《高考数学复习第09讲二次函数的双参数问题与整体加绝对值问题（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学复习第09讲二次函数的双参数问题与整体加绝对值问题（解析版）.pdf（26页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 09讲 二 次 函 数 的 双 参 数 问 题 与 整 体 加 绝 对 值 问 题【典 型 例 题】例 1.(2022秋 湖 州 期 末)设 a,b s R,若 函 数/(x)=x+匕 在 区 间(1,2)上 有 两 个 不 同 的 零 点，贝 ija+b的 取 值 范 围 是(A.(0,1)B.(-1,0)C.(0,2)D.(-2,0)【解 析】解：函 数 函 数/(幻=*+色+6 在 区 间(1,2)上 有 两 个 不 同 的 零 点,即 方 程 f+6 x+a=0 在 区 间(1,2)上 两 个 不 相 等 的 实 根,1 22=0,l+b 04+28+。0如 图 画 出 数 对 3
2、 力)所 表 示 的 区 域，目 标 函 数 2=+。一.z 的 最 小 值 为 z=a+Z?过 点(1,-2)时，z 的 最 大 值 为：z=a+力 过 点(4,-4)时，.Q+0 的 取 值 范 围 为(1,0)故 选：B.1+a+b=0例 2.(2022上 海)设 a、b e R,若 函 数 f(x)=x+0+匕 在 区 间(1,2)上 有 两 个 不 同 的 零 点，则/(1)的 取 值 范 围 为【解 析 1 解：函 数/(x)=x+0+b 在 区 间(1,2)上 有 两 个 不 同 的 零 点，X即 方 程*2+反+。=0 在 区 间(1,2)上 两 个 不 相 等 的 实 根 不
3、，x2,则 有%+=一。，xtx2=af(1)=a+/?+l=-X+1=(芭-1)(1)*x,-1 e(0,1),x,-le(0,l),/.(x,-l)(x2-1)e(0,1.：.f(1)的 取 值 范 围 为(0,1),故 答 案 为：(0,1).例 3.(2022春 下 城 区 校 级 期 中)设 二 次 函 数/*)=0%2+(2匕+1口-“一 2 3，bwR,awO)在 3,4上 至 少 有 一 个 零 点，则/+从 的 最 小 值 为 _ L.io。一【解 析】解：把 等 式 看 成 关 于“，的 直 线 方 程：(x2-l)+2xb+x-2=0,由 于 直 线 上 一 点(a,b)
4、到 原 点 的 距 离 大 于 等 于 原 点 到 直 线 的 距 离，即 y/a2+b2.,m,J，-1)?+(2x)2+b掘,(匚 2)3=-L,，一 1)2+(2x)2 U_2+_5_+4)2 100 x 25 2 a因 为 x-2+二 一 在 xe3,4是 减 函 数，上 述 式 子 在 x=3,a=-,人=-二 时 取 等 号，x-2 25 50故/+的 最 小 值 为 _L.100故 答 案 为：100例 4.(2022浙 江 模 拟)已 知 函 数 f(x)=ax1+bx+c(a w 0),对 一 切 xe-l,1,都 有|/(x)|1,则 当 x-2,2时，2x)的 最 大 值
5、 为 7.f(1)=a+b+c【解 析】解：由 题 意,f(-l)=a-h+c,/(0)=c=+/(-D-2/(0)有 得=-，(一 1)c=/(0)所 以 x)=/(王 产)+/(-1)(三 三)+/(0)(1-丁)对 一 切 xe-l,1,都 有|/(x)|”1I 2 2 2 2所 以 当 时，(X)圈“二+|/(-1)|三 N+|f(o)|x2|)|三 F+三 三+”乙 I 乙 乙 乙=()+()+,-1)=2/一 L,72 2当 1X,2时，圈/卜|/(一 1)|卜|0)|*x1)|卜+1-司=(=)+(=？)+(1)=2d-L,72 2综 上 所 述，当 xe-2,2时，f(x)的
