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1、江苏省盐城市2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷学校:姓名：班级：考号：一、单选题1.一直线过点（。，3）,（-3,0）,则此直线的倾斜角为（）A.45 B.135 C.-45 D.-13502.已知 q 是公差为d 的等差数列，5,为其前项和.若星=3+3,则 =（）A.-2 B.-1 C.1 D.23.已 知 的 顶 点 B,C在椭圆三+9=1 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的3另外一个焦点在BC边上，则AM C 的周长是（）A.2百 B.6 C.4 D.4/34.设a e H,若直线以+y-l=O与直线犬+冲+1 =0 平行，则。的 值 是（）A.1 B.1,-1 C.
2、0 D.0,15.已知直线/：xsina-ycosa=l,其中。为常数且ae0,2万）.有以下结论：直线/的倾斜角为；无论。为何值，直线/总与一定圆相切；若直线/与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；若Mxy）是直线/上的任意一点，则x2+y2l.其中正确结论的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.46.己知双曲线。：-4=13080）满足2=且与椭圆工+.=1 有公共焦点，a b-a 2 12 3则双曲线C 的方程为（）c.D.=17.在平面直角坐标系皿V中，已知点夕(3,-1)在圆U f +y22如一 2,+6 2一 5=。内，动直线A 3过点P 且交圆。于 A,3 两
3、点，若 45。的面积的最大值为8,则实数机的取值范围是()A.(3 2若,3+2 6)B.1,5C.(3-2A/3,1U5,3+2X)D.(-,lu5,+co)8.已知A,B为圆C:x2+y 2-2 x-4 y +3=0 上的两个动点，尸为弦4 8 的中点，若ZACB=90,则点P的轨迹方程为()A.(x-l)2+(y-2)2=-B.(x-l)2+(y-2)2=14C.(x+l)2+(y+2)2=-D.(x+l)2+(y+2)2=14二、多选题9.已知直线以-+3-。=0 在两坐标轴上的截距相等，则实数。=()A.1 B.-1 C.3 D.-310.设抛物线y?=4x,F 为其焦点，P 为抛物
4、线上一点.则下列结论正确的是()A.若 P(l,2),则 附=2B.若 P 点到焦点的距离为3,则 P 的坐标为(2,2近).C.若 A(2,3),则|附+|PF|的最小值为加.D.过焦点F 做斜率为2 的直线与抛物线相交于A,B 两 点,则|钻|=62 211.如图，椭圆G：5+y 2=l和 C?：?+x 2 =l 的交点依次为A,B C D 则下列说法正确的 是()A.四边形ABC。为正方形B.阴影部分的面积大于3.C.阴影部分的面积小于4.D.四边形ABCD的外接圆方程为/+丁=21 2.已知圆 C:d+y?+2侬:-2(,*+1)丫 +2机 2 +2m-3=0(me R)上存在两个点到
5、点 A(O,-1)的距离为4,则，的可能的值为A.1B.-1D.5三、填空题13.设片（-c,0）,6（c,0）分别为椭圆*+菅=1（4 3 0）的左，右焦点，若直线x=?上存在点尸，使|P g|=2 c,则 椭 圆 离 心 率 的 取 值 范 围 为.14.已知在数列%中，4=2,an+=1-n eN*，则出皿=.15.已知焦点为片，鸟的双曲线C 的离心率为石，点尸为C 上一点，且满足2|耳|=3|帆若 亮 的面积为2石，则双曲线C 的实轴长为四、双空题16.抛物线C:y?=2 x 的 焦 点 坐 标 是；经过点尸（4,1）的直线/与抛物线C 相交于A,B两 点,且点P 恰为AB的中点，尸为
6、抛物线的焦点，则|AF|+|M|=.五、解答题17 .已知“为等差数列，S 为其前项和，若 q=6g+j=0.(1)求数列%的通项公式;求Sn.18 .已知4(4,9),B(6,3)两点，求以线段A B 为直径的圆的方程.19 .已知直线4 ：皿+4 =0 和直线&：(?+2户 一 )，+1 =0(m 0,0)互相垂直，求四的取值范围.20 .已知 A A B C 的顶点 A (-1,5),B(-1,-1),C(3,7).(1)求边B C 上的高AO所在直线的方程；(2)求边B C上的中线A M所在直线的方程；(3)求 A B C 的面积.21.已知抛物线C：y 2=2p x(p 0)的焦点为
