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1、2021年全国甲卷高考文科数学试题解析1 .设集合用=1,3,5,7,9 ,N=x|2 x 7 ,则Mp|N=()A.7,9 B.5,7,9 C.3,5,7,9 D.1,3,5,7,9【答案】B【解析】求出集合N 后可求McN.【解析】N=g,+8),故MCN=5,7,9,故选：B.2 .为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是()A.该地农户家庭年收入低于4.5 万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于1 0.5 万元的农户比率估计为1 0%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5 万元D.估计该
2、地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5 万元至8.5 万元之间【答案】C【解析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定A B D,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定c.【解析】因为频率直方图中的组距为1,所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.0 2 +0.0 4=0.0 6=6%,故A正确；该地农户家庭年收入不低于1 0.5万元的农户比率估计值为().0 4+().0 2 x 3 =0.1 0 =
3、l()%,故B正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.1 0+0.1 4+0.2 0 x 2 =().64=64%5 0%，故 D 正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为3x0.02+4x0.04+5x0.10+6x0.14+7x0.20+8x0.20+9x0.10+10 x0.10+11x0.()4+12x0.02+13x0.02+14x0.02=7.68(万元)，超过6.5万元，故C错误.综上，给出结论中不正确的是C.故选：C.3.已知(l i)2 z =3 +2 i,贝i j z=()A.-l-z B.-l +-z C.-+/2 2 232【答案】B【
4、解析】由已知得2 =根据复数除法运算法则，即可求解.-2 z【解析】(l i)2 z =2 i z =3 +2 i,3 +2 i (3 +2 z)-z 2 +3 i ,3 .-2 z -2 i-i 2 2故选：B.4.下列函数中是增函数的为()A.f(x)=-x B./(x)=|C./(x)=x21 3 J/(x)=五D.D.【答案】D【解析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.【解析】对于A,7(x)=-X为R上的减函数，不合题意，舍.对于B,=为R上的减函数,不合题意,舍.对于C,/()=%2在(-8,0)为减函数，不合题意，舍.对于D,为R上的增函数，符合题意，故选：D.5.
5、点(3,0)到双曲线看-卷=1的一条渐近线的距离为()9 8 6 4A.-B.一 C.-D.一5 5 5 5【答案】A【解析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.2 2【解析】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：二 一 匕=0,即3 x 4y =0,1 6 9结合对称性，不妨考虑点(3,0)到直线3 x +4y =0距离：d=的而=不故选：A.6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据/和小数记录表的数据/的满足L =5+l g V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视
6、力的小数记录法的数据为()(V 1 0 1.2 59)A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6【答案】C【解析】根 据 关 系，当L =4.9时，求出I g V,再用指数表示V,即可求解.【解析】由 L =5 +l g V,当 L =4.9 时，l g V =-0.1,则 V =1 0。1 1=1 0 1 0=，-,V 1 0 1.2 5 9 0.8.故选：C.7.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-瓦G后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）【答案】D【解析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判