6、最 大 值 为 7.例 5.(2022浙 江)设 函 数/(*)=芯+ax+b3,1eR).(I)当 匕=.+1时，求 函 数 f(x)在-1,1 上 的 最 小 值 g(a)的 表 达 式.(II)已 知 函 数/(x)在-1,1 上 存 在 零 点，喷 必-2a 1,求 b 的 取 值 范 围.【解 析】解：(I)当 6=?+1时，f(x)=(x+y+1,对 称 轴 为 x=,2当 6,-2 时，函 数 f(x)在-1,1 F：递 减，则 g(a)=f(1)=+a+2；4当 一 2 凡 2 时，即 有-L,一 微 2 时，函 数 在 一 1,1 上 递 增，则 g(a)-/(-1)=-a+
7、2.42a-八 c-F Q+2,C L,24综 上 可 得，g(a)=1,-2 2I 4(n)设 s,f是 方 程 y(x)=o的 解,且 一 掇 1 1 i.由 于 喷 心 一 2。1,由 此 言 融 界 一 剧】)，当 噫 力 1时,9/2二 轰 h7+2 1+2由-2 麴 2 0,由=9-(2。+2)+9 9-2 而，3 f+2 f+2 f+2得 领 仁 2 9-4 石，3 t+2所 以 二 釉 9-4后;3当 T,。时，密 噩-2t27+2-2/t-2f之 由 于 一 2,0和 一 3,-0,所 以 T,8(),t+2 t+2故 匕 的 取 值 范 围 是-3,9-4 7 5.例 6.
8、(2022衢 州 模 拟)已 知 二 次 函 数/(=加+法+,a,b,c e R(I)当 a=l时，/(x)1的 解 集 相 同，求 函 数/(x)的 解 析 式;x-2(I I)若 恒 成 立,求 的 取 值 范 围;(I I I)在(I I)条 件 下 若 g(x)=2ox+b(ll),求 证:当|x|,1 时，|g(幻 I,2%.【解 析】解：(/)的 解 集 是 x|2x/(-I)=a b+c,：.2a=f(1)+/(-D-2/(0),又|/(x)|,l,:f(1)|1,|/(-l)|l.l/(0)|l,-12 a|=|/(1)+/(-D-2/(0)|f(1)|+|/(-l)|+2|
9、/(0)|4,.-2釉 2；(/)/(0)=c,f(1)=a+b+c f-Y)=a-h+c,/(0)=ca=W)+/(T)l-O)由 f()=a+b+c 得，/(-I)=a-b+cc=/(0)g(1)=布+6=%(1)+/(-D-/t/(0)+-/(1)-/(-D Ig(-l)=-Aa+h=(-f(1)+/(-1)+2/(0)+/(I)-/(-I)2 1.f(1)|1,|/(-l)|l.|/(0)|l,.lg H 等/+/(一 1)一 处(0)|,号+4=22U(-D I=I/(1)一 手/(一 1)+几/(0)|,甘+等+4=22g(x)是 关 于 x 的 一 次 函 数,由 一 次 函 数
10、 的 单 调 性 得:当 时，|g(x)|,2 a例 7.已 知 二 次 函 数/(x)=ax2+bx+c(a 0)(1)若 不 等 式/(x)0 的 解 集;(2)若 函 数/(x)的 图 象 与|y|=|x|的 图 象 没 有 公 共 点，求 证：V x e R,都 有|/(x)|一(3)若 当-掇/1时，都 有-掇 jT(x)1,求 证：当-2效 k 2 时，都 有-7颔(x)7.【解 析】解：(I)根 据 条 件 知，a 0得：-6ax2-ca+a0,。0：国 军 得 x 一；.原 不 等 式 的 解 集 为：(-O O,(2)证 明：根 据 条 件 知，a v O,且 当/(九)的
11、对 称 轴 为 y 轴，即 x=0,旦/(%)和 y=%相 切 时/(幻 取 到 最大 值;又 寸 称 轴 工=0./?=(),设 y=/(x)，2a将 y=x 代 入 丫=以 2+C 得，ax2-x+c=O,该 方 程 有 二 重 根;/.=14ac=0;1/.c=；4a/(x)和 y=x 没 有 公 共 点:此 时，函 数/(X)=CVC H-=1即 j；I 467 I(3)证 明:由 已 知 条 件 知/(x)=a?+bx+c(awO),且 f(1)|1,|/(-l)|l,定 义 域 为 T,U；/Jc|1,|iz+/?+c|1,a-b+c,.；|f(2)|=|4a+2Z?+c|=|3(
