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1、2023届 湖 南 省 部 分 校 高 三 上 学 期 9 月 月 考 数 学 试 题 一、单 选 题 1.已 知 集 合 人=乂 x2 7x 840,8=x|x=2,wN,则()A.1,2 B.2,4 C.2,4,8 D.1,2,4,8【答 案】D【分 析】利 用 一 元 二 次 不 等 式 解 法 求 出 集 合 A,列 举 法 写 出 集 合 B,从 而 确 定【详 解】因 为 A=x|lMxM8,B=l,2,4,8.,所 以 A cB=l,2,4,8.故 选：D.2.已 知 点 在 函 数 的 图 象 上，且 在 第 二 象 限 内，若“X)的 图 象 在 点”处 的 切 线 斜 率
2、为 1,则 点 M 的 坐 标 为()A.(-3,6)B.(-3,12)C.D.(-2,13)【答 案】A【分 析】求 出 导 函 数/(x),设/(X。,%),由 广()=1求 得%(注 意 M 点 在 第 二 象 限)即 可 得.【详 解】设 点 因 为 力=卜 3-8 x-9,所 以 f a)=x 2-8*-8=l,为 0,得 无。=-3,又 3)=6,所 以 点 M 的 坐 标 为(一 3,6).故 选：A.3.生 物 学 家 为 了 了 解 抗 生 素 对 生 态 环 境 的 影 响，常 通 过 检 测 水 中 生 物 体 内 抗 生 素 的 残 留 量 来 进 行 判 断.已 知
3、水 中 某 生 物 体 内 抗 生 素 的 残 留 量 y(单 位：m g)与 时 间 r(单 位:年)近 似 满 足 关 系 式 尸 4 1-3一”),/1=0,其 中 2 为 抗 生 素 的 残 留 系 数，当/=8时，Qy=-A,则 4=()A.I B.-C.|D.-2 3 3 4【答 案】D【分 析】根 据 题 意 得 加=碎-3力，从 而 可 求 出 九【详 解】因 为 豺=2(1-3力，所 以 3-忒=2=3-2,解 得=9 4故 选：D4.如 图，某 校 数 学 建 模 社 团 对 该 校 旗 杆 的 高 度 进 行 测 量，该 社 团 的 同 学 在 A处 测 得 该 校 旗
4、杆 顶 部 尸 的 仰 角 为 a,再 向 旗 杆 底 部 方 向 前 进 15米 到 达 B处，此 时 测 得 该 校 旗 杆 顶 部 P 的 仰 角 为 夕.若 tan a=g,ta n夕=；,则 该 校 旗 杆 的 高 度 为（）A.14 米 B.15 米 C.16 米 D.17 米【答 案】B【分 析】利 用 直 角 三 角 形 中 的 边 角 关 系 列 式 求 解 旗 杆 高 度 即 可.【详 解】解：如 图 由 题 可 知：4 3=15（米），PO 1则 在 RtZPO8 中，tan；0=-,“A 八 a PO PO 1不 在 RtZSPOA中，ta n a=-（2）,AO 15
5、+8 0 3联 立 解 得：80=30（米），PO=15（米）.即 该 校 旗 杆 的 高 度 为 15米.故 选：B.1+sin a+cos a5.已 知 曲 线 y=46 在 点（1,4）处 的 切 线 的 倾 斜 角 为 则（）I v 乙 1（X I万.A.B.2&C.-D.122【答 案】Cn【分 析】利 用 导 数 的 几 何 意 义 确 定 切 线 斜 率，则 可 得 t a n=2,再 利 用 和 差 公 式 与 二 倍角 公 式 以 及 同 角 三 角 函 数 关 系 切 化 弦 化 简 所 求 式 子，得 到 含 tan羡 a的 式 子，即 可 得 结 果.2【详 解】解：因
