高考复习9-5构造函数常见的方法(精练)(基础版)(解析版).pdf

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1、9.5构造函数常见的方法(精练)(基础版)题 组 一 直 接 型1.(2 0 2 3全国高三专题练习)已知r(x)是函数/(X)的导数,且/(x)=/(x),当X 20时,f(x)3 x,则不等式的解 集 是()A.(-g,0)B.S g)C.弓 收)D.(一8,;)【答案】D【解析 1 设 g(x)=/(x)-|x2,则 g (x)=r(x)3x,因为当x NO时,fx)3 x,所以当x NO时,g (x)0,即g(x)在 0,m)上单调递增,因为-x)=f(x),所以/为偶函数,则g(x)也是偶函数,所以g(x)在(3,0 上单调递减.因为 f(x)-/。-1)3x-1,所以 f(x)-x

2、2 /(x-l)-(xI)2,即 g(x)g(x-l),则W|x 1 ,解得故选:D.2.(2 0 2 2全国高二单元测试)已知定义在R上的函数/(x)满足1)=1,且“X)的导函 数(x)在R上恒1y 1有广(力 右 则不 等 式 力 +5的解集为()A.(1,+)B.(-o o,l)C.(-1 J)D.(-o o,l)(1,+co)【答案】A【解析】因为可化为x)、-g 0,令 g (x)=X),则 g (x)=/(x)g ,因为r a);,所以g,(x)0,所以g(x)在R上单调递减,因为/。)=1,所以g(i)=/(i)_ g _ g=o,所以g(x)l,即不等式/(尤)+:的解集为(

3、1,内).故选:A.3.(2 0 2 2.江苏.南京市中华中学高三阶段练习)设函数/(x)在R上存在导数/(x),对于任意的实数x,有/(x)+/(-x)=2 x2,当X G(F,0)时,/(x)+4 2 x,若/(?+2)+/+工、,则实数小的取值范围m-2是()A.1 .2)B.(-o o,-+8)C.-2,2)D.(-w,l u(2,+co)【答案】B【解析】因为 (x)+4 2 x,所以尸(x)-2 x+4 0,令g(x)=/(x)-f+4x,所以 g(x)+g(_x)=/(x)_x2+4x+/(_x)-x2 _4x=/(x)+/(-x)-2 x2,因为/(x)+/(-x)=2 x 所

4、以g(x)+g(-x)=0,所以g(x)为奇函数;g,(x)=r(x)-2 x+4,当“0时,g (x)0,即加 2时,/(w+2)+/(/77)+4 2M72-4H J;则:/(机+2)+/(,)+4 2 62+4加 0所以:/(i +2)(,w +2)-+4(z+2)+/(w)/n2+4/n 2;所以4 C错误;当/-2 0,即加2nr-4m,同理可得:g(根+2)2-g(m)=g(-m),所以?+2 4-加,解之得:综上,-l u(2,+o o),故选:B4.(2 0 2 2辽宁沈阳二中)(多 选)已知函数“X)的定义域为R,且尸(x)l,/=4,则下列结论中正确 的 有()A./(x)

5、为增函数 B.g(x)=/(x)-x为增函数C.f(2 x-l)4的解集为(9,2)D./(2 1 1)2工的解集为(2,+8)【答案】A B D【解析】对于A,因为r(x)l,所以 x)为增函数,故 A正确;对于B,由g(x)=x)x,g,(x)=/,(x)-l 0,所以g(x)为增函数,故 B正确;对于C 3)=4,则”2 x-l)4等价于/(2 x 1)3),又 f(x)为增函数,所以2 x-l 3,解得x 2,所以2 1)4的解集为(2,+8),故 C错误;对于 D,2 x T)2 x 等价于f(2 xl)(2 x1)1 =3)-3,即g(2 x-l)g ,又 g(x)为增函数,所以2