7、F，点M 在抛物线C上，且 M 点的纵坐标为4,M F =2.2(1)求抛物线C的方程；(2)过点。(0,-4)作直线交抛物线C于 A B两点，试问抛物线C上是否存在定点N使得直线 岫 与 的 斜 率 互 为 倒 数？若存在求出点N的坐标，若不存在说明理由.2 2.已知椭圆C:+2 =l(a b()的离心率为/，以椭圆C的四个顶点为顶点的四边形面积为1 6 G.求椭圆C的方程；若椭圆C的左顶点为A,右焦点是F.点尸是椭圆C上的点(异于左、右顶点)，M为线段R 4 的中点，过 M 作直线PF的平行线/.延长P F 交椭圆C于。，连接A Q交直线/于点B.求证：直线/过定点.是否存在定点。I、。2
8、,使得忸。|+忸 为定值，若存在，求出R、。2的坐标；若不存在说明理由.参考答案:1.A【分析】根据斜率公式求得直线的斜率，得到t a n a =1,即可求解.【详解】设直线的倾斜角为a ,由斜率公式，可得 =写;=1,即t a n a =l,3 0因为0 Y a 1 8 0 ,所以2=1,得：a =K，3由题意可得AA B C的周长为：AC+CF2+F2B+BF=2a+2a=4a=443.故选：D.4.A【分析】根据两直线平行则两直线斜率相等截距不相等可得答案.【详解】=0 时，两直线为y-l=O、直线x+l=O,显然不平行；所以。中0,两直线为=-依+1,y=(x+l),a所以-a =-,
9、，且a a解得。=1.故选：A.5.C【分析】根据直线的性质及直线与圆的关系对选项一一判断即可.【详解】对于，直线/的倾斜角的取值范围为 0 ),与角。的不同，故错误；对于，(0,于点到直线的距离为,/.2/-言=1，则无论。为何值，直线/总与Q+(COSQ)/+V=1相切，故正确;对于，若直线/与两坐标轴都相交，则截距分别为一，一 ,则与两坐标轴围成的sma cos a三角形的面积为4-=I .I -1 .故正确；2 sina cos a|sm 2a对于，由知直线/总与x?+y 2=l相切，则直线/上的点到原点的距离大于等于1,即x2+y2 l,故正确；综上所述，共3 个正确；故选：C6.A
10、【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得。力的值，即可求解.【详解】由椭圆的标准方程为片+3=1,可得才=12_3=9,即c=3,12 3因为双曲线C 的 焦 点 与 椭 圆 工+片=1的焦点相同，所以双曲线C 中，半焦距c=3,12 3又因为双曲线。：-1=1(。0,60)满足2 =且，即。=正“，a-b-a 2 2又 由/+从=。2,即/+(立 a=9,解得/=4,可得从=5，27所以双曲线c 的方程为工-=i.4 5故选：A.7.C【分析】由题知圆心为C(m,l),r=4,进而根据三角形面积公式得AABC面积最大时，却=4 0,圆心C 到直线AB的距离为2应，再根据题
11、意解不等式2 0 4 帜。4 即可得答案.【详解】解：圆C:*2+y2-2/m:-2y+m2-15=0,即圆C:(x-m)2+(y-l)?=16,即圆心为C(/M,l),r=4,所以 AABC 的面积为 SA48C=g/Sin ZACB=8sin ZACB 8,当且仅当乙4cB=,此时AAB C为等腰直角三角形，|A=4 0,圆心C 到直线AB的距离因为点 P(3,-l)在圆。:*2 +丫 2-2 3-2)+”?2-15=0 内，所以2忘 4 归 4,g|J272 7(/M-3)2+22 4,所以，8 (W-3)2+4 1 6,解得3-2 石 加 41 或5Mm +22=2,A 正确；对于 B
12、,设 P(x,2&),(X-1)2+4X=32,X=2,P 的坐标为(2,2 0).B 错误；对于 C,(|PA|+|PF|)m,n=AF=/(2-1)2+32=VlO,C 正确；对于 D,直线/：y=2 x-2,联 立/=4 x,得：X2-3X+1=0,XA+XB=3,A XA+XH+2=5,D错误.故选：AC.11.ABC【分析】根据曲线的对称性，可判定A 正确；联立方程组求得A 的坐标，求得ABC。的面积为 5=3,可判定B正确；由直线x=l,y=l围成的正方形的面积可判定C 正确；由得出圆的方程，可判定D 错误.2 0【详解】由题意，椭圆G：+y2=i 和G：,+/=1,根据曲线的对称
