《高中数学竞赛真题10排列组合、二项式定理（学生版+解析版50题）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学竞赛真题10排列组合、二项式定理（学生版+解析版50题）.pdf（33页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、竞赛专题1 0排列组合、二项式定理（50题竞赛真题强化训练）一、填空题1.（20 1 8广东高三竞赛）袋中装有m 个红球和n个白球，m n 24.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系，+4 8的 数 组 Ci n.n）的个数为2.（20 1 8湖南高三竞赛）已知A u B=a?，“J，当时，（A/T）与（8,A）视为不同的对，则这样的（A B）对的个数有 个.3.（20 1 8湖南高三竞赛）从-3、-2、-1、0、1、2、3、4八个数字中，任取三个不同的数字作为二次函数f （K）=，“2 +E+C（“H，）的系数.若二次函数的图象过原点，且其顶点在
2、第一象限或第三象限，这样的二次函数有 个.4.（20 1 8湖南高三竞赛）（U I+=-2）的 展 开 式 中 常 数 项 为.5.（20 1 8 四川高三竞赛）设集合/=1 23,4,5,6,7,8 ,若/的非空子集48满足A A =0,就称有序集合对（A 8）为/的“隔离集合对“，则集合/的“隔离集合对,的个数为.（用具体数字作答）6.（20 20 浙江高三竞赛）已知十进制九位数（“必 4）忖，则所有满足q“2%=4,为 /小 的九位数的个数为7.（20 1 8山东高三竞赛）集合 A、8 涉足 AU 8=1,2.3.L.1 0 ,A H =Z,若 A 中的元素个数不是A 中的元素，8中的元
3、素个数不是8中的元素，则满足条件的所有不同的集合A 的个数为8.（20 2（）辽宁锦州高二期末）4 8”“被7 除后的余数为9.（20 21 江西铅山县第一中学高二阶段练习（理）已知多项式.?+.r1 0=r i o +1（.V +1）+a2（.V +1）2+.+（,v +I）9+dl0（.v +1）,则为=.1 0.（20 21 全国高三竞赛）若（20、+ll.y）=，+.盯 2+，贝|ja-2b+4c-Sd=.II.（20 20 江苏高三竞赛）用三个数字“3,I,4”构成一个四位密码,共有种不同结果.1 2.（20 20江苏高三竞赛）己知集合4=1,2,3,4 56,则满足/（/（/（#）
4、=）的函数/：ATA 共有 个.1 3.（20 1 8 河北高三竞赛）欲登上7阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每步跨上.一阶楼梯，则共有 种上楼梯的方法.1 4.（20 1 8河南高三竞赛）若（2+4）2 =0 +小+%/+1+/,.r （亡川），则/+4+%”被 3除的余数是1 5.（20 1 8湖北高三竞赛）一枚骰子连贯投掷四次,从第二次起每次出现的点数都不小 于 前 一 次 出 现 的 点 数 的 概 率 为.1 6.（20 1 9,河南高二竞赛）称“23,4 567,8.9）的某非空子集为奇子集:如果其中所有数之和为奇数，则奇子集的个数为.1 7.（20 1 9贵州高三竞赛）已
5、知1 3,1 5,1 7,1 9 ,“G 20 0 0,20 0 1.20 1 9）,则，的个位数是1 的概率为1 8.（20 20 全国高三竞赛）在 I,2,3.1 0 中随机选出一个数“在一 1,-2.-3,一1 0 中随机选出一个数6则标+”被3 整除的概率为1 9.（20 21仝国高三竞赛）把数字。9 进行排列，使 得 2 在 3的左边，3 在 5的左边，5在 7的左边的排法种数为2 0.（2 02 1全国商三竞赛）若多项式-”+可以表示成 +%尸，这里y=+，则生=一.2 1.（2 02 1全国高三竞赛）有甲乙两个盒子，甲盒中有5个球，乙盒中有6个 球（所有球都是一样的）.每次随机选
6、择一个盒子，并从中取出一个球，直到某个盒子中不再有球时结束.则结束时是甲盒中没有球的概率为.2 2.（2 02 1全国届三竞赛）一次聚会有8个人参加，每个人都恰好和除他之外的两个人各握手一次.聚会结束后，将所有握手的情况记录下来，得到一张记录单.若记录单上的每条握手记录不计先后顺序（即对某两张记录单，可以分别对其各条记录进行重新排列后成为两张完全相同的，则这两张被认为是同一种），则所有可能的记录单种数为2 3.（2 02 1.全国而三竞赛）先后三次掷一颗骰子，则其中某两次的点数和为10的概率为2 4.（2 02 1 浙江.高二竞赛）对于正整数，若（河-5）+3）：-15）展开式经同类项合并，凸
