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1、专 盘.7 同 相 备 微 型 例 题 1.若 2,-2y 0 B.ln(y-x+1)0 D.In|x-y|0.【分 析】将 已 知 2、-2 3一、-3 r 按 照“左 右 形 式 形 式 相 当，一 边 一 个 变 量”的 目 的 变 形,然 后 逆 用 函 数 的 单 调 性.【解 析】由 2、一 2y 移 项 变 形 为 2X-3T 2y-3-y,设/(x)=2,3一、易 知/(x)是 定 义 在 R 上 的 增 函.数，故 由 2*-3-、3 可 得 x 0=y-x+l 1,从 而 ln(y-x+l)0,故 选 A.例 题 2.(2020新 课 标 I理 数 12)若 2+log2
2、a=4%+210g4 b,则()A.a 2 b B.a h2 D.a h2【分 析】V 4b+2 log4b=22b+log4h2=22b+l o g 2 h22b+log,2b-12+log2 a=22h+log2 26-1,设/(x)=2V+Iog2 x利 用 作 差 法 结 合/(x)的 单 调 性 即 可 得 到 答 案.解 析：4+2 log4 b=22b+log4 b2=22b+log,b=22fc+log,2b-12U+log,a=22h+log,2 b-,故 2+log,a 22h+log,2b设/(x)=2+lo g 2 x,则/(x)为 增 函 数,所 以/(a)/(2 6
3、),所 以 a 2 b.f(a)-f(b2)=2a+log2 a(2 户+log2 b2)=22A+log,b(2+log,b2)=22 b-2h2-o g2h,当 6=1 时，f(a)-f(h2)=2 0,此 时/伍)，有 a*当 6=2 时，f（a）-f（b2）=-l0,此 时/伍）/（），有 a/,所 以 C、D 错 误.故 选 B.【点 评】本 题 需 构 造 函 数，其 基 本 策 喀 是：“左 右 形 式 相 当，一 边 一 个 变 量，取 左 或 取 右，构 造 函 数 妥 当“，我 们 称 之 为“同 构 函 数”，然 后 再 利 用 函 数 的 单 调 性 求 值.城.（1.
4、（2012全 国 联 赛）如 果 855。一 5而。0 的 解 集 是.（x+1）3 x+1【解 析】原 不 等 式 可 化 为：（一 二+5-X3+5 XX+1）X+1构 造 函 数/（）=/+5%，则/（）=3/+5 0,/（x）在 R 上 单 增 2 3所 以-x,解 之 得 x 2或 一 1 X 1x+1所 以 原 不 等 式 解 集 是 x|x 2或 T x l.双（3.（2020南 通 五 月 模 拟-14）已 知。0,2万），若 关 于 上 的 不 等 式 Jsin-JcosK 44弓 1?/-cos 6）在（7,-2上 恒 成 立,则 0 的 取 值 范 围 为【分 析】本 题
5、 的 实 质 是 含 参 数。(这 里 当 然 是 sin。、cos6)的 不 等 式 恒 成 立 问 题，应 抓 住 已 知 条 件 Jsin。-Jcos6%卜 出 3 O-cos的 对 称 结 构，构 造 函 数，利 用 函 数 的 单 调 性 布 列 不 等 式.解 析】看 到 Jsine-Jcosl 左 cos 6-Jcos6,设 f M=Ax3-y x,fr(x)=3Ax2-7=2Jx易 知 当 左-oo,-2 时，f(x)=3kx2-0,故/(x)在 0,+o)单 减,sin0 cos0所 以 0所 以。的 取 值 范 围 0,-._ 4_双(4(2019南 师 附 中 期 中 一
6、 14)已 知 函 数(x)=3一 3一、，/(I-2log31)+f(3log3Z-1)logt t,则 f 的 取 值 范 围 是.3【分 析】这 里 可 以 发 现 log：=log；=(2log；1)(3log；1),将 3/(I-2 log31)+f(3 log3 Z-l)log J 移 项 变 形 为 3/(3log3Z-1)+(3log/-l)(2log；+l)-/(l-2log31),易 知/(x)=3、-3-x是 奇 函 数，-/(l-21og3/)=/(21og；+l),故 进 一 步 变 形 为/(3log3Z-1)+(3log3/-1)/(2log3-1)+(2log3
