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1、第 二 部 分 等 腰 三 角 形 题 型 练 题 型 一 等 腰 三 角 形 的 性 质 L 等 腰 三 角 形 的 两 个 底 角 度 数 相 等（简 写 成“等 边 对 等 角“）2.等 腰 三 角 形 的 顶 角 平 分 线，底 边 上 的 中 线,底 边 上 的 高 相 互 重 合（简 写 成”等 腰 三 角 形 三 线 合 一”）例 1.如 图，在 A Z B C 中，8=C,。为 8 c 的 中 点，/反 1。=25。，则 N 8 ZC的 度 数 为 A.25B.35,45。.50【分 析】在 Z 8 C中，/8=/C,点。为 8 c 的 中 点，根 据 等 边 对 等 角 与
2、三 线 合 一 的 性 质，即 可 求 得 答 案.【详 解】解：.1 8=Z C,点。为 8。的 中 点，：./B4D=NC4D=25,二 N8/C=50,故 选：D.【点 睛】此 题 考 查 了 等 腰 三 角 形 的 性 质.此 题 难 度 不 大，注 意 掌 握 数 形 结 合 思 想 的 应 用.变 式 1工.如 图，中，A B A C 90,A D 1 B C,乙 48。的 平 分 线 8 E交 力。于 点 F,4 G 平 分 N D 4 C.给 出 下 列 结 论：/B A D=N C；N A E F=N A F E；N E B C=N C；A G 1 E F.正 确 结 论 有
3、（）A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【答 案】C【解 析】【分 析】根 据 同 角 的 余 角 相 等 求 出 N 8 Z D=N C,再 根 据 等 角 的 余 角 相 等 可 以 求 出 N4EF=/AFE；根 据 等 腰 三 角 形 三 线 合 一 的 性 质 求 出 AGVEF.【详 解】解：:N B4c=90。,ADBC,：.ZC+ZABC=90,/BAD+NABC=90,：.Z B A D=Z C,故 正 确；.M E是 N/5 C 的 平 分 线，二 NABE=/CBE,：ZABE+ZAEF=90,NCBE+NBFD=90,：.NAEF=NBFD,又,：/AFE=NB
4、FD（对 顶 角 相 等），A ZA E F=ZAF E,故 正 确；NABE=NCBE,二 只 有 NC=30。时 N E 3 C=N C,故 错 误；：NAEF=/AFE,：.AE=AF,.7 G 平 分 N D/C,：.A G E F,故 正 确.综 上 所 述，正 确 的 结 论 是.故 选：C.【点 睛】本 题 考 查 了 直 角 三 角 形 的 性 质，等 腰 三 角 形 三 线 合 一 的 性 质，同 角 的 余 角相 等 的 性 质 以 及 等 角 的 余 角 相 等 的 性 质，熟 记 各 性 质 并 准 确 识 图 理 清 图 中 各 角 度 之 间 的 关 系 是 解 题
5、 的 关 键.题 型 二 等 腰 三 角 形 的 判 定 定 义 法：在 同 一 三 角 形 中，有 两 条 边 相 等 的 三 角 形 是 等 腰 三 角 形 判 定 定 理；在 同 一 三 角 形 中，如 果 两 个 角 相 等，那 么 这 两 个 角 所 对 的 边 也 相 等（简 称；等 角 对 等 边）例 2.如 图，在 A Z B C 中，N Z 8 C和 乙 4 c B的 角 平 分 线 交 于 点 E，过 点 作 出 8。交 4 8于 点“，交 A C 于 点、N.若 B M=2,CN=3,则 脑 V的 长 为（）4 108.5.5C.6D.5【分 析】由 平 行 线 的 性
6、质，得 出 NMEB=NCBE,N N E C=N B C E,再 由 角 平 分 线 定 义 得 出 ZEBC,Z N C E=Z B C E,证 出 N E=N C,即 可 求 得 MV 的 长.【详 解】解：JMN/BC,:.NMEB=NCBE,NNEC=NBCE,.,在 Z 8 C中，/4 8 C 和 N/C 8 的 平 分 线 交 于 点 E,N M B E=N E B C,乙 NCE=NBCE,：.N M E B=NMBE,N N E C=ZNCE,:.ME=MB,NE=NC,M N=M E+N E=B M+C N=2+3=5,故 选：D.【点 睛】本 题 考 查 了 平 行 线
