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1、2022-2023学 年 吉 林 省 长 春 市 高 中 高 二 上 学 期 第 三 学 程 考 试 数 学 试 题 一、单 选 题 1.已 知 集 合 A=T,1,2,3,B=-2,-1,0,3.现 从 集 合 A 中 取 一 个 元 素 作 为 点 P 的 横 坐 标，从 集 合 8 中 取 一 个 元 素 作 为 点 尸 的 纵 坐 标，则 位 于 第 四 象 限 的 点 尸 有（）A.16 个 B.12 个 C.9 个 D.6 个【答 案】D【分 析】根 据 第 四 象 限 点 的 特 征，运 用 分 步 乘 法 计 数 原 理 进 行 求 解 即 可.【详 解】因 为 第 四 象 限
2、 的 点 横 坐 标 为 正，纵 坐 标 为 负，所 以 集 合 4=工 1,2,3中 只 有 1,2,3符 合，集 合 B=2,1,0,3中 只 有-2,-1符 合，所 以 第 四 象 限 的 点 尸 有 3x2=6 个，故 选：D2.（2x-y）6的 展 开 式 中，fy*项 的 系 数 是（）A.30 B.-30 C.60 D.-60【答 案】C【分 析】由 二 项 式 定 理 求 解【详 解】由 题 意 7；3=C：（2x）j（_y）当 r=4 时，项 的 系 数 是 15x4=60故 选：C3.6 人 排 成 一 排，其 中 甲、乙 相 邻，且 甲、乙 均 不 与 丙 相 邻 的 排
3、 法 共 有（）A.36 种 B.72 种 C.144 种 D.288 种【答 案】C【分 析】将 甲 乙 视 为 1个 人，利 用 插 空 法 排 列 使 甲 乙 与 丙 不 相 邻，再 排 甲 乙 作 答.【详 解】把 甲 乙 视 为 1个 人，先 排 除 甲 乙 丙 外 的 另 3 人，有 A；种 方 法，再 将 甲 乙 与 丙 插 入 4 个 空 隙 中，有 A：种 方 法，最 后 排 甲 乙，有 A；种 方 法，由 分 步 乘 法 计 数 原 理 知，A；A：A；=144（种），所 以 所 求 的 排 法 共 有 144和 L故 选：C4.已 知 直 线 Z,:4x-3y+6=0 和
4、 直 线/2:x=-l,则 抛 物 线/=4x上 一 动 点 P 到 直 线/,和 直 线/,的 距 离之 和 的 最 小 值 是()37 1 1 7A.B.C.2 D.一 16 5 4【答 案】c【分 析】由 x=-l是 抛 物 线 丁=4 x的 准 线，推 导 出 点 P 到 直 线 4：4 x-3 y+6=0 的 距 离 和 到 直 线 4：x=-l 的 距 离 之 和 的 最 小 值 即 为 点 P 到 直 线 4：4 x-3 y+6=。的 距 离 和 点 P到 焦 点 的 距 离 之 和，利 用 几 何 法 求 最 值.【详 解】.x=-1是 抛 物 线 尸=4 的 准 线，.尸 到
5、 尸-1的 距 离 等 于 归 目.过 尸 作 P Q U 于 Q,则 尸 到 直 线 和 直 线 的 距 离 之 和 为|PE|+|PQ|抛 物 线 y?=4 x的 焦 点 尸(1,0)过/作 乌 尸 于 2,和 抛 物 线 的 交 点 就 是 Pt,.|/F|+|7Q|PF|+|Pe|(当 且 仅 当 E P、。三 点 共 线 时 等 号 成 立)点 P 到 直 线 4：4 x-3 y+6=0 的 距 离 和 到 直 线/,：%=-1 的 距 离 之 和 的 最 小 值 就 是 尸(1,0)到 直 线 4x-3y+6=0 月 巨 离，二 最 小 值 闻 上 嘿 粤=2.x/16+9故 选：
6、C.5.设(1+x)=/+q x+a,x,若 q+%+a“=6 3,则 展 开 式 中 系 数 最 大 的 项 是()A.1 5/B.20 x3C.2 lx3D.3 5/【答 案】B【分 析】利 用 赋 值 法 可 求 得 为=1,继 而 求 得 4+4+/+/=2，由 此 可 得 2=63+4=6 4,求 得 的 值，即 可 求 得 答 案.【详 解】因 为（1+x）+a x,所 以 当 x=0时，可 得）=1；当=1时，可 得%+4+/+“=2.又 4+%+=6 3,所 以 2=63+%=64,得=6,所 以（1+力 6的 展 开 式 中 系 数 最 大 的 项 为 第 4 项，即 C江