7、1),此 时，得 到 一 个“左 右 形 式 相 当，一 边 一 个 变 量”的 不 等 式，令/(x)=/(x)+x,问 题 转 化 为F(31og；-l)F(21og/-l),只 需 研 究 x)=/(x)+x 的 单 调 性，逆 用 该 函 数 的 单 调 性 即 可.【解 析】V log/=-log；=-(1-2log；)-(3log；-l)3二/(I-2log,/)+/(31og3f 一 1)2log 可 变 形 为：3/(3 log31)+(3 log/-l)(2 log/-l)-/(l-2 log30.(x)=3X-3T是 奇 函 数.-/(l-21og3/)=/(21og；-l
8、)/(3log3Z-l)+(31og3Z-l)/(2log3Z-1)+(2log3/-l)令/(x)=/(x)+x=3-3T+x,则 尸(x)=ln3-3+ln3-3T+l0F(x)单 增 31og3,-l21og/-l,即 logs2 0,解 之 得 f 21所 以/的 取 值 范 围 是 1,+8).双 图 5.(2020南 通 如 皋 创 新 班 四 月 模 拟 2)已 知 实 数%Z?e(o,2),且 满 足 4=2 4b,则 a+6 的 值 为.【分 析】将。2/4=.一 2-4b 化 为：a?+2=(2。)2+22,i殳/(x)=x?+2、，则/(x)在(0,2)上 递 增，由/(
9、。)=/(2-力)，得 a+b 的 值.4【解 析】由。2一 一 4=9 一 24 6,化 简 为：/+2=22+(b-2)2即/+2=(2 b+22,设 X)=X2+2、则/(x)在(0,2)上 递 增，因 为 a,be(0,2)所 以 2”e(0,2),且/(。)=/(2 6),所 以 a=2-b,即 a+6=2.双 图 6.(2020淮 阴 中 学、姜 堰 中 学 12月 考-14)已 知 实 数 X-满 足 X|e$=e3,x2(lnx2-2)=e5,贝 汽 也=.【分 析】由 已 知 条 件 考 虑 将 两 个 等 式 转 化 为 统 一 结 构 形 式，令 In/-2=人 吃=e+
10、2,得 到 以=e3,研 究 函 数/(x)=xe.的 单 调 性，求 出 x 关 系，即 可 求 解.解 法 一：实 数%，/满 足*=/,x2(lnx2-2)=e5,x,0,x2 e2,lnx2-2=t 0,x2=ez+2,则 fe=/,f(x)=xex(x 0)9ff(x)=(x+l)e 0(x 0),所 以 f(x)在(0,+8)单 调 递 增，而/(X,)=f(t)=e3,%=t=lnx2-2,xtx2=x2(ln x2-2)=e5.解 析 二：对 xgf=e?两 边 取 自 然 对 数 得：111玉+/=3,对 X2(lnx2-2)=e5 两 边 取 自 然 对 数 得：lnx2+
11、ln(lnx22)=5()为 使 两 式 结 构 相 同，将(X)进 一 步 变 形 为：(lnx2-2)+ln(lnx2-2)=3设/(x)=In x+x,则/f(x)=+10X所 以/(X)在(0,+8)单 调 递 增，/(X)=3 的 解 只 有 一 个./.%1=Inx2-2,/.玉 w=(lnx2 _2)x2=e【点 评】两 种 解 法 实 质 相 同，其 关 键 是 对 已 知 等 式 进 行 变 形，使 其“结 构 相 同”，然 后 构 造 函 数，利 用 函 数 的 单 调 性，利 用 是 同 一 方 程 求 解.双 圆 7.设 方 程 x+2*=4 的 根 为 加，设 方 程
12、 x+log2*=4的 根 为，则 m+n=.【答 案】4双 回 8.已 知 苏 一 34+54=1,63-362+56=5,那 么 的 值 是.【解 析】由 题 意 知 加-3q2+5a3=-2,Z33/2+563=2,设/(刈=%33/+5 x-3,则/(a)=-2,/(b)=2.因 为/(x)图 象 的 对 称 中 心 为(1,0),所 以“+6=2.点 评：本 题 的 难 点 在 于 发 现 函 数 的 对 称 性，对 于 三 次 函 数/(x)y=ox3+bx2+cx+d其 对 称 中 心 为(xo,/(xo),其 中/(xo)=0.城 9.(宿 迁 2()18,期 中)不 等 式(