7、，区./=0，.,”）合并后至少有2 02 1项，则 的最小值为2 5.（2 02 1 浙江.高三竞赛己知整数数列q,a2.%,满足即）=2 q,4+4=2%,且 人-%|=1 （4 =1,2,.,9）,则这样的数列个数共有 个.2 6.（2 02 1.全国高三竞赛）将 2枚白棋和2枚黑棋放入一个4 x 4 的棋盘中，使得棋盘的每个方格内至多放入一枚棋子，且相同颜色的棋子既不在同一行，也不在同一列，如果我们只区分颜色而不区分同种颜色的棋子，则不同放法的种数为2 7.（2 02 1.全国窗三竞赛）用平行于各边的直线将一个边长为10的正三角形分成边长为 1的正三角形表格，则三个顶点均为格点且各边平
8、行于分割线或与分割线重合的正三角形的个数是2 8.（2 02 1.全国高三竞赛设（l+-r+V y =g&F，其中（,=。，1，4。3 8）为常数贝 U .j t u O2 9.（2 02 1 全国高三竞赛）设“是 1,2,9的一个排列，如果它们满足q a2 （i4 af ab 的 4 4,则称之为一个“波浪形排列”.则所有的“波浪形排列 的个数为3 0.（2 02 1.全国高三竞赛）从正方形的四个顶点及四条边的中点中随机选取三个点，则“这三个点能够组成等腰三角形”发生的概率为3 1.（2 02 1.全国高三竞赛圆周上有2 0 个等分点，从中任取4个点，是某个梯形4个顶点的概率是3 2.（2
9、02 1.全国高三竞赛）在平面直角坐标系a。中，点集/f =（.v,y）|A e（l,2 ,y e l,2,3,4）.从 K中随机取出五个点，则其中有四点共线或四点共圆的概率为3 3.（2 02 1.全国两三竞赛）在 0、1、2、3、4、5、6中取5个数字组成无重复数字的五位数，其中是2 7 倍数的最小数是3 4.（2 019.山东,高三竞赛）6个相同的红色球，3个相同的白色球，3个相同的黄色球排在一条直线匕那么同色球不相邻的概率是3 5.（2 019 我州高三竞赛）若（。+。）的展开式中行连续三项的二项式系数成等差数列，则最大的三位正整数=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _3
10、 6.（2 019.广西.高三竟赛）从 I,2,.2 0 中任取3个不同的数，这 3个数构成等差数列的概率为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _37.（2QI9浙江高三竞赛）在复平面上，任取方程30-1=（）的三个不同的根为顶点组成三角形，则不同的锐角三角形的数目为38.（2019新疆高三竞赛）随机取一个山。和 I 构成的8 位数，它的偶数位数字之和与奇数位数字之和相等的概率为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _*7 1 千-39.（2019新疆,高三竞赛）记国为不超过实数x 的最大整数.若A=+-+o _ o-72019 r*y2O 2O -+一 二，则 A 除以
11、50 的余数为40.（2020.全国高三竞赛）现 有 10张卡片，每张卡片上写有1,2,3,4,5 中两个不同的数，且任意两张卡片上的数不完全相同.将这10张卡片放入标号为1,2,3,4,5 的五个盒子中，规定写有i,/的长片只能放在，.号或/号盒子中.一种放法称为“好的”，如 果 1 号盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数.则“好的”放法共有种.41.（2021浙江高三竞赛）一条直线上有三个数字4，%,%,数字的位于4，6之间，称数值|q-词+|%-%|为该直线的邻差值.现将数字卜9 填入3x3的格子中，每个数字均出现，过横向三个格子、竖向三个格子及对地线三个格子共形成8 条直线.则这8
12、条直线的邻差值之和的最小值为 最大值为.42.（202（全国高三竞赛）刘老师为学生购买纪念品，商店中有四种不同类型纪念品各 10件（每种类型纪念品完全相同），刘老师il划购买24件纪念品，且每种纪念品至少购买一件.则共有 种不同的购买方案.43.（2021全国高三竞赛）从集合（L2,2,20）的非空子集中随机取出一个,其元素之和恰为奇数的概率为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _44.（2021.全国高三竞赛）将圆周2+1等分于点，在以其中每三点为顶点的三角形中，含有圆心的三角形个数为二、解答题45.（202（全国高二课时练习）已知集合用=1,2,3,4,5,6）,4=6,7,8
