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1、 第六章平面向量与复数6.1 平面向量”命 题 探 究 曾i .平面向量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题；2 .同三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，考查数形结合思想、函数方程思想以及分析问题解决问题的能力.难度为中等或中等偏易.:真题归纳题型一 平面向量的概念及线性运算1 .（2 01 6 北京）设 乙 Z 是向量，则“而尸向”是“日+&=日一身”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解答】解：若“而=而 ，则以2,%为邻边的平行四边形是菱形;若“
2、向+=向 一 萨，则 以 二 1 为邻边的平行四边形是矩形;故 响=向”是“而+i|=|a -谓 的既不充分也不必要条件;故选：D._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2 .（2 01 3 全国）已知向量。7,而 不 共线，丽=与 丽，则向量丽=（）1-4-2 T 1-2-A.-O A-O B B.-。4+。8 C.一。4 一 一 0B3 3 3 3 3 3【解答】解：非零向量次后不共线，且 扇=4 扇，OM-OB=T 1 T 2 T可得：向量0 M =90 4+（0B.1-2 TD.一。A +083 3故选：D.3.(2 01 8 新课标I)在A A B C 中，A。为 3C边上的
3、中线，E为 AD的中点，则E B =()A.-AB-A CB.-AB-A CC.-4 B +-A CD.-AB+-A C【解答】解：在4 人 3。中，A。为 BC边上的中线，E为 AO的中点，EB=AB-AE=AB-AD=A B-x (AB+AC)=1AB-AC,故选：A.4.(2 01 4 新课标I)设。，E,产分别为 A B C 的三边8 c C A,A8的中点，则 扇+同=()A.AD1 -B.-AD2C.BC【解答】解：。，E,F分别为A A B C 的三边B C,CA,AB的中点,C.EB+FC=(E F +F B)+(F F +F C)=FB+EC=CAB+AC)=AD,故选：A.
4、题型二.平面向量基本定理1.(2 01 5 新课标H)设向量 1 不平行，向 量 江+。与；+2 平行，则实数1=.【解答】解：响量京南不平行，向量a+Z 与之+2 引平行，T T T T T T 入 a +h =r (a +2 b)=t a +2tb,乃=，*,解得实数九=故答案为：2 _ _ _,2.(2 01 8 新课标H I)已知向量。=(1,2),b=(2,-2),c=(1,X).若。(2 a +b),则 九=3.【解答】解：向量展=(1,2),1=(2,-2),：.2 a b=(4,2),V c =(1,X),c/(2 a +b),e1 _ A.一=,4 2解得1=.1故答案为：3
5、.(2015新课标I)设。为AABC所在平面内一点，BC=3 0),则()T I-4 T T T 4 TA.AD=-A B A C B.AD=A B-A CT 4 T T T 4 T I_*C.AD=A B+A C D.AD=A B -A C【解答】解：BC=3CD；：.A C-A B =3(A D-A Q；T 1 T 4 T：.AD=-赳 8+“C.故选：A.4.(2015北京)在AABC 中，点 M,N 满足4M=2MC,BN=N C,若MN=x 4B+y 4C,则 x=7,y=_ 1【解答】解：由已知得到疝V=&+E =4 晶+劣 晶=1 h+?/一 启)=劣又 一!总。乙 D 乙 乙。
6、由平面向量基本定理，得到x=y=-1；故答案为：；，一;.2 64.(2017新课标I I I)在矩形ABC。中，AB=,A D=2,动 点 P 在以点C 为圆心且与8。相切的圆上.若则九+N的最大值为()A.3 B.2/2 C.V5 D.2【解答】解：如图：以A 为原点，以A8,A O所在的直线为x,y 轴建立如图所示的坐标系，则 A(0,0),B(L 0),D(0,2),C(1,2),.动点尸在以点C 为圆心且与BO相切的圆上，设圆的半径为；BC=2,CD=1,：.BD=722+12=751 1 一BC CD=3BD r,2 2,2,”屈.圆的方程为(X-1)2+(y-2)2=1,2 5