13、x+2+x 4 x4(x+2)2+x+2 的 解 集 是.【分 析】直 接 解 显 然 是 不 对 路 的.观 察 不 等 式 的 特 征，发 现 其 含 有(x+2)、x 两 个 因 式，将 不 等 式 转 化 为“一 边 一 个 变 量 的 形 式 为：x x+x(x+2)Cv+2)+(x+2),构 造 函 数/(x)-x3-x2+x,题 目 转 化 为 求 解/(f)0 恒 成 立，故/(X)为 R 上 的 单 调 增 函 数，所 以 由/(x2)/(x+2)立 得：x2 x+2,解 之 得-1 x 2.【方 法 点 拨】1.一 个 式 子 中 出 现 两 个 变 量，适 当 变 形 后
14、，两 边 结 构 相 同(如 例 1);2.两 个 式 子 也 可 适 当 变 形，使 其 结 构 相 同,然 后 构 造 函 数，利 用 函 数 的 单 调 性 解 题，或 运 用 同 一 方 程 代 入.专 题 2“台 段 而 於，普 看 的 解 系 塔 式 建例 题 1.(2020新 课 标 卷 I-理 数-12)已 知 函 数/(x)=|3x+l|-2|x-l|.(1)画 出 y=./(%)的 图 像：(2)求 不 等 式/(x)/(x+l)的 解 集.【分 析】(1)略：(2)在 同 一 直 角 坐 标 系 内 作 出 函 数/(x)、/(X+1)的 图 象，根 据 图 象 即 可
15、解 出.【解 析】(1)略；(2)将 函 数/(x)的 图 象 向 左 平 移 1个 单 位，可 得 函 数/(X+1)的 图 象，如 图 所 示：7由 一 工 一 3=5(%+1)-1,解 得 了=.6(7、所 以 不 等 式 的 解 集 为.x2-2x,x 2双 曲 1.(2020扬 州 三 检 1 2)已 知 函 数=,则 关 于 x 的 不 等 式 12f(l-x)-,x-2 2所 以 不 等 式/(l-x)/(2幻 的 解 集 为2r x0,()A.(-oo,-1 B.(0,+oo)C.(l,0)D.(co,0)【解 析】法：分 类 讨 论 法 tr+10,当 即 让 一 1 时，2
16、烂 0,於+1)勺(2x),即 为 2一(户 1)2一 汽 即 一(x+1)2x,解 得 x0|x+10,当 即 一 1烂 0 时，|2x0,x+1)勺(2x),即 为 l2-2x,解 得 x0,当 即 x0时，/(x+l)=l,/(2x)=l,不 合 题 意.(2x0,综 上，不 等 式 加+l)S(2x)的 解 集 为(一 co,0).法 二：数 形 结 合 法 2 烂 0,1,x0,二 函 数./(X)的 图 象 如 图 所 示.结 合 图 象 知，要 使./(x+1)饮 2x),x+l0,则 需，2xv0,或 2x0,b0,.xvO,故 选 D.成 3.已 知/(x)=(x+l)|x|
17、-3 x.若 对 于 任 意 x C R,总 有/(x)9(x+a)恒 成 立，则 常 数 的 最 小 值 是.(22x x0_ x 2 _.x Z o,，作 出 函 数/(X)的 图 象 得：作 平 行 于 x 轴 的 直 线/与 段)图 象 有 三 个 交 点，设 最 左 边 与 最 右 边 的 交 点 分 别 为 M,N,如 图 所 示，则 a 的 最 小 值 即 为 线 段 A/N长 的 最 大 值.设 直 线/的 方 程 为 y=f,可 得 M N=3+r+t+t=3+(y+t+y l 4-t)2=3+yj5+2 l(+t)(4-t)0),若/(X+)W/(x)对 任 意 的 X R
18、 恒 成 立,则 实 数。的 取 值 范 围 是.解 析】设 g(x)=x(-a x|)(a 0),则/(x+a)4 f(x)g(x+a)g(x)对 任 意 的 X E R恒 成 立，意 即 将 g(x)图 象 上 的 每 一 点 向 左 平 移。个 单 位 后，所 得 到 的 图 象 不 可 能 在 g(x)的 上 方.因 为 g(x)=x-a|x|)=QX(1+QX),X,又 因 为 a 0,故 a N&l a xX.5.(2020镇 江 高 三 上 学 期 期 末 12)已 知 函 数/(x)是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数，当 X 0 时,/(x)=/_ 4x,则 不 等 式/(
19、x)x 的 解 集 为.【答 案】(Y O,-5)U(5,*O)应 国 6.已 知 函 数/(%)=%|%-2|,则 不 等 式/(J 5-X)W/(I)的 解 集 为.【答 案】-1，+8)43 三 次 备 微 型 例 题 1.(2020浙 江-9)已 知 a,6 W R 且 ab#),若(x-a)(x-6)(x-2a-6)K)在 xK)上 恒 成 立，则()A.。0 C.h0【分 析】本 题 的 实 质 是 考 察 三 次 函 数 的 图 象，设)=(-。)(丫-6)(丫-2。-6),欲 满 足题 意，从 形 上 看 则 必 须 在 应 0 时 有 两 个 重 合 的 零 点 才 可 以，