6、 一 1 3,解得x 2,所以 2 x 的解集为(2,+8),故 D正确;故选:A B D.5.(2 0 2 2.黑龙江)已知耳是定义在(-8,0)1(0,位)上的奇函数,当*0 时,/(x)+V,W 0 j i/(2)=p则不等式/(x)g的解集是.【答案】(2,0)(2,)【解析】设8(%)=设(耳,则 g x)=f(x)+矿(x)因为“X)是定义在(e,()U(0,+a)上的奇函数,所以 g(T)=7/(T)=犷(X)=g(X),所以g(x)是(y,o)u(o,r)上.的偶函数,当x 0 时,g,(x)=f(x)+xf(x)0,所以g(x)在(0,一)上单调递增,所以g(x)在(,0)上

7、单调递减.因为4 2)=;,所以g(2)=2 2)=2 x;=l,所以 g(-2)=g =1.对于不等式/(力 一,当 x 0 时,#(x)l,即 g(x)g(2),解得 x 2;当x 0 时,即 g(尤)g(-2),解得一2 V x (的 解 集是(2,0)(2,y).故答案为:(-2,0)(2,用)题 组 二 加 乘 型1.(2022山东)已知奇函数f(x)是定义在R 上的可导函数,其导函数 为/(x),当x 0 时,有2 x)+矿(x)0,则不等式(x+2021)2 x+2021)+4 2)0 时,有2/(x)+矿(x)0,所以当x 0 时,g(x)0,所以g(x)在(0,+8)上为增函

8、数,因为/(X)为奇函数,所以/(-x)=-(x),所以 g(-X)=(-x)2f(-x)=-X以(X)=-g(x),所以g(x)为 R 上的奇函数,所以g(x)在 R 上为增函数,由(x+2021)2f(x+2021)+4/(2)0,得(X+2021)2/(X+2021)-4/(-2),(x+2021 y/(x+2021)-(-2/(-2),所以 g(x+2021)v-g(-2),因为g(x)为奇函数,所以g(x+2021)g(2),所以x+2 0 2 1 2,得 x0,2)=l n g,则不等式/(eJ)+x 0 的解集为()A.(0,2 1 n2)B.(0,l n2)C.(In2,l)D

9、.(In2,+o o)【答案】D【解析】令 g(x)=/(x)+l nx,(x 0),则g (x)=r(x)+L(+i,由于W(x)+l 0.X X故g (x)0,故g(x)在(0,+8)单调递增,而 g(2)=/(2)+l n2 =l ng +l n2 =0 ,由 f(e*)+x 0,得 g(e*)g(2),ev 2 ,即 x l n2 ,:.不等式/(e*)+x 0的解集为(l n2,+o o),故选:D.3.(2 0 2 2 陕西渭南)已知定义在R上的函数“X)的导函数为尸(x),对任意x eR满足/(x)+/(x)e 3 3)B.e 7(2)e2/(3)D.632)/3)【答案】A【解

10、析】构造函数g(x)=e (x),则g x)=e T r(x)+x),因为 x)+r(x)0,故g (x)0,因此可得g(x)在 R 上单调递减,由于 2 g(3)ne 2/(2)e 3“3),故选:A4.(2 0 2 2 广东高三阶段练习)(多选)已知定义在(0,内)上的函数满足2/(x)+矿(x)=J(d+31 nx-l),则下列不等式一定正确的是()A.9/(3)/(1)B.9/出 4叫)C.D./【答案】A D【解析】由 2/(x)+(x)=T(x2 +31 nx-l),得2 (幻+/-(工)=/+311 1-1,设 g(x)=x2f(x),则 g M =2xf(x)+x2fx)=x2

11、+31 nx-l,h(x)=x2+31 n x-1,(x 0),则人(工)在(0,+o)上为增函数,且=0 ,则肖x l时,A(x)/?(1)=O,此时g(x)=/z(x)0,此时函数g(x)为增函数;当0 x l时,力(x)=0,此时g(x)=/i(x)g,Bp9/(3)/(l),A 正确;由g眇g(9得出即4吗)出,B错误;g(|与g(3)不在一个单调区间上,C中算式无法比较大小,C错误;由 g|g,得?即/()4/,D 正确.故选:AD5.(2022重庆高三阶段练习)(多选)已知函数“X)是定义在(0,+8)上的函数,/(x)是“X)的导函数,若q(x)+x2r(x)=e2*,且/(=2

