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1、郑州市郑州市 20222023 学年下期期末考试学年下期期末考试高二数学试题卷高二数学试题卷注注意意事项：事项：本试卷分第本试卷分第 I 卷卷（选择题选择题）和第和第 II 卷卷（非选择非选择题题）两部分两部分考试时间考试时间 120 分钟分钟，满分满分 150 分分考考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效交卷时只交生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效交卷时只交答题卡答题卡第第 I 卷（选择题，共卷（选择题，共 60 分）分）一、单选题：本大题共一、单选题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60
2、分在每小题所给出的四个分在每小题所给出的四个选选项中，只项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的1已知数列 na，满足12nnaa，10a，则10a（）A18B36C72D14422023 年 5 月 10 日，第七届全球跨境电子商务大会在郑州举行，小郑同学购买了几件商品，这些商品的价格如果按美元计，则平均数为 30，方差为 60，如果按人民币计（汇率按 1 美元=7 元人民币），则平均数和方差分别为（）A30，60B30，420C210，420D210，29403如图，洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩
3、，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数若从四个阴数和五个阳数中随机选取 4 个数，则选取的 4 个数之和为奇数的方法数为（）A60B61C65D664下列四个命题中，正确命题的个数为（）甲乙两组数据分别为：甲：28，31，39，42，45，55，57，58，66；乙：，29，34，35，48，42，46，55，53，55，67则甲乙的中位数分别为 45 和 44相关系数0.89r ，表明两个变量的相关性较弱若由一个2 2列联表中的数据计算得2K的观测值7.103k，那么有 99%的把握认为两个变量有关用最小二乘法求出一组数据,iix y，1,in 的回归直线方程y bxa后要进行
4、残差分析，相应于数据,iix y，1,in 的残差是指iieyibxa20P Kk0.100.050.0250.0100.0050.0010k2.7063.8415.0246.6357.87910.828A1B2C3D45已知(1)nx的二项展开式中二项式系数和为 64，若2012(1)(1)(1)(1)nnnxaa xaxax，则1a等于（）A192B448C192D4486已知函数 2lnf xaxx的图象在点 1,1f处的切线与直线3yx平行，则该切线的方程为（）A350 xyB310 xy C310 xy D310 xy 7“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形
5、”早了 300 多年如图所示的是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，图中虚线上的数 1，3，6，10构成数列 na，记na为该数列的第n项，则64a（）A2016B2080C4032D41608下列说法中不正确的是（）A 若随机变量21,XN，(4)0.79P X，则(2)0.21P X B 若随机变量110,3XB，则期望10()3E X C 已知随机变量X的分布列为()(1,2,3)(1)aP Xiii i,则2(2)3P X D从 3 名男生，2 名女生中选取 2 人，则其中至少有一名女生的概率为7109若需要刻画预报变量Y和解释变量x的相关关系，且从已知数据中知道预报变量Y随着解释变量
6、x的增大而减小，并且随着解释变量x的增大，预报变量Y大致趋于一个确定的值，为拟合Y和x之间的关系，应使用以下回归方程中的（0,be为自然对数的底数）（）AYbxaBlnYb xa CYb xaDxYbea10对于三次函数 320f xaxbxcxd a，现给出定义：设 fx是函数 f x的导数，fx是 fx的导数，若方程 fx有实数解0 x，则称点00,xf x为函数 320f xaxbxcxd a的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数 32533xg xx，则123179999gggg（）A173B172C17D341
7、1已知数列 na满足*612,7N2,7,nna nnanan，若对于任意*Nn都有1nnaa，则实数a的取值范围是（）A1,12B1 2,2 3C2,13D21,312若2lnlnbba aa，则下列式子可能成立的是（）A1abB1ab C1ba D1ba第第 II 卷（非选择题，共卷（非选择题，共 90 分）分）二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13已知等比数列 na满足：18a，9132a，230a a 则公比q _14在甲，乙，丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有 7%，6%，5%的人患了流感若这三个地区的人口数的比为5:
8、3:2，现从这三个地区中任意选取一个人，这个人患流感的概率是_15为积极践行劳动教育理念，扎实开展劳动教育活动，某学校开设三门劳动实践选修课，现有五位同学参加劳动实践选修课的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参，则不同的报名方法有_162023 年第 57 届世界乒乓球锦标赛在南非德班拉开帷幕，参赛选手甲、乙进入了半决赛，半决赛采用五局三胜制，当选手甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响假设甲在任一局赢球的概率为01pp，比剉局数的期望值记为 fp，则 fp的最大值是_三、解答题：共三、解答题：共 70 分解