20、对 a 分 a 0 与 0 两 种 情 况 讨 论，结 合 三 次 函 数 的 性 质 分 析 即 可 得 到 答 案.【解 析】因 为 a b w O,所 以 且 6 W 0,设/()=0-4)。-6)(-2。-6),则/(x)的 零 点 为 玉=a,x2=b,x3=2a+b当 a 0 时，则 0,要 使/(x)N O,必 有 2a+b=a,且 分 0,即 6=-“，且 6 0,所 以 6 0;当 a W，否 0,要 使/(x)2 0,必 有 b0.综 上 一 定 有 6 013解 之 得。=3.当 X E|-1,0 时，/(x)增；X E 0,1 时，/(x)减,故/(x)1rax=/(O
21、)=1,/(x)min=min/(I),/(-1)=-4；所 以/(x)在-1,1 上 的 最 大 值 与 最 小 值 的 和 为-3.成 固 2.已 知 函 数“X)的 导 函 数 为/(x)=or(x+2)(x-a)(。#0),若 函 数/(x)在 x=-2 处 取 到 极 小 值，则 实 数 a 的 取 值 范 围 是.【答 案】(-oo,-2)U(0,+oo)应 3.若 函 数/(x)=/,一&在 区 间 0,2 上 单 调 递 增，则 实 数 Q 的 取 值 范 围 是.1,Ix2(x-),x a【解 析】/(x)=x x-4=(；-x(x-a)9x a函 数/(兀)的 一 个 极
22、值 点 是 x=0，所 以 以 0 为 界 与 a 比 较，进 行 分 类 讨 论.1 当。时，如 图 一，由/(x)=3/+2/：=0 得，%=或=吃，欲 使 函 数，(x)=x 口 同 在 区 间 0,2 上 单 调 递 增，只 需=彳 2 2,即 当 a W O 时，如 图 二，/(%)=/,一 a|在 区 间 0,2 上 单 调 递 增，满 足 题 意.综 上 知，实 数 a 的 取 值 范 围 是(-oo,0 U 3,+oo).(图(图 二)见 向 4.若 函 数/(x)=(x-2)2|x-4在 区 间 2,4 上 单 调 递 增，则 实 数。的 取 值 范 围 是.【答 案】(T,
23、2 U 5,+0 即(0,1 时，/(X)=ax3-3x+izo 可 化 为，a-x xz X 3 1 1,/3(l-2x)设 g(x)=/_?,则 g(x)=_ x,所 以 g(x)在 区 间(0,；上 单 调 递 增，在 区 间-,1 上 单 调 递 减,2因 此 g xg；)=4,从 而 a 2 4；3 i当 X 0 即 X 1,0)时，f(x)=ax3-3x+120 可 化 为-,X Xg(x人 与 og(x)在 区 间-1,0)上 单 调 递 增，因 此 g(x)ma=g(-1)=4,从 而 Q W 4,综 上 Q=4.巩 固 6.已 知。凡 函 数 f(x)=x2|x-4z|,求
24、函 数 y=/(x)在 区 间 1,2 上 的 最 小 值.【分 析】对 a进 行 讨 论，结 合 函 数 的 一 阶 导 数 值 判 断 函 数 在 区 间 上 的 单 调 性，进 而 求 出 函 数 的 最 小 值.【解 析】设 此 最 小 值 为 I T 1.当。0,xe(1,2),则 f(x)是 区 间 1,2 上 的 增 函 数，所 以 m=f(1)=1-a.当 1 Q W 2 时，在 区 间 1,2 上/f(x)=x2x-c 0,:m=/(a)=0.当 a2 时，在 区 间 1,2,f(x)=ax2-xf!(x)=lax-3x2=3x(g a x若。3,在 区 间(1,2)内 f,
25、(x)0,从 而 f(x)为 区 间 1,2 上 的 增 函 数，由 此 得：m=f(1)=a-1.2若 2a3,则 1 一。2当 1 X 0,从 而 f(x)为 区 间 口 才 上 的 增 函 数；当：2 x 2 时,从 而/(X)为 区 间；2凡 2 上 的 减 函 数 因 此,当 2a3 时,m=f(1)二 a-1 或 m=f(2)=4(a-2).7当 2 a 时,4(a 2)a-1,故 机=4(一 2)；7当 a 3 时/一 14(4一 2),故 加 二 4 一 1.综 上 所 述，所 求 函 数 的 最 小 值 加=1-凡 当 a 1时；0,当 1 一 时；3成 7.已 知 函 数/