12、 e,则下列结论正确的是()A.函数“X)在定义域上单调递增B.函数/(x)在定义域上有极小值C.函数8()=犷()-62111的单调递增区间为(1,+e2/+e的解集为(g,+8)【答案】AC解析令/n(x)=Af(x),则加(%)=/(x)+#(x),因为犷(x)+dr(x)=e2*,可得x)+矿a”?,又由可得r(x)令/i(x)=e2x-m(x),可得h(x)=2e2x-mx)=2e2x-=e2x(2-)=e2v.生口XXX#(x)+x2fr(x)-m(x)_ e2x-m(x)2=9=9X XT X当 X(0,5)时,”(X)0,单 调 递增,所以(另(3)=一m(!)=一;/(;)=

13、匕_ 1.2 =0,即r(x)0,所以/(工)单调递增,所以A正确,B不正确:2 2x _ 2由函数g(x)=4(x)e21nx,可得gx)=x)+W(x)=令g,(x)0,即e2*-e 2 0,解得x l,所以函数g(x)的单调递增区间为(1,内),所以C正确;设G(x)=/(x)e e,则夕(;)=0,则(x)=r(x)2e2,v因为(x)+x2r(x)=e 2)所以尸(幻=力二善2,X所以;时,2 4 x 0,进而 (x)O,(x)单减,n()=e-/(-)-e=e-x2e-e;时,即”(x);时e(x)单减,而|=0,所以D错误.故选:AC.6(2022辽宁沈阳市第四中学高三阶段练习)

14、已知函数x)是定义在R上的偶函数,记/(X)为函数f(x)的导函数,且满足/(x)+/(x)=e eT+2止,则不等式f (力+,e的解集为.【答案】(一,1)【解析】因为,(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),故/(-x)=/(x),又 _ 力 =(一x)(-x)=所以=f x),即尸(一为=-f(x),所以/)是定义在R上的奇函数;又因为/(x)+/(x)=e-e-*+2肥,所以/(-x)+/(-司=b-e-2泥 一 ,即/(x)-(x)=e-e-2止一*,两式相加,再整理得:/W =xer-xe-v,所以由 f(x)+e x cx-xe x+e,即北 ve,令 (j r)

15、=x e -e ,则/?f(x)=eJ+x er=(x +l)ex,当X -1 时,(x)-1 时,/z,(x)0.所以/l(x)在(-8,-1)上单调递减,在(-1,+8)上单调递增,又因为=lx e-e=O,所以在(一 1,+oo)上,由(x)0 =(l),解得x l;又当时,x 0,即把“0 e,故心-e 0,即(x)0,综上:刀()=X 6*-6 0 的解集为 目 1 ,故 x)+je的解集为 x|x l.故答案为:可 2/(x),则不等式e?了(2-x)e 的解集为()A.(-2,1)B.(1,5)C.D.(0,1)【答案】B【解析】令 g(x)=与,所以 x)=e 2 g(x),因

16、为 力+/(x)=0,所以 e 2,.g(x)+e 4,.e 3 g(r)=0,化筒得g(x)+g(-x)=0,所以g(x)是(-3,3)上的奇函数;8 一 上:2/(司=-(x)2小),e4 t e2x因为当0 x 2/(x),所以当x e 0,3)时,g(x)0,从而g(x)在 0,3)上单调递增,又g(x)是(-3,3)上的奇函数,所以g(x)在(-3,3)上单调递增:考虑到g(l)=M=l,由e?(2 x)e,得ez(2-x)e4,即 g(2-x)1 =g,/f _ 3 2 x 3,由g(x)在(一 3,3)上单调递增,得.,解得1 X 5,2 X 1,所以不等式e?(2-x)/(%)

