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1、第 1 页 共 24 页 2023 届广东省广州市华南师范大学附属中学等四所中学高三上学期期末数学试题 一、单选题 1已知集合1,2,3,4,5,1,3,4,4,5UAB，则()UAB（）A3 B1，3 C3，4 D1，3，4【答案】B【解析】先求出集合B的补集，再求()UAB【详解】解：因为1,2,3,4,5U，4,5B，所以1,2,3UB，因为1,3,4A，所以()1,3UAB，故选：B.2已知 i 为虚数单位，则复数1 i2 i（）A1 3i B1 3i C1 3i D1 3i【答案】C【分析】根据复数乘法的运算性质进行求解即可【详解】1 i2i2i2i 1 1 3i ，故选：C 3 已
2、知在等腰ABC中，22,3ABACBAC，点D在线段BC上，且3ACDABDSS，则AB AD的值为（）A72 B52 C32 D12【答案】B【分析】由3ACDABDSS，得3CDBD，然后用,AB AC表示出AD，再由数量积的运算律与定义计算【详解】如图，第 2 页 共 24 页 因为3ACDABDSS，故3CDBD，可得3144ADABAC，则313115422444422AB ADABABAC ，故选：B.4古希腊亚历山大时期的数学家帕普斯在数学汇编第 3 卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转
3、体的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即Vsl（V表示平面图形绕旋转轴旋转的体积，s表示平面图形的面积，l表示重心绕旋转轴旋转一周的周长）.如图直角梯形ABCD，已知,4,2ADBC ABAD ADBC，则重心G到AB的距离为（）A149 B43 C3 D2【答案】A【分析】根据题意，用式子分别表示出圆台体积、梯形面积以及重心绕旋转轴旋转一周的周长，进而求解答案.【详解】直角梯形绕AB旋转一周所得的圆台的体积为 128164833hVh；梯形ABCD的面积 14232shh，故记重心G到AB的距离为h，则28233hhh，则149h，故选：A 5 已知双曲线2222:
4、1(0,0)xyEabab的焦点关于渐近线的对称点在双曲线E上，则双曲线E的离心率为（）第 3 页 共 24 页 A2 B52 C5 D2【答案】C【分析】根据对称性的性质及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，结合双曲线的定义及双曲线的离心率的公式即可求解.【详解】1F关于渐近线OM的对称点P在双曲线上，如图所示，则12OPOFOF.所以21,PFPF OM是12FF P的中位线，所以2/OMPF,1OMMF.所以1,0Fc到渐近线0bxay的距离为 220bcabcdbcba，即1MFb，在1Rt FOM中，1OFc，1MFb，所以222211OMOFMFcba，进而1FMMObaa,所以离
5、心率2215cbeaa.故选：C.6已知数列 na满足1212nnnaaa，1212,4aa,则 na的前n项积的最大值为（）A14 B12 C1 D4【答案】C【分析】先通过递推关系推出数列的周期为3，然后3个数为一组，分别计算33132,kkkTTT的表达式第 4 页 共 24 页*k N后进行研究.【详解】由1212nnnaaa 可知，*n N，0na，亦可得：12312nnnaaa，两式相除得：31nnaa，即3nnaa，所以数列 na是以3为周期的周期数列，由1212,4aa 得：312112aa a.记数列 na的前n项积为nT，结合数列的周期性，当*k N，则31231()2kk
6、kTa a a，记12kkb，为了让kb越大，显然需考虑k为偶数，令*2()kt tN，结合指数函数的单调性，则2111112444ttkb，即314kT；类似的31123411()22122kkkTa a a a ，12321234511111()22224kkkkTa a a a a .综上所述，na的前n项积的最大值为1.故选：C.7若函数 f x在其定义域内存在实数x满足 fxf x，则称函数 f x为“局部奇函数”.知函数 933xxf xm是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（）A2 2,3 B3,3 C,2 2 D2,【答案】D【分析】根据题意得 fxf x 有解，