13、,9）,从 M 中选3 个元素，N 中选2 个元素组成一个含5 个元素的新集合C,则这样的集合C 共有多少个？46.（2018广东高三竞赛）已知正整数n 都可以唯一表示为=4+4 9+4.9 2+的形式，其中m 为非负整数，a,e 0 J、,8（/=（）,I,-.m-）,.8.试求中的数列4 必,“2，、4严格单调递增或严格单调递减的所有正整数n 的和.47.（2019江苏两三竞赛）平面直角坐标系中有16个格点（，力，其中（MS,（H/S3.若在这16个点中任取个点，这 个点中总存在4 个点，这 4 个点是一个正方形的顶点，求的最小值.48.（2019上海高三竞赛）设“为正整数,称“X的方格表
14、7的网格线的交点（共（”+1）2个交点）为格点.现将数I,2.（“+1）2分配给7“的所有格点，使不同的格点分到不同的数.称7力的一个1x1格子S 为“好方格”，如果从2s的某个顶点起按逆时针方向读出的4 个顶点上的数依次递增（如图是将数1,2.9 分配给炎的格点的一种方式，其中8、C 是好方格，而八、/）不是好方格）设 7”中好方格个数的最大值为finY（I）求12）的值:（2）求人”）关于正整数”.的表达式.49.（2021全国高三竞赛）平面上有个点，其中无三点共线，将这个点两两相连，用红、黄、绿三种颜色染这些线段，且任意三点所成的三角形的三条边均恰好有两种颜色，证明：佗4.现从中任取两球
15、，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系,“+”440的 数 组（m,n）的个数为【答案】3【解析】【详解】记”取出两个红球”为事件A,“取出两个白球”为事件B,“取出一红一白两个球”为事件c.则尸 伊 尸 毋2 3）=3-,侬题意得P（A）+P（8）=P（C）,即c：+c=cc.所以什=（?_），,从而，+为完全平方数.乂由，2 4 及 m+a 0,-幺 0.故().2a 4 因此，这样的二次函数有A；A：=1 2 个.若顶点在第三象限，则有-丁 o，-J0.0.这样的二次函数有2(i 4aA：=1 2 个.由加法原理知，满足条件的二次函数共有A A：+A；=2
16、4 个.故答案为2 44.(2 0 1 8湖南高三竞赛)(|3+5-2)的 展 开 式 中 常 数 项 为.【答案】-2 0【解析】【详解】因为|W +，2)=洞-用.所 以7；=)七；(国力=-2 0.故答案为-2 05.(2 0 1 8四川高三竞赛)设集合/=1.2,3,4,5.6,7.8,若/的非空子集A8 满足AD=0.就称有序集合对(4 8)为/的“隔离集合对“，则集合/的“隔离集合对“的个数为.（用具体数字作答）【答案】6 0 50【解析】【详解】设A为/的 （1 4女4 7）元子集，则8为/的补集的非空子集.所以，隔离集合对”的个数为（?：（2工1）=0产，一 （?：=（1+2）
17、7（以2 8+仁2。）-（2-4-）=3 8-2 9 +1=6 0 50故答案为6 0 50.6.（2 0 2 0浙江高三竞褰）己知十进制九位数卜4处4，。，则所有满足=4,为的九位数的个数为【答案】2 5【解析】【详解】由题意得：4 （i=1 2 3,4,6,7,8,9）e 5,6,7,8,9 ,且有顺序.于也满足题意的有N =C；C；=2 5.故答案为：2 5.7.（2 0 1 8山东高三竞赛）集合A、8满足4 U8=1.2.3,L ,1 0 ,八。8=0,若A中的元素个数不是A中的元素，8中的元素个数不是8中的元素，则满足条件的所有不同的集合A的个数为.【答案】1 86【解析】【详解】设
18、A中元素个数为可火=1,2.9）,则8中元素个数为1 0-h依;侬总（/“+1）.10-k史B,0-k e A.此时满足题设要求的A的个数为C：，.其中，当4 =5时，不满足题意，故A r 5.所以 A 的个数为 C+C；+C；-Q =2-C；=186.8.(2020辽宁锦州高二期末)48的 被7除后的余数为【答 案】6【解 析】【分 析】将问题转化为二项式定理即可求解.【详 解】48202,=(49-1)202的通项公式为7；“=C；x49期x(-l)当 re0.1,2,2020涧.7；“都 能 照 除7,当,=2021时，该项为-1,所 以 余 数 为6.故答案为：6【点睛】本题主要考查二
19、项式定理，属于基础题.9.(2()21江西,铅山县第一中学高二阶段练习(理)已知多项式+.V10=f l0+1(.V+1)+o2(.v+1)2+9(.v+1)9+1),贝|J 4 =.【答案】42【解 析】【分析】根 据 题 意 把/变形为-1 +(.v+l)-l+(.v+I)0.然后利用二项式定理来求.【详 解】因为 F+/=-1+(.1+1)丁+-1 +(、+1)=a.+4(,i +1)+w(x+1)+f l p(.v +1)+.v,则 3 个-组，有 2C；=40.因此题述所求为1 +6+40=47个.故答案为；47.13.(2018河北高三竞赛)欲登上7 阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼
20、梯，也可以每步 跨 I二一阶楼梯，则共有 种上楼梯的方法.【答案】21【解析】【详解】本题采用分步计数原理.第一类：。次一步跨匕2 阶楼梯，即每步跨上一阶楼梯，跨 7 次楼梯，只 有 1种上楼梯的方法：第二类，I 次一步跨上2阶楼梯，5次每步跨上 阶楼梯，跨 6次楼栩，有或=6 种方法：第三类：2次一步跨上2阶楼梯,3次每步跨上一阶楼梯，跨 5次楼梯，有C：=I O 种方法：第四类：3次一步跨上2阶楼梯，I 次每步跨上一阶楼梯，跨 4 次 楼 梯.6C=4 种方法:共 计 2 1 种上楼梯的方法.1 4.（2 0 1 8 河南高三竞赛）（2.V+4）:，=U+）.V+/,.V2+L+2x2,（
21、nG N,）,W i Jf l,+?4 4-1 “2 被 3除的余数是.【答案】I【解析】【详解】令 x=0,得%=42/1.分别令K=I 和X=-1，将得到的两式相加，得%+/+4+/”=；（6 2+2 2）.所以 O,+/+%“=16 +2”）-4?”=2?1 任”+1）-4”三xI I2 -2 =l（mod3）.1 5.（2 0 1 8湖北高三竞赛）一枚骰子连贯投掷四次，从第二次起每次出现的点数都不小于前一次;H 现 的 点 数 的 概 率 为.【答案】工7 2【解析】【详解】设仆 内、4、4 分别是四次投掷骰子得到的点数，那么（4 必 必）共有6 种不同的情况.如果从第二次起每次出现的
22、点数都不小于前一次出现的点数,则q a2 a aA,苏4、0、仆、处的值都相等，则（4/2 必，4）有C：种不同的情况：着、外外、出恰好取两个不同的值，则（4 必.色）有3 C；种不同的情况：扑：%、怎、的、a!怡好取3 个不同的值，则（4 2，”）有3 C：种不同的情况；若4、“2、4、4 恰好取4 个不同的值，则M l，/，%。）有C：种不同的情况.因此，满足的情况共有+c：+Q）+c；（C+c：+C：）=（C+G+C）（燥+C+C：）=（5+I0+1）X2=256 个.故答案为：2 5 6.1 7.（2 0 1 9 贵州高三竞赛）已知1 3,1 5,1 7,1 9）,“G （2 0 0
23、0,2 0 0 1.2 0 1 9）,贝 卜”的个位数是I 的概率为【答案】|2【解析】【详解】当，”=ll,G 2 0 0（）,2 0 0 1,.2 0 1 9）时，的个位数都是I,此时有2 0 种选法；当”1 3,“G （2 0 0 0 ,2 0 0 4,2 0 0 8 .2 0 1 2 ,2 0 1 6 1 时，”的个位数都是 I.此时有 5 种选法；当 1=1 5 时，”的个位数不可能为I,此时有。种选法:2 0 1 2,2 0 1 6 时,，的个位数都是1,此时有5种.2 0 1 8 时，”的个位数都是I,此时有1 0 种选2=5 -,“G (2 0()0 ,2 0 0 4,2 0
24、0 8,选法;当，”=1 9,W 2 0()0 ,2 0 0 2 .2 0 0 4,法.2 0 +5 +0 +5 +?故答案为：1 8.（2 0 2 0 全国高三竞赛）在 1,2,3,，1 0 中随机选出一个数。在一 I,-2,3,，-1 0 中随机选出一个数，则/+6 被3 整除的概率为37恪 案】而【解析】【分析】题中条件/+b 是3 的倍数，考虑/被 3 除的余数分情况讨论.另外注意有/和。被3 除的余数相加是3 的倍数.【详解】数组（共有1 0,=1 0 0 种等可能性的选法.考虑其中使力+被3 整除的选法数N .若“被3 整除，则也被3 整除.此时“，/，各有3 种选法，这样的（力）
25、有3?=9 种.若“不被 3 整除，则。=（31=如 6 人+1 =3（3代2 太）+1 ,于是被3 除余I,那么被3 除余2.此时“有7 种选法，有4 种选法，这样的（。力）有7 x4 =2 8 种.37因此N =9+2 8 =37.于是所求概率 为 前.【点睛】此题考查计数原理和概率的知识，属于中档题.19.（2 02 1.全国高三竞赛）把数字。9 进行排列，使 得 2在 3 的左边，3 在 5的左边，5在 7的左边的排法种数为【答案】15 12 00【解析】【分析】【详解】考虑全排列,有 种 褶 排法：将数字2、3、5、7从队列中拿出来，保留原队列顺序，有 种 排法：使得2在 3 的左边
26、，3 在 5的左边，5在 7 的左边，只能按照2、3、5、7的顺序排列，有 1种排法:故满足题意的排法数是 不 邸=15 12 00.故答案为：15 12 00.2 0.（2 02 1全国高三竞赛）若多项式l-.v+Y-Y+P可以表示成 0+1.V+,这里.V =X+1,则%=_ _ _.【答案】1330【解析】【分析】【详解】因为：)1-x+x,-/+d)=(l +.v)(l -A+.V:,r19+”)=I+产=I+(y-l)2 1,乂因为：y(l-.v+.r2-.r 9+x2 0)=)/+a,y+-.-+at 9y19+%/巧=%),+q 9+.+Q+3).y3所以“2=C =I 33O.