7、2 75设点 P 的坐标 为(-c o s O+1,s i n 0+2),/=XAB+薪，2 75 2 6(COS 0+1,s i n 9+2)=入(1,0)+|1 (0,2)=(入，2|1),.2 V5 2/5.c o s O+l=九,-s i n 0+2=2|i,.*.X+|i=c o s 0+s i n 0+2=s i n (0+(p)+2,其中 t a n(p=2,V -l s i n (0+(p)1,l X+p b)J _ b,T T T Q所 以(a f b)b=3(1 -3X)+4(3-4X)=1 5-2 5 X=0,解得九=1.3故答案为：g2.(2 01 9新课标 II)已知
8、AB=(2,3),AC=(3,f),BC=,则=()A.-3 B.-2 C.2 D.3【解答】解：；/=(2,3),AC=(3,t),：.BC=AC-AB=(1,t-3),：BC=,Ar-3=0 即 忌=(L 0),AB-BC=2故选：C.3.(2 01 9新课标 H I)已知向量。=(2,2).b=(-8,6),则 c o s Va,b =【解答】解：a-b=2x(-8)+2 x6=-4,|a|=V22+22=2A/2,|/?|=8=+6?=1 0,f ；、4 42cos=故答案为：-号一t 1 V3 t y/3 14.(2 01 6新课标H I)已知向量B4=(-,),BC=(一,一)，则
9、N A B C=()2 2 2 2A.30 B.45 C.60 D.1 2 0【解答】解:BA-BC=+-=,BA=BC=1；,A D T BA BC 75.cosZ-ABC=亍；必 118cl又 0。/乙43仁 1 80。；Z A B C=30.故选：A.5.(2 01 6新课标 I )设向量4=(z n,1),6=(1,2),且|；+b|2=E F+|b ,则洲=-2【解答】解：曰+b =GF+|b|2,可得=0.向量；=(m,1),b=(1,2),可得?+2=0,解得m=-2.故答案为：-2.6.(2013湖北)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量而
10、在2)方向上的投影为()3V2 3V15 3a n 3国2 2 2 2【解答】解：AB=(2,1),CD=(5,5),r,二r 一 -一一 一，一,、，-T T ABCD ABCD 15 3y/2则向量4B 由CD方向上的投影为：卜 cosV 4B,CD =AB*=;=厂=-=一 产=-,ABCD CD 5V2 2故选：A.7.(2015湖南)已知A,B,C 在圆，+尸=1 上运动，S.A B L B C,若点P 的坐标为(2,0),则|川 1 +而+后|的最大值为()A.6 B.7 C.8 D.9【解答】解：由题意，A C为直径，所以|晶+而+而|=|2而+法|所以 8 为(-1,0)时，2
11、P0+P5|,2P0+PB|=|2(-2,0)+(cosa-2,sina)|=|(cosa-6,sina)|=y/cosa-6)2+sin2a=V37-12cosa,当 c o s a=-l 时，B为(-1,0),取得最大值7.故选：B.8.(2021 新高考 I)已知 O 为坐标原点，点 Pi(cosa,sina),Pi(cos0,-sin0),P3(cos(a+。),sin(a+。),A(1,0),则()A.|0 i|=|0,2l B.|A l =l 2lC.0A0P3=0P0P2 D.&o/i=OP2OP3【解答】解：法一、VP i (c o s a,s i n a),Pi(c o s。
12、，-s i n。)，P3(c o s (a+p),s i n (a+p),A(1,0),T T.0P1=(c o s a,s i n a),0P2=(c o s p,-s i n p),OP 3=(c o s (a+p),s i n (a+p),OA=(1,0),TAP=(cosa-1,sina),AP2=(c o s夕1,s i n/?),则l P i l=7cos2a+s i n 2 a =1,0P2 =y/cos2P 4-(-s i n?)2=1,则|0P|=|0P 2 l，故 4 正确；1 4P li =yj(cosa l)2 4-sin2a=yjcos2a+sin2a 2cosa 4