6、 为 y=44，则 了=耳 则 曲 线），=4 4 在 点（1,4）处 的 切 线 的 斜 率 为 左=y L=2,又 倾 斜 角 为 最 a所 以 ta吟=21+sin a+cos a _ 1+sin a+cosa _ l+sin a+cosa则 1 一 岳 山+j-一 c 2 a c.a a、a2cos+2sin cos 1+tan,=2 2 2=2=1c a 0.a a 2 a a 2,2sm 4-2sin-c o s tarr+tan 2 2 2 2 2故 选：C.3 a-2）x-4 a,x 16.已 知 函 数/*）=log|X,xN l 的 值 域 为 A，则 实 数。的 取 值
7、范 围 是（）.2A/2，|）B,-|（2 W）D.（0,|）【答 案】A【分 析】通 过 函 数 解 析 式 分 析 每 个 分 段 的 值 域，因 为 f（x）=l g/,x N l值 域 为（9,0,2所 以 x）=（3 a-2）x-4 a,x l的 值 域 应 包 含（0,+8）,所 以 判 断 出 函 数 的 单 调 性 和/的 正 负，从 而 求 出 实 数”的 取 值 范 围【详 解】当 x N l时，x）=l o g/,其 值 域 为（7,0,2当 x l时，x）=（3a 2卜 一 4。的 值 域 应 包 含（0,+8）,所 以/（x）为 减 函 数，所 以 3a-2 0,iL
8、（3 a-2）x l-4 0,解 得-2 4 a（.故 选：A7.某 干 燥 塔 的 底 面 是 半 径 为 1的 圆 面 0,圆 面 有 一 个 内 接 正 方 形 ABCD框 架，在 圆。的 劣 弧 8 c 上 有 一 点 P,现 在 从 点 P 出 发，安 装 P A P反 尸 C三 根 热 管，则 三 根 热 管 的 长 度 和 的 最 大 值 为（）A.4 B.C.36 D.2瓜【答 案】B【分 析】设=,利 用 辅 助 角 公 式 表 达 出 4|P4|+|P3|+|PC|=2j?sin(e+9),从 而 求 出 三 根 热 管 的 长 度 和 的 最 大 值.TT TT【详 解】
9、如 图，连 接 8 2 O P,设/出。=仇。0,-,则 N8OP=NR4P=；。，_ 4J 4可 得：|PA|+|PB|+|PC|=2 cosd+sin(；夕)+sin。=(2+Vcos夕+(2 0 卜 in=2Gsin(g+)，其 中 tan*=3+2亚,所 以(|PA|+|P5|+|PC|)3=2后，山 e 的 范 围 可 以 取 到 最 大 值.故 选：B8.已 知“0,函 数 x)=)在 1,一)上 的 最 大 值 为：，则=()33 1 4 33 1A.2 或=B.J 或 77 C.2 D.loz 16/【答 案】C【分 析】换 元 令 r=x+l(r.2),问 题 转 化 为 g
10、=/+-2&.2)的 最 小 值 为 j 利 用 导 数 确 定 单 调 性，分 类 讨 论 确 定 最 小 值 求 得 参 数 值.X+l t 1 1【详 解】令 r=x+l(f.2),则 d+a-r-Z f+i+a-+H z，函 数/(力=7 在 t 1,y)上 的 最 大 值 为|且/0,即 转 化 为 g(r)=r+-2(r.2)的 最 小 值 为.1 I Zg(r)=l-上 色(|+“),g(f)=0 n f=Jl+a(负 值 舍 去)，r t时 m 即 0va2,即。3时，2W/Jl+时,，J1+时,gQ)。，gQ)递 增，g(tnin=g(=2x/i7-2=|,解 得 a=t 3