7、即933(933)xxxxmm 有解，利用换元法讨论二次函数在给定区间有解即可.【详解】根据“局部奇函数”定义知：fxf x 有解，即方程933(933)xxxxmm 有解，则99(33)60 xxxxm即2(33)(33)80 xxxxm有解；设33xxt，则2t（当且仅当0 x 时取等号），方程等价于280tmt在2t 时有解，8mtt 在2t 时有解；8ytt 在2,上单调递增，82,2tmt ，即实数m的取值范围为2,.第 5 页 共 24 页 故选 D.8 如图，在三棱锥111AA BC中，1AA 平面111111,90ABCABC，11111222,ABA ABCP为线段1AB的中
8、点，,M N分别为线段1AC和线段11BC上任意一点，则5PMMN的最小值为（）A3 52 B52 C5 D2【答案】C【分析】先利用线面垂直的判定定理推得111,BCAB再利用面积相等在11RtABC中推得15sinsin5PMMPAMNMNC，从而得到55PMMN，由此得解.【详解】因为1AA 平面111ABC，1111,AB BC 面111ABC，所以111111,AABC AAAB，又11190ABC，1111BCAB，因为1111AAABA，111,AA AB 平面11AB A，所以11BC 平面11AB A，又1AB 平面11AB A，所以111,BCAB.又在11Rt AAB中，
9、2112115AAAABB，在11RtABC中，11111AB MB MCAB CSSS，故111115sin1sin15222PMMPBMNMNC ，则115sinsin5PMMPBMNMNC，第 6 页 共 24 页 又115sin5,sinPMMPBPM MNMNCMN，所以115sinsin5PMMPBMNMNCPMMN，即55PMMN，当且仅当1190,90MPBMNC时，等号成立，当190MPB时，M为1AC的中点，此时当190MNC时，N为11BC的中点，综上所述5PMMN的最小值是5.故选：C.【点睛】关键点睛：本题的突破口是如何解决,PM MN的系数问题，利用三角形面积公式与
10、面积相等得到15sinsin5PMMPAMNMNC即可得解.二、多选题 9已知0ab，则下列说法正确的是（）A33bbaa B3223abaabb C2 aabb Dlglglg22abab【答案】BD【分析】利用不等式的性质，利用作差法和基本不等式逐项分析即得.【详解】对于 A，因为330,033babbabaaa a，所以33bbaa，故 A 错误；对于 B，因为0ab，所以22ab，所以2223223320232323baab baababaabbab bab b，即3223abaabb，故 B 正确；对于 C，因为0ab，所以,abaab，所以2 aabb，故 C 错误；对于 D，因为
11、0ab，所以lglglglg22ababab，故 D 正确.故选：BD.10 已知函数 3sincos(03)f xxx满足 2fxf x，其图象向右平移*Ns s个单位后得到函数 yg x的图象，且 yg x在,6 6上单调递减，则（）A1 第 7 页 共 24 页 B函数 f x的图象关于5,012对称 Cs可以等于 5 Ds的最小值为 2【答案】BCD【分析】对于 A，先由 2fxf x 推得是 f x的一个周期，再利用辅助角公式化简 f x，从而得到2k，由此得解；对于 B，利用代入检验法即可；对于 C，利用正弦函数的单调性，结合数轴法得到s关于k的不等式组，结合*Ns与Zk即可得到s
12、的一个取值为5，由此判断即可；对于 D，结合选项 C 中的结论，分析k的取值范围即可求得s的最小值.【详解】对于 A，因为 2fxf x，所以 2f xfxf x，则是 f x的一个周期，因为 3sincos2sin6f xxxx，所以2T是 f x的最小正周期，故2Zkk，则2k，又03，故2，故 A 错误；对于 B，由选项 A 得 2sin 26fxx，所以52sin2sin 065162f，故5,012是 f x的一个对称中心，故 B 正确；对于 C，f x的图象向右平移*Ns s个单位后得到函数 2sin 26g xxs的图象，则 2sin 226g xxs，因为 g x在,6 6上单
13、调递减，所以222 662Z3222 662skksk，解得Z23kskk，当2k 时，3523s，因为*Ns，所以5s，故 C 正确；对于 D，因为*Ns，所以03k，则13k ，又Zk，故1k，当1k 时，223s，可知min2s，故 D 正确.故选：BCD.11已知O为坐标原点，点F为抛物线C：24yx的焦点，点4,4P，直线l：1xmy交抛物线C于A，B两点（不与P点重合），则以下说法正确的是（）第 8 页 共 24 页 A1FA B存在实数m，使得2AOB C若2AFFB，则24m D若直线PA与PB的倾斜角互补，则2m 【答案】ACD【分析】对于 A，由焦半径公式运算可得；对于 B