13、-1 =yj2 2cosa,AP2 =(cosB-1)2 +(s i印 产=J i o s 2=+sin20 2 c o s/?+1 =J 2 -2 c o s 0,APAP2,故 B 错误；OA-0P3=lxc o s (a+p)+0 xs i n (a+p)=c o s (a+0),_ _ TOPi 0P2=c o s a c o s p -s i n a s i n p=c o s (a+p),：.0A0P3=0 P 0 P2,故 C 正确；OA OP】=1 xc o s a+Oxs i n a=c o s a,T 0P2-OP3=c o s p c o s (a+p)-s i n p
14、s i n (a+p)=c o s p+(a+p)J=c o s (a+2 p),.,.OAOP1 丰 OP2OP3,故 D 错误.故选：AC.法二、如图建立平面直角坐标系，A(1,0),作出单位圆0,并作出角a,p,-p,使角a的始边由O A重合，终边交圆。于点R,角0的始边 为O P i,终边交圆。于尸3,角-0 的始边为 O A,交圆 O 于 P 2,于是 P i (c o s a,s i n a)P3(c o s (a+P),s i n (a+。)，P2(c o s。，-s i n p),由向量的模与数量积可知，A、C正确；B、/)错误.故选：AC.题型四.平面向量的数量积1.(201
15、7新课标n)设非零向量工b满足向+切=向一团，则()A.a b B.a=b C.a/b D.|a|b|【解答】解：非零 向 量 b满足丘+b|=向一 b|,A(a+b)2=(a b)2,-T -T2+垃+2ab=a2 4-62 2ab,4ab=0,解得a-b=0,.a 1 b.故选：A.2.(2021甲 卷)若 向 量 b满足而=3,a-b=5f a*b=1,则由 1=3V l【解答】解：由题意，可得而一1)2=*一 2友 工+/=25,因为向=3,a Z =1,所以9 2 x l +2=25,所以於=18,b=J b2=3V2.故答案为：3企.3.(2020新课标H I)已知向量高 b满足而
16、=5,|b|=6,a*h=-6,则 cos 2,a+=()A 3 1A一 新B-17C.3519D.35【解答】解:向 量 1满足=5,|b|=6,a*b=-6,可得向+b=Q2+2a b+Z?2=V25 12+36=7,-、3 G+b)cos =,=aa+b-2 T Ta+a-b 25-6 195X7-=_Sx7-=35-故选：D.4.(2021新高考I I)已知向量或+2+”=d,|a|=l,向=向=2,则(a bT +bT*Tc +c a【解答】解：方 法 1:由Q +b+c=0得a+b=或Q+c=-匕或Z?+c=-a,(a+b)2=(-c)2或+c)2=(-b)2或(6+c)2=(-a
17、)2,又：向=1，|b|=|c|=2,：.5+2ab=4,5+2a-c=4,8+26-c=1,.T I-T-7.T TT T Q；ab=2 a,c=一2，bc=o,*b+a*c+b*c=故答案为：*壮。(a+b+c)2-|a|2-|h|2-|c|2 0-1-4-4 9方法 2：Qb+b9c+c*a=-=-二 一于故答案为：5.(2016 天 津)已 知 是 边 长 为 1 的等边三角形，点。、E 分别是边A3、B C的中点，连接OE并延长到点F,使得D E=2E F,则於应:的值为()5 1 1 11A.Q B.-C.-D.一8 4 8 8【解答】解:如 图，:。、E 分别是边A8、B C的中
18、点，且 OE=2E凡：.AFBC=(40+DF)-BC=(一;8A+；DE)BC=BC=(-标 +辰 一；网./1=(-河+河)BC=-B A-BC+BC2=1BA|BI7|cos600+3.7 5.【解答】解：由AP=*(4B+A C),可得？为 B C的中点，则|CP|=1,：.PD=V22+I2=V5,J.PB-PD=PB(PC+CD)=-PC(PC+CD)=-PC2-PC-CD=-1,故答案为：V5-1.7.(2015四川)设四边形ABC。为平行四边形，|.|=6,|元)|=4,若点M、N 满足俞=3MC,DN=2NC,则 京-AW=()A.20 B.15 C.9 D.6【解答】解：；