13、性，可得四边形A3C。为正方形，选项A 正确;联立方程组，求 得&乎,等)，所以正方形A B C O 的面积为，=3,所以阴影部分的面积大于3,选项8正确：由直线x =l,y=l 围成的正方形的面积为反=4,所以阴影部分的面积小于4,选项C正确；由所以四边形A 8 C D 的外接圆方程为d+y 2=,选项D错误.故选：ABC.1 2.A C D【解析】根据题意，圆C：(x+m)2+y-(w+l)了 =2?与圆4:寸+()，+1=4 2 相交，再由两圆圆心距大于两圆半径之差，小于两圆半径之和，列出不等式，解得即可.【详解】由题知，圆C：(x+4+)_(机+叨2=2 2 与圆A：V+()，+I)2
14、=42相交，所以，|4-2|C A|4 +2,即 2 ，/+(加+1)-(-1)6,解得,e(-4 7-l,-2)U(O,0 7-l),即加的值可以为：1 或一3 或-5.故选：AC D.【点睛】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为两圆相交，属于基础题.1 3.Qe 3【分析】由题设易知|尸 八 世-c,结合椭圆离心率的性质即可得离心率的取值范围.C 2 2 )【详解】由题设，|P E,|=2 c 2 丝 一 c,则e 2=：W ,而0 e l,ca 3所以0 e 4 好.3故答案为：0|尸阊由双曲线定义可知，上用-归国=为:.PFt =6a,PF2 =4a一|2+|取 2 _
15、|6 号 2 36 a 2+16/-4/5 2/-4/1 2 2PFiPF2 4 8/4 8/又 e=小：.c=/5a c o s =a 3又/耳 P%e (0,1)s in N 耳 PF2=Jl-c o s?4 K g =-yS=；I P耳 I I P心 I s in N 耳 P =；x 2 4 2 x t =2 有2a2=1,又 a 0 a =2故双曲线C的实轴长为近故答案为：7 2 .16.(别#(0.5,0)；9.【分析】由抛物线的解析式可知2 P=2,即可得出焦点坐标为尸；,。过A、B、P 作准线的垂线且分别交准线于点“、N、K,根据抛物线的定义可知|4 网+|四7|=|4/|+忸
16、尸|,由梯形的中位线的性质得出g(|AM|+忸叫)=|PK|=4 +g=|,进而可求出|AF|十 怛目的结果.【详解】解：由抛物线C：V=2 x,可知2p=2,则 勺 g，所以抛物线C：V=2 x 的焦点坐标为尸(g,o 如图，过点A作 AM垂直于准线交准线于M,过点B作B N垂直于准线交准线于N ,过点尸作P K垂直于准线交准线于K,由抛物线的定义可得|AM|+忸N|=|AF|+忸尸I，再根据P(4,l)为线段AB的中点，而四边形40N B 为梯形,由梯形的中位线可知;(|AM|+|BN|)=|PK|=4+；=|,则 网+网=9,所以|AF|+忸尸|=9.故答案为：(别；9.17.(l)a=
17、8-2”；(2)S“=-枕2 +7.【分析】(1)应用等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式;(2)由等差数列前项和公式求5几(1)设等差数列“网的公差为4,由。/=6,。5+。5=0，贝 U 6+2 d+6+4 d=0,解得 d=2,因此 an=a/+(-1)d=8 -2nf所以(的通项公式为劭=8 -2n.(2)由题息知：Sn=na 4-d=一 汇 +In 18.(x-5)2+(y-6)2=10【分析】根据题意，求得圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程.【详解】因 为 线 段 为 直 径，所以线段A B的中点。为该圆的圆心，即 C(5,6).又因为 A B=J(6-4 f+(3-9 6
18、 =+36 =29,AR所 以 所 求 圆 的 半 径/=皆=Ji6,因此，所求圆的标准方程为(X 5)2+。-6)2=10.19.四【分析】通过两直线垂直的充要条件得到=小+2?，然后两边同时除以沉，使用不等式即可解决.【详解】因为所以，(m+2)+l x(-)=0,所 以 =加+2 加，因为机 0,所以m m 1=-=-.n nr+2m)2 +2因为加 0,所以5+2 2,所以o 一二:，故的取值范围为(0，?.m+2 2 n 2J2 0.(l)x+2 y-9=0(2 =T+4(3)12【分析】（1）求得原C，根据垂直关系可得心”=-；，再根据点斜式求解高A O所在直线的方程即可；（2）根
