点”的定义，解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题
10、，属于中考压轴题 5如图，AB是O的弦，半径OEAB，P为AB的延长线上一点，PC与O相切于点C，CE 与AB交于点F（1）求证：PC=PF；GFAPCBEO（2）连接OB，BC，若/OBPC，3 2BC，3tan4P，求FB的长.5（本小题满分 6 分）（1）证明：如图，连接OC OEAB，90EGF PC与O相切于点C，=90OCP 1 分 90EEFGOCFPCF OEOC，EOCF 2 分 EFGPCF 又EFGPFC，PCFPFC PCPF 3 分（2）方法一：解：如图，过点B作BHPC于点H OBPC，90OCP，FEPBAOC90BOC OBOC，45OBCOCB 45BCHOB
11、C 在RtBHC中，3 2BC，可得sin45BHBC3，cos45CHBC3.4 分 在RtBHP中，3tan4P，可得4tanBHPHP.5 分 225BPPHBH 7PCPHCH PFPC 2FBPFPBPCPB6 分 方法二：解：如图，过点C作CHAP于点H OBPC，90OCP，90BOC OBOC，45OBCOCB 在RtOBC中，3 2BC，可得sin45OBBC3 4 分 3OEOB GBOP，3tan4P，GHFAPCBEOGHFAPCBEO3tan4GBO 在RtGBO中，tanOGGBOGB，3OB 95OG，125GB 5 分 65EGOEOG 在RtCHP中，tanC
12、HPPH，222CHPHPC 设3CHx，则4PHx，5PCx PCPF，FHPFPHx EFGCFH，90EGFCHF，EGFCHF 13FGFHEGCH 1235FGEG 2FBGBFG 6 分 6在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 G：224844yxaxa，(1,0),(,0)AN n（1）当1a时，求抛物线 G 与x轴的交点坐标；若抛物线 G 与线段AN只有一个交点，求n的取值范围；（2）若存在实数a，使得抛物线 G 与线段AN有两个交点，结合图象，直接写出n的取值范围【解答】：（1）当1a时，248yxx 1 分 当0y 时，2480 xx，解得10 x，22x 抛物线G与x轴的
13、交点坐标为0 0，2 0，2 分 当0n时，抛物线G与线段AN有一个交点 当2n时，抛物线G与线段AN有两个交点 结合图象可得02n 4 分（2）3n或1n 6 分（2）解析：y=4x2-8ax+4a2-4，y=2(x-a)2-4,顶点(a,-4)，x1=a+1，x2=a-1 若抛物线与 x 轴交于 E、F 两点，则 EF=x1-x2=2 AN=xA-xN=n+1 ANEF 时，线段 AN 与抛物线 G 有两个交点，即 n-3 或 n1。xy12345123451234512345O7（5 分）在平面直角坐标 xOy 中的第一象限内，直线 y1=kx（k0）与双曲 y2=（m0）的一个交点为
14、A（2，2）（1）求 k、m 的值；（2）过点 P（x，0）且垂直于 x 轴的直线与 y1=kx、y2=的图象分别相交于点 M、N，点 M、N 的距离为 d1，点 M、N 中的某一点与点 P的距离为 d2，如果 d1=d2，在下图中画出示意图并且直接写出点 P 的坐标 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）构建方程即可解决问题；【解答】解：（1）直线 y1=kx（k0）与双曲 y2=（m0）的一个交点为 A（2，2），k=1，m=4，（2）直线 y1=x，y2=，由题意：x=x 或 x=，解得 x=或，x0，x=或 2，P（，0）或（2，0）【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点
15、问题，解题的关键是学会利用构建方程的思想思考问题，属于中考常考题型 8（6 分）如图 1，点 C 是O 中直径 AB 上的一个动点，过点 C 作 CDAB 交O 于点 D，点 M 是直径 AB 上一固定点，作射线 DM 交O 于点 N已知 AB=6cm，AM=2cm，设线段 AC 的长度为 xcm，线段 MN 的长度为 ycm 小东根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量的变化而变化的规律进行了探索 下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了与 y 的几组值，如下表：x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y/cm 4 3.3 2.8 2.5 3 2.1 2（说明：补全