11、,舍 去.故 4=2故 选：C.9.已 知 函 数 f(x)=2sin2(2x+卷+2/3 sin f 2x 4-s i n h x-l,贝 I J下 歹!结 论 错 误 的 是()A./(x)的 最 小 正 周 期 是 兀 B.75)的 图 象 关 于 原 点 对 称 71 元 C/在 上 单 调 递 增 D./()的 图 象 关 于 直 线,对 称【答 案】C【分 析】利 用 三 角 恒 等 变 换 化 简 函 数 可 得/(x)=-2sin(4x+j,再 根 据 正 弦 函 数 的 性 质 及 平 移 变 换 的 特 征 逐 一 分 析，即 可 得 出 答 案.【详 解】解：/(x)=2
12、sin2 2%+-+2x/3sin 2x+-sin 2x-1=-cos4x+j+2/3sin2x+|-jsin2x+=-cos4x4-2/3sin2x+cos2x+|-=-/3 sin f-cos f 4x+=-2 sin 4x4-+=-2sin(4x+27r T i对 于 A,7=7=5,故 A 错 误;对 于 B,因 为/(0)=-2sinq=-6,所 以(0,-6)不 是/(x)图 象 的 一 B个 对 称 中 心，故 B 错 误;7T 7T 37r对 于 C,/(X)在 R 上 的 增 区 间 满 足+2 E 4 4 x+；羊+2 E e Z,解 得 增 区 间 为:n kn 7n k
13、it 十,一+24 2 24 2M e Z,又 区 间 71 7124,4_ 7i kit 7 兀 krc.r-r J*_.是+y，+y，%e Z 的 一 个 子 集，所 以 7T 7 T/在 五 7 上 是 单 调 递 增,故 c 正 确:对 于 D,因 为 吟-s i n A 不 是 函 数/的 最 值，所 以 式 不 是 g)图 象 的 一 条 对 称 轴，故 D 错 误.故 选：C.二、多 选 题 10.若 1,3U 8 G 1,3,5,7,则 3 可 能 为()A.1,3 B.1,3,5 C.1,3,7)【答 案】BCD【分 析】根 据 子 集 概 念 即 可 得 到 结 果.【详
14、解】V1,3U B e 1,3,5,71,D.1,3,5,7).B 可 能 为 1,3,5,1,3,7,1,3,5,7),故 选：BCD11.已 知 函 数/(x)=cos。万 x(o0),将/(x)的 图 象 向 右 平 移，-个 单 位 长 度 后 得 到 函 数 g(x)的 图 象，点 A,B,C 是 f(x)与 g(x)图 象 的 连 续 相 邻 的 三 个 交 点，若 AA 5 C 是 锐 角 三 角 形，则。的 值 可 能 为()A.-B.-C.D.石 3 4 3【答 案】A D【分 析】先 由 平 移 变 换 得 到 g(x)=cos可 x-否 再 同 一 坐 标 系 中 作 出
15、 了(X)和 g(x)的 图 象，求 得 两 图 象 的 相 邻 交 点 A,B,C 的 纵 坐 标，根 据 AA B C 是 锐 角 三 角 形 求 解.【详 解】解：/(x)=cosdwx(/0)向 右 平 移，-个 单 位 长 度 后 得 到,3(0函 数 g(x)=cos3；r(x-=COS(G;TX-,如 图 所 示：由 3。门“网 防 71|2 侬。力+在 sin-3 2 2得 COS CD7UX=5/3 sin COTUX，解 得 COS CD71X=，2贝 5=%=3，%=_ 彳 又 3。=2|%|=百，且 ABC是 锐 角 三 角 形,所 以 血 皿=器=华 1,则,3故 选
16、：A D1 2.已 知 函 数/(x)=e*+e-*c o s 2 x,若/(5)/仇)，则()A./(x)为 偶 函 数 B.在(-3,0)上 为 增 函 数 C.D.e*E l【答 案】AC【分 析】对 A,根 据 偶 函 数 的 定 义 判 断 即 可；对 B,求 导 分 析 函 数 的 单 调 性 即 可；对 C,根 据 函 数 的 单 调 性 与 奇 偶 性 判 断 即 可；对 D,根 据-0 不 一 定 成 立 判 断 即 可.【详 解】对 A,因 为/(-x)=e T+e*-c o s(-2 x)=eX+e-*cos2x=/(x),所 以,f(x)为 偶 函 数，故 A 正 确；