19、据中点坐标公式，结合两点式方程求解即可；（3）根据两点式方程可得边BC所在直线的方程，再根据点到线的距离公式可得点A到直线8c的距离，进而根据三角形的面积公式求解即可.(1)7-（-1）1因为“二 1 =2,所以3 0=-彳，从 而 边 上 的 高A O所在直线的方程为5 -（一1）2y-5 =-i（x+l）,即 x+2 y-9=0(2)因为M是8C的中点，所以从而边BC上的中线A M所在直线的方程为二1 =:二5 3 1 1即 y=-x+4(3)y（1）X （1）由题意知，边5。所 在 直 线 的 方 程 为 泰 芦=在 才，即2 x-y+=0,BC=J(3+1)?+(7 +l C =4后,
20、所以点 A 到直线 B C的距离/?2x(7 二 g石,从 而AABC的面积=BC/=12.5 22 1.(l)/=4 x（2）存在，（4,4）【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式求得点M的横坐标，进而求得p,可得答案；（2）根据题意可设直线方程，和抛物线方程联立，得到根与系数的关系式，利用直线附与N B的斜率互为倒数列出等式，化简可得结论.(1)设”(匹,4)贝 用=题+与=称，.x0=2 p,:.4p-=1 6 ,p0,:.p=2,故 C 的方程为：y2=4x；假设存在定点N ,使得直线2 4 与 N B的斜率互为倒数,由题意可知，直线4B的斜率存在，且不为零，设4 砸方程为x =加(+4
21、),A&,7),8(毛,%),N(苧,%),|x =?(v+4)由(J ,W y2-4my-1 6/n =0,所以 为+、2=4m,y=4x(yxy2=-1 6 m即机 -4或 0 ,.k k 一)LX)0-%-)1)0-)2 _ 4 4.KNA KNB 2 2-2 2,2 2一 ，y&_x 纥 _ 尤 纥 _ 丛 _ 纽%+乂%+%4 4 2 4 4 4 4，城+%(+%)+”2 =1 6,二.(4%-1 6)w+-1 6 =0 恒成立,则1 4%-1 6 =0U2-1 6 =0%=4 ,存在定点N(4,4),使得直线N 4 与N B的斜率互为倒数.22 2.(1)+1 6二1;1 2 证明
22、见解析；5)存在，且。(3,0)、,(-1,0),【分析】(1)根据已知条件得出关于、8、c 的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆C的方程；(2)(i)分析可知直线P Q 不与x 轴重合，设设直线PQ的方程为x =m y +2 ,设点。(知 九)、Q(A,y J,写出点”的坐标，化简直线/的方程，即可得出直线/所过定点的坐标；(ii)点8(x,y),写出点B的坐标，利用相关点法求出点B的轨迹方程，可知点B的轨迹为椭圆，求出椭圆的两个焦点坐标，结合椭圆的定义可得出结论.(1)C _ 1 2 。=4解：由 题 意 可 得*立 砖 琵 石，解得=26，a2=b2+c2 卜=2 v2因此，椭圆C 的
23、 方 程 为 土+匕=1.1 6 1 2解：易知点*2,0)、A(y o),若 也 与 X 轴重合，则 P 或。与点A 重合，不合乎题意，设直线尸。的方程为8=加 旷+2,设点尸(题,几)、。(与乂)，点M的坐标为(2 ，)，所以，直线/的方程为x =，w(ii)因为5为 A。的中点，直线M B 的 方 程 为 尤 2=，(彳)且/=根%+2,y-i,因此，直线/过定点(-1,0).则 扉 三 立 或，且有E+.=i,设点8（x,y）,则，%=2 x+4/=2 y,可得所以，（2 x +4），+，）：=,即 回 或+$=i，即点B的轨迹方程为也3 匚+丫 =1，1 6 1 2 4 3 4 3因
24、为椭圆1+=1 的两个焦点坐标分别为（-1,0）、（1,0）,椭 圆 史 生+=1 可 由 椭 圆 工+亡=1 向左平移2 个单位得到,4 3 4 3故 椭 圆 0 1 +1 =1 的两个焦点坐标别为（-3,0）、（-1,0）,故存在定点。（3,0）、4（7,0）使得忸以+忸自|=4 为定值.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）”特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点（工,%），常利用直线的点斜式方程y -%=%（x-毛）或截距式y=kx+b来证明.