27、故答案为：1330.2 1.（2 02 1全国高三竞褰）布甲乙两个盒子，甲盒中有5个球，乙盒中有6个 球（所有球都是一样的）.每次随机选择一个盒子，并从中取出一个球，直到某个盒子中不再有球时结束.则结束时是甲盒中没有球的概率为.【答案】瑞【解析】【分析】【详解】相当于前十次中至少有五次选择了甲盒的概率.即二 2 J|C、=3I 9.210 2 211 5 12319故答案为：2 2.（2 02 1全国窗三竞赛）一次聚会有8个人参加，每个人都恰好和除他之外的两个人各握手一次.聚会结束后，将所有握手的情况记录下来，得到一张记录单.若记录单上的每条握手记录不计先后顺序（即对某两张记录单，可以分别对其
28、各条记录进行重新排列后成为两张完全相同的，则这两张被认为是同一种）,则所有可能的记录单种数为.【答案】35 07【解析】【分 析】【详解】根 据 已 知.招 这8个人进行分组，每 组 的 所 有 人 排 成 个 圆 圈，每个人和与其相邻的两个人樨手.问题转化为这样的分组、以 及 分 完 组 之 后 的 项 链 排 列（因为要求握手记录无序）方法有儿神.注 意 到 最 多 分 成 两 组,注当分成一组时，有 上7 种：2当分成两组时，若两组人数分别为3和5,则有C；.彳41 2三,种：若两组人数都是4,则有G.工工种.2!2 2故共有工+士m+或 总 总=3 5 0 7种.2 2 2 2!2 2
29、故 答 案 为:3 5 0 7.2 3.（2 0 2 1全国两三竞赛）先后三次掷一颗骰子，则 其 中 某 两 次的点数和为1 0的概率为【答 案】2 31 0 8【解 析】【分 析】【详 解】有 两 次 为5的 概 率 为7 河=也.6,2 1 6有 两 次 为6和4的 概 率 为由：或；=,6,2 1 6所以概率为熊+黑2 31 0 8 2 3故答案为：.2 4.（2 0 2 1,浙江.高二竞赛）对于正整数，若（x y-5 x+3.*!5）”展开式经同类项合并，.ry（=0,l,合 并 后 至 少 有2 0 2 1项，则”的最小值为_ _ _ _ _ _ _【答 案】4 4【解 析】【分 析
30、】【详 解】由(“-5、+3 y -1 5)=(.r+3)”(y -5 匕共有(+1 丫 项，所以(+2 2 0 2 1 ,将“2而 五-I,则%,“=4 4.故答案为:4 4.2 5.(2 0 2 1 浙江高三竞赛)已知整数数列，0：.*满足4。=2 4,&+%=2 4,且卜=1 (A=l.2,9),则这样的数列个数共有 个.【答案】1 9 2【解析】【分析】【详解】分情况讨论：先考虑4.4,%,设=r,则：(|)=r,5=;+1.6=r+2,d7=r+3.ax=r+4：(2)4=r,af=/+1,&=r+l,s=r:at=r，s=/,+1,a6=r-L f l g =r:(4)4=r,f
31、l5=/-l,6=r-2,6 f7=r-3,4 =r-4；(5)q=i a5=/-!,+如 +a/+.+九1/%,则（1+x+V r =（+x+/）（为+b x+包）/巧.可见4=4 必=A+4 +b、,=h4+%,.因此限=%整.+,+-+w*=%+%=3 故答案为：3加29.（20 21 全国高三竞赛）设 卬/上，出 是 1,2,.,9的一个排列，如果它们满足q 2%,4%q )”的展开式中连续三项的二项式系数为C：,C：,C 俨(藤火-1).因为 2 C：=C*-1+,所以”2 -(4(+1)+4为-2 =0 ,得到=竺+)丽 2由“为加整数则8 A+9 应为奇完全邛方数,故设8 好9=
32、(2，+1)工 叩 2 A=加+”一 2,代入式得;)=(/+1)22 或 2.所以，三位正整数”的最大值为9 59.故答案为：9 59.3 6.(2 0 1 9 广西两三竞赛)从I,2.2()中任取3个不同的数，这 3个数构成等差数列的概率为3【答案】看3 8【解析】【详解】设取出的3个不同的数分别为。、氏 c.不同的取法共有C；。种，若这3个数构成等差数列，则有，=2/,.故、c 同为奇数或同为儡数，且“与 确定后，随之而定.3故答案为：.3 83 7.(2 0 1 9 浙江两三竞赛)在复平面上，任取方程J-1 =0 的三个不同的根为顶点组成三角形，则不同的锐角三角形的数目为【答案】3 9