26、(x)=x|x212 的 定 义 域 是 0,，,值 域 是 0,。加，则 实 数 a 的 取 值 范 围 是【解 析 一】易 知：当 0 W x 2,/(x)增；当 2 X 2 G,/(x)减：当 2 2 百，/(x)增,且 2)=4)=16.1 当 0 m W 2 时，增 12/.一 用(加 2-12)=a m2,a=一 z+G 4,+OO)；m2 当 2 V m【解 析 二】仅 考 虑 函 数 在 x 0 时 的 情 况，可 知/(x)=1 1 2 x-V 函 数 x)在=2 时，取 得 极 大 值 16.x3-12x,x 2V3.令 43一 12%=16,解 得，x=4.作 出 函 数
27、 的 图 象(如 图 所 示)，函 数/(%)的 定 义 域 为 0,切，值 域 为 0,am2,分 为 以 下 情 况 考 虑：(1)当 0 m 2 时，函 数 的 值 域 为 0,m(l2-m2),有 m(l2 m2)=am2，所 以 根，因 为 0 加 4;m(2)当 时，函 数 的 值 域 为 0,16,有。/;常，所 以。=耳，因 为 2 W，W4,m所 以 1 W Q W 4；(3)当?4时，函 数 的 值 域 为 0,m(m2 12),有 加(病 12)=/,所 以a=m,因 为?4,所 以“1；综 上 所 述，实 数 a 的 取 值 范 围 是“21.m考 题 4 裁 列 奇
28、儒 项 型 例 致 I.（新 课 标 I 文 科-16）数 列%满 足 a“+2+（T）%=3/?-1,前 16项 和 为 540,则 a=【分 析】对 为 奇 偶 数 分 类 讨 论，分 别 得 出 奇 数 项、偶 数 项 的 递 推 关 系，由 奇 数 项 递 推 公 式 将 奇 数 项 用 q 表 示，由 偶 数 项 递 推 公 式 得 出 偶 数 项 的 和，建 立 方 程，求 解 即 可 得 出 结 论.【解 析】“2+（-当 为 奇 数 时，%+2=%+3-1；当”为 偶 数 时，%+2+a”=3”-1.设 数 列 4 的 前 项 和 为 S,S6=+。2+Q3+。4+,+%6=%
29、+%,.+%5+(4)+%)+一(“14+Q16)=%+(+2)+(+10)+(4/)+24)+(,+44)+(%+70)+(q+102)+(q+140)+(5+17+29+41)=8%+392+92=84+484=540,q=7.点 评：本 题 综 合 考 查 数 列 的 递 推 公 式 的 应 用、数 列 的 并 项 求 和、分 类 讨 论 思 想 和 教 学 计 算 能 力.双 向 1.数 列 4 满 足 a,l+l+(-l)wa=2 n-l,则 其 前 60项 和 为.解 析 由 an+l+(-1)=2-1,可 得。2-=1，“3+。2=3,4 一。3=5,。5+。4=7,4 一 牝=
30、7，%_“6=11，600499=199所 以+%=2,%+出=8,a7+a5=2,a8+a6=24,a9+an=2,2+%o=40,所 以 从 第 一 项 起，每 四 项 的 和 构 成 以 10为 首 项，16为 公 差 的 等 差 数 列 所 以 4 前 60 项 和 为 15x10+3x16=1830.双 目 2.已 知 数 列%,的 前 项 和 为 S“，S“=(G N*,则 S+S?+S3 H H SO O=-【答 案】；(击 T)双 电 3.设 S“为 数 列 4 的 前 n 项 和，S“=(1)%“则(1)a3=；-(2)，+S2H-F5100=.【解 法 一】=当 以，2 时
31、，S.T=(-1 严 a“T 一 击 两 式 相 减 得 S.-S.T=(-1)%“-5 一(-1尸 a“_ i+击,即 当”是 偶 数 时，=。”+。“.1+/,所 以。“-1=一，即 是 奇 数 时，。“=一/7；当 是 奇 数 时，2a,=-a._+*,a“T=-2a+5=5，即 当 是 偶 数 时，1 E+$2+九 0=(一 弓-；)+(4-J+(。100-击)(%+%+。100)-(6+%+4 9 9)一 份+苏+酒)【解 法 二】.，=(1)%一?i)(s-S,T)当 n 是 偶 数 时，Sn=Sn,S“一=一*,即 当 是 奇 数 时，S”=-，；当 n 是 奇 数 时,Sn=-