12、a+/?+c)+(a-b+c)-3c|勉 j=|3(a+b+c)|+|(a-力+c)|+|-3c|3+l+3=7；.I f(2)|7；/.-2!k 2 时，有 一 7颗(%)7.【同 步 练 习】一.选 择 题 1.(2022春 宁 波 期 末)已 知 关 于 x 的 二 次 方 程 加+法+c=0(a0,b,R)在 区 间(0,2)内 有 两 个 实 根,若 卜，125a+10h+4c.4则 实 数。的 最 小 值 为()D.1625【解 析】解：设/(x)=a(x-p)(x-q)(p,q(0,2),|25a+10+4c.4apq.1，a(2.5 一 p)(2.5-q).A,1p(2.5-p
13、)q(2.5-4).p(2.5-p)q(.2.5-q),当 且 仅 当 p=g=1.25 时 取 等 号,2562 256c i.:-，62516.ci,.；,25实 数。的 最 小 值 为 竺，25故 选：D.2.(2022春 滩 溪 县 期 末)用 反 证 法 证 明 命 题”在 函 数 f(x)=Y+px+q 中，f(1)|,f(2)|,f(3)至 少 有 一 个 不 小 于 J.”时，假 设 正 确 的 是()2A.假 设|/(1)|,|/(2)|,|/(3)|至 多 有 一 个 小 于 gB.假 设|,(2)|,|/(3)|至 多 有 两 个 小 于;C.假 设(1)|,|/(2)|
14、,|/(3)|都 不 小 于 2D.假 设(1)|,(2)|,|/(3)|都 小 于 g【解 析】解：用 反 证 法 证 明 数 学 命 题 时，应 先 假 设 要 证 的 结 论 的 反 面 成 立，而“1/(1)|,1/(2)|)|/(3)|至 少 有 一 个 不 小 于 1”的 否 定 为：21/I-1/(2)|.|/(3 都 小 于 g,故 选：D.二.填 空 题 3.(2022 镇 海 区 校 级 模 拟)若 函 数/(犬)=+(：+4)；1+6在-1,1 上 有 零 点，则“2-3 的 最 小 值 为 _-g_.【解 析】解：函 数/(x)=f+g+a)x+Z,在-1,1 上 有
15、零 点，可 得 即 3+%.你，32 4且 f(1)f(1),()，即(-a+/?)(+4+b),0;或 f(1).0,62 4K|J c i Z?,ci+h.,7 6z 5.3 3即 有 万 一 3引 邮 一 1 4=-（-02-13当 且 仅 当 4=1时，取 得 最 小 值-,3故 答 案 为：-工.34.(2022秋 金 山 区 期 末)关 于 x 的 方 程/+奴+。_ 3=0(4力 朽 在 1,2 上 有 实 根，则+(6-4)?的 最 小 值 为 2.【解 析】解：由 X?一 3=0,知=一 万 2-6+3,所 以 a2+（6-4）2 _a2+（_ f _以 _）2 _a2+（*
16、2+1）2+2a x（2+D+八 2=(x2+l)(x2+1+2ax+a2)=(x2+l)(x+a)2+x2+1,因 为 x w l,2,所 以 a?+(b-4)2朦 2+1 2,当 x=l，a=1 h=3时，等 号 成 立，所 以 6+仍-4 y 的 最 小 值 为 2.故 答 案 为：2.5.(2022春 湖 州 期 末)若 关 于 x 的 方 程/+以+6=0(41wR)在 区 间 1,3 有 实 根，则/+(6-2)2最 小 值 是-2-【解 析】解：由 题 意，将 x2+ar+b=0(a,beR),看 作 关 于 a,人 的 直 线 方 程，则 a2+(b-2)2表 示 点(a,6)