17、对 B,=e*-e-+2sin2x,当 时，ex-e vJ,2sin2x 0,所 以/(x).0,当 x 5 时,ev-e-AJ&2-e_5 e-e-1 2,2sin2x-2,所 以/(x)。，所 以/(x)在 0,+8)上 单 调 递 增，因 为/(x)为 偶 函 数，所 以“X)在(-0。)上 为 减 函 数，故 B 错 误;因 为/(芯)/伍)，所 以/(|引)/(闾)，又 因 为“X)在 0,+巧 上 递 增，所 以 国 同,即 X；4,故 C 正 确；显 然 占-9 0 不 一 定 成 立，则 e&1不 成 立，故 D 错 误.故 选：AC三、填 空 题 13.集 合 乂-1、3且
18、x e N 的 所 有 非 空 真 子 集 的 个 数 为.【答 案】6【分 析】首 先 求 集 合 的 元 素 个 数，再 根 据 公 式 求 解.【详 解】因 为 x l-l x 3且 xeN=0,2,所 以 该 集 合 的 所 有 非 空 真 子 集 的 个 数 为 23-2=6.故 答 案 为：614.已 知/?:HrwR,ar2+2x+l 0,q:a w(l,+c o),则 T7 是 4 的 条 件.(在 充 分 不 必 要、必 要 不 充 分、充 要、既 不 充 分 也 不 必 要 中 选 一 个 正 确 的 填 入)【答 案】必 要 不 充 分【分 析】首 先 根 据 题 意 得
19、 到 力：。2 1,从 而 得 到。，内)到,内)，即 可 得 到 答 案.【详 解】：Vxe R,ax2+2x+l 0,当。=0 时，2 x+l 0,解 集 不 是 R,舍 去，当 Q H O时，ud-daWO,解 得。之 1.综 上：-ip.a.因 为(1,+8)1,yo),所 以 即 是 q 的 必 要 不 充 分 条 件.故 答 案 为：必 要 不 充 分 15.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中，将 向 量 砺=(石,-1)绕 原 点。按 顺 时 针 方 向 旋 转 5 后 得 6到 向 量 0B=(?,),则 m+n2=.【答 案】4【分 析】求 出 方 的 模 及 对 应
20、的 角，即 可 得 旋 转 后 的 角，进 而 算 出 坐 标.【详 解】设 以 x 轴 正 半 轴 为 始 边，O A 为 终 边 对 应 的 角 为。(0 a根 据 题 意 得|函 1=2,cosa 吟，sina=-p 则 6(=等，向 量 次 绕 原 点。按 顺 时 针 方 向 旋 转 2 后，Om=2cos1 17C 兀-6_ _ 6=1,n=2sin1 In 7t-6_ _ 6=-6,从 而 机+“2=4.故 答 案 为：416.x2-4x-l,x 0,2r-2,x0,已 知 函 数/(x)=若 方 程/(x)2-2c/(x)+4=0 有 5 个 不 同 的 实 数 解，则 实 数。
21、的 取 值 范 围 为.【答 案】a-2【分 析】令 则/一 2必+4=0 在(-5,-2),(-2,-1)上 各 有 一 个 实 数 解 或 一 2 4+4=0 的 一 个 解 为-1,另 一 个 解 在(-2,-1)内，或/一 2必+4=0 的 一 个 解 为 一 2,另 一 个 解 在(-2,-1)内.【详 解】函 数 八 幻 的 大 致 图 象 如 图 所 示，y对 于 方 程(x)-2af(x)+4=0有 5 个 不 同 的 实 数 解，令，=f M,则 J-2af+4=0在(-5,-2),(-2,-1)上 各 有 一 个 实 数 解 或 一 2,”+4=0 的 一 个 解 为 T，