32、Sn+Sn_-,S“_=2s“+吩=0,即 当 是 偶 数 时，S“=0；J_1 1 1 9 一*1 1SI+S2+-+Sl00=-(+-+)=|=不 海-1)1 一 尹双 圆 4.已 知 数 列 0 的 前 项 和 为 S“，对 任 意“GN,S“=(_1)见+：+_3且 O-a“+J(f-%)即 如-2=-a“_|-诞+1,an_t=3-y-3 为 偶 数 所 以%=2.击-1,”为 奇 数 当 为 偶 数 时，a=3-e,3),当 为 奇 数 时，a“=，p-l又 因 为(。向)()恒 成 立，“t 2)当=1 时，由 3S=%+i 得 3=3。1=ala2,所 以 4=3故。2，。4，
33、。6，。8，.1是 以。2 二 3 为 首 项，公 差 为 3 的 等 差 数 列 o x(一 1),/aik=x 3 H-x 3k=l 3n(n+1)2双 圆 6.(2020滨 海 中 学 1 4)设 数 列%满 足 6=1,%=1，%=4吗=；,数 列 4 前 n 项 和 是 S“，对 任 意 的 eN*,/(x)=x+(an+a+2-2 an+1)co sx-i er,anan+2若/(o)=o,当 是 偶 数 时，sn的 表 达 式 是 解 析：/(x)=3-(+an+2-2%+)sin x一 e*,an an+2因 为/o)=o,所 以&y _ 4 比=0,即 9=所 以 数 列%中
34、 所 有 的 奇 an 4+2 an%+2数 项 成 等 比 数 列，所 有 的 偶 数 项 成 等 比 数 列，所 以 当 n 是 偶 数 时,S“2T43x2+1.双 圆 7.若 数 列 a“满 足+%+6,+2=3及-6,且 数 列 见 的 前“项 的 和 S,总 满 足 5=An2+Bn+C(其 中 4 B、C 为 常 数)，则 数 列 q 的 通 项 公 式 是【答 案】an=n 3双 图 8.若 数 列%满 足。“+a“+a“+2=3n-6,且 2=3%,若 数 列 a,单 调 递 增,则%的 取 值 范 围 为.17 a【答 案】/(9,一/专 题 5/a)ev+g(x)建 0
35、1例 题 1.(2020 新 课 标 I 理 科-2 1)已 知 函 数/0)=巳,+6 2 _ 工，当 於 0 时，/(%)工,%3+1,求 a 的 取 值 范 围.【分 析】遇 到 企 优+g(x)的 形 式 变 形 为 上 力。),其 求 导 后 的 结 果 是 e a)=eL a)+h x),其 导 数 方 程 是 多 项 式 形 式，所 以 它 的 根 与 指 数 函 数 无 关，有 利 于 更 快 捷 地 解 决 问 题.【解 析】f(x)2+1 等 价 于#+x+l)e-x 0),贝 i 3 1g，(x)=(-x3-a x2+x+-x2+la x-l)e-x=-x x2-(2a+
36、3)x+4Q+2e-x=x(x-2-l)(x-2)e-x.(i)若 2a+lW 0,即 则 当 xW(0,2)时，g(x)0.所 以 g(x)在(0,2)单 调 递 增，而 g(0)=1,故 当(0,2)时，g(x)1,不 合 题 意.(i i)若 0 0.所 以 g(x)在(0,2a+l),(2,+8)单 调 递 减,在(2a+l,2)单 调 递 增.由 于 g(0)=l,7-e2所 以 g(x)Wl 当 且 仅 当 g(2尸(7-4a)e-2q,.7-e2 1所 以 当 一 5 时，g(x)l.(iii)若 2a+后 2,即 则 g(x)W(gx3+x+1把 二 7 1由 于 Ow,-),
37、故 由(ii)可 得(/+R+i)e7Vl.故 当“N；B寸，g(x)x2ax=(1 2a)x,所 以 当 1-2a0,即 吗 时 x)剂 后 0),而/(0)=0,于 是 当 xK)时,/(x)0,满 足 题 意：又 x翔 时,ex+1,所 以 可 得 e-1 x,从 而 当。金 时/(x)=e 1 2axeY-e-+2a(e A 1)=(1一-，)6 一 2社 故 当 xG(0,ln2)时/(x)0,而/(0)=0,于 是 当 xG(0 n2)时 J(x)0,不 合 题 意.r n综 上 所 述，实 数 a 的 取 值 范 围 为 I 2.【解 析 二】因 为 应 r+1,所 以 当 a0
38、的 情 形.令 人=er(l+x+ax2)1,问 题 等 价 于 F(x)W0,由 F(x)=e-1 ax2+(2a 1)x=0 得 xiuO/zu2a 1a2 当 0 吗 时 尸(x)在 0,+s)上 单 调 递 减，所 以 F(x)F(O)=O恒 成 立；当 4；时,因 为 尸(x)在 0刈 上 单 调 递 增，所 以 F 3 巨 F(0)=0恒 成 立，此 时 F(x)WO不 恒 成 r 1立.综 上 所 述，实 数 4 的 取 值 范 围 是 I 2.应 图 4.若 兀 0=廿 一 2在(0,+oo)只 有 一 个 零 点，则 实 数 a 的 值 为.【答 案】-4-F tnx 1 x
