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1、第四部分全等三角形题型练题 型 一 全等三角形定义I.全等三角形定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角2.全等三角形的表示全等用符号“丝”表示，读 作“全 等 于 ，在书写三角形全等时，应注意对应顶点的字母要写在对应位置上例 1.全等三角 形 是（）A.面积相等的三角形 B.角相等的三角形C.周长相等的三角形 D.完全重合的三角形D【解析】全等三角形是指能够完全重合的三角形.变 式 11.下 列 说 法 正 确 的 是（）A.形状相同的两个三角形全等 8.面积相等的两个三角形全等C.完全重合的两个三角
2、形全等 P.所有的等边三角形全等【答 案】C【解 析】【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及全等三角形的判定定理可得答案.【详 解】解：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等；B、面积相等的两个三角形全等，说法错误；C、完全重合的两个三角形全等，说法正确；D、所有的等边三角形全等，说法错误；故选：c.【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等形的概念.询视频D题型二全等三角形的性质全等三角形的对应边相等：全等三角形的对应角相等例 2.下列说法中正确的为（）全等三角形的面积相等周长相等的两个三角形全等全等三角形的形状相同、
3、大小相等全等三角形的对应边相等、对应角相等A.B.C.D.D【解析】由全等三角形的性质可得：全等三角形的面积相等，故正确；由全等三角形的定义可得：周长相等的两个三角形不一定全等，故错误：由全等三角形的定义可得：全等三角形的形状相同、大小相等，故正确；由全等三角形的性质可得：全等三角形的对应边相等、对应角相等，故正确；故选：D变式22.如 图，A A B C 会A D E C ,A 和。，8 和 E 是对应点，B、C、。在同一直线上,且 CE=5,A C =7 ,则 8。的 长 为（）AA.12 B.7 c.2 P.14【答 案】A【解 析】【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论.【详解】解：
4、如图，ABC=DEC,A和Z）,8和E是对应点，B、C、。在同一直线上，且CE=5,AC=7,BC=EC=5,CD=AC=1,BD=BC+CD=12.故选：A.【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键.题型三全等三角形的判定（SSS）三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）例3.已知：如图，点A,C,F,在同一条直线上，AF=EC,AB=ED，BC=DF.求证：AB/ED.证明：；AF=EC,：.AC+FCEF+FC,即 AC=EF,：AB=ED,BC=DF,AC=EF,.,.ABC冬AEDF(SSS),NA=NE,：.AB/ED.变式
5、33.如图，点8、F、C、E在同一直线上，已知AC=DF,BF=EC.求证：LABC 咨 ADEF.【答案】见解析【解析】【分析】已知aA B C 与4D E F 两边相等，通 过 BF=CE可 得 B C=E F,即可判定ABCADEF(SSS).【详解】证明：BE=EC,A BF+C F =E C +C F ,B P B C =EFAB=D E在 NB。与 AQE尸中 4 C =D FB C =EF：.N 8C 0A D E/7(SSS)【点睛】本题考查三角形全等的判定.判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件.
6、题 型 四 全 等 三角形的 判 定(S/S)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“S1S”)例4.如图，8 0 为A/B C的角平分线，E为A B上 一 点,BE=B C ,连结。E.(1)求证：A B D C 襄4 B D E ；(2)若48=7,CD=2,NC=90，求Z8D 的面积.证明：(1)平分4 48C,；Z D B C =N D B E,.在 ABDC 和 ABDE 中，B D =B D，N D B C =4 D B E,BE=B C ,：.ABDC 咨 ABDE；(2)：ABDC BDE,:.DE=CD=2,ZDEB=NC=90。,=1-=1 x 7
7、x 2 =7.变式44.已知：如图，ABUCD,E是N8的中点，CE=DE.（1）求证：ZAED=ZBEC；（2）连接4 C、B D,求证：AC=BD【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由 ABHCD,可得：/AED=ZEDC,ZBEC=ZDCE,由 CE=DE,可得NEDC=N E C D,从而可得结论；（2）先证明/O E g/X B C E,可得 AD=BC,NADE=NBCE,再证明4AD C m XBCD,再利用全等三角形的性质可得结论.【详解】证明：（1）V ABHCD,：.NAED=ZEDC,NBEC=ZDCE,QCE=DE,ZEDC=ZECD,：.