14、，将抛物线方程与直线方程联立，并由向量夹角计算可得；对于 C，将选项 B 中联立结果代入向量坐标进行计算可得；对于 D，将选项 B 中联立结果代入PA与PB斜率进行计算可得.【详解】由已知，抛物线C：24yx，2p，12p，焦点1,0F，不妨设为11,A x y，22,B xy，设A，B到准线的距离分别为Ad，Bd，对于 A，由标准方程知，抛物线顶点在原点，开口向右，10 x，由抛物线的定义111 12ApFAdxx，故选项 A 正确；对于 B，241yxxmy消去x，化简得2440ymy（0），则124yym，124y y ，24yx，24yx，221212116y yx x，11,OAx
15、y，22,OBxy，12121430OAOBx xy y，coscos,0OA OBAOBOA OBOA OB，2AOB，不存在实数m，使得2AOB，选项 B 错误；对于 C，111,AFxy，221,FBxy，2AFFB，1122221,21,22,2xyxyxy，122yy 又由选项 B 判断过程知124yym，124y y ，解得12 2y，22y ，24m 或12 2y ，22y，24m ，若2AFFB，则24m ，选项 C 正确；对于 D，由题意，14x，24x，14y，24y，第 9 页 共 24 页 直线PA与PB的倾斜角互补时，斜率均存在，且PAPBkk，12124444yyx
16、x，代入2114yx，2224yx，化简得1280yy，由选项 B 的判断知，124yym，480m，2m ，故选项 D 正确.故选：ACD.12 已知定义在R上的函数 f x的图像连续不间断，当0 x 时，121fxfx，且当0 x 时，110fxfx，则下列说法正确的是（）A 10f B f x在,1上单调递增 C若 1212,xxf xf x，则122xx D若12,x x是 cosg xf xx在区间0,2内的两个零点，且12xx，则 2112f xf x【答案】ABD【分析】A 选项通过赋值法令0 x 可以解决，B 选项对121fxfx两边同时求导，结合110fxfx以及函数图像连续
17、不断的性质进行判断，C 选项分12,x x和1的大小关系，分情况进行讨论，D 选项先说明 12f xf x，在结合题目条件说明另一个不等号是否成立的问题.【详解】对于 A，在121fxfx中令0 x，则1 021 0ff，所以 10f，故 A 正确；对于B，当0 x 时，121fxfx，对121fxfx两边求导，则 112112fxfxfx，所以0 x 时，0111fxfxfx，故(1)0fx，而0 x 时11x，即()f x在,1上单调递增，注意到 f x的图像连续不间断，故也有 f x在,1上单调递增，故 B 正确；对于 C，由 B 知，f x在,1上单调递增，112112fxfxfx，故
18、当0 x 时，2011fxfx，即 f x在1,上单调递减.由 1212,xxf xf x知12,x x不可能均大于等于 1，否则211xx，则 12f xf x，这与条件矛盾，舍去.第 10 页 共 24 页 若121xx，则 12f xf x，满足条件，此时，122xx；，若121xx，则221x，由121fxfx，取21xx，则 2222f xfx，则 222022(1)f xffxfx 所以 221222f xfxf xfx，而121,21xx，所以122xx，即122xx，故 C 错误；对于 D，由 f x在,1上单调递增，1,上单调递减，知 10f xf，注意到11330,(1)(
19、1)110,(1)02222gfgfgff ，根据零点存在定理，所以1213,1,1,22xx，若 12f xf x，根据 C 选项，则122xx，则 111222coscoscos*cosf xxxxf xx，由12122 2xxxx，12 22xx，根据余弦函数的单调性，122cos 2cosxxx，与*矛盾，舍去.所以 21211f xf xf xf x，在0 x 时，121fxfx中，令 111122xxfxf x，而由122122xxxx，由2112xx，f x在1,上单调递减，所以 212122f xfxf xf x，所以 212fxfx，于是 2112f xf x，故 D 正确.