7、3=20 x3,故 选：B2 26.已 知 双 曲 线 C:、-=l（a 0力 0）的 左、右 焦 点 分 别 为 K，E，点 M在 双 曲 线 C 的 右 支 上,MF.1MF,若 M片 与 C 的 一 条 渐 近 线/垂 直，垂 足 为 M 且|N制-|O N|=2,其 中 O 为 坐 标 原 点,则 双 曲 线 C 的 标 准 方 程 为（）【答 案】C【分 析】利 用 中 位 线 的 性 质 得 到。且|。叫=今 马|,根 据|崎 卜|0川=2得 到 0=2,然 后 利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 得 到|N耳|=6,最 后 再 直 角 三 角 形 耳 N。中 利 用 勾
8、股 定 理 列 方 程 得 到 b=4,即 可 得 到 双 曲 线 方 程.【详 解】因 为 ON LN Ft,且 O为 月 入 中 点，所 以 O N Mg，且|0叫=子 岫|,因 为|帽|-|C W|=2,所 以|9|一 四 闾=2（闪 用 T Q V|）=4=2 a,解 得 a=2,直 线 的 方 程 为 尸-%所 以 闸=占 b,则|CW|=%在 直 角 三 角 形 G N。中 利 用 勾,2记 一 股 定 理 得 从+S）2=2,解 得 6=2。=4,所 以 双 曲 线 的 标 准 方 程 为:-故 选：C.7.已 知 数 列 4 中，4=2,an+l+2（e N）,则 数 列 an
9、/?+1的 前 10项 和 凡=（）A.31 1D18B.1 1D.2【答 案】c【分 析】将 递 推 式 两 边 同 时 倒 下，然 后 构 造 等 差 数 列 求 出 数 列/的 通 项 公 式，再 利 用 裂 项 相 消 法 求 和 即 可.【详 解】解：.Fin当 7，%2a“2 a 1 1 _ 1.数 列 是 首 项 为 g,公 差 为 3 的 等 差 数 列，n+l+n n+1)?二 数 列 的 前 10 项 和 Sio=2X1-1)+2X；-；+2X(-3)=1.故 选:c.8.古 希 腊 数 学 家 阿 波 罗 尼 斯 与 欧 几 里 得、阿 基 米 德 齐 名，他 发 现：“
10、平 面 内 到 两 个 定 点 A,B 的 距 离 之 比 为 定 值 皿，。且 帆*1)的 点 的 轨 迹 是 圆 人 们 将 这 个 圆 以 他 的 名 字 命 名 为 阿 波 罗 尼 斯 圆，简 称 PA 1阿 氏 圆.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中，4-2,0),8(4,0),点 P 满 足 再 二 3.设 点 P 的 轨 迹 为 C,则 下 列 结 论 正 确 的 是()A.圆 C 的 方 程 为(x+4)、y2=12 B.轨 迹 圆 C 的 面 积 为 124C.在 C 上 存 在 K 使 得 IKOI=2|/C4|D.当 A,B,P 三 点 不 共 线 时，射 线 P
11、O 是 的 平 分 线【答 案】D【分 析】设 点 P 的 坐 标，根 据 题 意 把 几 何 关 系 转 化 为 代 数 方 程 可 判 断 A、B,同 样 求 出 点 K 的 轨 迹 方 程，与 尸 点 的 轨 迹 方 程 联 立 判 断 C,由 角 平 分 线 的 性 质 可 判 断 D.I pA I 1【详 解】选 项 A,在 平 面 直 角 坐 标 系 M y 中，A(-2,0),3(4,0),点 尸 满 足 焉=：,设 尸 但 田，则 代 2淳=；,化 简 可 得(x+4)、y2=i6,故 A 错 误；依-4)十 2选 项 B,又 圆 C：(x+4)2+y2=16的 半 径 r=4
