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1、高二数学试题（第 1 页，共 4 页）20222023 学 年度 第二 学期 期末 学业 水平 诊断 高二 数学 注意事 项：1.本 试题 满分 150 分，考试 时 间为 120 分钟 2.答卷 前，务必 将姓 名和 准考证 号填 涂在 答题 纸上 3.使 用答 题纸 时，必须 使用 0.5 毫米 的黑 色签 字笔 书写，要字 迹工 整，笔迹 清晰；超出 答题区书 写的 答案 无效；在 草稿纸、试 题卷 上答 题无 效一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的 四个 选项中，只有一项符合题目要求。1.若函数()sin cos fx x x=，则()fx=A.s
2、in 2x B.sin 2x C.cos 2x D.cos 2x 2.已知 全集 R=U，1 3|=x x A，|0 2 Bx x=，则图中 阴影 部分 表示 的集 合为A.0 3|x x B.0 3|x x C.|3 2 xx D.|0 1 xx”为真 命题，则p是q的A.充分 不 必要 条件 B.必要不充 分条 件 C.充要 条件 D.既不 充分 也不 必 要条件4.某银 行拟面向 部分 科创小微 企业 开展 贷款业 务.调查 数据 表明，科创小 微企业 的贷款 实际还款 比例()Px 关于 其年收 入x（单位：万元）的函数 模型 为0.50.5e()1ekxkxPx+=+.已知当贷款 小
3、微 企 业的 年收 入为10 万 元时，其实 际还 款比例 为%50，若银 行期 待实 际还款比例为%60，则 贷款 小微 企业的 年 收入 约为（参考 数据：693.0 2 ln，099.1 3 ln）A.14 万元 B.16 万元 C.18 万元 D.20 万元5.函数()ln|1|ln|1|fx x x=+的部分 图象 大致 为6.已 知定 义在R 上的奇函 数242 0()()0 xxfxgx x+=，则24(log)5fg 的值为 x x x xy y y yOO O O 11C D11 11B A11山东省烟台市2022-2023学年高二下学期期末学业水平诊断数学试题高二数学试题（
4、第 2 页，共 4 页）A.2 B.2 C.4 D.47.定义在R 上的函数()fx 满足(2)()fx fx+=，(1)y fx=+是偶函数，若()fx 在(0,1)上单 调递 增，(ln 2)af=，(e)bf=，5()2cf=，则A.bac B.cab C.abc D.bca 8.已知 函数()(1)exfx x=+，若函 数2()()()1 F x f x mf x m=+有三 个不同 的零 点，则实数m 的取 值范 围为A.21(,0)e B.21(,1)e C.21(1,1)e D.21(1,1)(1,)e+二、选择题：本题共 4 小 题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出
5、的 选项 中，有多项符合题目要求。全部选 对的 得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。9.已知2log 12 a=，3log 18 b=，则A.ab B.(2)(2)1 ab=C.7 ab+10.已知 函数2()1xfxx=，则A.()fx 有极 大值 4 B.()fx 在(,0)上单调 递增C.()fx 的图象 关于 点(1,2)中心对 称D.对12,(1,)xx+，都有12 1 2()()()22x x fx fxf+11.对于 函数()fx，若在其 定义域 内 存在0 x 使得00()fx x=，则称0 x 为 函数()fx 的 一个“不 动点”，下列 函数 存在“不 动点”的
6、 有A.21()24fx x=+B.()e 3xfx x=C.1()e 2lnxfx x=D.2()ln fx xx=12.关于 曲线()ln fx x=和()(0)agx ax=的公 切线，下列说 法正 确的 有 A.无论a 取 何值，两曲线 都 有公切 线 B.若两曲线 恰 有两 条公 切线，则1ea=C.若 1 a，则 两曲 线只 有一 条 公切线 D.若210ea，则两曲线 有 三条 公切 线 高二数学试题（第 3 页，共 4 页）三、填空题：本题共4 小 题，每小题 5 分，共20 分。13.写出 一个 同时 具有 下列性 质 的函 数()fx=.12 1 2()()()fx x f