7、的 性 质 以 及 等 腰 三 角 形 的 判 定 等 知 识;熟 练 掌 握 等 腰 三 角 形 的 判 定 是 解 题 的 关 键.变 式 22.如 图，在 A Z B C中，/8=25。,乙 4=100。，点 尸 在 的 三 边 上 运 动，当 R 4 C成 为 等 腰 三 角 形 时，其 顶 角 的 度 数 是【答 案】100。或 55。或 70。【解 析】【分 析】作 出 图 形，然 后 分 点 P 在 A B 上 与 B C上 两 种 情 况 讨 论 求 解.【详 解】解：如 图 1,点 P 在 A B 上 时，A P=A C,顶 角 为 NA=100。,.NABC=25,ZBAC
8、=100,二 Z ACB=180-25-1 00=55,如 图 2,点 P 在 B C上 时，若 A C=P C,顶 角 为 NACB=55。，如 图 3,若 A C=A P,则 顶 角 为 NCAP=180O-2NACB=180O-2x55o=70。，综 上 所 述，顶 角 为 105。或 55。或 70。.故 答 案 为：100或 55。或 70。.图 3【点 睛】本 题 考 查 了 等 腰 三 角 形 的 判 定，难 点 在 于 要 分 情 况 讨 论 求 解，作 出 图 形 更 形 象 直 观.题 型 三 等 边 三 角 形 的 性 质1.等 边 三 角 形 的 三 条 边 都 相 等
9、，三 个 内 角 都 相 等，且 均 为 60。2.等 边 三 角 形 每 条 边 上 的 中 线、高 线 和 角 平 分 线 互 相 重 合(三 线 合 一)3.等 边 三 角 形 是 轴 对 称 图 形，它 有 三 条 对 称 轴，对 称 轴 是 每 条 边 上 的 中 线、高 线 或 角 的 平 分 线 所 在 的 直 线 4.等 边 三 角 形 是 特 殊 的 等 腰 三 角 形，具 有 等 腰 三 角 形 的 一 切 性 质 例 3.如 图 所 示，一 个 等 边 三 角 形 纸 片 剪 去 一 个 角 后 变 成 一 个 四 边 形，则 图 中 N1+N 2的 度 4 180。A
10、220.2 4 0 D 300C【分 析】由 等 边 三 角 形 的 性 质 及 四 边 形 的 内 角 和 为 3 6 0 可 求 得 N l+N 2=240.【详 解】由 等 边 三 角 形 可 知：.,.Z l+Z 2=360-(Z J+Z S)=360-1 2 0=240.故 选：C.【点 睛】本 题 考 查 等 边 三 角 形 的 性 质，关 键 是 利 用 了：1、四 边 形 内 角 和 为 360。；2、等 边 三 角 形 的 内 角 均 为 60.变 式 33.如 图，点 0 在 等 边 三 角 形 N 8 C内 部，A D=A E,若 的 应 1 G 则 需 添 加 一 个
11、条 件：_【答 案】N D A B=Z E A C 或 N E A D=60 或 ZCAB=N E A D 或 B D=C E 等【解 析】【分 析】根 据 等 边 三 角 形 三 边 相 等，三 个 内 角 都 为 60。，及 全 等 三 角 形 的 判 定 定 理 解 题 即 可.【详 解】解：在 等 边 三 角 形 Z 8 C 中，AB=ACAD=AE需 添 加 N D A B=N E A C,可 得 到 力 的 4C；或 添 加 NE4Z）=60。，可 得 N D 4 B=NE4C,可 得 到 如 的 4G或 添 加 N C 4 5=N O,可 得 N D 4B=NE4C,可 得 到
12、2 4胎 防 G或 D B=C E,可 得 到 以 的 E1G故 答 案 为：N D A B=Z E A C 或 Z E A D=60 或 ZCAB=/LEAD 或 B D=C E 等.【点 睛】本 题 考 查 全 等 三 角 形 的 判 定、等 边 三 角 形 的 性 质 等 知 识，是 重 要 考 点，难 度 较 易，掌 握 相 关 知 识 是 解 题 关 键.题 型 四 等 边 三 角 形 的 判 定 1.三 边 相 等 的 三 角 形 是 等 边 三 角 形（定 义）2.三 个 内 角 都 相 等 的 三 角 形 是 等 边 三 角 形 3.有 一 个 内 角 是 60度 的 等 腰