17、到(0,2)的 距 离 的 平 方，因 为 点(0,2)到 直 线 ar+6+d=0 的 距 离 d=岸,又 函 数-=在 1,3 上 递 增，y/X2+1/x2+1所 以 当 x=l时，S所 以/+S-2)2最 小 值 为.故 答 案 为：26.(2022秋 沐 阳 县 校 级 月 考)已 知 函 数 f(x)=2苏+加-3a+1,当 xw-4,4时,/(戏.0恒 成 立，则 5a+b最 小 值 为.-3-【解 析】解：方 法 一：由 题 意，/(0).0成 立，所 以 q,b f%时，则 问 题 等 价 于 4a”(1)或 4a(2)或/(_幺).0(3)3(/(-4).0(/(4).0
18、皿(1)6a-b,029。一 4+1.0对 应 的 区 域 如 图 所 示,由 图 知，直 线 z=5a+h经 过 点 0(0,0)时，取 得 最 小 值 0；(2)16a+b,029Q+4/2+1.0对 应 的 区 域 如 图 所 示,由 图 知，直 线 z=5a+6经 过 点 A(-L-3)时，取 得 最 小 值-口；35 35 35(3)24a2-8+尻,0,对 应 的 区 域 如 图 所 示,由 图 知，直 线 z=5a+6经 过 点 B(L,-上)时，取 得 最 小 值-,；21 21 3 右。时，问 题 等 价 于 L 对 应 的 区 域 如 图 所 示,由 图 知，直 线 z=5
19、a+b 经 过 点 C(0,)时，取 得 最 小 值 一 工，4 4综 上，a=,八-2 时，取 得 最 小 值 L21 21 3方 法 二：由/(x)=2or2+版 一 3。+1,X G-4,4,得(2x?-3)a+xb+L.O,令 至 二 2=2,则 x=3 或-1,x 1 2因 为 当 4时，/(X).0恒 成 立，所 以 当 x=3时，3(5+勿 庞-l=5a+6当 x=时，(L-3)a-h+5 a+b 2,2 2 2所 以 54+-1,2,3所 以 5a+6 最 小 值 为-.37.（2022温 州 模 拟）已 知 函 数*）=/+办+。（“、力 e R）在 区 间 0,1 上 有
20、零 点，则 的 最 大 值 是 一 4【解 析】解：-函 数/（幻=/+奴+以 4、be/?）在 区 间 0,1 上 有 零 点,2(1)若=(),即 6=(时，/(x)的 零 点 为 x=4，.朦 J-0 1,即 2釉 0,2 O.cib=,4.当 a=0 时，时 取 得 最 大 值 0；(2)若(),即 土，4 若 函 数/。)=*2+奴+夙 4、bwR)在 区 间 0,1 上 有 一 个 零 点，则/()/1)0,.6(1+。+/?),0，即 b+她,0,.,.她，-b1-h=-(b+-)2+-,2 4.的 最 大 值 是 工：4 若 函 数/。)=/+奴+仇 a、8eR)在 区 间 0
21、,1 上 有 两 个 零 点,=a2-4 b 0f(O)=b.Of 0)=+a+b.0 即，12a2 46b.O。+6 1一 2釉 0显 然 她,0，综 上，油 的 最 大 值 为 2.48.(2022绍 兴 一 模)已 知 a,be RS.+b 1,函 数/(x)=x?+ov+6 在-；则 a-2b的 取 值 范 围 为 01 _.,0 上 至 少 存 在 一 个 零 点,【解 析】解：由 题 意，要 使 函 数/(x)=/+a r+匕 在 区 间 0 有 零 点,只 要/(一 5/(0)，0,或，/(O)=/z.O/(_g)=；_ga+A.01 a,、Q其 对 应 的 平 面 区 域 如
22、下 图 所 示:当 a=0，=0时，a-力 取 最 小 值 0,所 以 a-4 的 取 值 范 围 为 0,1；故 答 案 为：0，1.9.（2022春 宁 波 期 末）已 知 函 数/（）=%2+公+伙/?）在 区 间（0,1 上 有 零 点 与，则 最 大 值 是 一 144 的【解 析】解：由/（毛）=0得 6=一 片 一 期），/.ab=-ax-a2x0=x）a（-x0-a）l,.（当 且 仅 当 a=-x（-a 即 为=-2 a 时 取 等 号）4 4“吟 予+都 令 g（*o）=5 则 g（x。）=石-XO+=xo（xo-g）（x。-g）g（x。）在（0,9 上 单 调 递 增，在