7、x fx=+；()fx 为增 函数.14.若 函数2()ln fx x x a x=+在(1,)+上单 调递 增，则实数a的 取值 范围 为.15.已知 函数e,0()ln(+3),0 xaxfxx ax+=，若 方程()1 fx=有两 个不相 等的 实数 根，则 实数a的取值 范围 为.16.若()fx 是区间,ab 上的单调 函数，满足()0 fa，且()0 fx（()fx 为函 数()fx 的导数），则可用 牛顿切 线法求()0 fx=在区 间,ab 上的根 的近似 值：取初始值0 xb=，依次求出()y fx=图象在点11(,()kkx fx处的切线与x 轴交点的 横坐标kx(1,2,
8、3,)k=，当kx 与 的误差估计值|()|kfxm（m 为|()|(,)f x x ab 的最小值）在 要求范围内 时，可将相应的kx 作为 的近似值.用 上述方法求 方程32 10 xx+=在区间30,4上的根的近似值时，若误差估计值不超过 0.01，则满足条件的k 的最小 值为，相应的kx 值为.（本小 题 第一空 2 分，第二 空3 分）四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出 文字说明、证明过程 或演 算步骤。17.（10 分）已知 集合|3 2 1 A xa x a=x f 的解集 为(,1)(2,)+.（1）求 b a,的值；（2）若)(x g 是定义在R 上的奇函数，
9、且当 0 x 时，)()(x f x g=，求不等式0)()3 2(+x g x g 的解集.高二数学试题（第 4 页，共 4 页）19.（12 分）若函 数()e 1xf x a bx=+在 0 x=处取得极 小值 0.（1）求()fx 的图象 在点(1,(1)f 处的切线 方 程；（2）若不等 式()(2)3 fx f x x m+恒 成立，求实数m 的取值 范围.20.（12 分）已知 函数()ln f x ax x=.（1）讨论 函数()fx 的 单调 性；（2）证 明：当 01 a 时，(0,)x+，使得2()3 ln 2 fx aa.21.（12 分）某物 流公 司 计划扩 大公
10、司业 务，但总 投资不 超过100 万元，市 场调 查发现，投入资金x（万元）和年增加利润y（万元）近似满足如下关系2290 2 3 900,0,4090 1980,(40,100 xx xyxx x+=.（1）若该 公 司投 入资 金不超 过 40 万元，能否 实现 年增加 利润30 万元？（2）如 果你 是该公司 经营者，你 会投 入多 少资 金？请说明 理由.22.（12 分）已知 函数21()ln2fx x x x x=+.（1）求 函数()fx 的零点 个数；（2）若()(1)e()xg x x af x=有两个 极值 点，求实 数a 的取值 范围.高二数学答案（第 1 页，共 4
11、页）2022 2023 学年度 第二学 期期末 学业水平 诊断 高二 数学 参考答 案及 评分标 准 一、选择题 C A B C A C D C 二、选择题 9.BCD 10.ACD 11.BC 12.BCD三、填空题13.如：lnx（答 案不 唯一）14.1 a 15.e0,)316.2，511四、解答题17.解：（1）当 1=a 时，|2 3 Ax x=,|5 2 Bx x=.3 分所以|2 2 AB x x=5 32 1 24aaa，所以212 a.9 分综上，实数a 的取 值范 围是1(,4 2,2.10 分18.解：（1）2 2 3)(2+=bx ax x f，2 分因为1 和 2
12、是 方程 0 2 2 32=+bx ax 的两个 根，所以a ab322 1,322 1=+，4 分所以23,31=b a.6 分（2）由题 意，当 0 x 时，()()0 gx fx=，所以()gx 单调递 增.7 分因为)(x g 是定义 在R 上的奇 函数，所以 当 0 x 时，)(x g 单调 递增，8 分所以)(x g 在R 上 单调 递增.9 分于是 0)()3 2(+x g x g 转化为)()()3 2(x g x g x g=，10 分于是 x x 3 2，所以 1 x，所以不 等式 的解 集为),1(+.12 分19.解：（1）()=exf x a b+，因为()fx 在