7、断.【解析】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，所以其侧视图为故选：D8.在 A 5C中，已知 3=120,AC=M，AB=2,则 8 C=()A.1B.72C.小D.3【答案】D【解析】利用余弦定理得到关于况长度的方程，解方程即可求得边长.解析】设 A B -c,A C =b,B C -a,结合余弦定理：=a 2 +c 2 2 a c c o s 5可得：1 9 =/+4 2 x a x c o s l 2 0，即：/+2。1 5=0，解得：a=3(a =5舍去)，故 B C=3.故选：D.【解析】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：(1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形
8、的两边及其夹角求第三边及两角；(3)己知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形.9 .记S“为等比数列%的前项和.若$2=4,54=6,则$6=()A.7 B.8 C.9 D.1 0【答案】A【解析】根据题目条件可得s?,s4-s2,&-S 4成等比数列，从而求出S 6 -S 4 =l,进一步求出答案.(解析】s.为等比数列 ,的前项和，;.邑，S4-S2,$6-S 4成等比数列S2=4 ,S4-S2=6-4 =2S6 S4=11S6=1 +S4=1 +6 =7.故选：A.1 0 .将 3 个 1 和 2 个 0随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为()A.0.3 B.0.5 C.0.6
9、 D.0.8【答案】C【解析】利用古典概型的概率公式可求概率.【解析】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100,共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：01011,01101,01110,10101,10110,11010,共6种方法，故2个0不相邻的概率为9 =0.6，10故选：C.11.若a c 八0,乃一、,tan-2 a=-c-o-s-a-,则t ta n a=()V 2)2-sin aA屈 R 6 n A15 5 3 3【答案】A.k u一.,一 八 八 ，口
10、八 sin 2a 2 sin a cos a 人加【解 析】由 一 倍 角 公 式 可 得tan 2a=-=-,冉 结 合 已 知 可 求 得cos2a l-2sin asina=-,利用同角三角函数的基本关系即可求解.4.八 cos a【解析】.,tan2a=-2-sin a八 sin 2a 2 sin a cos a cos a/.tan 2a=-=-=-,cos2a l-2sin a 2-sina(八万、八 2sina 1 门.1,.a e 0,.cosawO,-z-=-，解得 sina=一,I 2)l-2sin a 2-sina 4r-yfi5 sin a A/L5cos a=VI-s
11、in a-，/.tan a-=-4 cos a 15故选：A.【解析】关键解析：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sincr.12.设“X)是定义域为K的奇函数，且/(l+x)=/(x).若/2针()D.53【答案】c【解析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得了(3)的值.【解析】由题意可得:=/1+1=/而*故选：C.【解析】关键点解析：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.1 3.若 向 量 满 足 卜|=3,卜一目=5,“4=1,则忖=.【答案
12、】3&【解析】根据题目条件，利用a模的平方可以得出答案【解析】.*-母=5,卜-q=a+h-2。石=9+忖-2 =25b=3 0.故答案为：372.1 4.已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为3()%则 该 圆 锥 的 侧 面 积 为.【答案】397【解析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.1 ,【解析】=万6 2/=30万31 5.已知函数/(x)=2cos x+)的部分图像如图所示,【解析】首先确定函数的解析式，然后求解/的值即可.【解析】由题意可得：-T =-T=7 r,a)=4 12 3 4 TW 13万,c 13 万 C 13当x=-口 寸，co
13、x+(p=2x-(p=2 K7 r.(P=2 k7 i-z12 12 6=2,(A:GZ),TT令攵=1可得：（p=一-2，6据此有：/（%）=2cos=2 c o s（2x5-看）=2 cos 石.故答案为：-布.【解析】已知/V）=Acos（o x+0）（4 0,。0）的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数。和血 常用如下两种方法：2万（1）由。=一 即 可 求 出。；确定。时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零T点“横坐标应，则 令 小%+0=0（或。=），即可求出。.（2）代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或 零点”）坐标代入解析式，再结