12、,则 圆。的 面 积 为 n/=167选 项 C,若 存 在 点 K,使 得|KO|=2|必 可 设 K(x,y),即 有 J幺+9 二？4c,故 B 错 误；*+2)2+9，化 简 可 得x24-y2+y x+y=0,联 立/+/+版=0,可 得 方 程 组 无 解，故 不 存 在 K,故 C 错 误；选 项 D,当 A,B,P 三 点 不 共 线 时，由 嗡=；=偌，可 得 射 线 尸。是 N A P B 的 平 分 线，故 D 正|2 I/n|二、多 选 题 9.在 正 项 等 比 数 列 即 中,已 知 4a 2。3=4,。4。5“6=12,a+la+2an+3=324,则()A.d=
13、3 B.=4 C.a4a6=2/3 D.=12【答 案】BD【分 析】由 题 可 得/=3,再 由*4+3=点 6,得 到 产 6=3，=/,即 可 求 解.【详 解】设 数 列,的 公 比 为 4,由 a,a2a3=a；/=4,a4asab=12,可 得 r=3,又 由 qa2a3=嬉=4,。汹。6=1 2,所 以 A C 错 误；因 为 勺+1%+2。“+3=+23=(，)?丫=a2 W 丫=4/=324,可 得(/=81=3*=(小 了=q 3所 以 3=3 6,解 得=1 2,所 以 B D 正 确.故 选：BD.10.下 列 说 法 中，正 确 的 有().A.直 线 y=2x-l在
14、 y轴 上 的 截 距 为 TB.过 点 尸(-1,2)且 在 x,y 轴 截 距 相 等 的 直 线 方 程 为 x+y-l=0C.若 点（0,0）在 圆 x2+y 2+2 x-4 y-k 2-2 A+8=0外，则 T%0,即/+2%8 0,解 得-4%2,故 C 正 确：对 于 D：圆 C:/+2 x+丁=0 即 C:（x+1）2+V=i,圆 心 为 C（-1,O）,半 径 为 1,1-3-71因 为 圆 心 到 直 线 3 x+4 y-7=0 的 距 离 为=匕=1=2,V9+16所 以 因,向=2,又|PA|=J|P C f-r 2,所 以 归 儿 广 眄|尸=6，所 以 四 边 形
15、布 CB面 积 的 最 小 值 为 2x；|尸 4 加 x r=2x；x G x l=G,故 D 正 确；故 选：ACD1 1.带 有 编 号 1、2、3、4、5 的 五 个 球，则（）A.全 部 投 入 4 个 不 同 的 盒 子 里，共 有 4,种 放 法 B.放 进 不 同 的 4 个 盒 子 里，每 盒 至 少 一 个，共 有 C；种 放 法 C.将 其 中 的 4 个 球 投 入 4 个 盒 子 里 的 一 个（另 一 个 球 不 投 入），共 有 种 放 法 D.全 部 投 入 4 个 不 同 的 盒 子 里，没 有 空 盒，共 有 种 不 同 的 放 法【答 案】ACD【分 析】
16、对 于 A,利 用 分 步 乘 法 计 数 原 理 计 算 可 判 断 A 正 确；对 于 B,先 将 5 个 球 分 为 4 组，再 全 排，计 算 可 判 断 B 不 正 确；对 于 C,利 用 分 步 乘 法 计 数 原 理 计 算 可 判 断 C 正 确；对 于 D,先 将 5 个 球 分 为 4 组，再 全 排，计 算 可 判 断 D 正 确；【详 解】对 于 A,带 有 编 号 1、2、3、4、5 的 五 个 球，全 部 投 入 4 个 不 同 的 盒 子 里，共 有 4 x 4 x 4 x 4 x 4=45种 放 法，故 A 正 确；对 于 B,带 有 编 号 1、2、3、4、5
17、 的 五 个 球，放 进 不 同 的 4 个 盒 子 里，每 盒 至 少 一 个，共 有=240种 放 法，故 B 不 正 确；对 于 C,带 有 编 号 1、2、3、4、5 的 五 个 球，将 其 中 的 4 个 球 投 入 4 个 盒 子 里 的 一 个(另 一 个 球 不 投 入)，共 有 种 放 法，故 C 正 确；对 于 D,带 有 编 号 1、2、3、4、5 的 五 个 球，全 部 投 入 4 个 不 同 的 盒 子 里，没 有 空 盒，共 有 C；A：=24O种 放 法，故 D 正 确；故 选：ACD.1 2.已 知 抛 物 线。丁=22犬(2 0)过 点 8(1,2),过 点