8、NAED=ZBEC,（2）如图，；E是Z8的中点,AE=BE,在“。E与ABCE中，AE=BE ZAED=NBECED=EC;.&ADE 知 BCE(SAS),：.AD=BC,ZADE=ZBCE,：ZEDC=NECD,：.NADC=BCD,在 NOC与 4 8中，AD=BC NADC=/BCDDC=CD:.ADCBCDSAS),AC=BD.【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键.题型五全等三角形的判定CASA)两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或lASA )例 5.如图，4B LB D于点、B,ED LBD于点D
9、,A E交BD于点、C,且 8 C=O C.求证：AB=ED.证明：JABLBD,EDLBD,：.ZA B C Z)=-90,在 Z8C和 EOC中Z B C =ND BC=DC,NACB=2ECD:.XABC乌XEDC(ASA).AB=DE.变 式55.如图，点。在BC上，Z1=Z2,AE=AC,下面有三个条件：AB=AD-,BC=DE；Z E=Z C,请你从所给条件中选一个条件，使4BC 0A4D E,并进行证明.【答案】见解析【解析】【分析】选择，先证明NA4GND4E,然后再利用S/S判定/5C四49E即可;选择，先证明NA4C=ND4E,然后再利用ZSZ判定NBC之ZOE即可.【详解
10、】解：选择证明：VZ1=Z2：.Z +ZDAC=Z2+ZDAC,：.NBAC=NDAE在N8C和NOE中AB=AD NBAC=NDAEAE=ACAABCAADE,选择证明，VZ1=Z2.N1+NQ/C=N2+NO/C,/BAC=NDAE在/8 C和/D E中NBAC=NDAE AC=AENE=NC：.LABC义 4ADE,【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA.AAS.H L.注意：AAA.SSN不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.题型六全等三角形的判定（44S）两角及其
11、中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“44S”）例 6.已知：如图，AB=AE,AB/DE,N E C B+N Q=180.求证：/BC 丝证明：:AB/DE,：.Z C A B=Z E,V Z C 5+Z D =180,NEC8+NNC8=180,/D=/A C B,在力8 c与4。中，.NCAB=NE ZACB=ND,AB=AE:/A B C m AEAD (AAS).变式66.如图，Z C是NA4E的平分线，点。是线段NC上的一点，NC=NE,AB=AD.E求证：ABAC咨ADAE.【答案】见解析.【解析】【分析】由ZC是N8ZE的平分线可知Z C =ZZME,再根
12、据题意利用“角角边”易证比.【详解】是NH4E的平分线，ABAC=/D A E,在 氏4c和加七 中ZC=ZE NBAC=NDAE,AB=AD:.A B 4gA D 4E(A A S).【点睛】本题考查全等三角形的判定.由角平分线的性质得出N84C=N%E和熟练掌握三角形全等的判定条件是解答本题的关键.题 型 七 全等三角形的 判 定(H L)斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边 或“儿”)例 7.如图，AB=CD,DEAC,BFVAC,E,F 是垂足，AE=CF.求证：ZD ZB.证明：AE=CF,:.AE+EF=CF+EF,B P AF=EC.又；B F U