22、另 一 个 解 在(-2,-1)内，或 广 一 2小+4=0 的 一 个 解 为-2,另 一 个 解 在(-2,-1)内，当 产 2G+4=0在(-5,-2),(-2,-1)上 各 有 一 个 实 数 解 时，设 g(r)=*-2 a f+4,则，=4/-1 6 0,g(-2,()=一 8+4 a 0,2g(-5)=29+10a 0,当 一 为 f+4=0 的 一 个 解 为-1时，a=-1.此 时 方 程 的 另 一 个 解 为-4,不 在(-2,-1)内，不 满 足 题 意,当 产-2 m+4=0 的 一 个 解 为 一 2时，。=一 2,此 时 方 程 的 另 一 个 解 为-2,不 在
23、(-2,-1)内，不 满 足 题 意,综 上 可 知，实 数。的 取 值 范 围 为 故 答 案 为：四、解 答 题 17.AABC的 内 角 A,8,C的 对 边 分 别 是“涉,c.已 知 石 sin2c=2sin2c.求 角 C；(2)若=4,且 AA5C的 面 积 为 2 6，求 AABC的 周 长.【答 案】(1)C=?(2)2 6+6【分 析】（1）利 用 正 弦 的 二 倍 角 公 式 变 形 可 求 得 C 角；（2）由 面 积 公 式 求 得 匕，再 由 余 弦 定 理 求 得 c,从 而 得 三 角 形 周 长.详 解（1）因 为 2省 sinCcosC=2sin2C,si
24、nC 丰 0,所 以 tanC=5/3)TT因 为 0。乃，所 以 c=g.(2)因 为 A A B C 的 面 积 为 2 6,所 以 gx4bsin(=G 6=2 G,解 得 6=2,由 余 弦 定 理 得 C2=42+22-2 X 4 X 2COS y=12,解 得 c=2A/3.所 以 AABC的 周 长 为 a+h+c=2A/3+6.18.记 S“为 等 比 数 列 为 的 前“项 和.已 知 55-邑=-2752，且 4，-1,生 成 等 差 数 列.求 叫 的 通 项 公 式;设 我=K-1,求 数 列 也 的 前 2 项 和 笃”.【答 案】4=（-3严 32/1-1 氏=一
25、万 一（或 9-1)2【分 析】（1）由 题 意 可 得%+4=-2 7（叼+4）与 4+4=-2,从 而 可 得 公 比，进 而 得 到 q 的 通 项 公 式；（2）奇 偶 项 讨 论 去 掉 绝 对 值，利 用 等 比 数 列 前 项 和 公 式 可 得 结 果.【详 解】设%的 公 比 为 4,因 为 反-S3=-27邑，所 以=-27（/+4）,又 因 为 4,-1,成 等 差 数 列，所 以 q+g=-2,所 以 fLtf=_ 2 7,解 得 g=-3.生+4由 4（1+4）=-24=-2,解 得 4=1.所 以。,=（-3），(2)当 为 奇 数 时，%7=3 T-1 W O,当
26、 为 偶 数 时，=所 以=（4 1）一（2-1）+（4-1）（q-1）+3.-1-1）一（,-1），化 简 得 岂=|-2+a3 a4+a2n-t-a2 n 所 以=i+3+3?+3 2 2=当（或 与:！）.1 9.如 图，在 四 棱 锥 P-A 8 8 中，平 面 PA_L平 面 ABCD,AD/BC,PA=AB=BC=1,AD=2,CD=72,P A I A D,点 在 棱 PC 上，设 CE=ACP.(1)证 明：C D V A E.(2)设 二 面 角 C 的 平 面 角 为。，且|cose|=笔，求 2 的 值.【答 案】(1)证 明 见 解 析；(2)A=1.4【分 析】(1)