18、A(-l,0)的 直 线 交 抛 物 线 于 M,N 两 点，点 N在 点 历 右 侧，若 尸 为 焦 点，直 线 N凡 M尸 分 别 交 抛 物 线 于 P,Q 两 点，则()A.准 线 方 程 为 户-1B.|“斗|必 4C.OM-ON=OBfD.A,P,。三 点 共 线【答 案】ABD【分 析】根 据 抛 物 线 方 程 即 可 求 解 准 线，判 断 A,设 直 线 方 程 联 立 抛 物 线 方 程 消 参，利 用 定 义 表 示 出|“尸 卜|丽 然 后 由 韦 达 定 理 和 解 不 等 式 可 判 断 B；用 坐 标 表 示 出 IQ W I-|O N|,利 用 韦 达 定 理
19、 表 示 后，由 小 的 范 围 可 判 断 C；设 直 线 N F,借 助 韦 达 定 理 表 示 出 尸 点 坐 标，同 理 可 得。点 坐 标，然 后 由 斜 率 是 否 相 等 可 判 断 D.详 解】因 为 抛 物 线 C:)产=2Px(p 0)过 点 8(1,2),所 以 4=2 p,所 以 抛 物 线 方 程 为 丁=4，故 准 线 方 程 为 尸-1,故 A 正 确，设 N(X2,%),设 过 点 A(-l,0)的 直 线 方 程 为 x=/n y-1,代 入/=以 整 理 得：y2-4my+4=0,则%+%=4血 m丫 2=4,A=16W2-1 6 0,即 机 1,yf=4x
20、l,yl=4x2,yly2=4,由 定 义 可 知，|M F|=&+1,|N F|=X2+1,所 以|M F|-|NF|=X|X2+X|+X2+l=+-+l 2+=4,故 B 正 确;由 于 OM-ON=J x：+必 2 J x；+y；=旧 x；+。为+考 y；+必?小=+16=J17+y；+y；-V9+16m2 5,又|。8=5,故 C 错 误；记 尸（,力）。（总”）设 直 线 N F方 程 为 x=y+l,代 入 y 2=4 x整 理 得：y2-4ny-4=0,4 4 4 4则%为=-4,%=,同 理 可 得 以=,又 凹%=4,因 此 y4=-%，丫 3=f%X 24M因 为 如 一
21、直 一 如 4-4+也。一 8+4 4一 前 4 k“=,所 以 A,P,。点 共 线，D 正 确;【点 睛】直 线 与 抛 物 线 的 位 置 关 系 和 直 线 与 椭 圆、双 曲 线 的 位 置 关 系 类 似，一 般 要 用 到 根 与 系 数 的 关 系；有 关 直 线 与 抛 物 线 的 弦 长 问 题，要 注 意 直 线 是 否 过 抛 物 线 的 焦 点，若 过 抛 物 线 的 焦 点，可 直 接 使 用 公 式 同 用=以+切+?，若 不 过 焦 点，则 用 一 般 弦 长 公 式.解 析 几 何 简 化 运 算 的 常 见 方 法：（1）正 确 画 出 图 形，利 用 平
22、面 几 何 知 识 简 化 运 算;（2）坐 标 化，把 几 何 关 系 转 化 为 坐 标 运 算：（3）巧 用 定 义，简 化 运 算.三、填 空 题 13.1 1-上 的 展 开 式 共 有 8 项，则 常 数 项 为.【答 案】三 764【分 析】利 用 二 项 式 的 性 质 可 求 得，利 用 其 通 项 公 式 即 可 求 得，-去）”的 展 开 式 中 的 常 数 项.【详 解】（V-去）的 展 开 式 共 有+1项，依 题 意 得：+1=8,/.n=7；设-壶）”的 展 开 式 的 通 项 为，则 加=G=Q（-；）J,由 21-2=0 得 r=6,2：6-，）”的 展 开
23、式 中 的 常 数 项 为 力=G（-1）6=三.2Jx 2 64故 答 案 为：.642 214.如 图 所 示，已 知 双 曲 线 C:；-方 的 右 焦 点 为 F,双 曲 线。的 右 支 上 一 点 A,它 关 于 原 点。的 对 称 点 为 8,满 足 乙 4月？=120。,且 忸 耳=3|A耳 厕 双 曲 线 C 的 离 心 率 是.【答 案】也 2【分 析】连 接 左 焦 点，得 到 平 行 四 边 形，通 过 余 弦 定 理 列 方 程 即 可 解 出.设 双 曲 线 的 左 焦 点 为 尸,连 接 A U,8 U,根 据 双 曲 线 的 对 称 性 可 知，四 边 形 AF8