13、C,DELAC,:.NAFB=NCED=90.在 RtAABF 与 RtACDE 中，A F =CE A B C D：.R t/A B F R t/C D E (HL),：.N D=N B.变 式77.如图，RM4BC与RtADEF的顶点、A,F,C,O共线，4B与EF交于点G,BC与 QE 相交于点 H,NB=NE=90,AF=CD,AB=DE.(1)求证：RtABCRtDEF；(2)若GF=1,求线段“。的长.【答案】(1)见详解；(2)1【解析】【分析】(1)先证明AC=DF,再根据HL证明火人45。丝及。/；(2)先证明NAFG=NDCH,从而证明AAFGwADCH,进而即可求解.【详
14、解】(1),/AFCD,，AF+CF=CD+CF,即 AC=DF,在 RtABC 与 RtDEF 中，ACDF AB=DE；.RtABCm RtLDEF(HL)；(2)V RtABC=Rt/DEF,ZA=ZD,NEFD=NBCA,V ZAFG=180-ZEFD,ZDCH=180-ZBCA,NAFG=NDCH,X V AF=CD,.AFGwADCH,.HC=GF=1.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握HL和ASA证明三角形全等，是解题的关键.实战练8.如图，已知等腰4 8 C中，ZABC=45,R是高4）和高8 E的交点，AB=BC=4,则线段。尸的长度为（）A.272 B.2
15、 C.4-2 V2 D.也【答案】C【解析】【分析】证明BD/乌4 O C,即 可 推 出=C。解决问题.【详解】解：,ZADB=90,4 8 C=4 5。，NABD=NDAB,：.BD=AD,ZCAD+ZAFE=90,ZCAD+ZC=90,ZAFE=ZBFD,：.4AFE=4C,/ZAFE=NBFD,:.NC=NBFD,Z C =NBFD在8。/和 Z O C 中，NBDF=ZADC:.BDF/ADC(AAS),：.DF=CD,：4B=BC=4,:.BD=2 V 2，：.DF=CD=4-2 V L故选：C.【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确
16、寻找全等三角形解决问题.q.如图，点尸，B,E,。在同一条直线上，点A ,。在直线8 E 的两侧，A C/D F,CE=FB,添加下列哪个条件后，仍不能判定出A 4 8 c M A D E E ()A.AB=DE B.AB/D E C.NA=ND D.AC=DF【答案】A【解析】【分析】先根据平行线的性质得到N O N E 再证明C 8=/为，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断.【详解】W：-A C/D F,：.ZC=ZF,：CE=FB,CE+EB=FB+BE,即 CB=EE,当添加ZABC=/D E F ,即AB U D E 时，可根据“ASA”判断A4BC三ADEF；当添加NA=
17、N。时，可根据“AAS”判断ZU8C s D E F；当添加ZC=。/时，可根据SAS”判断 A B C三 D E F .故选：A.【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件.1(9.如图，Z C =Z C A M =90,A C =8cm,BC=4 cm,点 P 在线段 4C 上，以2c?/s速度从点A出发向点C运动，到点。停止运动.点0在 射 线 上 运 动，且P Q =AB.若 B C 与 Q 4 全 等,则点P运动的时间为()【答案】P【解析】【分析】分48C名尸0/和48。且。以两种情况，根据全等三角形的性质解答即可.
