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1、2020 届湖南省师范大学附中年高三上学期11月月考数学（文）试题一、单选题1设复数z满足(1)2i zi，则z（）A12B22C2D2【答案】C【解析】【详解】(1i)z 2i，z2i1i2 12 1112iiiii=1i.|z|1+12.故答案：C【点睛】本题考查复数的运算及复数的模复数的常见考点有：复数的几何意义，zabi(a，bR)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量OZ都可建立一一对应的关系(其中 O 是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z 的
2、共轭复数记作z2已知:(1)(2)0pxx，2:log(1)1qx，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据题意解不等式可得集合p 与 q 的范围，根据充分必要条件的判定即可判断结论。【详解】因为2:(1)(2)0,:log(1)1pxxqx所以:12px，:1q x所以pq但qp所以p是q的充分不必要条件所以选 A【点睛】本题考查了根据不等式判定充分必要条件，属于基础题。3在等差数列na中，若5a，7a是方程2260 xx的两根，则na的前 11项的和为（）A22 B-33 C-11 D11【答案】D【解析】a5，a7是方程 x
3、22x60 的两根,则 a5a72,S11111112aa=11 a6进而得到结果.【详解】等差数列 an中，若 a5，a7是方程 x22x60 的两根，则 a5a72，a612(a5a7)1，an的前 11 项的和为S11111112aa 11a611 111.故选 D.【点睛】点睛：本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.4执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A10 B17 C19 D36【答案】C【解析】试题分析：该程序框图所表示的算法功能为：235919S，故选
4、C【考点】程序框图5用一平面去截体积为4 3的球，所得截面的面积为，则球心到截面的距离为（）.A2 B3C2D1【答案】C【解析】由球的体积344 33R，得球的半径是3R，利用球的截面的性质，即可求解【详解】设球的半径为R，截面圆的半径为r，由球的体积344 33R，得球的半径是3R，截面的面积为2r，则截面圆的半径是1r，所以球心到截面的距离为222Rr.故选：C.【点睛】本题主要考查了球的截面的性质的应用，其中解答中熟记球的截面的性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题6若直线220(0,0)axbyab被圆222410 xyxy截得弦长为4，则41ab的最小值是（）A9
5、B4 C12D14【答案】A【解析】圆22xy2x4y10的标准方程为：（x+1）2+（y2）2=4，它表示以（1，2）为圆心、半径等于2 的圆；设弦心距为d，由题意可得22+d2=4，求得 d=0，可得直线经过圆心，故有2a 2b+2=0，即 a+b=1，再由 a0，b0，可得41ab=（41ab）（a+b）=5+4baab 5+249baab当且仅当4ba=ab时取等号，41ab的最小值是9故选：A点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式
6、中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值.7设实数,x y满足不等式组00152xyy xyx，(2,1)是目标函数zaxy取最大值的唯一最优解，则实数a的取值范围是（）.A(0,1)B(0,1C(,2)D(,2【答案】C【解析】作出不等式组所对应的平面区域，分类讨论确定目标函数的最优解，即可得到答案【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OABC）.则(1,0),(2,1),(0,5)ABC由zyax得yaxz，平移直线yaxz，则直线的截距最大时，z 也最大，当0a时，yz在C处的截距最大，此时不满足条件.当0a时，直线yaxz，在C处的截距
7、最大，此时不满足条件.当0a时，直线yaxz，要使(2,1)是目标函数zyax取最大值的唯一最优解，则yaxz在B处的截距最大，此时目标函数的斜率a须小于直线BC的斜率2，即2a.故选：C【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题8如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处测得公路北侧一山顶D在西偏北 30（即30BAC）的方向上；行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75（即75CBE）的方向上，且仰角为 30 则此
8、山的高度CD()A3006m B1503mC1006m D1003m【答案】C【解析】先在ABC中由正弦定理求得BC 长，在Rt BCD,求得 CD 长。【详解】由题意得在ABC中，30BAC，0105ABC，045ACB，AB=600m,由正弦定理00,3002sin 30sin45BCABBCm,又仰角为30，即030DBC，所以0tan30,1006CDCDCBm，选 C.【点睛】解三角形可能会放在测量、航海等实际问题中去考查（常以解答题的形式出现）.主要通过给定条件进行画图，利用数形结合的思想，找准需要研究的三角形，利用正弦、余弦定理进行解题.9设函数21ln 11fxxx,则使21f
9、xfx成立的x的取值范围是（）A1,13B1,1,3C1 1,3 3D11,33【答案】A【解析】试题分析：21ln 11fxxx，定义域为，函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得21fxfx成立，的范围为1,13故答案为A.【考点】抽象函数的不等式.【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记根据函数的表达式可知函数为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把21fxfx可转化为，解绝对值不等式即可10ABC是边长为1 的等边三角形，点,D E分别是边,