17、,且函数y=x)+2022为奇函数,则不等式”x)+2022e*。的解 集 是()A.(-0),-2022)B.(-=,0)C.(0,+刈 D.(2022,+8)【答案】B【解析】因为函数y=f(x)+2022为R 上的奇函数,则”0)+2022=0,所以 0)=-2022.原不等式/(x)+2022e0可化为/1 _ 2 0 2 2,g|jZ W Z l21.eA e e令人。)=竿 2,则(x)=:亭)(0),所以x 0.故选:B.3.(2022四川省仁寿县文宫中学高三阶段练习(文)已知函数f(x)的定义域为R,且对任意x e R,/(x)/(x)(2;3)解 集 为()eA.(0,+e)

18、B.S,-2)C.,0)D.(-2,-KO)【答案】B【解析】山f(x)/(x)0,记 g(x)=坐,则g(x)在 R 上单调递增.由 e,x+1)得,即 g(x+l)g(2x+3),x+l 2x+3,.x -2.故选:B.4.(2022 山 东)己知函数/(x)是定义在不上的奇函数,且=当尤/(x),则不等式/(x)尤的解集为()A.(0,1)B.(-1,0)C.(-HX),-1)(l,+o o)D.-)(0,1)【答案】D【解析】/(x)是定义在)上的奇函数,则/(r)=/(x),令 g(九)=,则 g(r)=-)=g(x),x-x X二g(x)为(一8,0)5。,+8)上的偶函数,又当x

19、/(x),;.g,(x)=J()二 /0,g(x)在(8,0)上是增函数,在(0,+8)上是减函数;又=./(_1)=_/(1)=T,g(l)=l,g(_l)=l,当龙()时,不等式F(x)x即 为/即即g(x)g(l),X/.0 x 1,当x x即 且。1,即 g(x)x不成立;综上,不等式/(x)x的解集是(9,-1)(0,1),故选:D.5.(2 0 2 1 陕西宝鸡市高三一模)若定义在R上的函数/(x)满足/(x)+/(x)l,/(0)=4,则不等式,f(x)ex+3(其中e为自然对数的底数)的解集为()A.(-,0)(0,+)B.(F,0)D(3,+8)C.(0,+o o)D.(3,

20、+o o)【答案】C【解析】令 g(x)=e J/(x),一3,则 g(x)=e (x)+ex-f(x)-e =exf(x)+f(x)-1 0,所以g(x)在R上单调递增,又因为 g(0)=e (0)e 3 =0,所以 g(x)。=%0,即不等式的解集是(0,+8),故选:c题组四三角函数型1.(2 0 2 1 全 国高三专题练习)已知奇函数/(力 的导函数为了(X),且“X)在上恒有/(x)c o s x-f(x)sin x 0 ,0.E(x),.(x)为偶函数,3 4二 3,故 D 错误,故选:B.2.(2 0 2 1 建国高三专题练习汨 知定义R 在上的函数/(x),其导函数为/(X),

21、若f(x)=/(-x)-2 sinx ,且当x20时,/(x)+c o s x 0,则不等式/(x+A/OO+sinx c o sx 的解集为()A.(-0 0,)B.(,+o o)C.(-c o,-)D.(-,+o o)2 2 4 4【答案】I)解析令 g(x)=/(x)+sin x ,则 g(-x)=f(-x)+sin(-x)=f(-x)-sinx.又由/(x)=/(-x)2 s i n x,所以/(x)+sinx =/(-x)-sinx.故g(x)=g(-x),即g(x)为定义在 上的偶函数;当龙2()时,g(x)=/(x)+c o sx 0 ,所以g(x)在 0,+O O)上单调递增,