18、【详解】解：当AzlBCwAPQN时，AP=A C =S,点P的速度为20n/s,.8+2=4(s)；当=时，当/P =8C=4,点P的速度为2cm/s,.1.44-2=2(5)故选：D .【点睛】此题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用.i l.如图，M B C =M D E ,且 NE45=120。，Z B =30,Z C A D =W,4 C F D=.DA B【答案】95【解析】【分析】由全等三角形的性质可得NE4Q=N C 4 8,进而可求出N C/8 =55。，然后利用三角形外交的性质求解即可.【详解】解
19、：;B C兰 D E,ZEAD=NCAB,QZEAB=120,ZCAD=10,ZEAD=ZCAB=55,NCFD=ZFAB+N8=10+55+30=95,故答案为：95.【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解答本题的关键.1 2.如图，在 A/B C 中，N4=90。，AB=AC,BD平分N4BC,CE L B D于 E,若BD=8,则CE为.【答案】4【解析】【分析】延长5Z,CE交于点F,证ABEF咨ABEC,/ABD二4 A C F,得出EF=EC,E C=-C F,及B D=C F,则可以求出其值.2 2【详解】解：延长氏4,CE交于点
20、、F,：ZBAC=90,C E 1B D,NBAC=NBEC=NE4C,V ZABD+ZADB=90,NCDE+NACF=90,/ADB=/CD E,：.NABD=NACF,在48。和/(7/中/BAD =NCAF AB=4CZABD=ZACF:A A B D 咨 4ACF,:.BD=CF=8,.5。平分 NNBC,，/ABE=NCBE,:CELBD,：.NBEF=NBEC=90在4 5环 和8EC中/F BE=NCBE BE=BENBEF=NBECBEFXBEC,：.EF=EC,.EC=-CF=4.2故答案为：4【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质及判定,会添加
21、辅助线构造全等是解题关键.1 3.如图，NBC中，乙4c5=90。，力C=C3,。为C8延长线上一点，AE=AD,且8E与N C的延长线交于点P,若4C=3 P C,则=_BC【解析】【分析】作E A/L Z P于，根据全等三角形性质得出CP=PM,DC=AM,设PC=PM=x,AC=BC=3x,AM=DC=5x,求出 5D=2x,即可求出答案.【详解】解：作尸于“，.Z C 8 =90,ZM=ZACD,AD LAE,：.NDAE=90,ZEAM+ZAEM 90,ZEAM+ZDAC=90,ZDAC=NAEM,在“DC和乙EAM中，NDAC=NAEM ZACD=ZM,AD=AE/ADC 三 /X
22、EAM(AAS),4C=EM,AC=BC,：.BC=EM,.ZACB=9Q,NBCP=乙M,在ABCP和&EMP中NBCP=AM ZBPC=ZEPMBC=EM丛BCP 三 /XEMP(AAS),：/XBCP=/EMP,/ADC=/XEAM,CP=PM,AM=DC,谈 PC=PM=x,AC=BC=3x,AM=DC=5x,BD=2x,【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力.1 4.如图所示，工。是 Z 8 C 中8c边上的中线，若 Z 8=2,AC=6,则/。的取值范【答案】2 Z O 4【解析】【分析】此题要倍长中线，再连接，构造全等三角形.根据
23、三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.即可求解.【详解】解：延长4。到 E,J AD=DE,连接5 E,.7。是Z 8C 的中线,：.BD=CD,在 4ADC 与/XEDB 中，BD=CD-ZADC=ZBDEAD=DE:A A D g A E D B (SAS),：.EB=AC,根据三角形的三边关系定理：6-2AE6+2,：.2AD4,故4 0 的取值范围为【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能推出6-2VNEV6+2是解此题的关键.工 S.如图，已知在 A/B C 中，AC=BC=AD,NCDE=NB,求证：AA
24、DE学 ABCD.【答案】见解析.【解析】分析】证明ZADE=NBCD,为三角形的全等提供条件即可.【详解】证明：ZADE+ZCDE=NB+/BCD,Z.CDE=Z5,NADE=ZBCD,：AC=B C,：.ZA=N B,在AZOE和ASCD中ZA=NB B C,点D在边BC上，点E,尸在线段4 9上，且。尸=24尸，Nl=N2=NB4C.若 的 长 为5,求ZO的长.【解析】【分析】解：由/工=N2=NBAC,得到NBAE=NACF,/ABE=NCAF从而证明AABE之 CARASA).得到AF=BE，再根据DF=2AF,13E的长为5,求得A P的长.【详解】解：N1=N2=N 8ZC,且