14、合图形解出3和0,若对4。的符号或对0的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.2 216.已知耳，心 为椭圆C：土+匕=1的两个焦点，只0为。上关于坐标原点对称的两点,16 4且|尸。|=山 周，则四边形PFYQF2的面积为_ _ _ _ _ _ _ _.【答案】8【解析】根据已知可得尸耳，尸死，设 6 1=机,12工1=，利用勾股定理结合根+=8,求出相，四边形P耳。鸟面积等于加，即可求解.【解析】因为P,Q为。上关于坐标原点对称的两点，且I PQH耳ZI,所以四边形尸身。死 为矩形，设|P耳|=m,PF2=n,则?+=&/+n2=4 8,所以 64 =（7 +=m2+2 mn+n2=
15、4 8+2 mn,=8,即四边形P片。鸟面积等于8.故答案为：8.三、解答题：共70分.解答应写出交字说明、证明过程程或演算步骤，第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有
16、差异？nad-bc)1(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（l）75%；60%；(2)能.【解析】根据给出公式计算即可【解析】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率 为 筮 =75%,乙机床生产的产品中的一级品的频率为也=60%.200 2 =4 00(15 0X80-12 0X5 0)2=4 00I0 6J63 5 1270 x130 x200 x200 39故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.18.记 5.为数列 4 的前项和，已知。“0,%=3%,且数列#：是等差数列，证明:4
17、是等差数列.【答案】证明见解析.【解析】先根据 求出数列#：的 公 差 进 一 步 写 出 n的通项，从而求出 叫的通项公式，最终得证.【解析】.数列 叵 等差数列,设公差为4=1s?-J 5 -Q%+4 -V=+(T)施=用，(e N*)S“=q 2,(H e N,).,.当 N 2 时，an=Sn-S,=atn2-q (-1)=2 atn-4当 =1 时，2q x l 4=4,满足a“=2q -q,；.%的通项公式为4 =2 4一4,(/ie N*)/.an-an_x=(26 _ 4)-2%(_ l)_ q =2q%是等差数列.【解析】在利用a=S“-S-求通项公式时一定要讨论n=1的特殊
18、情况.19.已知直三棱柱A B C A中，侧面A 4 4 8为正方形，A B =B C =2,E,尸分别为A C和C G的中点，B F L A .(1)求三棱锥产一E 3 C的体积;(2)已知为棱A 上的点，证明：B F L D E.【答案】(1)工；(2)证明见解析.3【解析】(1)首先求得/C的长度，然后利用体积公式可得三棱锥的体积；(2)将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的结论.【解析】(1)如图所示，连结4E由题意可得：3尸=5 西5 =1刁=6，由于 ABLBBx,BCLAB,B B B C =B ,故 AB _L平面 B C C
19、 ,而B F u平面BCG耳，故A3_L3F,从而有 AF=JAB2 +BF2=j4+5 =3,从而 AC=JAF2CF2=J I=2夜，则A B2+B C2=A C2,.A B I B C,A 3 c为等腰直角三角形，SAB C E=I c =；x；x2x2)=l,%B C=；x SBCE x CF=1 X 1 X 1 =1.(2)由(1)结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体ABCM-A 5G M,如图所示,取棱4 0,8 c的中点”,G,连结4“，G,G A，正方形B C G片中，G,F 为 中 点,则8 f _ L g G,又g n 4 G =g,故8/_ L平面A B】G H,而。
20、u平面A 4 G”，从而B F 上 DE.【解析】求三棱锥的体枳时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积.对于空间中垂直关系（线线、线面、面面）的证明经常进行等价转化.20.设函数f（x）=。2尤2+狈 一3111%+1,其中a0.（1）讨 论 的 单 调 性；（2）若y =/（x）的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.【答案】/（力 的减区间为（0,力，增区间为（5,+8）；（2）a；【解析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据/（1）0及（1）的单调性性可得了（x）m in 0,
21、从而可求a的取值范围.【解析】（1）函数的定义域为（0,+8）,又,r（2以+3）（T）X因为。0,工0,故2以+30,当0 c x e L 时，f(x),时，f(x)0；a a所以/(x)的减区间为(o,J ,增 区 间 为+8(2)因为/(1)=。2+。+10且y=f(x)的图与x轴没有公共点，所以y=/(x)的图象在X轴的上方，由(1)中函数的单调性可得/(x)m in=/()=3-31n =3+31na,故3+31na 0 即 a -.e【解析】方法解析：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.2 1.抛