19、四边形A8C。为平行四边形，点 M、N 满 足 易=3 靛，DN=2NC,.根据图形可得：AM=AB+BC=AB+AD,AN=AD+DC=AD+AB,：.NM=AM-A N,JAM-NM=AM-CAM-AN)=AM2-AM -AN,T-T1 3 T T 9 T lAM2=4辟+沙 AD+，T T 2 T 0 3)3 TAM-AN=力 矣+露。2+4B-AD,3 4 zI丽=6,AD=4,T T 1 9 3 0：.AM-NM=AB2-A D2=12-3=9故选：C.8.(2015天津)在等腰梯形ABC。中，己知ABOC,AB=2,B C=1,乙4BC=60。，点 E 和 F 分别在线T 2 T
20、T 1 -T T 29段 5 c 和 OC上，且DF=*D C,贝必E4F的 值 为-7.3 6 rs-【解答】解：A8=2,8 c=1,NA8C=60。，1 1：.BG=BC=,CD=2-1 =1,ZBCD=120,：BE=BC,DF=DC,3 o：.AEAF =(AB+BE)CAD+DF)=CAB+IBO (A D+1z)C)3 6TTTT 7 T T 7Tl T n O=AB A D+z A B*DC 4-BC AD+B C DC=2x 1 x c o s600+z x 2x 1 x c o sO 0+亍 x 1x 1 x c o s60+亍 x6 3 3 6 6 3 31 i i 10
21、n o _ i ,1.1 1 296X l x l x c o sl 20=l +4 一 正=而，29故答案为：题型五.平面向量中的最值问题1.(2014浙江)设 e为两个非零向量房 而勺夹角，已知对任意实数f,正+向 的最小值为1.()A.若。确定，则而唯一确定 B.若 0 确定，则依唯一确定C.若向确定，则。唯一确定 D.若向确定，则。唯一确定【解答】解：由题意可得+而2=a2t2+2a-bt+b2令 g(r)=a2t2+2a-bt+b2可得 A=4(Z -b)2 4a2/?2=4a2b2c o s20-4a2b2 即 g (-图 c o s。)=-b2cos29 +b2=|b|2si n
22、20=l故当8 唯一确定时，|b|唯一确定,故选：B.2.(2020山东)已知P是边长为2 的正六边形A B C C E F 内的一点，则G几 的取值范围是()A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)【解答】解：画出图形如图，AP-AB=APABcos,它的几何意义是AB 的长度与G在京向量的投影的乘积，显然，P在 C 处时，取得最大值，|品ICOSNCAB=AB+AB=3,可得=APABcos =2x3=6,最大值为6,在尸处取得最小值，APAB=APABcos =-2 x 2 x 1=-2,最小值为-2,P 是边长为2 的正六边形ABCDE厂内的一点，所以G 我的取
23、值范围是（-2,6）.3.（2020天津）如图，在四边形ABC。中，ZB=60,A8=3,B C=6,且G =入成?，疝）几=一|,则 实1 T T T 13数九的值为1，若 M，N 是线段BC上的动点，且的口，则DM 3N的最小值为三【解答】解：以B 为原点，以 BC为x 轴建立如图所示的直角坐标系,VZB=60,A8=3,3 3A/3/.A（一，-），2 2VBC=6,：.C（6,0）,*：AD=XBC9:.AD/BC,5 3V3设 （刈，），AD (xo-0),AB (9 -3；3)，.AD*AB=1(xo1)+0=-I，解得xo=I，5 3/3(一,-),2 2：.AD=(1,0),B
24、C=(6,0),：.ATD =z1B CT,o .人,一夕1V|MAf|=l,设 M(x,0),则 N G+L 0),其中 g烂5,.,5 3 氏彘 _ ,3 3 氏DM=(x-2-)，DN=(X-2 )，：.DMDN=(x-|)(%-1)+竿=，4犬+等=(%-2)2+y-,当x=2 时取得最小值，最小值为日,4.（2017新课标I I）已知AABC是边长为2 的等边三角形，P 为平面ABC内一点，则易（而+而）的最小值是（）3 4A.-2 B.-2 C.可 D-1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以 8 c 中点为坐标原点，则 A(0,V3),8(-1,0),C(1,0),设 P(x,y)