27、根 据 平 行 四 边 形 的 判 定 定 理 和 性 质、勾 股 定 理 的 逆 定 理，结 合 面 面 垂 直 的 性 质、线 面 垂 直 的 判 定 定 理 和 性 质 进 行 证 明 即 可；(2)建 立 空 间 直 角 坐 标 系，利 用 空 间 向 量 夹 角 公 式 进 行 求 解 即 可.【详 解】(1)证 明：取 相 的 中 点 尸，连 接 C F.因 为=2,5 C=1,所 以 AF=BC.又 A 8 C,所 以 四 边 形 Q M F是 平 行 四 边 形，从 而 CF=A8=1.因 为。尸+。/2=C)2,所 以 C/A DF,从 而 48J.4Z).因 为 AC=7i
28、TT=V,CZ)=夜,AQ=2,所 以 AC2+8 2=A)2,则 C)_LAC.因 为 平 面 PAD J平 面 ABCD,P A 1 A D,平 面 皿)L 平 面 ABCD=AD,丛 匚 平 面 抬。，所 以 平 面 A8C。，C O u平 面 A B C D,从 而 以.又 ACcPA=A,AC,PAu 平 面 PAC,所 以 CD_ L平 面 P A C,因 为 A u平 面 P 4 C,所 以 C D LA E；(2)由(1)知 PAA3,A。两 两 垂 直，以 A为 坐 标 原 点，而，而,Q 的 方 向 分 别 为 x,y,z轴 的 正 方 向，建 立 如 图 所 示 的 空
29、间 直 角 坐 标 系 A-.A(0,0,0),D(2,0,0),C(l,l,0),P(0,0,l),CP=(-1,-1,1),可 得 亚=*+2 丽=(1-4,1 4/1),亚=(2,0,0).设 平 面 AED的 法 向 量 为%=(x,y,z),而 庆=0 12x=0(AE.抚=0(1+(1 A)y+Az=0不 妨 令 V=2，则=因 为 C D L平 面 A C,所 以 可 取 平 面 AEC的 一 个 法 向 量 为=丽=(1,-1,0),因 为 限 7)|=.=fp=/1=,所 以 8无 一 182+9=0,1 7 1 w|n&、，2万-22+1 10解 得 或 3 彳=；3(舍
30、去).2 0.某 商 家 为 了 促 销，规 定 每 位 消 费 者 均 可 免 费 参 加 一 次 抽 奖 活 动.活 动 规 则 如 下：在 一 不 透 明 的 纸 箱 中 有 9 张 相 同 的 卡 片，其 中 3 张 卡 片 上 印 有“中”字,3 张 卡 片 上 印 有“国”字，另 外 3 张 卡 片 上 印 有“红”字.消 费 者 从 该 纸 箱 中 不 放 回 地 随 机 抽 取 3 张 卡 片，若 抽 到 的 3 张 卡 片 上 都 印 有 同 一 个 字，则 获 得 一 张 20元 代 金 券；若 抽 到 的 3 张 卡 片 中 每 张 卡 片 上 的 字 都 不 一 样，则
31、 获 得 一 张 10元 代 金 券；若 抽 到 的 3 张 卡 片 是 其 他 情 况，则 不 获 得 任 何 奖 励.(1)求 某 位 消 费 者 在 一 次 抽 奖 活 动 中 抽 到 的 3 张 卡 片 上 都 印 有“中”字 的 概 率.(2)记 随 机 变 量 X 为 某 位 消 费 者 在 一 次 抽 奖 活 动 中 获 得 代 金 券 的 金 额 数，求 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望 E(X).(3)该 商 家 规 定，消 费 者 若 想 再 次 参 加 该 项 抽 奖 活 动，则 每 抽 奖 一 次 需 支 付 5 元.若 你 是 消 费 者，请 从 收 益 方 面