20、故选：ABD 三、填空题 13已知圆222:(0)C xyrr，若过定点 1,1P有且仅有一条直线被圆C截得弦长为 2，则r可以是_.（只需要写出其中一个值，若写出多个答案，则按第一个答案计分.）【答案】1#3【分析】依题意，该直线过圆心或垂直于PC【详解】依题意，该直线过圆心或垂直于PC，圆心到直线距离为0d 或2dPC，221rd，所以1r 或3r.第 11 页 共 24 页 故答案为：1 或3 14已知在四面体VABC中，3,2,4VAVBVCABACB，则该四面体外接球的表面积为_.【答案】92#92【分析】先判断出 V在平面ABC的射影为三角形ABC的外心,求出四面体外接球的半径，即
21、可求出四面体外接球的表面积.【详解】3VAVBVCV在平面ABC的射影为三角形ABC的外心.又2,4ABACB，所以由正弦定理得：三角形ABC的外接圆的半径212sin4r；设四面体外接球的半径为22,21RRR.解得：3 24R.所以外接球的表面积为223 2944()42R.故答案为：92.15 已知函数 243,0,23,0 xxxf xg xkxxx，若函数 h xf xg x的图象经过四个象限，则实数k的取值范围是_.【答案】22,3【分析】易得直线2ykx过定点0,2P，函数 h x过四个象限等价于 f x与 g x在y轴的左右两边有异号交点，根据导数的几何意义求函数2430yxx
22、x的切线方程，求出切点，结合图象即可得出答案.【详解】解：直线2ykx过定点0,2P，第 12 页 共 24 页 函数 h x过四个象限等价于 f x与 g x在y轴的左右两边有异号交点，过0,2P作2430yxxx的切线，设切点为2000,43M x xx，024,24yxkx，切线方程为200004324yxxxxx，切线过0,2，解得01x 或01x （舍去），此时2k，当30 x 时，3f xx，线段所在直线斜率为 1；当3x 时，3f xx ，射线所在直线斜率为1，3yx与x轴交于23,0,3PNNk，由图象知满足题意的k的范围是：223k.故答案为：22,3.16已知数列 na满足
23、111,ln2nnaaa，记1nniiTa（其中 x表示不大于x的最大整数，比如0.51,22），则2023T_.（参考数据：0.8ln20.6931,ln31.0986,ln51.6094,e2.718,e2.2255）【答案】6064【分析】设()ln2(0)h xxx x，由导数确定函数的单调性，然后确定na的值，再求和【详解】设()ln2(0)h xxx x，则 1xh xx，01x时,()0h x,1x 时,()0h x,所以 h x在0,1单调递增，在1,单调递减，第 13 页 共 24 页 又 10,30,40hhh，所以存在03,4x 使得 00h x，即00ln2xx，且当0
24、1,xx时，000,ln2ln2h xxxx，所以当01,nax时，10nnaax，12341,2,ln222.6931,ln2.693123aaaa，又40.82ea，所以5lne23a，综上，12345620231,2,3aaaaaaa，所以12 33 20196064nT .故答案为：6064.四、解答题 17已知正项数列 na的前 n项和为nS，242nnnSaa.(1)求数列 na的通项公式；(2)设12()()3 21 21nnnanaab，数列 nb的前 n 项和为nT，证明：13nT.【答案】(1)2nan(2)证明见解析 【分析】（1）利用1nnnaSS计算整理，可得12nn
25、aa，再利用等差数列的通项公式得答案；（2）将nb变形得1411114nnnb，利用裂项相消法可得nT，进一步观察可得证明结论.【详解】（1）242nnnSaa，当2n时，211142nnnSaa，-得2211422nnnnnaaaaa，整理得1120nnnnaaaa，0na，12nnaa，又当1n 时，21111442aSaa，解得12a，第 14 页 共 24 页 数列 na是以 2 为首项，2 为公差的等差数列，2nan；（2）由（1）得222222213 2111121 21212111()()44nnnnnnnnb，2231111111111414141414141341nnnnT，
26、141n，即11041n 13nT.18在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c，且coscos2AaCbc.(1)求A的大小；(2)D在边BC上，且2DCBD，求ADBD的最大值.【答案】(1)3；(2)31.【分析】（1）根据正弦定理可推得cossincos2sinsinAACBC，整理可得1cos2A，即可解出A；（2）解法一：向量法.由题意知2133ADABAC，13CBDAAB.根据向量的运算求出AD和BD，即可得到22241AbDBbADccbbBDcDc，令0btc，换元整理可得313131ABttDD.然后根据基本不等式即可求出ADBD的最大值；解法二：设BDx，