25、,则P4=(-x,V3 y),PB=(-1 -x,-y),PC=(1 -x,-y),则 易.(PB+PC)=2?-2V3y+2/=2?+(y-冬 2-1 j.当x=0,尸 空 时，取得最小值2x(_ =_ ,T T T-1 1方法 2：取 BC 的中点 M,AM 的中点 N,则，PA-(PB+PC)=PA-2PM=2(PN2-A M2)20-4-(V3)2=2当且仅当尸与N 重合时，取得等号.故选：B.5.(2015湖南)已知A,B,C 在圆/+尸=1 上运动，S.ABA.BC,若点尸的坐标为(2,0),则|己+通+后|的最大值为()A.6 B.7 C.8 D.9【解答】解：由题意，A C为直
26、径，所以|日1 +而+后|=|2访+法|所以 B 为(-1,0)时，2PO+PB _ _2P0+PB|=|2(-2,0)+(cosa-2,sina)|=|(cosa-6,sina)|=yj(cosa-6)2+sin2a=V37 12cosa,当 cosa=-1时，B为(-1,0),取得最大值7.故选：B.T T T T 1T T AR 4-AC6.(2015福建)已知力B J.AC,|AB|=?|AC|=t,若 P 点是AABC所在平面内一点，且4P=铝+当，AB MC|则 赤 后 的最大值等于()A.13 B.15 C.19 D.21【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，,1可得 A(0,
27、0),B(-,0),C(0,力，.A AB,4AC.z.八 AP=.P (1,4)，AB ACT 1：.PB=(-1,-4),PC=(-1,r-4),tT T 1 1：.PB-PC=-(-1)-4(f-4)=17-(4什;),tt由基本不等式可得g +4r2旧 4t=4,1.17-(4/+p =xCB：BD=2DC,BC=3DC,/.0 x 2 =1，e?=1,e?_ 1 TT 2-)T T 2a b=(e1+2e2)(2e1 3e2)=2e1+G e2-6e2=2-6=4；|a|=+2办2 4-4eT1 eT T 2 _._2+4e2=V I 2+4=V3；T T TT TTg f二 b在a
28、方向上的投影为：bcos边上一点，若第，晶=|族产，则 酢j=（）A.5 B.3【解答】解；如图所示：3C.一2D.52：AF-AE=由 2,J.AF -AE=A E2,：.AF -AE-AE2=0,即 足 而 二 启 二。,J.AE-EF=G,：.AEEFt联结E R令D F=x,在直角三角形A M中有：AE1+EF2=AF19 A/=A 解+8 七2=42+22=20,EF2=EC2+CF2=21+（4 一 x）2,AF2=AD2+DF2=42+X2,A202+22+（4-X）2=4 W,解得：x=3,：.AF=5,故选:A.7.已知 O 是4ABC 内部一点，OA OB+OC=0,AB
29、AC=2,且NBAC=60。，则|薪|晶|=4；08CV3的面积为:.【解答】解：.+茄+儿=3：.OA+OB=-0C0为三角形的重心0 8 C的面积为“8 C面积的19：AB-AC=2：.AB ACCOS.BAC=29：ZBAC=60：.AB AC=4I-r ABC 面积为 ACsinz.BAC=43O8C的面积为V3故答案为：4；.8.已知等边 ABC内接于圆：?+/=1,且尸是圆 上一点，则总（而+无）的最大值是（）A.V2 B.I【解答】解：设BC的中点为E,连接AE,C.V3PE；D.2并设P。与OE的夹角为0如图：、-/因为等边AABC内接于圆r：，+)2=1,所以。在A E上且OA=2OE=1；：.PAPB+PC)=PA-2PE=2CPO+O A X P O +0E)=2PO2+PO 则 PA+PB+PC=(P0+04)+(PO+OB)+(PO+OC)=3PO+08,；尸是圆f+/=4 上的动点，：.PO=2,：.PA+PB+PC=3PO+OB3PO+OB=3x2+=l,当方与防共线时，取得最大值7；故选：C.