22、JT J i T i由 f(x +c o s x =+)+sin(x +)/(x)4-sin x,即 g(x+$g(x),所以|x +:7 1|x|,7 1解得X -,471 7 1所以不等式/(%+-)/(x)+sinx-c o sx 的解集为(一一,+o o).2 4故选:D.3.(2 0 2 1 全国高三专题练习(理)定义在E上的函数”X)的导函数为/(x),当x e 0,+8)时,2 sinx-c o sx/(x)0且/x e R,/(-司+/(司+8$2%=1.则下列说法一定正确的是()【答案】B【解析】令/(x)=sin2 x-/(x),XfxeR,/(-x)+/(x)+c o s

23、2 x =l,所 以,F(x)+F(x)=sin2(x)f(x)+sin2 x-/(x)=2 sin2 x /(x)+/(%)=1 c o s 2 x (1 c o s 2 x)=0,/.F(-x)=-F(x),所 以,函数歹(x)为H上的奇函数,产()=sin2 x 7 (尤),当x (),+o o)时,2 sinx-c o sx/(x)0 ,即sin2 x /(x),/.Fr(x)0,所以,/?(力=S 1 1%-(力在0,+0 0)上单调递增,由奇函数的性质可知,函数尸(X)在(一 。,0 上单调递增,所以,函数网 力 在R上单调递增.对于A选项,则尸(一葛 卜 尸(一 号),即:/(一

24、期)-,尸 -F -,即:一/一-T一/一-不,B 选项正确;6 3 V 6 J V 3 J 4 I 6 J 4 3 ;对于-c选项,?,./(。)尸 ,),即1一/(0)0,若 a =g/,/?=(),c=-fIT,贝(J c i,by c的大小关系是()A.a b cB.b c aC.c h aD.c a (),所以 g(x)0 ,所以g(x)在(),乃)上是增函数,。告佃=/肆呜=g中八=人 卦呜=g(f),所以。v b c,故选:A5 .(2 0 2 1 浙江高三专题练习)定义域为71当OWx 时,2有(x)c o sx +f (x)sinx 0 成立,则关于x的不等式/(x)0/1?

25、)c o sx 的解集为)A.712B.【答案】B【解析】:/(幻+/(-X)=0且设 g(x)=A O,则 OWx(色 时,g,(x)=/(x)s X :/(x)sin J 0.g(力在 是减函数.c o sx 2 c o s x L 27又,(幻是奇函数,.g(x)=/也是奇函数,COSX从而g(X)在f-py 上是减函数,因此g(X)在(-是递减,不等式/(幻 n,.(万、71 71即 g(x)g,4 J 4 2故选:B.题 组 五 题 意 型1(2 0 2 2.天津外国语大学附属外国语学校高三阶段练习)设。=半,b=孚,c=,则()2 3 eA.a b c B.c b a C.acb

26、D.b c a【答案】A【解析】令 f(x)=叱,则 尸(x)=V 詈,所以当0 x 0,当x e 时门 刈 0,所以 x)在(0,e)上单调递增,(e,+8)上单调递减,又2 e3,所以 2)/(e),/(3)/(e),即a=In 2 c=1 ,7 b=ln 3 b ;故选:A2.(2022福建省福州第一中学高三开学考试)已知a=l o g m/,6=log2022 72021,=2021七,d=2022 9则。,b,c,d 的大小关系是()A.c d ba B.b a c d C.c b d a D.b a d c【答案】B【解析】因为,logzozi J2022=x5斐:1,所 以:a;

27、,所以 1),则/X(x)=lnx4-1 0,所以“X)在(1,转)上单调递增.所以/(2021)/(2022),即 20211n2021 2022 In 2022,工曰右 In2021 In2022 由 _j_ j_ 0 II1,于 2022 2021 ,T 以 20212022 20222021 即 1 g2e,b=61og3e,c=101og5e,e为自然对数的底数,则()A.c a h B.a c b C.b a c D.ahc【答案】A【解析】a=3,匕=2,c=兽,令/(x)=S,则。=2),b=3),C=/(5).Q/(X)=,m2 In 3 In 5 Inx(In x)易知 x