27、ADy，根据ADBADC，得到coscosADBADC.根据余弦定理即可推出22241AbDBbADccbbBDcDc，换元可得313131ABttDD，根据基本不等式即可求得最值.【详解】（1）因为coscos2AaCbc，根据正弦定理可得：cossincos2sinsinAACBC，第 15 页 共 24 页 可化为：2sincoscossinsincossinBAACACA C，因为ABC，所以sinsinsinACBB，.所以原式可化为：2sin cossinBAB，因为0,B，所以sin0B，所以原式可化为2cos1A，即1cos2A.因为0,A，所以3A.（2）方法一：因为2DCB
28、D，故13BDBC，则11213333ADABBCABACABABAC，则22129ADABAC22144cos9ABACAB ACA221429cbcb.又1133BACABDBC，则2219BDACAB2212cos9ACABAC ABA2219bcbc.所以，22222242ADcbcbbbccBD，则22222224421AbbADcbcbccbbccbbBDDBcDc.设0btc，2223142111tttttAtDtBD 23111313ttt313131tt，因为0t，所以331212 311tttt，当且仅当311tt，即31t，即31bc时等号成立.所以，3142 3312
29、33ADBD 所以，ADBD的最大值为31.第 16 页 共 24 页 方法二：设BDx，ADy，则2CDx，在ABC中，由余弦定理有：2222cosabcbcA，即2229xbcbc 在ABD和ACD中，由余弦定理有：222222cos22ADBDABxycADBAD BDxy，2222224cos24ADCDACxybADCAD CDxy，又ADBADC，所以coscosADBADC.所以222222424xycxybxyxy，整理可得2222632xycb 由可得：222942ybcbc.所以，22222242ycbcbxbbcc，所以22222224421bbADycbcbccBDxb
30、bccbbcc.设0btc，2223142111tttttAtDtBD 23111313ttt313131tt，因为0t，所以331212 311tttt，当且仅当311tt，即31t，即31bc时等号成立.所以，3142 3312 33ADBD 所以，ADBD的最大值为31.19甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍末出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立.(1)求乙只赢 1 局且甲赢得比赛的概率；(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和期望.【答案】(1)2081(2)分布列见解析，
31、22481E X 【分析】（1）乙只赢 1 局且甲赢得比赛，对于甲而言，可能是“负胜胜”，“胜负胜胜”两种情况，根据独立事件，互斥事件的概率公式求解；第 17 页 共 24 页（2）X的可能取值为2,3,4,5，分别求出每种情况的概率，按照步骤求分布列即可.【详解】（1）记事件A表示“乙只赢1局且甲赢得比赛”，kA表示“第k局甲获胜”，kA表 示“第k局乙获胜”，则21(),()33kkP AP A，1,2,3,4,5k.则1231234AA A AA A A A，事件123A A A与事件1234A A A A互斥，各局比赛结果相互独立.由概率加法公式和乘法公式，有1231234123123
32、4()()()()()()()()()()P AP A A AP A A A AP A P A P AP A P A P A P A 22122 1220333 3381（2）X的可能取值为2,3,4,5，12121212(2)()()()(9(2211533)()33P XP A AP A AP A P AP A P A 1231231231231222112(3)()()()()()()()()3333339P XP A A AP A A AP A P A P AP A P A P A，12341234(4)()()12122121110333333338P XP A A A AP A A