23、（；，$上 单 调 递 减，在 彳，1）上 单 调 递 增，又 gd)=_ L,g L3 324 4 3 9 36二.g（天）的 最 大 值 为 L.+-)的 最 大 值 为，x-L4 9x0 3 4 36 144故 答 案 为:1U410.（2022秋 台 州 期 末）关 于 X 的 方 程 d+如+3+2=0有 实 根，则/+从 的 最 小 值 为 4x2 x 5-【解 析】解：设/（X）=f+ac+，+/）=0 有 实 根 X X即（x+）2+“（X+3+匕-2=0有 实 根，即 方 程 至 少 有 一 根 大 于 等 于 2 或 小 于 等 于-2，X X令 f=工+工，X设 g(f)
24、=r+a t+b-2,则 有:=。2-40+8.0,九 1+%2=，王 务=力 一 2 由 可 得|。|.4或|a|,4且 七,6,g(t)=t2+at+b-2=0,有 两 根，分 别 为 _色 _ 4.2)、，+J八 4 T,2 2 2 2分 析 可 得 有-幺-&H),-2或+&(-2)2,2 2 2 2化 简 得 为-A.2 其 中 4 3-2）.0,若 b一 2 则 2a-。.2可 化 为 片 肥+b+l 4 s-2）相 等 情 况 为 6=64则 可 设 2=Z?+2+其 中 p.0则/+匕 2=1+1）,分 析 可 得=0时，4?+的 最 小 值 为 故 答 案 为：-511.（2
25、022春 沛 县 校 级 月 考）若 函 数 f（x）=V+fex+c（b、cwR）在 区 间（0,1）上 有 两 个 零 点,则（l+b）c+（?的 取 值 范 围 是。工).一 16-【解 析】解：=f+6x+c 的 两 个 零 点 为,x2,不 妨 设 为：0%4 2 0 f(1)=1+匕+。=(1一%|)(1一 2)0.,.c(l+b+c)=/(O)/(1),而 0/(0)/(1)=芭(1_氏)(1_为)(与+|与)2(+：工)2.上,2 2 16即 c(l+b+c)=c2+(l+/?)c,故 答 案 为：(0,).1612.已 知 关 于 x 的 方 程 f+次+c=0(cwR)在
26、T,1上 有 实 根，且 瞬 肪+。3,则 b 的 最 大 值 为 2【解 析】解：设 方 程 的 根 为 1，则 幺+2法+c=0,c=-x2-2bxx G-1,1J),滕 跖+c 3,/.(b-l b x 3(XG 1-1,1),x 2 又 如 八,X2+3-融-,2 x 2 x设 2-工=小 1,3),则=2-%,4 7则 F 1-4效 以？F，-4,P 1,3,.(y+/),=2,(y+Ow v=8,:,-2b 4,.-1 釉 2,即 人 的 最 大 值 为 2.故 答 案 为：2.13.(2022杭 州 模 拟)已 知 对 任 意 实 数 x,二 次 函 数/)=/+以+。恒 非 负
27、，且”6,则 知=+”+。的 b-a最 小 值 是 3【解 析】解：次 函 数/(X)=ox2+云+。恒 非 负所 以。0且-4陷,0所 以 44c.b2所 以 c.竺 4a.b2a+b+c 喀+4a(2a+Z?)2 3a+(b-ti)2 4(b-a)x 3a M L=3b-a b-a 4a(b-a)4a(h-a)4a(b-a)当 且 仅 当 3a=6-aELc=2-即 c=b=4。时，取 等 号 4a故 答 案 为 3三.解 答 题 14.(2022秋 绍 兴 期 末)设 函 数/(幻=f 一 ox+AQbeR).(I)若 f(x)在 区 间 0,1 上 的 最 大 值 为 8,求。的 取