33、 2 0()【解析】【详解】易知2 心-1=0 的根在单位圆上，且相邻两根之间弧长相等，都为 奇，即将单位圆均匀分成1()()段小弧.苜先选取任意一点八为三角形的顶点，共 有 1 0 0 种取法.按顺时针方向依次取顶点8和顶点C,设人8弧有 段小弧，C 7 J 弧有.v 段小弧，人 C弧 有 二 段 小 弧.则 为 锐 加三角形的等价条件为：|,v +y-t-z =l()()A+y +z =9 7j 啜k y,z 49 =(朗48i 卜算方程组的整数解个数，记=x|.r-+-z =9 7,x.49),g =川北+y+z =9 7,y.49 ,a=z|x+j +z =9 7,z.49 ,S =(
34、x,y,z)|x+y +z=9 7,x,y,z.0),则夫c gc 用 T S I 一 出ugu用=。-(园+怛|+|片 匕 依|+|乎 然 小 勺)=/一 3%=117 6.由于重复计算3次，所以所求锐角三角形个数为吐1 堡=3 9 2 00.3故答案为：3 9 2 00.3 8.(2 019.新阖,高三竞赛)随机取一个由0 和 I 构成的8位数，它的偶数位数字之和与奇数位数字之和相等的概率为35【答案】在【解析】【分析】该8位数首位数字必须为I,分别计算出奇数位上和偶数位:I 的个数，结合组合知识求出基本事件总数和偶数位数字之和与奇数位数字之和相等包含的基本事件个数即可得解.【详解】设”是
35、满足题意的8位数，故知K偶数位h I 的个数和在奇数位I-.I 的个数相同，从而在奇数位上与偶数位上I 的个数可能为1、2、3或 4.注意到首位为I,下面分情况讨论：(1)奇数位上与偶数位上有I 个 1,3个 0 共有C；C=4 种可能：(2)奇数位上与偶数位上有2个 1.2个0,共有C、C=I8种川能：(3 )奇数位上与偶数位上有3个 1,1个 0.钉C；C：=12 种可能；(4)奇数位上与偶数位上有4 个 1,共有C；C：=l种 q 能.合计共有4+18+12+1=3 5 个满足条件的自然数”.又因为。和 I 构成的8位数共有352 =12 8 个，从而概率为音12X故答案为：【点睛】此题
36、考查求古典概型，关键在于熟练掌握”数原理，根据分类计数原理结合组合知识求解概率.-71 7239.(2019新疆.高三竞 赛)记 R 为不超过实数x的最大整数.若人=+9+o O则A除以50的余数为【答案】40【解析】【分析】刀 筋-1 qlk根据2F*均不是整数利用放缩法分析出7“7-2 7 一.结合二项式定理得A除以5()的余数.【详解】注意到,均不是整数.按定 义 严-2 =(?T)+(9 1卜7所以对任意正整数A均有产-IT 71+=7 3-1 =7 7 -1=7 (49 严-Io=7(50-1产-1 =7(仁 xSO+.+C；.,x 5 0-x f-l)+.-+C*：x(-l广)-=
37、7-(-1)*1-l(mod50).IOiO(l-l)-IOlOs4O(mcxl5O).故答案为：40【点睛】此题考查数论相关知识点，涉及同余问题结合二项式定理处理，需要熟练掌握初等数论相关知识.40.(2020全国高三竞赛)现有1()张卡片，每张卡片上写有I,2,3,4,5中两个不同的数，且任意两张卡片上的数不完全相同.将这10张卡片放入标号为I,2.3,4,5的五个盒子中，规定写有，)的卡片只能放在i号或/号盒子中.一种放法称为“好的”，如 果I号盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数.则 好的 放法共有种.【答案】120.【解析】【分析】结合题意，对满足情况进行分类，运用组合的相关知识