33、 A A，85123481P XP XP XP X 故X的分布列为 X 2 3 4 5 P 59 29 1081 881 所以 52108224234599818181E X .20如图，四棱锥PABCD中，已知,3,2,1,3ADBC ADCDBCADC，且6,2,PDPCPD与平面ABCD所成的角为4.(1)证明：PDAB；第 18 页 共 24 页(2)若点M为PB的中点，求平面AMC与平面PCD夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)3 145145 【分析】（1）根据题意，如图所示，过点P作PO面ABCD交面ABCD于点O，连,OC OD，延长CO交AD于点N，可得CN 平面OP
34、D，即CNPD，再根据四边形ABCN为平行四边形，即可得证；（2）以O为原点，,OC OD OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，即可得到各点的坐标，结合法向量以及二面角的计算公式，即可得到结果.【详解】（1）如图所示，过点P作PO面ABCD交 面ABCD于点O，连,OC OD，延长CO交AD于点N.因为PD与底面ABCD所成的角为4；所以,64PDOPD，所以3POOD，.因为2PC，则221OCPCPO；因为2CD，所以OCOD，且6CDO 又,POOC POODO，所以CN 平面OPD，所以CNPD.又CND是等边三角形，则2CNCDDN；则1ANBC，且ANB
35、C，所以四边形ABCN为平行四边形，故/ABCN；所以PDAB.第 19 页 共 24 页（2）因为,OC OD OP两两垂直，则以O为原点，,OC OD OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.13331330,0,3,0,3,0,1,0,0,0,0,2222442PDCBAM则73353,0,0,3,3,1,0,344222AMACPDPC 设平面AMC的一个法向量为,mx y z，则530227330442m ACxym AMxyz，解得353xyxz ，令1x，则5 33,33yz 即5 331,33m 设平面PCD的一个法向量设111,nx y z，则1111
36、33030n PDyzn PCxz，即3,1,1n，所以33 145cos,1452953m nm nm n 所以平面AMC与平面PCD夹角的余弦值为3 145145 21已知椭圆2222:1(0)xyTabab，斜率为12的直线1l与椭圆T只有一个公共点31,2P(1)求椭圆T的标准方程；(2)过椭圆右焦点F的直线与椭圆T相交于,A B两点，点C在直线2:4lx 上，且/BCx轴，求直线AC在x轴上的截距.第 20 页 共 24 页【答案】(1)22143xy(2)52 【分析】(1)根据点在椭圆上可得221914ab，又因为直线与椭圆只有一个交点，可得判别式等于零得到方程22144ba即可
37、求解；(2)设出直线,A B的方程，利用韦达定理，再表示出AC在x轴上的截距关于,A B坐标的等量关系，即可求解.【详解】（1）依题意，直线1l的方程为13(1)22yx，即122yx，由22221221yxxyab，消去y得2222222()2404abxa xaa b.由于直线1l与椭圆T只有一个公共点P，故0，即22144ba，因为31,2P在椭圆上，所以221914ab，即2219116aa，整理得428160aa，解得224,3ab，故椭圆T的标准方程：22143xy.（2）方法一：依题意直线AB斜率不为 0，可设直线AB为11221,(,)(,)xtyA x y B xy，则24,
38、Cy，联立椭圆方程22143xy，可得2234690tyty 223636(34)0tt，由韦达定理得12122269,3434tyyy ytt ，进而，有121232ty yyy 由直线AC的方程为1221(4)4yyyxyx，得 直线 AC 在x轴上的截距为 第 21 页 共 24 页 12221211212123()3(4)(3)524442yyyyxyyxyyyyyy 故直线AC在x轴的上截距为52.方法二：设 1122,A x yB xy，则24,Cy，则直线AC的方程为 1221(4)4yyyxyx，则直线AC在x轴的截距为2112(4)4yxxyy，若AB垂直于x轴，则111(1