28、)在(e,+8)上单调递增.4 Q Q又。=丁二=:7;=丁;=/(4),而3 4 v 5,所以b 4 b a B.b a c C.abc D.a c b【答案】CIn 20In 221 n 20【解析】由 4 =20 22,b =2 产,可得 l n a =221 n 20,l n/7 =21 1 n 21,则 岑=右%=磊,In Z?21 1 n 21 1 n z iA令 /(x)=7I7n x7(x /,),则 r,(,x/)、=x+-xnx.2.v(v+1)2(x e2),令g(x)=x +l-x l n Mx Ae?),则 g (x)=_ l n x v 0 ,所以 g(x)在 ,+

29、0 0)上单调递减,X (e2)=e2+1 -2e2=-e2+1 0 ,所以当 x w(e 2,+o o)时,g(x)0 ,所以/(x)v O,所以/(x)在。,+8)匕单调递减,从而0/3 /(21),即l n a l n b,从而可知In 21由6=2产,a =222;R n 51 n b =2U n 2L l n c =20 1 n 22,则 普=1 =福,In c 20 In 22 In 2221令心)=蚂(x e J),则 h(x)=*+1)*el),X X (x+1)m(x)=x-(x+l)l n(x +l)(x e2-1),则 nf(x)=-l n(x+1)0 ,所以m(x)在(

30、e2-1,+o o)上单调递减,又m(e2-l)=-e2-l 0,所以当 xeU-L+o o)时,m(x)0 ,所以(X)0,所以/?(x)在(/-l,+8)上单调递减,从而0(幻力(2 1),即In 1 I n c,从而可知方c.综上可得”0 c.故选:C5.(20 22 湖北高三开学考试)已知。也c e(0,l),e是自然对数的底数,若=4 e ,雨=3e ,2c =d l n 2,则有()A.a b c B.b a c C.b c a D.c a b【答案】A【解析】因为/=4ea,bei=3 eb,2c=ecn2,a 4 b 3 c In 2 In 4 In 4令”x)=,贝1/(力=

31、1 当o x i 时,r(x)i 时,r(x)o,乂因为 l l n 4 3 4,所 以 川 n 4)3)4),又因为a,b,c e(O,l),且因为)递减,所以a 匕 c,故 选:A6.(20 22浙江省淳安中学高三开学考试)己知4 =0.幅 ,力=5,=1 1 1 1.1,则()A.a b c B,c a hC.c b a D.b a 0 时,令f(x)=e,-l-x,/(x)=er-l 0,所以/*)为单调递增函数,且 f(x)f(0)=e -l=0,所以e l +x,所以2后 后,即。.不 磊 所以Q 0),小)=后。,所以g(x)单调递减,得g(x)g(o)=0,可得 g(0.1)=

32、_ l n(l +0.1)=_ l n l.l 0,所以b =Lc=l n l.l,即abc.故选:A.7.(20 22 全 国 课 时 练 习)已 知 且 q =2且?t+1 ,/,=笔也,。=包 守,则。,b,c 的大小1 4 2 J e *e e关 系 为()A.a b c B.b c aC.acbD.c a 0),贝2sin2x+l2sin2x=/(2sin2x),b=c:=cosx),sinx+1 _/.、=元).、eA-(x+l)ex x 八因为/(力=-J=在(0,+e)上恒成立,所以函数/(x)在(0,+。)上单调递减.又因为,J9TW2sin2x-sinx=sinx(2sinx-1)0,K sin x c o sx,故avcvb.故选:C.2 25 28.(2022江苏南通 模拟预测)设。=天”=1117 T,0=511”,则()21 21 21A.abcC.cabB.cbaD.bcsnu 可得 sin,即C;21 2125 2(2b-a=n-=In 1 +2 设 f (x)=In(1+2 x)-xf 0 x 2l+2x l+2x 21 21l-2 x212221因为0 x 0,所以 x)在(0,;)上单调递增,2所以当x e(0,|,x)0)=0,所以7 0,即 ba.所以b4C.故选:C

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