10、AB BC的中点，连接DE并延长到点F，使得2DEEF，则AF BC的值为（）A58B18C14D118【答案】B【解析】试题分析：设BAa，BCb，11()22DEACba，33()24DFDEba，1353()2444AFADDFabaab，25353144848AF BCa bb.【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简.平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，
11、实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来11已知,A B分别是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右顶点，P是双曲线C右支上位于第一象限的动点，设PA，PB的斜率分别为1k，2k，则12kk的取值范围为（）.A2,baB,baC,baD2,bbaa【答案】A【解析】设点(,)P m n，得到22221mnab，利用斜率公式，求得2212222nbk kmaa，再利用基本不等式，即可求解【详解】由题意可得(,0),(,0)AaB a，设(,)P m n可得22221mnab，即有22222nbmaa，可得221212222,0nnnbk kk kma mamaa，则121222
12、bkkk ka，由,A B分别为左、右顶点，可得12kk，则122bkka故选：A【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其应用，其中解答中合理利用双曲线的标准方程，以及利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题12已知函数()f x 是定义域为R的奇函数，且当0 x时，22log,02147,22()f xxxxxx，若函数()(01)yf xaa有六个零点，分别记为123456,x xxxxx，则123456xxxxxx的取值范围是（）.A52,2B2110,2C(2,4)D103,3【答案】A【解析】利用函数的奇偶性，求得函数的解析式，作出函数的图象，结合函数的
13、图象六个零点，和函数的对称性，即可求解【详解】由题意，函数()f x 是定义域为R的奇函数，且当0 x时，22log,02()147,22xxf xxxx，所以当0 x时，22log(),20()147,22xxf xxxx，因为函数()(01)yf xaa有六个零点，所以函数()yf x与函数ya的图象有六个交点，画出两函数的图象如下图，不妨设123456xxxxxx，由图知12,x x关于直线4x对称，56,x x关于直线4x对称，所以12560 xxxx，而2324log,logxaxa，所以2324234logloglog0 xxx x，所以3 41xx，所以343422xxx x，取
14、等号的条件为34xx，因为等号取不到，所以342xx，又当1a时，341,22xx，所以3415222xx，所以12345652,2xxxxxx.故选：A【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数()yf xa有六个零点，转化为函数的图象的交点，结合函数的图象及对称性求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题二、填空题13甲、乙、丙三人中只有一人做了好事，他们各自都说了一句话，而且其中只有一句真话.甲说：是乙做的.乙说：不是我做的.丙说：不是我做的.则做好事的是_（填甲、乙、丙中的一个）【答案】丙.【解析】假如甲说的是对的，则乙说了假话，丙说的
15、是真话，与条件不符；假如乙说的是真话，则甲说的是假话，丙说的也是假话，符合条件；假如丙说的是真话，则甲乙二人中必有一人说的是真话，与条件不符，所以乙说的是真话，是丙做的好事.故答案为丙.14部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915 年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4 个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3 个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图.现在上述图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为_.【答案】916【解析】设图（3）中最小黑色三角形面积为S，求出最大三角形的面积
16、以及阴影部分的面积，利用几何概型概率公式求解即可.【详解】设图（3）中最小黑色三角形面积为S，由图可知图（3）中最大三角形面积为16S，图（3）中，阴影部分的面积为9S，根据几何概型概率公式可得，图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为916,故答案为916.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导
17、致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误.15若函数()3sin23f xx的图象为C，则下列结论中正确的序号是_图象C关于直线1112x对称；图象C关于2(,0)3对称；函数()f x 在区间5(,)12 12内不是单调的函数；由3sin 2yx的图象向右平移3个单位长度可以得到图象C.【答案】【解析】根据三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解，得到答案【详解】对于：函数()3sin23f xx的对称轴方程为5()212kxkZ，当1k时，1112x，故正确；对于，函数()3sin23f xx的对称中心为,0()26kkZ，当1k时，对称中心为2(,0)3，