39、,),(1,),(4,)AyByCy，所以直线AC与x轴交点为5,02N，截距为52.若AB不垂直于x轴，设直线AB的方程为1,0yk xk.与椭圆方程22143xy联立，得2222348430kxk xk，4226416(34)(3)0kkk 由韦达定理有22121222438,3434kkxxx xkk.直线AC在x轴的截距为 22121211121212(1)(1)(44)(4)4(4)44(1)(1)k xxx xxxxxxk xk xxxxx 又因为22121222438,3434kkxxx xkk 所以21212221314(1),()534234kx xxxkk 所以121211
40、(1)()152x xxx，所以121254()2x xxx 所以121212121212121253()4()(44)5224442xxxxxxx xxxxxxxxx 故直线AC在x轴上的截距为52.方法三：右焦点为1,0F，直线2:4lx 与x轴相交于点E为4,0,EF的中点为5,02N 若AB垂直于x轴，则111(1,),(1,),(4,)AyByCy，第 22 页 共 24 页 所以直线AC与x轴交点为5,02N，截距为52.若AB不垂直于x轴，设直线AB的方程为 11222(1),0,(,),(,),(4,)yk xkA x yB xyCy 与椭圆方程22143xy联立，得22223
41、48430kxk xk，4226416(34)(3)0kkk 由韦达定理有22121222438,3434kkxxx xkk 又12x，得1502x，故直线,AN CN的斜率分别为 112122112(1)2,(1)55253422yk xykkk xxx 所以121121212113(1)(1)(25)225()8232525xxxkx xxxkkkxx.因为 2222212122224(3)88(3)408(34)25()8258343434kkkkkx xxxkkk 所以120kk，即12kk，故,A C N三点共线.因为对于任意直线,AB N点都是唯一确定的，所以，直线AC与x轴交点为
42、5,02N，即直线AC在x轴上的截距为52.22已知函数 1lnxf xex（其中2.71828e 是自然对数底数）.(1)求 f x的最小值；(2)若过点,0a ba 可作曲线 f x的两条切线，求证：12522ln24abeaaa.（参考数据：ln20.6931,ln31.0986,ln51.6094）【答案】(1)1(2)证明见解析 【分析】(1)求函数导函数,应用单调性求函数的最小值;(2)把曲线 f x的两条切线转化为两个零点问题,再转化证明最小值大于零即可.第 23 页 共 24 页【详解】（1）函数 f x定义域为0,，11211e,e0 xxfxfxxx 所以 fx在0,上单调
43、递增，且 10f，所以当01x时，0,fxf x单调递减；当1x 时，0,fxf x单调递增，.所以 min11f xf.（2）设切点为,(0)t f tt，则 11etftt，f x在,t f t处的切线为111eelnttyxttt，由于切线过点,a b，所以1111eeln1eln1tttabattatttt，而由（1），fx在0,上单调递增，不同的t值对应的切线斜率不同 设 11eln1tag tattt，所以过点,0a ba 可作曲线 f x的两条切线当且仅当关于t的方程 bg t有两个实根.112211eettag tatatttt，当0a 时，0,g tg t在0,上单调递减，b
44、g t至多有一个实根，不合题意；当0a 时，当0ta 时，0,g tg t单调递增；当ta时，0,g tg t单调递减.而0t 时，;g tt时，g t，所以当且仅当 1elnabg aa时，bg t有两个实根，即当且仅当10,elnaaba时，过点,a b可作曲线 f x的两条切线.只需证0a 时，125eln204aaaa.设 e1xxx，则 e1xx，当0 x 时，0,xx单调递减；第 24 页 共 24 页 当0 x 时，0,xx单调递增，所以 00 x，即e1xx.（*）设 125eln2(0)4xF xxxxx，只需证 0F x.1）当02x时，由 1*,exx，2255ln2ln
45、344F xxxxxxxx.设 25ln34h xxxx，则 2211123123xxxxh xxxxx，当102x时，0,h xh x单调递减；当112x时，0,h xh x单调递增；当12x时，0,h xh x单调递减.而 13ln20,2ln2024hh，所以 0h x，则 0F x.2）当2x 时，1211e221e22xxxxxFxxxx，设 12e221xG xxxx，则 11 e42xG xxx，12 e44e40 xGxx，所以 G x在2,上单调递增，23e60G xG，所以 G x在2,上单调递增，22e50G xG，即 0Fx，所以 F x在2,上单调递增，52eln204F xF.综上得：原不等式成立.