28、值 范 围；(H)若 f(x)在 区 间 1,2 上 有 零 点，求 口+2从 _4b的 最 小 值.【解 析】解；(1)因 为 f(x)的 图 象 是 开 口 向 上 的 抛 物 线，所 以 在 区 间 0,1 上 的 最 大 值 必 是/(0)和/(1)中 较 大 者，而/(0)=6,所 以 只 要 f(O).J(1),即 A.l-a+6,得 a.l.(II)设 方 程 f-依+人 的 两 根 是 外，x2,且 啜 上 2,则 I XjX2 b所 以/+2b2-4/?=(玉+当 了+2%；考-=x 2X/2+=(2x；+l)x；-2x2x1+x；=(2 考+i)a 一+君-2X22+1.考
29、-3 二，当 且 仅 当-时 取 等 号,2X22+1 7 2君+1设 g(z)一 段 2r 4?-rx+-7+D 72x2 x2由 掇 此 2,得-蒯-1，因 此(7+1)2 L,(1+1)2 1=3,4 x；x22所 以 g)，此 时 x2=1 由 玉=学 知 X=L2专+1 3所 以 当 王;且 电 之 时，。2+功 2-4 取 得 最 小 值 g.15.(2022秋 天 山 区 校 级 期 中)已 知 函 数/。)=/+以+双(1)若 关 于 x 的 不 等 式 f(x)0的 解 集 是(Y O,-2)U(-L”)，求 实 数 人 的 值；若=-2,6=0,函 数 尸(x)=f(x)-
30、履，X G 0,2,不 等 式|尸(x)|0 的 解 集 是 y,_2)U(-；，”)，所 以-2,-上 为 方 程/+依+人=0 的 两 个 根，2C 1-a=-2 _所 以 由 根 与 系 数 的 关 系 可 得 2,解 得 a=2，b=./7=(-2)X(-1)2(2)若。=一 2,b=0,则 f(x)=x2-2x,F(x)=/(x)-Ax=x2-(2+k)x,|F(x)|l,即 一 1/一(2+%比 1,又 由 xw0,2J,当 x=0 时，符 合 题 意；当 0 凡,2时，原 不 等 式 等 价 于 x-工 一 2 A 工+,2,X X必 有 x-2)nuixkx+-2)inin,X
31、 X设 g(x)=x l 2,g(x)在(0,2上 单 调 递 增，贝 Ug(x)g=/2(2)x 2设(X)=X+1-2,有 Z(x).2、x,-2=0,当 且 仅 当 x=l时 等 号 成 立，即/z(x)而=0,x V x必 有 一 1%0,即 的 取 值 范 围 为(一,，0).2 2(3)若 函 数 f(x)在 区 间(1,2)上 有 两 个 零 点，则 方 程 f(x)=0 在 区 间(1,2)上 有 两 个 不 同 的 实 根，所 以 所 以 f()=+a+b0f(2)=4+2a+b0,a-1 0,所 以 b=/(1)-a,/(D 04+2a+/(I)-1-a 0-4 0由/(1
32、)由/-4(/(1)a 1)0得 4/(1)(。+2)2 4,得/(1)1,综 上 所 述，0/(1)1.所 以 7(1)的 取 值 范 围 是(0,1).(3)另 解：由 题 意 可 设/0)=(工 一 百)(工 一 工 2)，则/(1)=(l-x1)(I-x2)=(-l)(x2-l),因 为 1玉 9 2,则 0 石 一 11,0%2-11,所 以 0(内 一 1)(&-1)0,a _ x-F 2；x-X 4.2；X-X-J-2),0；xa.O；1 石-X V 0,C L),X-F 2:Xx-F 2.4；x 氏 4；4；的 取 值 范 围 为：0，4；（2）根 据 条 件:/(-1)=1-
33、+-2 1)=1+4+仇，-2b-4,-3ci+b,3h2-2ah+a2.9/+2。匕+/.9两 式 相 加 得 22+从）8；/.a2+/.9./+从 的 取 值 范 围 为：9,+8)；2(3)f(x)=x2+ax+b=(x-i)2+匕 一?；丁 一 生（一：,0）；2 4./的 最 小 值 为 八-合 功-9，最 大 值 为/（1）=1+4+力；对 任 意 的 x w j 1,i,都 有 即 一 掇 旷（了）1；b-.-14；1+Q+/?1 y/.-掇 以 一 a；42.的 取 值 范 围 为：1,6Z.41 7.已 知 函 数 f（x）=x2+bx+c（b,ce R）.（1）f（1）|