32、 来 考 虑 是 否 愿 意 再 次 参 加 该 项 抽 奖 活 动，并 说 明 理 由.【答 案】(1)(2)分 布 列 答 案 见 解 析，数 学 期 望：14(3)我 不 愿 意 再 次 参 加 该 项 抽 奖 活 动，理 由 见 解 析【分 析】(1)根 据 古 典 概 型 的 方 法，结 合 组 合 数 的 计 算 求 解 即 可；(2)X 的 所 有 可 能 取 值 为 0,10,20,再 分 别 求 解 分 布 列 与 数 学 期 望 即 可；(3)根 据(2)中 数 学 期 望，求 解 消 费 者 在 一 次 抽 奖 活 动 中 的 收 益 判 断 即 可.【详 解】记“某 位
33、 消 费 者 在 一 次 抽 奖 活 动 中 抽 到 的 3 张 卡 片 上 都 印 有，中，字”为 事 件 A,则 尸(可=与=工.所 以 某 位 消 费 者 在 一 次 抽 奖 活 动 中 抽 到 的 3 张 卡 片 上 都 印 有“中 字 C9 o4的 概 率 是 上 84(2)随 机 变 量 X 的 所 有 可 能 取 值 为 010,2。，P（X=10）=c；C C=9C；28,9 iP（X=0）=l-7 28 28914所 以 X 的 分 布 列 为 X 0 10 20P9 928128a a 1 55E(X)=0 x+10 x+20 x=.v 7 14 28 28 14(3)记
34、随 机 变 量 Y为 消 费 者 在 一 次 抽 奖 活 动 中 的 收 益，则 y=X-5,所 以 E(y)=E(x)-5=-，0,因 此 我 不 愿 意 再 次 参 加 该 项 抽 奖 活 动.2 1.已 知 双 曲 线。：二-5=1(。0活()的 离 心 率 为 如，点 A(6,4)在 C 上.a b?2(1)求 双 曲 线 C 的 方 程.（2）设 过 点 3（1。）的 直 线/与 双 曲 线 C 交 于 2 E 两 点，问 在 x 轴 上 是 否 存 在 定 点 2，使 得 丽 丽 为 常 数？若 存 在，求 出 点 尸 的 坐 标 以 及 该 常 数 的 值；若 不 存 在，请 说
35、 明 理 由.【答 案】上 一=1;4 2（2）存 在，常 数 为 萼.10【分 析】（1）由 离 心 率 得 出/=2 加，再 代 入 已 知 点 坐 标 求 得。力 得 双 曲 线 方 程；（2）设（巧,左），直 线/的 方 程 为 y=3 T），代 入 双 曲 线 方 程，消 去 y 得 y 的 一 元 二 次 方 程，由 相 交 可 得 的 范 围，由 韦 达 定 理 得 芭+，内，设 存 在 符 合 条 件 的 定 点 尸&0）,计 算 出 丽 丽 并 代 入+X2 0 W 化 为 关 于 左 的 分 式，由 它 是 常 数 可 求 得 f,得 定 点 坐 标.【详 解】因 为 双
36、曲 线 c 的 离 心 率 为 如，2所 以（*）=1+7,化 简 得 合 二 2.将 点 A（6,4）的 坐 标 代 入 京-=1,可 得*於 1,解 得 从=2,所 以 C 的 方 程 为 三-匕=1.4 2 设。（办,X）,后 仇,必），直 线/的 方 程 为 y=Z（x-D,联 立 方 程 组-a2A-r-4消 去 y 得(1-2/)/+4k2x-2k2-4=0,2 1由 题 可 知 1一 2&2=0且（）,即 二 彳 且 上 2 H 万,所 以 X1+工 2=4 G 2k2+4-2k2，XX-2k2设 存 在 符 合 条 件 的 定 点 尸(f,0),则 PD=(占 T,yj,PE=
37、(T,)，所 以 PD,PE=_，)(X1 _，)+乂=(%-+1)玉 匹 2 _+k)(玉+&)+厂+.所 以 丽 丽=俨+1)(-2/-4)+4/+2)+(+/)(1 32),一 l-2k2化 简 得 丽.星 Y-”2+今 一 5)+/-4)因 为 苏 而 为 常 数，所 以-2二+4 5=解 得/-2 1 4此 时 该 常 数 的 值 为*-4=学，16所 以，在 X 轴 上 存 在 点 使 得 丽 方 为 常 数，该 常 数 为 萼.【点 睛】方 法 点 睛：本 题 考 查 求 双 曲 线 的 标 准 方 程，考 查 双 曲 线 中 的 定 点 问 题，定 点 问 题 的 解 题 方