13、三 角 形 是 等 边 三 角 形 例 4.下 列 条 件 中，不 能 得 到 等 边 三 角 形 的 是（）4 有 两 个 内 角 是 60的 三 角 形 B.有 两 边 相 等 且 是 轴 对 称 图 形 的 三 角 形C.三 边 都 相 等 的 三 角 形 D.有 一 个 角 是 60。且 是 轴 对 称 图 形 的 三 角 形 B【分 析】根 据 等 边 三 角 形 的 判 定 解 题.【详 解】解：A、两 个 内 角 为 6 0,根 据 三 角 形 的 内 角 和 为 1 8 0,可 知 另 一 个 内 角 也 为 60。，所 以 该 三 角 形 为 等 边 三 角 形.故 不 符
14、合 题 意；8、两 边 相 等 说 明 是 等 腰 三 角 形 或 等 边 三 角 形，而 这 两 种 三 角 形 都 满 足“轴 对 称”的 条 件,所 以 不 能 确 定 该 三 角 形 是 等 边 三 角 形.故 符 合 题 意；C、三 边 都 相 等 的 三 角 形 当 然 是 等 边 三 角 形.故 不 符 合 题 意；。、“轴 对 称”说 明 该 三 角 形 有 两 边 相 等，且 有 一 个 角 是 60。，有 两 边 相 等 且 一 角 为 60的 三 角 形 是 等 边 三 角 形.故 不 符 合 题 意；故 选：B.【点 睛】本 题 考 查 等 边 三 角 形 的 判 定，
15、是 重 要 考 点，难 度 较 易，掌 握 相 关 知 识 是 解 题 关 键.变 式 44.如 图，在 中，/6=4。，点 E 在 C 4 延 长 线 上，E P 1 8 C 于 点 P,交 AB于 点 尸，若 C E=10,A F=3,则 B E 的 长 度 为.【答 案】4【解 析】【分 析】根 据 等 边 对 等 角 得 出 N 8=N C,再 根 据 得 出 N C+N E=90。，ZB+ZBFP=90,从 而 得 出 N E=N B F P,再 根 据 对 顶 角 相 等 得 出 最 后 根 据 等 角 对 等 边 即 可 得 出 答 案.【详 解】证 明：在 Z B C中，:AB
16、=AC,：.ZB=ZC,:EPLBC,.N C+N E=9 0。，NB+NBFP=9Q。,：.ZE=ZBFP,又：NBFP=NAFE,：.ZE=ZAFE,：.AF=AE=3,.Z E/是 等 腰 三 角 形.又.CE=10,：.CA=AB=1,:.BF=AB-AF=7-3=4,故 答 案 为：4.【点 睛】本 题 考 查 了 等 腰 三 角 形 的 判 定 和 性 质，解 题 的 关 键 是 证 明 N E=N Z F E,注 意 等 边 对 等 角，以 及 等 角 对 等 边 的 使 用.题 型 五 含 3 0 角 的 直 角 三 角 形 1.在 直 角 三 角 形 中，如 果 有 一 个
17、锐 角 等 于 30,那 么 它 所 对 的 直 角 边 等 于 斜 边 的 一 半.2.在 直 角 三 角 形 中，如 果 有 一 条 直 角 边 等 于 斜 边 的 一 半，那 么 这 条 直 角 边 所 对 的 锐 角 等 于 30例 5.如 图，在 A 4 8 c 中，AB=BC,N/8 C=1 2 0,过 点 8 作 8Z）_ L 8 C,若 4 D=1,C D的 长 度 为（）A.IS.2.5C.2D.3C【分 析】由 8 O _ L 8 C,推 出 N C 8 Q=9 0,所 以 120-9 0=30,由 AB=BC,N4BC=120，推 出/4=/C=3 0，所 以 NA=N
18、ABD,DB=AD=1,在 RtACBD中，由 3 0 角 所 对 的 直 角 边 等 于 斜 边 的 一 半，进 而 得 出 C D=2 8 O=2.【详 解】解：.Z C B D=9 0,:.N 4 B D=N 4 B C-N C B D=120-90=30,:A B=B C,N/3 C=1 2 0,.*./Z=/C=3 0,N A=N A B D,：.D B=A D=,在 放 CB。中，V Z C=3 0,：.C D=2 B D=2故 选：C.【点 睛】本 题 考 查 了 等 腰 三 角 形 的 判 定 和 性 质，以 及 含 3 0度 角 直 角 三 角 形 的 性 质，正 确 理 解