38、进行求解.【详解】解：用亿力表示写有i，)的 卡 片.易 知 这1 0张卡片恰为忆力(1 4 /4 5).考虑“好的”卡片放法.五个盒子一共放有1 0张卡片，故I号盒至少有3张卡片，能放入 I 号盒的卡片仅有1,2,1,3,1,4,1,5.情况一：这4张卡片都在I号盒中,此时其余每个盒中已经不可能达到4张卡片，故剩下6张卡片无论怎样放都符合要求，有26=6 4种好的放法.情况二：这4张卡片恰有3张 在1号盒中，且其余每盒坡多仅有2张卡片.考虑1,2,|,3,1,4在1号盒，且1,5在5号盒的放法数M卡片2,3.2,4,3,4的放法有8种可能，其中6种是在2,3,4号的某个盒中放两张，其氽2种则
39、是在2,3,4号盒中各放一张.若2,3,2,4,314有两张在一个盒中,不妨设2,3,2,4在2号 盒.则 2 5 只能在5号 盒,这 样5号盒已有H,5,2,5,故3、544,5分别在3号与4号 盒.即2,5,3,5,4,5的放法唯一：若2,3,2,4,3,4在2.3,4号盒中各一张,则2.3,4号盒均至多有2张卡片.仅需再使5号盒中不超过2张 卡 片,即2,5,3,5,4,5有。张 或I张在5号盒中,对应C；+C；=4种放法.因此N=6 x f +2 x 4 =14.由对称性，在情况二下有4 N=5 6种好的放法.综匕好的放法共有64+56=12()种.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是
40、结合题意进行分类讨论，需要考虑全面，不要漏掉情况.要求综合能力较强.41.(2()21.浙江.高三竞赛)一条直线上有三个数字卬，的，=p?e A|=()和A=,e A|q产0.我们有 S(A)=S(4)=S(A).对任意”w A,令f()=9 w%,则/是A到4的双射.由此得 s(A,)=9S(A),从而 S(A)=I OS(A).又对任意a=4 M l 4)w 8，令=g()=(9-a,“)(9-4,.J(9-)G A.则g定B到A的双射，其中+=9+9M+9=2(9 一l).因为 8=“-,O又令A表示A中最高位数4 =8的正整数全体，A中冗余的数和零所构成的集合记为%.则 s =s（4）
41、+s（A j.对任意a=。人 _1 0a GR,令=仪“）=（8-4,）（8-品_1）.（8-4）e A则b是B到4的双射，其中”+=8 9+89=+8=9 _ L所以 S（8）+S（A J =f c r （9 一 1）=（9-1）=1 0*_ 2s.4=0最后对任意a=8%/w4-8 ,令/=r（a）=（8-a“,）-（8-%）e 8.则r 是4-8到 B 的双射,其中a+=8.9”+8.96+.+8 M977所以 S（8）+S（4）=8+7；+（92-1）”M 1=8+K（9M I-l）=910,!-2!i.于是,1QS+而S=/0、叫2S（B）+S（4）=109-291 1解之得 s(A
42、)=会 X10。+80=96875008(),S(8)=15624704.由于A和B中都含有1,2.8,因此所求正整数的和等于S（A）+S（8）-36=984374748.47.(2019江苏高三竞赛)平面直角坐标系中有16个格点(i,j),其中0WW3,0 5 0.若在这16个点中任取n个点，这 个点中总存在4 个点，这 4 个点是一个正方形的顶点，求的最小值.【答案】II.【解析】【分析】分两步来证明：先找到10个点，它们中的任意四点不能构成正方形的顶点.再根据抽屉原理证明任意的I I 个点，一定存在4 个点为正方形的四个顶点.【详解】存在下面的10点即:点(0.0)，(I.(.(2.0)
43、,(2,I),(3.I).(0,2),(3,2).(0,3),(1.3),(3.3).其中任意4 个点不能构成正方形的顶点，故 W 1.下证：任 意 H 点 中,一定存在4 个点为正方形的四个顶点.因为共取I I 个点，分两种情况讨论：(1)有一行有4 个 点(设为耳,6,代3),则 余 F三行共有7 个点.由抽屉原理知余卜三行中必有一行至少有3 个 点(设为QrQ?，。,)，因分，0，。?，。,分布在两行,若该两行相翎或中间隔一行，则存在四个点，它们为正方形的四个顶点：若该两行间隔两行,如图，不妨设人 已。巴为线段A 8 上的格点，2 2 0 为线段OC上的格点，时应的点的坐标为(0.0).