34、蒯 1）1 L 成 立,求 从+。2的 取 值 范 围；4（2）若 f（x）在 区 间（0,1）上 有 两 个 零 点，求 证：c2+（l+b）c,.161一,4【解 析】解：（1）1/（1）I效 j/（T）|.Jl+Z?+c|领 JH-ZJ+C I，仇 l+c),0满 足 约 束 条 件 的 可 行 域 如 下 图 所 示:C,1 1 I 1-/I J-1-0.75050.250 0.25054/75 V3-0.2J-/-0 刁/-1.71-T-乂 b2+c2表 示 动 点 S,c）到 原 点 距 离 的 平 方，Q Q由 图 可 知：当 b=O,c=-2 时,从+cz取 最 小 值 二,4
35、 16当 6=0,c=-时，从+/取 最 大 值”，证 明：(2)/(%)=工 2+&V+C 的 两 个 零 点 为 为，%2(0%!x2 0,f(1)=l+Z?+c=(l-x1)(l-x2)0/.c(+h+c)=f(0)f(1),Mo/(o)y(i)=xlx2(i-x,)(i-x2x,即 c(l+Z?+c)=c2+(1+b)c 一.18.（2022秋 嘉 兴 期 末）已 知 函 数/（x）=%2+G；+/2（。,力 c R）.（I）若 函 数/（x）在 区 间 1,2 上 的 最 大 值 记 为 M（,b）,求 M（,b）；（H）若 函 数/（%）在 区 间 口,2 上 存 在 零 点,求
36、r+若 一 3万 的 最 小 值.【解 析】解：（【）当 一 名，|，即。-3 时，f（x）mi.=f（2）=4+勿+6,当 一 g 3,即 4 一 3,=f(1)=1+4+6，2 2/、/H lU X gl l,I f 4+2+h,ci.3所 以 M(a,6)=/,1+。+/?,a 0时，g(x)=ov+b在 一 1,1 J上 是 增 函 数，.g(-l)轰 上(x)g(1),又:(x)陶(-1 A?1)|c|l,-g=a+b=f(1)-c,f(1)|+|c|2,g(-i)=-a+b=-f(-)+c(i/(-l)|+|c|)-2,由 此 得|g(x)|,2；同 理 当。0时，g(x)=+6在
37、-1,1 上 是 减 函 数，.g(-l)阚 x)g，又(X)倒(T*1)，|c|“1,.g(-i)=-a+h=-/(-1)+I J/(-1)|+|C|2,g(1)=a+b=f(1)(1)|+|c|).-2,由 此 得|g(x)|,2；当 a=0 时，g(x)=h,fx)-bx+c.-掇!k 1.g(x)H/(I)-cf(I)|+|c|2.综 上 得|g(x)|,2.20.例 4.已 知 f(x)=以 2+bx+c,g(x)=ax+b(a b、c w R),当 1 时，|f(x)1(1)证 明：|c|l.(2)X G-1,1 时，证 明|g(x)|”2.(3)设 a 0,当-啜 Jc 1 时,
38、g(x)s=2,求/*).【解 析】证 明：(1)由 条 件 当=掇/1时，(x)|,l,取 x=0 得|c|=|/(O)|,l,即(2)证 法 一：(利 用 函 数 的 单 调 性)由(1)得|c|,1当 a 0 时，g(x)=ax+b 在-1,1 上 是 增 函 数，于 是 g(-1)覆 b(x)g,(-M 1)3 1”1,(-1 瓢 1).|c|i.:.g(1)=a+b=f(D G,(1)|+|c|=2,g(-1)=-a+b=-/(-1)+cJS-(|/(-2)|+|c|)-2,因 此 得|g(无)|”2(-1触 1)；当 a 0 时，g(x)=ax+b 在-1,1 上 是 减 函 数，