22、物线C的顶点为坐标原点0.焦点在x轴上，直 线/：x =l交。于 只。两点，且O P L O Q.已知点M(2,0),且0M与/相切.(1)求C,Q M的方程；(2)设A，4,4是C上的三个点，直线A 4,44均 与 相 切.判 断 直 线&人 与的位置关系，并说明理由.【答案】(1)抛物线C：y 2=x,O”方程为(x 2)2 +y 2=i；(2)相切，理由见解析【解析】(1)根据已知抛物线与x =l相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出P,。坐标，由O P _ L O Q,即可求出；由圆M与直线x =l相切，求出半径，即可得出结论；(2)先考虑44斜率不存在，根据对称性
23、，即可得出结论；若斜率存在,由4,4,4三点在抛物线上，将直线4 4 2,4 4,4人3斜率分别用纵坐标表示，再由4 4,44与圆相切，得 出 必+%，%，/与)1的关系，最 后 求 出 点 到 直 线4A3的距离，即可得出结论.【解析】依题意设抛物线C:y 2=2 p x(p O),P(l,y o),Q(l，7 0)，.O P O Q,.O P O Q =l-y l=l-2 p O,:.2 p l,所以抛物线C的方程为V=x,M(0,2),G)M与x =l相切，所以半径为1，所 以 的 方 程 为(x 2)2 +y 2 =1 ；(2)设4(%)，402，%)，4(彳3，%)若A4斜率不存在，
24、则A&方程为=1或x=3,若A4方程为X=1,根据对称性不妨设A(1,1),则过A与圆M相切的另一条直线方程为y =1,此时该直线与抛物线只有一个交点，即 不 存 在 不 合 题 意;若A4方程为X =3,根据对称性不妨设4(3,7 3),A(3,G),则过A与圆“相切的直线A A 3为y-6 =3(x 3)，又L万一天 另+%G+%J,；.3=0,X-为 _ 1占=0,4(0,0),此时直线4 4,4A3关于%轴对称,所以直线44与圆M相切;若直线44,4 A 3,44斜率均存在,.1 ,则 陵=二 五 以为1 ,1V+V *2*3 V+V)1十%丁2十%1所以直线44方程为y-y =不 二
25、整理得 x-(M +%)，+乂=，同理直线A4的方程为x-(y +%)，+%=，直线44的方程为x-(%+%)，+%=，l+yxy21,4 4 与圆 M 相切，二 /,/、2=1”+(%+%)整理得（/-1）+3-y；=0 ,A4与圆M相 切,同 理（代一 D*+2必为+3-=0所以必，为为方程（弁-1）/+2%丁 +3-才=0的两根，2 y 3-/%+为=一一尸7，%为，y,-1 y I-1加 到 直 线44的距离为：|2 +i|）2+%1 ；y；T4+（%+%J 1 +（一看）2拘 1）2+44才+1，所以直线44与圆用相切：综 上 若 直 线 与 圆M相切，则直线44与圆”相切【解析】关
26、键点解析：（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示,将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充分利用4 4,A A 3的对称性，抽象出%+3%.%与%关 系，把%，%的关系转化为用力表示.（二）选考题：共 1 0 分.请考生在第2 2、2 3题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程2 2.在直角坐标系x O y中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=2 c o s 0.（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点4的直角坐标为（1,0），材为。上的动点，点 尸 满 足 丽=0 丽 写出尸
27、的轨迹G的参数方程，并判断C与G是否有公共点.【答案】1-夜J +y2=2；P的轨迹G的参数方程为，；二;2 +2c s(8为参数)，。与G没有公共点.【解析】(1)将曲线C的极坐标方程化为0?=2 0/7 8 5。，将=2 8 5仇丁=外 出。代入可得；设P(x,y),设M(0+J 5c o s6,J 5si n e),根据向量关系即可求得尸的轨迹G的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.【解析】(1)由曲线C的极坐标方程2=2、5 c o s6可得夕2 =2 c o s。，将尤=P(：05。,丁 =如。代 入 可 得/+丁=2 0%,即 +/2=2,即曲线C的直角坐标方程为1-、反
28、 了+2=2；(2)设P(尤,y),设M(J +J c o s。,AP=6.A就,(x-1,y)=/2/2 +/2 c o s s i n O =(2+2 cosO-j2,2 sin0,x-1 =2+2c o s6-应 x=3-/2 +2 cos0则 ，即 ，y=2si n y=2si n B故P的轨迹G的参数方程为一 一 3-鱼+2 c o s(为参数)y-2si n。曲线 的圆心为(J 5,o),半 径 为 石，曲线G的圆心为(3-0,0)，半径为2,则圆心距为3-2夜，.3-2及 2【解析】(1)分段去绝对值即可画出图像；(2)根据函数图像数形结和可得需将y=X)向左平移可满足同角，求得y=/(x+a)过时a的值可求.12-x,x2g(x)-|2x+3|-|2JC-1|=，3-4,x 24x+2,-x-2画出函数图像如下:(2)f(x +a)=x+a-2,如图，同一个坐标系里画出x),g(x)图像，y=/(x+a)是y=f(x)平移了同个单位得到，则要使/(x+a)2 g(x),需将y=/(x)向左平移，即。0,当 y=/(x+a)过 A(g,4时，|+。一 2 b 4,解得a=U或 一3(舍去),2 2 2则数形结合可得需至少将 =/(x)向左平移y个单位，,.a N T