44、(1,0),(2.0),余卜,4个点分布在中间两行,若线段上有两个整苴,则它们和点，占8中的两点构成正方形的顶点,否则线段G尸上至少有3个点，则其中必有两个格点与。-。2中的两点构成正方形的顶点.（2）任意一行都没有4个点，则各行的格点数分别为3,3 3 2,故4行中必有相邻两行各有3个 格 点.这6个格点中必存在4个格点，它们构成正方形的顶点.【点睛】本题考杳组合最值，此类问题，解决的丛本方法是先找一个反例,从而确定变量的初始范围，再利用抽屉原理来证明该范围成立.4 8.（2 0 1 9上海高三竞赛）设为正整数,称，l x”的方格表7 h的网格线的交点（共（+I）个交点）为格点.现将数I,2
45、.（“+1）2分配给建的所有格点,使不同的格点分到不同的数.称Tn的一个1 x 1格子S为“好方格”，如果从2s的某个顶点起按逆时针方向读出的4个顶点上的数依次递增（如图是将数1,2,9分配给.的格点的一种方式，其 中 从C是好方格，而八、。不是好方格）设7中好方格个数的最大值为JI“）.（I）求人2）的值：（2）求人）关于正整数的表达式.【答案】(1)71 2)=3.(2)/()=i i2+2 -12【解析】【详解】如图，将7 的4个1 x 1格子似下简称格广）分别记为八、8、C,D,将9个格点上的数分别记为“、/、”、（,、/、8、/）/.hg丘，c d e图当“,h.依次取为1,2.9时
46、,易 验 证 8、C、/)均为好方格，这袋明4 2 巨3.现假设 2)=4,即存在一种数的分配方式，使人、B、C、/)均为好方格.由对称性，不妨设边界上8个数a.b /,中的最小数为“或.此时由A为好方格知，或者有a b i h,或 者 有 辰 X X“，故枳8力总是成立的.进而山8、C为好方格知，必有b c d i,但这时与。为好方格矛盾.练上可得贝2)=3.设 T”的各格点的数已被分配好，此时好方格有A 个称格子的一条边为一段“格线”我们对Tn的每段格线标记一个箭头若格线连结了两个格点U、V.其 中 U上的数小于V上的数，则对格线U V 标上一个指向前 顺 时 针旋转9 0 后所得方向的箭
47、头.称一个格子S及 S 的一条边(川所构成的有序对(5,U V)为一个“对子，如果UU上所标的箭头山S内指向S外设对于总数为N.一方面，每个格子5至少贡献I 个对子(否则沿逆时针方向读5顶点上的数将永远递减,矛盾).而根据好方格的定义每个好方格贡献3个对子，于是M.3 A +I-()-)=2*+2.另一方面,加的每段格线至多贡献I个对子，且 7力边界上至少有一段格线标有向内的循头(否则,沿逆时针方向读边界上的数将永远递增，矛盾)，从而不贡献对子.注意到Tn的格线段数为2 n(n+l),所以乂有M、2 (+1)-1.综合两方面得,2 +,走 2”(“+1)1,即好方格的个数A”+2-12最后，对
48、为奇数和为偶数的情况，分别如图和图，将 I.2.(”+尸技粗线经过的次序依次分配给所有格点对图中标有“”记号的每个格子.易验证,按被粗线经过的先后次序排列其4个顶点，恰是一种逆时针排列,因而这些格子均为好方格.图中好方格数 为 止、+上 土 1 =八 2-12 2 2TOB B ri(n.、，n+2 2图中好方格数为5 +5 -1，1 +耳=-2-2+2”-12综上可得，/()=%+2 -1 一249.(2 21,全国高三竞赛)平面上有个点，其中无三点共线，将这个点两两相连，用红、黄、绿三种颜色染这些线段，且任意三点所成的三角形的三条边均恰好有两种颜色,证明：v 13.【答案】证明见解析【解析
49、】【详解】首先，注意到没有点能引出六条同色线段.用反证法证明.假设点八与其他六点/入 C、。、/八A G 有相同颜色的线相连(不妨设为红色).根据题设，三角形只有两种颜色的边知，点 8、C、力、A G之间连线必为黄色或绿 色.山此可知，在点8、C,D、E、尸、G 之 间 的 连 线 存 在 个同色三角形，与题设矛盾.从而,每个点至 多 引出】5 条线段，即”416.设 13S416.将从同一点用出的两条异色边称为一对“好边二由题设知，好边的对数S满足S=2色=Of)设从一点川1 1 A条红边、,条黄边、二条绿边(+.r+z =-l.y.z 4 5).则此点好边的对数为Q+.N+zv=(-l)(
50、.r+z)-(.r+2)2+yz.=-y +(?-l-z)y+(/?-l)z-z2.其中”-6-z 4 y 0,解得更 二 画 1 6.矛盾.2 2所以 413.50.(2021全国高三竞赛)求方程I”-。1=1的整数解，其中、，/是质数，八s 是大于1 的正整数，并证明所得到的解是全部解.【答案】证明见解析【解析】【详解】容易看到两个质数中肯定有一个为2,不妨假设=2,囚-*=1 ,即2,一/=1.若2=q+l,从余数去讨论.，/m3(mod4),s 为奇数.2，=歹+1=(4+1乂尸一厂2+,+),所以，J：(g _g+.+i =22=(2-1)，+】=2“+.,+2-=2“2,-s 2