24、尸 为 平 行 四 边 形，由 题 意 以 及 双 曲 线 定 义，可 得 忸 耳 一 卜 尸|=|A F lT A尸|=3卜 耳 一 恒 耳=为，则|4耳=a，忸 同=3,ZFAF=60,所 以|F F=|AFf+AF-2AF-AF-cosZFAF,即 4c2=9 a2+a2-6 a2x-l,Bp 4C2=ya2,2所 以 双 曲 线 C 的 离 心 率 为:e=也.a 2故 答 案 为：立.215.在 高 三 数 学 模 拟 考 试 中，学 号 为 i（i=1,2,3,4）的 四 位 同 学 的 考 试 成 绩 为/（0（/（0 6 91,99,110,120,130）,且 满 足/（1）
25、/（2）/（3）/（4）,则 这 四 位 同 学 的 考 试 成 绩 的 所 有 可 能 情 况 有 种.【答 案】15（分 析】分/（2）3）和/（2）=/（3）两 种 情 况 求 解 即 可.【详 解】顺 序 一 定 的 问 题 属 于 组 合 问 题，分 两 种 情 况，第 一 种：/（2）3）时,有 以 种 可 能;第 二 种：4 2）=/时，有 C；种 可 能，故 共 有 C；+C；=1 5种.故 答 案 为：15.16.如 图，已 知 点 过 的 两 条 直 线 分 别 与 椭 圆+丁=1交 于 A,C,B,O,且 AP=2PC,BP=2PD,则 直 线 A B 的 方 程 为.【
26、分 析】设 AQ,yJ,C（X2，%）,根 据 已 知 可 得 吃=与 土，2=主 普，根 据 A C 在 椭 圆 上 可 得 2 o跖+8y+l=。,同 理 双 演,为）也 满 足 8鼻+8%+1=0,即 可 得 出 答 案.【详 解】设 A（X，X）,C（X2，%），因 为 AP=2PC，则（17|,；-/）=2。2-1,必 一；）B P-1-x,=2（X2-1）”=2必 一;则 可 得=好,%=江，2 o丫 2因 为 C 在 椭 圆 上，所 以 十+丫 2 2=1,所 以（T）（3 4yJ=1,整 理 得 4（再 2+4城）-24玉-2町-19=0,丫 2因 为 A 也 在 椭 圆 上，
27、所 以 工+短=1,即 x：+4y;=4,代 入 可 得 8%+8y+1=0,同 理 可 得 B（&,%）也 满 足 8七+8%+1=0,所 以 直 线 A8 的 方 程 为 8x+8y+l=O.故 答 案 为：8x+8y+l=0.四、解 答 题 17.设 等 差 数 列 4 的 前 项 和 为 S“，%+4?=3,%吗。=-18,且 S“有 最 大 值.（1）求 数 列%的 通 项 公 式 及 Sn的 最 大 值；（2）求 北=|4|+1 4|+“I|.【答 案】4,=-3+27,前”项 和 最 大 值 108；北=3 51-n2+n M 92 2n2-n+216,n.1012 2MG N【
28、分 析】（1）由 有 最 大 值 得 d 9时 的 7；即 可，其 中 当 9 时 7；=-5.+2sg.【详 解】（1）设 等 差 数 列 伍“的 公 差 是 d,首 项 是 q,由 S“有 最 大 值 得 d=6(舍 去),则 q+6d=6,q+9d=-3,解 得=-3,q=24,所 以“=24+(-l)x(-3)=-3+27,令=-3+27=0得=9,则 当 4,9时，an.O；当 9 时，,9时,3 51 3 O 511=4+/+%-(4o+41+)=-S“+2s9=-)+2x 108+216,综 上 可 得，（=-iv+n,92 2 q S，.H2-H+216,n.JO2 218.已
29、 知 椭 圆（：5+=1（。60）的 右 焦 点 尸（6,0）,长 半 轴 长 与 短 半 轴 长 的 比 值 为 2.（1）求 椭 圆 C 的 标 准 方 程;设 B 为 椭 圆 C 的 上 顶 点，直 线/：y=x+M 加 Hl）与 椭 圆 C 相 交 于 不 同 的 两 点 M,N,若 B M L B N,求 直 线/的 方 程.【答 案】I3(2)y=x-【分 析】（1）由 条 件 写 出 关 于 仇 c的 方 程 组，即 可 求 椭 圆 方 程；（2）首 先 直 线 与 椭 圆 方 程 联 立，利 用 韦 达 定 理 表 示 BM-8N=0，即 可 求 参 数 机.【详 解】（1）由