39、 0,值 范 围 是.e2)【答 案】L 00,-4-)-专 题 6 4 tM 茶 塔 式(方 在)逐 ev例 题 1.(2020南 京 三 模-20改 编)已 知 函 数/(x)=-(a W R),其 中 e 为 自 然 对 数 x-a x+a的 底 数，若 函 数/(x)的 定 义 域 为 R,且/(2)/(。)，求”的 取 值 范 围.【解 析】由 函 数/(x)的 定 义 域 为 R,得 办+屏 0 恒 成 立，所 以/一 4 0,解 得()4.方 法 1(讨 论 单 调 性)由 大 x)二，得 八 a,2).x2-a x+a(x2 a x+a)2 当 a=2时，/(2)=/(a),不
40、 符 题 意.当 0 a 2 时，因 为 当 a x 2 时，/(x)0,所 以 外)在(a，2)上 单 调 递 减，所 以 人 不 符 题 意.当 2 a V 4 时，因 为 当 2 V x V 时，/(x)V 0,所 以/(X)在(2,a)上 单 调 递 减，所 以 人”)八 2),满 足 题 意.综 上，a 的 取 值 范 围 为(2,4).方 法 2(转 化 为 解 超 越 不 等 式，先 猜 根 再 使 用 单 调 性)由 2)八 0),得 上 史.4 a a因 为 0 V QV 4,所 以 不 等 式 可 化 为 e2竺(4一).a设 函 数 g(x)=51(4X)e2,0 x4,
41、x因 为 g(x)=e-a 2)250恒 成 立,所 以 g(x)在(0,4)上 单 调 递 减.X2又 因 为 g(2)=0,所 以 g(x)0的 解 集 为(2,4).所 以，a 的 取 值 范 围 为(2,4).倒 做 2.(2016宿 迁 三 校 学 情 调 研 14)已 知 函 数 次 x)=x-l(e-l)hu,其 中 e 为 自 然 对 数 的 底，则 满 足/(e)V0的 x 的 取 值 范 围 为.【解 析】易 得/(l)=/(e尸 0V/G)=_ 日=9-(6 1)X X.当 x G(0,e-l)时，f(x)0,/(x)在(e-l,+oo)单 增 二/(x)0的 解 集 是
42、 l x e令 l e e,得 0 x l,故 人 力 0 x x x x x故/(X)在(0,+00)单 增，且/=0所 以 不 等 式-，一 111%0的 解 集 是(0,1.x【解 法 二】x-l n x W O 变 形 为 x-WlnxX X设/(x)=x-,g(x)=lnxX而/(x)=x-J 在(0,+。)单 减，8(刈=111工 在(0,+8)单 增，且 图 象 均 过(1,0)x所 以 不 等 式 x L-l n x W 0 的 解 集 是(0,1.x的 鬼 4.方 程 Nx+1+y/2x+3+3x+4=0 的 根 是.【分 析】利 用“同 构”构 造 函 数，再 利 用 函
43、数 的 单 调 性.【解 析】原 方 程 可 化 为 1 m+(x+l)+京 X1+(2x+3)=0设,f(x)=M M+x,易 得 其 为 R 上 的 单 增 奇 函 数 4所 以(x+l)+(2x+3)=0,x=-即 为 所 求.双 7.(202()北 京 6)已 知 函 数/(x)=2%1,则 不 等 式/*)0 的 解 集 是().A.(-1,1)B.(-oo,-l)U(l,+oo)C.(0,1)D.(-oo,0)u(l,+oo)【分 析】作 出 函 数 歹=2、和 y=x+l的 图 象，观 察 图 象 可 得 结 果.【解 析】因 为/(x)=2、-x-l,所 以/(x)0 等 价
44、于 2、x+l,在 同 一 直 角 坐 标 系 中 作 出 y=2和 夕=x+1的 图 象 如 图：两 函 数 图 象 的 交 点 坐 标 为(0,1),(1,2),不 等 式 2”x+l的 解 为 x l.所 以 不 等 式/（x）0 的 解 集 为：（一 8,0）D（l,dOO）.双（8 2 关 于 x 的 不 等 式 V+inx lNO 的 解 集 为.【答 案】1,+8）风 也 5 方 程 xe+e In xe=0 的 根 是.【解 析】设 9(x)=xe+elnx-e,则“(x)=(x+l)e“+0,所 以 夕(%)单 调 递 增,x因 为（p（y）=o,所 以 1=1.应 国 4.