25、N1=NR4E+ZABE,N2=NCAF+ZACF,NBAC=NBAE+NCAF,.NBAE=NACF，ZASE=Z6AF.NBAE=NACF在 A/B E 和 VC4/中，Y B =CA乙4BE=NCAF：.ABEZCAF(ASA).，AF=BE,:DF=2AF,BE 的长为 5,:.DF=10,AF=BE=5,：.AD=AF+DF=5+IO=15.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟悉掌握全等三角形的性质和证明.1 7.如图，RIAABC与RtADEF的顶点4,F,C,O共线，4 B与EF交于点G,3 C与Q E相交于点，N8=NE=90。，AF=CD,AB=DE.(1
26、)求证：R t B C S E F ；(2)若GF=1,求线段H C的长.【答案】(1)见详解；(2)1【解析】【分析】(1)先证明A C=D F,再根据HL证明放A/B C g放稗；(2)先证明NAFG=NDCH,从而证明AAFGwADCH,进而即可求解.【详解】(1):AF=CD,.AF+CF=CD+CF,即 AC=DF,在 Ra ABC 与 RtADEF 中，AC=DFAB=DE；.Rt.ABCmRtADEF(HL)；(2)；RMABCmRtADEF,A ZA=ZD,NEFD=NBCA,V ZAFG=180-ZEFD,ZDCH=180-ZBCA,.,.ZAFG=ZDCH,又/R =CD,
27、AAAFGsADCH,.HC=GF=1.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握H L和 ASA证明三角形全等，是解题的关键.培优练1 8.如图 1,在四边形Z5OC 中，A C =4 B,D C =D B ,N C 4 B =6 0。，N C D B =1 2 0。,E 是 ZC 上一点，/是 延 长 线 上 一 点，且=(1)求证：D E=D F.(2)在 图 1 中，若 G 在 Z 8 上且NEOG=60。，试猜想CE、E G、8G 之间的数量关系并证明.(3)运 用(1)(2)(3)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2,在四边形力 8。中，ZA5C=90,Z C A
28、B =Z C A D 3 0 ,E 在上，DE V AB,且A D C E=60,若A E =a,D E =b,求 B E的长.(用含a,b 的代数式表示，可能用到直角三角形中，30。所对的边等于斜边的一半).【答案】证 明 见 解 析；CE+B G =E G ；证明见解析；(3)BE=*.2【解析】【分析】(1)根据已知推出NC=N D B F ,根据SNS证明G E C A D F B,即可得出结论；(2)连接 D4,根据 SSS 证 A A C D Q A A B D，可得 N C D A =Z B D A=60，根据 SAS可证AQGE会AG,推出厂G=EG 即可得出结论；(3)过 C
29、 作CM _LZ。交 的 延 长 线 于 M,根据全等三角形的性质得出AM=AB,CM=BC,由(1)(2)可知DM+BE=DE,分别用含a,b 的代数式表示。E,DM,最后代入即可得出结论.【详解】(1)：N/+NC+NCQ8+NZ8O=360,Z J=60,ZCDB=2Q0,：.NC+N4B4=180。,/ZABD+ZDBF=ISO,：.ZC=/D B F ,在ADEC和XDFB中，CE=BF 2 c =/D B F ,CD=BD：./DEC 经DFB(SAS),：.D E =DF.(2)如图，连接。Z,在力8 和44。中，AC=ABEG 中,DE=DF：.NEDG=ZGDF,DG=DG：
30、.4DGF 四EG（SAS）,FG=EG,：CE=BF,：.CE+BG=EG.（3）如图，过。作CM _LZQ交Z。的延长线于历，在 ANA/C和 中,ZAMC=ZABC ADAC=ABAC,AC=AC：.ZMC 乌/BC(AAS),AM=AB,CM=BC,由(1)(2)可知：DM+BE=DE,:AE=a,ZAED=90,ZD/3=60。，AD=2a,又,：DE=b,DM=AM-AD=AB-2a=BE+a-2a=BE-a,BE-a+BE=b,【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定综合.（1）解题的关键是证明全等三角所需对应角相等；（2）证明两线段和等于一条线段时，通常将两条线段转移到同一条已知线段中，再证明已知线段与求和后的线段相等即可；（3）解题关键在于构造辅助线证明三角形全等.