38、法 是：设 直 线 方 程(或 点 斜 式 方 程)，设 交 点 坐 标 为(内,凹),(声,必)，直 线 方 程 代 入 双 曲 线 方 程 消 元 化 为 一 元 二 次 方 程(可 由 相 交 得 参 数 范 围 或 不 等 关 系)，应 用 韦 达 定 理 得 药+，龙 应，对 定 点 问 题 可 假 设 定 点 存 在，设 出 定 点 坐 标，计 算 定 点 满 足 的 关 系，并 代 入 韦 达 定 理 的 结 论 化 简 后，利 用 常 数、定 值 得 参 数 值，从 而 说 明 定 点 存 在，否 则 不 存 在.22.设 函 数/(x)=(x+l)ln(x+?)一 任+x),
39、其 中 机,eR.(1)当 i=l时,求/(x)的 极 大 值;若 不 等 式 f(x),0在 区 间 0,+8)上 恒 成 立，证 明：e-m.A.【答 案】(1)极 大 值 为 0(2)证 明 见 解 析【分 析】(1)两 次 求 导，分 析 导 函 数 的 单 调 性，即 可 得 到 f(x)的 极 大 值;(2)不 等 式/5)“。在 区 间 0,+向 上 恒 成 立,即 不 等 式 In(x+m)-町,0 在 区 间 0,+8)上 恒 成 立，设(x)=ln(x+m)-nr(x.O),研 究 函 数 的 单 调 性，求 出 函 数 的 最 值，即 可 做 出 判 断.详 解(1)当，
40、=1 时，/(x)=(x+l)ln(x+l)-(x2+x),1 _ 1贝|J/(x)=F(x)=ln(x+l)-2x,F(x)=-j-2=j-(x-l),令 尸(x)0,得 一 lx 令 F(x)-g，所 以 F(x)在 上 为 增 函 数，在(总 上 为 减 函 数，1-InlO 2-Ini 0 0,/(0)=0,所 以/(x)在 上 有 一 个 零 点，设 为 方,在 上 的 零 点 为 0.令 广(力 0,得 与 x 0,令 广(x)0,得 T 0,所 以 l(x)在(Tx),(0,y)上 为 减 函 数，在 小,0)上 为 增 函 数，故 的 极 大 值 为 了=0.(2)证 明：不
41、等 式/(。，0在 区 间 0,+8)上 恒 成 立，即 不 等 式 ln(x+?)-，骂,0 在 区 间 0,+8)上 恒 成 立，设/z(x)=ln(x+m)-nr(x.O),要 使 x+z0有 意 义，则 m0,/(0)=In”4,0,所 以 0 v 7 W 1,0,g)=-=匕 丝”.0).x-m x+m当 1一 M,0 时,(X)o,则/z(x)在 0,+8)上 为 减 函 数，/i(x)!h(o)=lnm 0,所 以 0 P 故 命 题 成 立.当 1-吸 0时、令 得 0*-in,n n所 以)在 上 为 增 函 数，在-九+勿 上 为 减 函 数，则 M 6 的 最 大 值 为
42、 h=mn-1-Inn,因 为 0,lnn+1 口 1所 以 科，-,且 加 一.n n 当.1 时，lnz?4-l.l,则 0 加 l,故 命 题 成 立；n 当 0v vl时，ln/t+l 0,/-j=-e 0,故 r(x)在(!)上 有 唯 一 零 点%e=,所 以 g(x)在(0,不)上 单 调 递 减，在 伍,1)上 单 调 递 增，所 以 g(x).g&)=ae&-(1叫,+巾)-1=0,故 命 题 成 立.综 上，命 题 e-2.J成 立.【点 睛】方 法 点 睛：证 明 不 等 式 往 往 转 化 为 新 函 数 的 最 值 问 题，本 题 的 关 键 是 研 究 函 数的 单 调 性，合 理 的 分 类 讨 论.