30、 题 意 得，c=6，f=2,a2=b2+c2,b.Q=2,/?1,椭 圆 C 的 标 准 方 程 为 工+V=1.4（2）依 题 意，知 8（0,1）,设（x,乂），N（七,%）.y=x+m2 2 4消 去 儿 可 得 5%2+86+4帆 2-4=0.x+4y=4.-.A=16（5-2）0,即 一 石 机 逐，加 工 1,-8/7i 4切 2 4玉+/=,xx2=-.B M 1 B N,：.B M B N=G.B M.BN=1%,%+/n-l）（x2,x2 4-772-1）=2%12 4-（m-l）（Xj+x2）+（7n-l）2=0,_ 4/4/8?八 2 八/.2x-+（加 一 1）+（加
31、-1K=0,整 理，得 5加 一 2?一 3=0,3解 得”=-1 或 加=1（舍 去）.3.直 线/的 方 程 为 y=x j.19.己 知 数 列 4,a,S,是 数 列 q 的 前 项 和，已 知 对 于 任 意 e N*,都 有 3a“=2S”+3,数 列 出 是 等 差 数 列，仿=咋 3 4,且 仇+5,b4+l,4-3 成 等 比 数 列.求 数 列 凡 和 也 的 通 项 公 式.a”,为 奇 数 记 q,=，为 偶 数，求 数 列%的 前 n 项 和 T.,2【答 案】=3；2=2-1；（2）（=a 2（3-+为 偶 数 3（3e-1）+8 二 9-,为 奇 数 8）4【分
32、析】（1）根 据。“与 5”的 关 系 及 等 比 数 列 的 定 义 可 得,再 根 据 等 比 中 项 的 性 质 及 等 差 数 列 的 基 本 量 的 运 算 可 得 2;（2）由 题 可 得 为 再 分 类 讨 论，分 组 求 和 即 得.为 偶 数【详 解】（1）因 为 3q,=2S.+3,当”=1 时，3 q=2 q+3,解 得 q=3,当 2 2 时，34T=2S“T+3,所 以 3%-3 4,I=2 a“，H R=3,又 4=3,an-所 以 4 是 以 首 项 为 3,公 比 为 3的 等 比 数 歹 U，所 以=3；因 为 仿=log33=l,8+5也+1也-3 成 等
33、比 数 列，设 也 的 公 差 为 d,所 以(仇+1)2=(&+5)(4 3),即(l+3d+l/=(l+d+5)(l+5 d-3),解 得 d=2,所 以 2=1+2(-1)=2-1；（2）由（1）知：c3,为 奇 数 为 偶 数 当 为 偶 数 时 k(3+3。+3,0+3+7)3 1-9-1-9(1+71-1)+-2当”为 奇 数 时,%-=*T)+-=4(3 T)+所 以 北=2 2渺-1）+（,为 偶 数 斗 3向-1）+四 二 D-,”为 奇 数 8、7 42 0.己 知 圆”过 点（L0）,且 与 直 线 厂-1相 切.求 圆 心 M 的 轨 迹 C 的 方 程；(2)S为 轨
34、 迹 C 上 的 动 点，T 为 直 线 x+y+4=0上 的 动 点，求 IST|的 最 小 值；过 点 P(2,0)作 直 线/交 轨 迹 C 于 A、8 两 点，点 A 关 于 x 轴 的 对 称 点 为 问 4 8 是 否 经 过 定 点,若 经 过 定 点，求 出 定 点 坐 标；若 不 经 过，请 说 明 理 由.【答 案】V=4 x；逑；2 过 定 点(-2,0).【分 析】(1)根 据 抛 物 线 的 定 义 进 行 求 解 即 可；(2)根 据 点 到 直 线 距 离 公 式，结 合 配 方 法 进 行 求 解 即 可；(3)根 据 直 线 斜 率 公 式，结 合 直 线 方
35、 程 进 行 求 解 即 可.【详 解】(1)由 题 意 得 点“到 直 线 户-1的 距 离 等 于 到 点(L0)的 距 离,所 以 点 M 是 以 尸(1,0)为 焦 点，以 x=-1为 准 线 的 抛 物 线，焦 点 到 准 线 的 距 离 P=2,所 以 点 M 的 轨 迹 方 程 为 y2=4x；（2）设 S（4产,4f）,S到 直 线 x+y+4=0 的 距 离 d=4r+4t+4+1）2+32 二=述，所 以|S7|的 最 小 值 为 我;41 2 2v2 v2 卜-4 设 A（才,%）,8（才,），4）,AB y：-y；%+）”，4 则 直 线 A B 的 方 程 为 4x-