45、已 知 a、B分 别 是 方 程 丁+%+1=0、x+&+l=0 的 根，则 a+p 的 值 是.【答 案】-1应 国 s 已 知 实 数 x、y 满 足(x+Jd+)(y+J/+1)=1,贝 I x2-3xy-4y2 一 6x 6y+2020 的 值 是.【提 示】两 边 取 自 然 对 数 得 In（x+Vx2+1）+In（y+设/（x）=In+&+1）,则 易 得 其 为 R 上 的 单 增 奇 函 数 所 以 x+y=0,故 x2-3xy-4y2-6x 6y+2020=(x+y)(x-4y)-6(x+y)+2020=2020.遴 雌 备 裁 型 例 1(2019 全 国 II)设 函
46、数 Hx)的 定 义 域 为 R,满 足 H x+1)=2 a x),且 当 xG(0,1O时，f(x)=x(x1).若 对 任 意 x(-8,ni,都 有 f(x)2,则 m 的 取 值 范 围 是()9r 7一 8-B I 3.f-O O-O O-c.I 2J D.I,3_【解 析 一】XG(O,1时，/(x)=x(x-l),/(X)极 小 值=/(；)=；.当 X e(1,2时，x-le(0,l,故/(x)=/(X-1)+1)=2/(x-1)=2(x-l)(x-2),3 1/(%)极 小 值=/(5)=同 理，当 x w(2,3时，/()=22(一 2)(一 3),./(x)极 小 值=
47、/(：)=7,当 x G 化 左+1(左 G Z)时，/(x)=2*(x-女 巾 一(左+1),/(x)极 小 值=f(k+；)=一 2 73 1 R所 以，当 xe(-8,2,/(x)min=/(-)=-当 xe(2,3时，/(X)=22(X-2)(X-3),7 T 8X=或 X=一 3 3为 使 对 任 意 x e(-co,m,8令/(x)=22(x_2)(x_3)=_,7则 w 的 取 值 范 围 是 加 一.解 之 得：Q都 有/(x)N故 选 B.【解 析 二】当 一 1(xW0 时，0 G+1 W 1,则 Hx)=-f(x+1)=1(x+1)x；当 1xW2 时,2 20 x-1
48、W 1,贝|Hx)=2Hx-1)=2(x-1)(*2);当 2xW3 时，0 x-2W1,贝 f(x)=2f(x-1)=22f(x-2)=22(x-2)(x-3),由 此 可 得 12X222x+1%1X1x2x,一 1xW0,0 xW1,x2,1xW2,x-3,2xW3,由 此 作 出 函 数 f(x)的 图 象，如 图 所 示.由 图 o 7可 知 当 2x3 时，令 2?(x-2)(x-3)=一,整 理，得(3x-7)(3x-8)=0,解 得 x=-或 9 3O O-Jx=,将 这 两 个 值 标 注 在 图 中.要 使 对 任 意(8,血 都 有 F(x)2，必 有 辰-，即 实 3
49、9 3数 0 的 取 值 范 围 是 OO73,例 2(2017 南 通 期 末-14)已 知 函 数 尸(X)是 定 义 在 1,+8)上 的 函 数，且 F(x)1 一|2x3|,1Wx2,/1J,I2x,2,则 函 数 y=2xf(x)一 3 在 区 间(1,2 015)上 的 零 点 个 数 为.3T.x-2,1WxW-,2【解 析 一】由 题 意 得 当 1 W W 2 时，Hx)=_ 3 设 xG2i22(eN*),42x,-Kz.则 1,2),又 F(x)=-1 当 1?2 时，则 2i，3 2刁，所 以 尸=当 上 由 J.F T所 以 2xf(x)3=2x 7IT】J-3=0
50、,整 理 得 4 一 2 T7X-3 22i=0.解 得 x=3 2T或 X=-L.由 于 x 2 3 2”T,所 以 x=3 T22当 至 第 2)x2-1时，则 XG(3 T-2 T),所 以 Hx)=4=/-2 声 所 以 2xf(,x)3=2x,-3=0,整 理 得 x-4-2-、+3 22i=0.解 得 x=3-2 T 或 x=2由 于 xG(3 2 2今，所 以 无 解.综 上 所 述，x=3 2 2.由*=3 2-?七(1,2 015),得 所 以 函 数 y=2xf(x)3 在 区 间(1,2 015)上 零 点 的 个 数 是 11.【解 法 二】由 题 意 得 当 时，因