39、于 是 敢(x)g(1),(一 啜 k 1).|/(x)|l(-1M 1),|c|l.U(x)|=|/(I)cl,1/(1)|+|c|2综 合 以 上 结 果,当-啜 Ik 1时,都 有|g(x)|,2证 法 二：(利 用 绝 对 值 不 等 式 的 性 质)I/(X)1(-1)f(I)ll.I/(O)|1,f(x)=ax2+bx+c,:a-b+c 1,a+b+c,|c|1.因 此，根 据 绝 对 值 不 等 式 性 质 得|a-6|=|(a-b+c)-c|麴 Ja-Z)+c|+|c|2,a+b=(a+b+c)-c!a+b+c+c 2,g(x)=ax+b,.|g(l)Ha+0|HaN,2,函
40、数 g(x)=的 图 象 是 一 条 直 线，因 此|g(x)|在-1,1 上 的 最 大 值 只 能 在 区 间 的 端 点 x=-1或 x=1处 取 得,于 是 由|g(l)|,2 得|g(x)|2,(-1%0,g(x)在 一 1,1 上 是 增 函 数，当 x=l时 取 得 最 大 值 2,即 g(1)=a+b=f(1)-7(0)=2-LJ(0)=f(1)-2,1-2=-1，.c=/(0)=-l因 为 当-掇!k 1 时，f(x)一 1,即/(x)./(0),根 据 二 次 函 数 的 性 质，直 线 x=0 为 f(x)的 图 象 的 对 称 轴，由 此 得 一 0,在(2)的 条 件
41、 下，若 g(x)的 最 大 值 为 2,求/(X).【解 析】解：(1)/(幻=无 实 根，且/(x)=w2+bx+c,加+(6-1+。=0无 实 根,.1.=(0-1)2-4ac 0，则 函 数 y=/(x)-x 的 图 象 在 x轴 上 方，y 0,即/(x)-x 0恒 成 立，即：/(x)x 对 任 意 实 数 x恒 成 立.对/(X),有/(/(x)/(X)X 恒 成 立,.J(f(x)=x 无 实 根 设 17(0)1,1,而 f(0)=c,Jc|I，当。0时，g(x)=or+。在-1,1 上 为 单 调 增 函 数，所 以 g(-l)轰 虹 x)g(1),1.|c|l.-g(1)
42、=a+b=f(1)-c,f(1)|+1c|=2,g(-1)=-a+h=-/(-1)+/(-2)|+1cI)-2,.-.|g(x)|2,当 a 0.g(x)=or+b在-1,1 上 为 单 调 增 函 数,当 x=l时，函 数 取 得 最 大 值 为 2,gp g(x)=a+b=f(1)一/(0)=2,-U/(0)=/(1)-2,l-2=-l,c=/(O)=-l,当 一 1 羽 k 1 时，.直 线 x=0是 二 次 函 数 图 象 的 对 称 轴，.一=0,2a.Z?=0,结 合 得 4=2,f M=2x2-1.22.已 知/(x)=f+ac+优，力 金 区 的 定 义 域 为 一 1,1J.
43、(1)记|x)|的 最 大 值 为 求 证:求 出 中 的=!时 J(x)的 表 达 式.【解 析】解：(1)f(x)=x2+ax+bM.f(1)=+a+bM.J/(T)H j+勿 4M朦|力|+|1+川+|l-a+b|(一 如)+(1+)+(1+3|=2-b,+a+b,1 a+Z?同 号 时 取 等 号(2)/.若 一 b,1+a+b,1 a+人 均.0,M=，则:2l+a+色.21 a+b,.(2)2一 女,2+：2+2,1,-2:h.-2:.b=-2代 回：,0,：a.O：.a=0f(x)=x2II 若 b 1+。+。，1 a+Z?均 vO,M=，贝：2.1-0 1+。+A 20 1 6
44、F+/?.-.，22+：0l+a.-l,-2,a 1 6/.1,1 4 2无 解 综 上：/(幻=42；23.已 知 二 次 函 数/*)=+法+，当 一 摄 上 1时，有 一 掇 由。)1,求 证：一 2效 Jr 2 时，有 一 7颗(%)7.【解 析】证 明：由 已 知 条 件 知/*)=加+次+以。工 0),且|/(0)|,1,(1)|1,|/(-1)|1,定 义 域 为-1,1.Jc|1,|a+b+c|,1,a-b+c,A|f(2)=4a+2b+c|=|3(a+b+c)+(a-b+c)-3c领 扫 3(a+Z?+c)|+1(a/?+c)|+1 3c 3+1+3=7(2)|7,/.-2 M 2时，有-7颗(x)7.