36、(%+%)，+%为=。，因 为 A 8 过 点 P(2,0),所 以 8-0+%”=0,所 以 为 M=-8.因 为 4 与 A 关 于 x轴 对 称，故 45，-%),同 理，直 线 AB的 方 程 为 4x-(-y,+y4)y-y3y4=0,因 为 必 为=-8,所 以 AB的 方 程 为 4x-(-%+%+8=0,所 以 直 线 4 8 过 定 点(-2,0).【点 睛】关 键 点 睛：利 用 抛 物 线 的 定 义 是 解 题 的 关 键.21.“绿 水 青 山 就 是 金 山 银 山”是 时 任 浙 江 省 委 书 记 的 习 近 平 主 席 志 于 2005年 8月 15日 在 浙
37、 江 湖 州 安 吉 考 察 时 提 出 的 科 学 论 断，2017年 10月 18日,该 理 论 写 入 中 共 19大 报 告，为 响 应 习 近 平 总 书 记 号 召，我 国 某 西 部 地 区 进 行 沙 漠 治 理，该 地 区 有 土 地 1万 平 方 公 里，其 中 70%是 沙 漠，从 今 年 起，该 地 区 进 行 绿 化 改 造，每 年 把 原 有 沙 漠 的 16%改 造 为 绿 洲，同 时 原 有 绿 洲 的 4%被 沙 漠 所 侵 蚀 又 变 成 沙 漠，设从 今 年 起 第 年 绿 洲 面 积 为 万 平 方 公 里，求:(1)第 年 绿 洲 面 积 与 上 一
38、年 绿 洲 面 积 4,1的 关 系;(2)%通 项 公 式；(3)至 少 经 过 几 年，绿 洲 面 积 可 超 过 60%?(1g2=0.3010)4 4【答 案】(I)石；(2)anm+：；至 少 6 年.【解 析】(1)由 题 意 得 4,=(1 4%)%+(1-,1)X16%=0.96a,+0.16-0.16%化 简 可 得 答 案；(2)由(1)得 4=4%4 4 4/4、4 1 41T+玄，整 理 得=M，再 求 得 卬 三=一 不，从 而 得 q 一 彳 是 1 4以 为 首 项，二 为 公 比 的 等 比 数 列，由 等 比 数 列 的 通 项 公 式 可 求 得 答 案；(
39、3)由(2)得=一 11丫+3 3,整 理 并 在 两 边 取 常 用 对 数 可 求 得 5.1从 而 得 出 结 论.2 5 5【详 解】解：(1)由 题 意 得 4 4a”=(1-4%)%+(1-%)x 1 6%=0.96+0.16-0.16aM=0-8-i+0 1 6=-%+,4 4所 以%+不;4 4 4/4、3 4 1 由 得。=三。“_|+宝，,。“一 彳 二 三 一 彳，又 4=正，所 以 4 一 三=一 不，41 是 以-：1 为 首 项，4 为 公 比 的 等 比 数 列，可-4(3)由(2)得 两 边 取 常 用 对 数 得:(-1)建=用 二 怆 5/3。699=71
40、7 65 5(T4 21g2-lg5 0.602-0.699 0.09777 5.1.至 少 经 过 6 年，绿 洲 面 积 可 超 过 60%.【点 睛】思 路 点 睛：解 决 数 列 应 用 题 时，常 用 的 解 题 思 路 是 审 题-建 模 研 究 模 型 一 返 回 实 际.研 究 模 型 时 需 注 意：(1)量(多 个 量)；(2)量 间 的 关 系(规 律)：等 差、等 比 规 律；递 推 关 系；其 它 规 律 一由 特 殊 到 一 般 归 纳 总 结；（3）与 通 项 公 式 有 关 或 与 前 项 和 有 关 等.2 22 2.已 知 双 曲 线:十 方=1（0,20）
41、过 点（百，佝，且 的 渐 近 线 方 程 为 y=Gr.（1）求 的 方 程;（2）如 图，过 原 点。作 互 相 垂 直 的 直 线 4，（分 别 交 双 曲 线 于 A,8 两 点 和 C,。两 点，A,。在 x 轴 同 侧.求 四 边 形 ACBZ）面 积 的 取 值 范 围；设 直 线 A O 与 两 渐 近 线 分 别 交 于 M,N 两 点，是 否 存 在 直 线 A。使 M,N 为 线 段 A D 的 三 等 分 点,若 存 在，求 出 直 线 A D 的 方 程；若 不 存 在，请 说 明 理 由.【答 案】（1）/一=1 6,+8）；不 存 在，理 由 见 解 析【分 析】