16、表格时相关数值保留一位小数）（2）在图 2 中建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当 AC=MN 时，x 的取值约为 2.7 cm【分析】（1）如图 11 中，连接 OD，BD、AN 利用勾股定理求出 DM，致力于相似三角形的性质求出 MN 即可；（2）利用描点法画出函数图象即可；（3）利用图象寻找图象与直线 y=x 的交点的坐标即可解决问题；【解答】解：（1）如图 11 中，连接 OD，BD、AN AC=4，OA=3，OC=1，在 RtOCD 中，CD=，在 RtCDM 中，DM=，由AMNDMB，可得 DMMN=
17、AMBM，MN=3，故答案为 3 （2）函数图象如图所示，（3）观察图象可知，当 AC=MN 上，x 的取值约为 2.7 故答案为 2.7【点评】本题考查圆综合题、勾股定理、相似三角形的判定和性质、描点法画函数图象等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题 9（7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示（1）求二次函数的表达式；（2）函数图象上有两点 P（x1，y），Q（x2，y），且满足 x1x2，结合函数图象回答问题；当 y=3 时，直接写出 x2x1的值；当 2x2x13，求 y 的取值范围 【分析
18、】（1）利用图中信息，根据待定系数法即可解决问题；（2）求出 y=3 时的自变量 x 的值即可解决问题；（3）当 x2x1=3 时，易知 x1=，此时 y=2+3=，可得点 P 坐标，由此即可解决问题；【解答】解：（1）由图象知抛物线与 x 轴交于点（1，0）、（3，0），与 y 轴的交点为（0，3），设抛物线解析式为 y=a（x1）（x3），将（0，3）代入，得：3a=3，解得：a=1，抛物线解析式为 y=（x1）（x3）=x24x+3；（2）当 y=3 时，x24x+3=3，解得：x1=0，x2=4，x2x1=4；当 x2x1=3 时，易知 x1=，此时 y=2+3=观察图象可知当 2x2
19、x13，求 y 的取值范围 0y【点评】本题考查二次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 10（8 分）以点 P 为端点竖直向下的一条射线 PN，以它为对称轴向左右对称摆动形成了射线 PN1，PN2，我们规定：N1PN2为点 P 的“摇摆角”，射线 PN 摇摆扫过的区域叫作点 P 的“摇摆区域”（含 PN1，PN2）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（2，3）（1）当点 P 的摇摆角为 60时，请判断 O（0，0）、A（1，2）、B（2，1）、C（2+，0）属于点 P 的摇摆区域内的点是 B、C（填写字母即可）；（2）如果过点 D（1，0），点
20、 E（5，0）的线段完全在点 P 的摇摆区域内，那么点 P 的摇摆角至少为 90；（3）W 的圆心坐标为（a，0），半径为 1，如果W 上的所有点都在点 P 的摇摆角为 60时的摇摆区域内，求 a 的取值范围 【分析】（1）根据点 P 的摇摆区域的定义出图图形后即可作出判断；（2）根据题意分情况讨论，然后根据对称性即可求出此时点 P 的摇摆角；（3）如果W上的所有点都在点P的摇摆角为60时的摇摆区域内，此时W 与射线 PN1相切，设直线 PN1与 x 轴交于点 M，W 与射线 PN1相切于点 N，P 为端点竖直向下的一条射线 PN 与 x 轴交于点 Q，根据特殊角锐角三角函数即可求出 OM，O