9、答题应写出文字说明、证明过程或验算步分解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤骤17（10 分）一只口袋中装有形状、大小都相同的 10 个小球，其中有红球 1 个，白球 4 个，黑球 5 个（I）若每次从袋子中随机摸出 1 个球，摸出的球不再放回在第 1 次摸到白球的条件下，第 2 饮摸到白球的概率；（II）若从袋子中一次性随机摸出 3 个球，记黑球的个数为X，求随机变量X的概率分布18（12 分）设数列 na的前n项和为nS，已知12a，142nnSa（I）设12nnnbaa，证明：数列 nb是等比数列；（II）求数列2nna的前n项和nT19（12 分）黄河是中华民族的母亲河、生命河，也是
10、一条桀骜难驯的忧患之河小浪底水利枢纽工程位于河南省济源市、洛阳市孟津区边界，是黄河治理开发的关键控制性工程它控制着黄河92%的流域面积、91%的径流量和近100%的泥沙，以防洪、防淩、减淤为主，兼顾供水、灌溉、发电，不仅是中华民族治黄史上的丰碑，也是世界水利工程史上最具标志性的杰作之一，其大坝为预测渗压值和控制库水位，工程师在水库选取一支编号为HN1 渗压计，随机收集 10 个该渗压计管内水位和水库水位监测数据：样本号i12345678910总和水库水位/ixm75.6975.7475.7775.7875.8175.8575.6775.8775.975.93758.01HN1渗压计管内水位1/
11、ym72.8872.9072.9272.9272.9372.9472.9472.9572.9672.98729.32并计算得102157457.98iix，102153190.77iiy，10155283.20iiix y，272.9325319.076624，275.8015745.791601，240.615.51（I）求该水库 HN1 号渗压计管内水位与水库水位的样本相关系数（精确到 0.01）；（II）某天雨后工程师测量了水库水位，并得到水库的水位为76m利用以上数据给出此时 HN1 号渗压计管内水位的估计值附：相关系数12211niiinniiiixxyyrxxyy，121nniii
12、iixxyybxx，ybax20（12 分）已知函数 22xxf xaeaex（I）讨论 f x的单调性；（II）若 f x有两个零点，求a的取值范围21（12 分）根据长期生产经验，某种零件的一条生产线在设备正常状态下，生产的产品正品率为 0.985为了监控该生产线生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 10 个零件，并测量其质量，规定：抽检的 10 件产品中，若至少出现 2 件次品，则认为设备出现了异常情况，需对设备进行检测及修理（I）假设设备正常状态，记X表示一天内抽取的 10 件产品中的次品件数，求2P X，并说明上述监控生产过程规定的合理性；（II）该设备由甲、乙两个部件构成，若两
13、个部件同时出现故，则设备停止运转；若只有一个部件出现故障，则设备出现异常已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为p，由乙部件故障造成的概率为1p若设备出现异常，需先检测其中一个部件，如果确认该部件出现故障，则进行修理，否则，继续对另一部件进行检测及修理已知甲部件的检测费用 2000 元，修理费用 6000 元，乙部件的检测费用 3000 元，修理费用 4000元当设备出现异常时，仅考虑检测和修理总费用，应先检测甲部件还是乙部件，请说明理由。参考数据：100.9850.86，90.9850.87，80.9850.8922（12 分）已知函数 1lnfxxx（I）求函数 f x的最小值；（II）
14、设函数 22axxag xf xx证明：当102a时，x 0,1aa，0g x 恒成立郑州市郑州市 20222023 学年下学期期末考试学年下学期期末考试高中二年级数学评分参考高中二年级数学评分参考一、单选题一、单选题二二、1A2D3A4B5C6B7B8C9D10C11C12D三、填空题三、填空题1312146310001515016338四、解答题四、解答题17解：（1）设“第 1 次摸到白球”为事件A；“第 2 次摸到白球”为事件B则 4 924 3210 9510 915P AP AB，由条件概率公式可得 2115235P ABP B AP A，从袋子中任取两个小球，若其中一个小球是白球
15、，另一个小球也是白球的概率为13（2）X可能的取值为 0，1，2，335310C10C12P X，1255310C C51C12P X，2155310C C52C12P X，35310C13C12P X，概率分布为X0123P11251251211218（1）证明：由12a 及142nnSa，得122142aaSa，28a，12124baa又1142,422nnnnSaSan，由，得11442nnnaaan，112222nnnnaaaan12nnnbaa，122nnbbn，故 nb是首项14b，公比为 2 的等比数列（2）解由（1）知1124 22nnnnnbaa，1122nnnnaa，故2n
16、na是首项为 1，公差为 1 的等差数列，112nnann 11232nn nTn 19解：（1）水库的平均水位101175.80110iixx，HN1 号渗压计管内平均水位101172.93210iiyy10101010222222211111221010niiiiiiiiiiiixxxxxxxxXxxxx，同理可得：10102221110iiiiyyyy，10101011110iiiiiiiiiiixxyyx yxyyxxyx yxy，1101011101011022222211101010iiiiiiniiiiiiiixxyyx yxyrxxyyyyxx 2255283.2 10 75.