18、故 正确；对于 ，函数()3sin23fxx的递增区间为5,()1212kkkZ，所以函数()f x 在区间5,12 12内单调递增，故错；对于 ，3sin 2yx的图象向右平移3个单位长度后得到的函数解析式为23sin 23sin233yxx，故错，所以应填.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答熟记三角函数的图象与性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题16函数3()f xxx，对于0,2x，都有|(1)|2xf axe，则实数a的取值范围是_【答案】211,2ee【解析】由题意，利用函数()f x 的奇偶性和单调性，转化得出2xxeaxe
19、ax，分别作出函数xye，yax和2yax，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数fx是定义在R上的奇函数，在,为单调递增，且12f，212xfaxe，即111xaxe，即2xxeaxeax作出xye与yax的图象，直线yax作为曲线xye切线可求得ae，当0,2x时，xeaxae；作出xye与2yax的图象，0,2x时，222xxeaxea，故2112ae，综上可得211,2aee.【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及函数的图象的应用，其中解答中根据函数的奇偶性和函数的单调性，转化为2xxeaxeax，利用函数xye，yax和2yax，结合图象求解是解答的关键，着重考查了转化思想
20、和推理与计算能力，属于中档试题.三、解答题17学校从参加高一年级期中考试的学生中抽出50 名学生，并统计了她们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），得到的样本频率分布表如下：分组频数频率60,75)20.0475,90)30.0690,105)140.28105,120)150.30120,135)AB135,150)40.08合计CD（1）在给出的样本频率分布表中，求A，B，C，D的值；（2）估计成绩在120 分以上（含120 分）学生的比例；（3）抽取的 50 名学生中，为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩在135150,的学生中选两位同学，共同帮助
21、成绩在60,75)中的某一位同学.已知甲同学的成绩为62 分，乙同学的成绩为135分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率.【答案】（1）50,12,0.24,1CABD；（2）0.32；（3）14；【解析】（1）由样本的频率分布表中的数据，即可求解,A B C D的值；（2）由频率分布表中的数据，即可估计成绩在120 分以上的学生比例；（3）成绩在60,75)内有 2 人，记为甲，a，成绩在135150,内的 4 人，记为乙，b，c，d，利用列举法求得基本事件的总数，根据古典概型及其概率的计算公式，即可求解【详解】（1）由题意，根据样本频率分布表，可得1250,50231415412,0
22、.24,150CABD.（2）估计成绩在120 分以上（含120 分）的学生比例为：0.240.080.32.（3）成绩在60,75)内有 2 人，记为甲、a，成绩在135150,内有4人，记为乙，b，c，d.则“二帮一”小组有以下12种分法：甲乙b，甲乙c，甲乙d，甲bc，甲bd，甲cd，a乙b，a乙c，a乙d，abc，abd，acd，其中甲、乙两同学被分在同一小组有3 中分法：甲乙b，甲乙c，甲乙d，所以甲、乙同学恰好被安排在同一小组的概率为31124P.【点睛】本题主要考查了频率分布直方表的应用，以及古典概型及其概率的计算公式的应用，其中解答中认真审题，合理利用频率分布直方表中的数据是解
23、答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题18如图所示，在三棱柱111ABCA B C中，侧棱1BB底面ABC，14BB，ABBC，且4ABBC，点M，N分别为AB，BC上的动点，且AMBN.（1）求证：无论M在何处，总有11B CC M；（2）求三棱锥1BMNB体积的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）83；【解析】（1）根据几何体的结构特征，利用直线与平面垂直的判定，证得1B C平面1AC B，即可得到结论；（2）利用棱锥的体积公式，得到11BMNBBBMNVV23BMBN，再利用基本不等式，即可求解【详解】（1）要证明无论M在何处，总有11B CC M，只须证明1BC平
24、面1AC B即可，1BB底面ABC，1BBAB，又ABBC，1BCB BB，AB平面1BCC B，1B CAB，11BCC B为正方形，11B CBC，又1ABBCB，1B C平面1AC B，原命题得证.（2）由三棱锥1BMNB的体积为：1111432BMNBBBMNVVBMBN22283323BMBNBMBN，当 BM=BN=2 时取等号.所以三棱锥1BMNB体积的最大值为83.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定及应用，以及棱锥的体积公式的应用，其中解答中熟记项目位置关系的判定定理和性质定理，以及熟练应用棱锥的体积公式，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档
25、试题19如图是由正整数构成的数表，用aij表示 i 行第 j 个数（i，jN）此表中ailaiii，每行中除首尾两数外，其他各数分别等于其“肩膀”上的两数之和（1）写出数表的第六行（从左至右依次列出）（2）设第 n 行的第二个数为bn（n2），求 bn（3）令1222nncbnn，记 Tn为数列11nnc c前 n 项和，求1nnTC的最大值，并求此时n 的值【答案】（1）见解析；（2）1122nn nbn；（3）答案见解析.【解析】分析：(1)由题意可得第6 行为：6、16、25、25、16、6；(2)观察数表累加求和可得1122nn nbn.(3)结合(2)的结论可得2n时1,ncn，则1