42、（1）根 据 题 意 求 得,从，即 可 得 解；（2）易 知 直 线 4,4 的 斜 率 均 存 在 且 不 为 0,设 4 4 y）,8（%）。看,%），0。4，以），4的 方 程 为 y-k xy=k x,则 4 的 方 程 为 y=-：x,联 立,y2,消 元，则 A 0,利 用 韦 达 定 理 求 得 士+尤 2，西 电，k-=13再 根 据 弦 长 公 式 可 求 得|43|,同 理 可 求 得 F 的 范 围 及 C。，再 根 据 集=3 卜 8卜|8|整 理 即 可 得 出 答 案；y=tx+m 设 直 线 A O 的 方 程 为 广 质+加，4（0 丫 5），。（X6，%），
43、联 立 h V2，消 元，根 据 4 0 求 得,，加 的 X-=13关 系，利 用 韦 达 定 理 求 得%+%,三 毛，再 利 用 弦 长 公 式 求 得|明，易 求 得”,N的 坐 标，即 可 求 出 W，再 根 据 M,N 为 线 段 A。的 三 等 分 点，可 得|A|=3|MN|,结 合 A3 _L C O,可 得 两 个 等 量 关 系，从 而 可 得 出 结 论.【详 解】（1）解：由 题 意 有 2=6,贝 畀=耳，a将 点 尸（6 的 代 入 双 曲 线 方 程 得 与-郎=1，联 立 解 得 匕，,0=3v2故 的 方 程 为/-匕=1;3（2）解：，易 知 直 线 4，
44、4 的 斜 率 均 存 在 且 不 为 0,设 A（xt,y）,8（x“2），C（W，%），。（七,盟）,4的 方 程 为=，则 4 的 方 程 为 y=-：x,y=kx联 立 2 V，消 y 整 理 得（3 卜 2一 3=0,X-=13直 线 4与 双 曲 线 交 于 两 点，故 3&2Ho且 A=12（3-r）o,贝 1/0,解 得 公 g,3k贝 1 刍+%=。，/%4=一 j，则|c*Jl+（-2 1E+X）-4X3X4=2上 产 _，根 据 对 称 性 可 知 四 边 形 AC5O为 菱 形,其 面 积 加 皿=1|4郎 3|（1+公）2一 l（3-k2）（3k2-l）J（1+2）2
45、1 6 k2-3（l+k2）2 1+火 2）21,2 o 1 L 1 6.=16 3,1-+2+*卜 御，.（+/）2 r+2+g.16 3 e（o j（1+k2）2 1 1.5 加 6,+00）；，假 设 满 足 题 意 的 直 线 AO存 在，易 知 直 线 AE）斜 率 存 在，设 直 线 A O的 方 程 为=状+加，&,%）,a%,%）,y=tx+m联 立 2 y2,整 理 得（3-*）炉-2加-.一 3=0,X-=13则（3-产）*0 且 4=4/机 2+4（机 2+3乂 3/）0,解 得 力 3且“+3,由 韦 达 定 理 有 2kmXe+X66=-3-&-27-m2-3则|A）
46、|=Vl+r-7（X 1+x2）2-4 X,X2=J l+t24 rm2 4（-w r-3）（3-r2）2 3-t2（l+Z2）（12/M2-1 2 r+36）（3）2不 妨 设 M 为 直 线 AZ）与 渐 近 线 y=J K 的 交 点,x=,解 得，y=y=tx-my=g x联 立 my/3-tx/3/wy/3-t同 理 可 得 N 点 的 坐 标 为 则 信-肃、曲-需 2 I12(l+r)m2(3-/)2因 为 M,N 为 线 段 A 的 三 等 分 点，|AD|=3|MN|,(1+巧(12-2+36)整 理 得 7+8 3=0,A B LC D,AO 1 D O.则 4 o-o o=o，即%+卜 5y6=o,x/6+y5y6=%,+(氏+加 乂/+加)整 理 得-3r+2 _ 3=0,o联 立 得*=-2,无 解,故 没 有 满 足 条 件 的 直 线 AO.【点 睛】本 题 考 查 了 双 曲 线 的 渐 近 线 及 球 求 双 曲 线 的 方 程，还 考 查 了 直 线 与 双 曲 线 的 位 置 关 系 及 弦 长，考 查 了 双 曲 线 中 三 角 形 的 面 积 问 题，考 查 了 探 究 双 曲 线 中 直 线 的 存 在 性 问 题，考 查 了 学 生 的 计 算 能 力 及 数 据 分 析 能 力，计 算 量 很 大，属 于 难 题.