17、801 72.9320.9557457.98 10 75.80153190.77 10 72.932（3）10101110101122221055283.2 10 75.801 72.9320.22940.2357457.98 10 75.80110iiiiiiiiiixyxxyxyxybxxx，72.9320.2294 75.80155.50aybx，HN1 号渗压计管内水位关于水库水位的经验回归方程为0.2355.5yx，当76x 时，预测值0.23 7655.572.98y，即水库的水位为76m时，HN1 号渗压计管内水位的估计值为72.98m20解：（1）f x的定义域为 R，211x
18、xfxeae，若0a 则10 xae 恒成立，0fx，即 f x在R上单调递减；若0a 令10 xae ，得lnxa，当,lnxa 时 0fx，当ln,xa 时，0fx f x在,lna 上单调递减，在ln,a单调递增（2）因为 f x有两个零点，所以0a，否则 f x在R上单调递减，至多一个零点，与题设不符；所以ln0fa，即2112ln0aaaaa，即11ln0aa，令 11lnaaa，2110aaa，a在0,上单调递增，10，故a的取值范围0,1又422220faeae，f x在,lna 上有一个零点；设存在正整数0n，满足03ln1na，则00000000220nnnnf neaean
19、enn，由于3ln1lnaa，f x在ln,a上有一个零点综上，a 的取值范围（0，1）21解：（1）由题可知，单件产品为次品的概率为 0.015，所以10,0.015XB，所以0010119101000.0150.9850.86,10.0150.9850.1305P XCP XC，所以21010.0095P XP XP X 由20.0095P X 可知，如果生产状态正常，一天内抽取的 10 个零件中，至少出现 2 个次品的概率约为0.0095，该事件是小概率事件，因此一旦发生这种状况，就有理由认为设备在这一天的生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测和修理，可见上述监控生产过程的规定是合理的
20、（2）若先检测甲部件，设检测费和修理费之和为元，则的所有可能值为 8000，9000，则8000Pp，90001Pp，所以 80009000 19000 1000Eppp，若先检测乙部件，设检测费和修理费之和为元，则的所有可能值为 7000，11000，则70001Pp，11000Pp，所以 7000 11100070004000Eppp，所以 20005000EEp，则当205p时，EE，应先检测乙部件；当25p 时，EE，先检测甲部件或乙部件均可；当215p时，EE，应先检测甲部件22解：（1）f x的定义域为0,，21xfxx所以 f x在0,1上单调递减，在1,上单调递增所以 f x的最小值为 1ln1 1 1f（2）法一：21ln1g xxax，232xagxx2221222201(1)aaaaxaaaa，0gx，即 g x在0,1aa上单调递减 121lnln1111aaaaag xgaaaaa由（1）知，f x的最小值为 11f，即1ln1xx（当且仅当1x 时，等号成立）1ln11aaaa，即 0g x 法二：由（1）知，f x的最小值为 11f，即1ln1xx（当且仅当1x 时，等号成立）因为102a，所以011aa所以 22211111ln1110 xa xag xxaaxxxx 得证