21、W 的长度，从而可求出 a 的范围【解答】解：（1）根据“摇摆角”作出图形，如图所示，将 O、A、B、C 四点在平面直角坐标系中描出，后，可以发现，B、C 在点 P 的摇摆区域内，故属于点 P 的摇摆区域内的点是 B、C（2）如图所示，当射线 PN1过点 D 时，由对称性可知，此时点 E 不在点 P 的摇摆区域内，当射线 PN2过点 E 时，由对称性可知，此时点 D 在点 P 的摇摆区域内，易知：此时 PQ=QE，EPQ=45，如果过点 D（1，0），点 E（5，0）的线段完全在点 P 的摇摆区域内，那么点 P 的摇摆角至少为 90（3）如果W上的所有点都在点P的摇摆角为60时的摇摆区域内，此
22、时W 与射线 PN1相切，设直线 PN1与 x 轴交于点 M，W 与射线 PN1相切于点 N，P 为端点竖直向下的一条射线 PN 与 x 轴交于点 Q，由定义可知：PMW=60，NW=1，PQ=3，sinPMW=，tanPMW=MW=，MQ=，OM=2，OW=OM+MW=2+=2 此时 W 的坐标为：（2，0）由对称性可知：当W 与射线 PN2相切时，此时 W 的坐标为：（2+，0）a 的范围为：2a2+【点评】本题考查圆的综合问题，涉及勾股定理，锐角三角函数，圆的切线判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用知识 11（5 分）点 P（1，4），Q（2，m）是双曲
23、线 y=图象上一点（1）求 k 值和 m 值（2）O 为坐标原点过 x 轴上的动点 R 作 x 轴的垂线，交双曲线于点 S，交直线 OQ 于点 T，且点 S 在点 T 的上方结合函数图象，直接写出 R 的横坐标 n 的取值范围 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用图象法即可解决问题；【解答】（1）解：点 P（1，4），Q（2，m）是双曲线 y=图象上一点 4=，m=，k=4，m=2（2）观察函数图象可知，R 的横坐标 n 的取值范围：0n2 或 n2 【点评】本题考查反比例函数图象上点的特征、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 12（5 分
24、）小明同学要测量学校的国旗杆 BD 的高度如图，学校的国旗杆与教学楼之间的距 AB=20m小明在教学楼三层的窗口 C 测得国旗杆顶点 D 的仰角为 14，旗杆底部 B 的俯角为 22（1）求BCD 的大小（2）求国旗杆 BD 的高度（结果精确到 1m 参考数据：sin220.37，cos220.93，tan220.40，sin140.24，cos140.97，tan140.25）【分析】（1）过 C 作 CEAB 交 BD 于 E根据题意可得答案；（2）在 RtCEB 中，利用三角函数可得 tanECB=，代入数据可得 BE 的长，然后在 RtCED 中可得 tanDCE=0.25，进而可得
25、ED 长，再求和即可【解答】解：（1）过 C 作 CEAB 交 BD 于 E 由已知，DCE=14，ECB=22，DCB=36；（2）在 RtCEB 中，CEB=90，AB=20，ECB=22，tanECB=0.4，BE8，在 RtCED 中，CED=90，CE=AB=20，DCE=14，tanDCE=0.25，DE5，BD13，国旗杆 BD 的高度约为 13 米 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决 13（5 分）如图，AB 是O 的直径，C、D 是O 上两点，=过点 B 作O 的切线，连接 AC 并延长交于点 E，连接
26、AD 并延长交于点F（1）求证：AC=CE（2）若 AE=8，sinBAF=求 DF 长 【分析】（1）连接 BC，想办法证明 AC=BC，EC=BC 即可解决问题；（2）首先证明DBF=BAF，可得 sinBAF=sinDBF=，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：连结 BC AB 是 的直径，C 在O 上 ACB=90，=，AC=BC CAB=45 AB 是O 的直径，EF 切O 于点 B，ABE=90，AEB=45，AB=BE，AC=CE （2）在 RtABE 中，ABE=90，AE=8，AE=BE AB=8，在 RtABF 中，AB=8，sinBAF=，解得：BF=6，连结 BD，则ADB=FDB=90，BAF+ABD=90，ABD+DBF=90，DBF=BAF，sinBAF=，sinDBF=，=，DF=【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型