26、11112nnc cnn，裂项求和可得22nnTn，则111424nnTcnn，结合均值不等式的结论可得当且仅当2n时1nnTc取得最大值116.详解：(1)第 6 行为：6、16、25、25、16、6，(2)观察数表可知：322bb，433bb，544bb，11nnbbn，以上诸式相加得：22341nbbn，11 12341122nn nbnn.(3)12,nncn时，111111212nnc cnnnn，12231111nnnTc cc cc c111111112334122222nnnnn，21111424424nnTncnnnn，44nn（当且仅当2n时取等号），11 112 816n
27、nTc，取最大值时2n.点睛：本题的核心是考查裂项求和的方法，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的20如图，已知抛物线2xy.点 A1 13 9-2 42 4B，抛物线上的点P（x,y）13-x22,过点 B 作直线 AP的垂线，垂足为Q（I）求直线AP 斜率的取值范围；（II）求PA?PQ的最大值【答案】（I）（-1，1）；（II）2716.【解析】试题分析：本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分15 分。（
28、）由斜率公式可得AP 的斜率为12x，再由1322x，得直线AP 的斜率的取值范围；（）联立直线AP与 BQ 的方程，得 Q 的横坐标，进而表达|PA与|PQ的长度，通过函数3()(1)(1)f kkk求解|PAPQ的最大值试题解析：（）设直线AP 的斜率为k，2114122xkxx，因为1322x，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)（）联立直线AP 与 BQ 的方程110,24930,42kxykxkyk解得点 Q 的横坐标是22432(1)Qkkxk因为|PA|=211()2kx=21(1)kk，|PQ|=222(1)(1)1()1Qkkkxxk，所以3(1)(1)kkPAPQ令3(
29、)(1)(1)f kkk，因为2()(42)(1)fkkk，所以f(k)在区间1(1,)2上单调递增，1(,1)2上单调递减，因此当 k=12时，|PAPQ取得最大值2716【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达|PA与|PQ的长度，通过函数3()(1)(1)f kkk求解|PAPQ的最大值21设函数f(x)=ax2-a-ln x，其中 a R.（I）讨论 f(x)的单调性；（II）确定 a 的所有可能取值，使得在区间（1，+）内恒成立(e=2.718 为自然对数的底数)。【答案】(1)当时，0，单调递增;(2
30、).【解析】试题分析：本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力.第（）问，对求导，再对a 进行讨论，从而判断函数的单调性；第（）问，利用导数判断函数的单调性，从而证明结论.试题解析：（）0，在内单调递减.由=0，有.此时，当时，0，单调递增.（）令=，=.则=.而当时，0，所以在区间内单调递增.又由=0，有0，从而当时，0.当，时，=.故当在区间内恒成立时，必有.当时，1.由（）有,从而，所以此时在区间内不恒成立.当时，令，当时，因此，在区间单调递增.又因为，所以当时，即恒成立.综上，.【考点】导数的计算，利用导数求函数的单调性，
31、解决恒成立问题【名师点睛】本题考查导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力求函数的单调性，基本方法是求，解方程，再通过的正负确定的单调性；要证明不等式，一般证明的最小值大于0，为此要研究函数的单调性本题中注意由于函数的极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围比较新颖，学生不易想到，有一定的难度22（1）如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，求圆220 xyx的参数方程；（2）在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为11xsys，（s为参数），曲线C的参数方程为22xtyt（t为参数），若l与C相交于,A B两点，求AB的长
32、.【答案】（1）2cossincosxy（为参数）；（2）2【解析】（1）求得圆的半径为12，记圆心为1(,0)2C，连接CP，则2PCx，根据圆的参数方程形式，即可求得圆的参数方程；（2）求得直线l的普通方程2xy和曲线C的普通方程为2(2)(0)yxy，联立方程组，求得交点的坐标，即可求解AB的长【详解】（1）由题意，圆的方程220 xyx，可得圆的半径为12，记圆心为1(,0)2C，连接CP，则2PCx，所以211cos2cos22Px，1sin 2sincos2Py（为参数）.所以圆的参数方程为2cossincosxy（为参数）.（2）由直线l的参数方程为11xsys，（s为参数），可
33、得直线l的普通方程2xy，由曲线C的参数方程为22xtyt（t为参数），可得曲线C的普通方程为2(2)(0)yxy，联立方程组22(2)xyyx，得2320 xx，解得1x或2x，即点(1,1),(2,0)AB，所以22(21)(01)2AB.【点睛】本题主要考查了圆的参数方程的求解，以及直线与曲线的位置关系的应用，其中解答中熟记圆的参数方程的形式，以及联立方程组，求得交点的坐标是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题23选修 45：不等式选讲设函数1fxa x（）当1a时，解不等式3fxfxx；（）设1a，当1x时，求证：254fxx【答案】（）2|3x x；（）见解析.【解析】试题分析：（）分段去绝对值解不等式即可；（）221fxxa xx21a xx结合条件即可证明.试题解析：（I）当1a时，不等式3fxfxx 即113xxx当1x时，得113xxx0 x，1x当11x时，得113xxx23x，213x当1x时，得113xxx0 x，与1x矛盾，综上得原不等式的解集为2|1|13x xxx=2|3x x（II）221fxxa xx21a xx1a，1x2fxx21axx21xx22155|1244xxx，当12x时取“=”，得证