13、0 x=处取 得极 小值 0，所以(0)1 0 fa=，(0)=0 f a b+=，2 分解得 1 a=,1 b=，所以 函数()e 1xfx x=，3 分()=e 1xf x，(1)e 1 kf=，(1)e 2 f=,4 分高二数学答案（第 2 页，共 4 页）所以，切线 方程 为(e 1)1 yx=.6 分（2）设2()()(2)3 e e 6 2xxgx fx f x x x=+=+，则min()m gx.7 分因为2()e 2e 6(e 2)(2e 3)xx x xg x=+=+.8 分令()0 g x=，得3ln2x=，当3ln2x 时，()0 g x，()gx 单增；当3ln2x
14、时，()0 g x，11()axfx axx=，1 分 当 0 a 时，()0 fx 时，1(0,)xa 时，()0 fx，()fx单调递 增.5 分 综上，当 0 a 时，函数()fx 在(0,)+上单调 递减；当 0 a 时，()fx 在1(0,)a上单调递减，在1(,)a+上单 调递 增；6 分（2）由（1）可知，当 01 a 时，()fx 在1xa=处取 得最 小值1 lna+，7 分 若(0,)x+，使得2()3 ln 2 fx a a，只需23 1 ln ln 2 0 aa a+，()ga 单调 递增，当1(,1)2a 时，()0 ga，()ga 单调递 减，10 分 故当12a=
15、时，max()ga=1 13 1 1()1 ln ln 2 02 42 2 4g=+=.所以，(0,)x+，使得2()3 ln 2 fx a a.12 分 21.解：（1）由 题意 可知，当 0,40 x 时，290 2 3 900 y xx=+，2212 323 22900 900 xxyxx=+，3 分 高二数学答案（第 3 页，共 4 页）令 0 y=，可得 12 5 x=（12 5 x=舍），4 分 当 0,12 5)x 时，0 y，()yx 单增；当(12 5,40 x 时，0 y，()yx 单 减，所以当 12 5 x=时，函数 y 取 得最 大值 90 30 5，6 分 显然90
16、 30 5 30，所以 公司 这一 目标 不能 实现；7 分（2）由（1）可知，当 0,40 x 时，公 司年 增加 最大 利润为90 30 5 万元，当(40,100 x 时，2290 1980(45+45 y xx x=），当 45 x=时，y 取最 大值 45，10 分又因为90 30 5 45，11 分所以投 资 45 万元，此时 公司 年增 加利 润为 45 万元.12 分22.解：（1）由 题知，()fx 的 定义 域为(0,)+，()ln 1 1 ln fx x x xx=+=+，1 分显然()fx 在(0,)+上 单调 递增，又11()1 0eef=+，所以01(,1)ex，使
17、得0()0 fx=，即00ln 0 xx+=，3 分 所以当0(0,)xx 时，()0 fx，()fx 单调递 增，且220 0 0 00 0011()ln 022f x xx xx xx=+=，5 分 因为当 0 x 时，()0 fx，所以()fx 在(1,2)上 有唯 一的 零点；6 分（2）由题 意可 得，21()(1)e()(1)e(ln)2xxg xx a f xx a x xx x=+，(0,)x+，()e(ln)e ln(e)x xxg xx a x xx ax=+=，因为()gx 有两个 极值 点，所以()gx 有 两个 变号 零点，7 分 令 e0 xtx=，显然 extx=
18、在(0,)x+上 单调 递增，要使()gx 有两个 变号 零点，只需()ln ht t a t=有两个 变号 零点，8 分()1(0)ataht ttt=，当 0 a 时，()0 ht 在(0,)+上恒成 立，()ht 单调 递增，不满 足题意；当 0 a 时，在(0,)a 上()0 ht，函数()ht 单调递 减，高二数学答案（第 4 页，共 4 页）在(,)a+上()0 ht，函数()ht 单 调递 增，所以()ht 在ta=时取 得最 小值()ln ha a a a=，10 分 要使()ln ht t a t=有两个 变号 零点，只需()ln 0 ha a a a=，此时(1)1 0 h=，2(e)e 0aaha=，所以()ht 在(1,)a 和(,e)aa 上各有 一个 变号 零点，满足 题意，综上所 述，实数a 的取 值范 围为(e,)+.12 分