19、 在 直 角 三 角 形 中，30。角 所 对 的 直 角 边 等 于 斜 边 的 一 半 是 解 题 的 关 键.变 式 55 为 了 打 造“绿 洲”，计 划 在 市 内 一 块 如 图 所 示 的 三 角 形 空 地 上 种 植 某 种 草 皮，已 知,8=1 0米，8 c=1 5 米，Z S=1 5 0,这 种 草 皮 每 平 方 米 售 价 2 a元，则 购 买 这 种 草 皮 需（）元.【解 析】【分 析】作 四 边 的 高 C,设 与 N 8 的 延 长 线 交 于 点。，则 N Q 8 C=3 0。，由 8 C=1 5米，即 可 求 出 C D=1 5 米，然 后 根 据 三
20、角 形 的 面 积 公 式 即 可 推 出 A/B C 的 面 积,最 后 根 据 每 平 方 米 的 售 价 即 可 推 出 结 果.【详 解】解：如 图，作 川 边 的 高。，设 与 N 8 的 延 长 线 交 于 点 D：.ZDBC=30,:CDLBD,8c=15 米，8=7.5 米，7=1 0 米，SA“8C=；/8 X C O=；x 10 x7.5=37.5（平 方 米），每 平 方 米 售 价 2a元，,购 头 这 种 草 皮 至 少 为 37.5x2=75a（7匕），故 选：A.【点 睛】本 题 主 要 考 查 三 角 形 的 面 积 公 式，含 30度 角 的 直 角 三 角
21、形 的 性 质，解 题 关 键 在 于 做 出 AB边 上 的 高，并 利 用 含 30度 角 的 直 角 三 角 形 的 性 质 求 出 高 CD的 长 度.题 型 六 角 平 分 线 的 性 质 定 义：从 一 个 角 的 顶 点 引 出 一 条 射 线，把 这 个 角 分 成 两 个 完 全 相 同 的 角，这 条 射 线 叫 做 这 个 角 的 角 平 分 线.性 质 定 理：角 平 分 线 上 的 点 到 这 个 角 的 两 边 的 距 离 相 等.例 6.如 图，在 4/台。中，乙 4c8=90。,8。平 分 乙 43。，且 Z8=9,8C=6,8=2,则 NBC的 面 积 是（）
22、4 9 B.12 C.15 D.18c【分 析】作。根 据 角 平 分 线 的 性 质 得 到。E=8=2,再 根 据 三 角 形 的 面 积 公 式 即 可 求 解.【详 解】如 图，作。,/N A C B=90,B D 平 分 Z A B C,:.DE=CD=2,1,1 1,1,S“BC=S AABD+S ADBC=-4 B X D E+B C X C D=-X 9 X 2+-6X2=152 2 2 2故 选 C.【点 睛】此 题 主 要 考 查 三 角 形 的 面 积 求 解，解 题 的 关 键 是 熟 知 角 平 分 线 的 性 质.变 式 66.如 图，已 知 在 Z B C中，8。
23、是 N C 边 上 的 高 线，C E 平 分 N4CB,交 B D 于 点 E,BC=5,D E=2,则 的 面 积 等 于（）A.1 0 B.7 C.5 D.3【答 案】C【解 析】【分 析】作 石 尸 _ L B C于 尸，根 据 角 平 分 线 的 性 质 定 理 得 到 E E=O E=2,根 据 三 角形 面 积 公 式 计 算 即 可.【详 解】解：作 所 _L8C于 CE 平 分 4 c 8,E F 1 B C,ED L A C,EF=DE=2,：.ABCE 的 面 积=；x 8 C x M=5.故 选：C.【点 睛】本 题 考 查 的 是 角 平 分 线 的 性 质，掌 握
24、角 的 平 分 线 上 的 点 到 角 的 两 边 的 距 离 相 等 是 解 题 的 关 键.题 型 七 角 平 分 线 的 判 定 判 定 定 理：角 的 内 部 到 角 的 两 边 距 离 相 等 的 点，都 在 这 个 角 的 平 分 线 上 角 的 平 分 线 可 以 看 作 是 到 角 的 两 边 距 离 相 等 的 所 有 点 的 集 合 例 7.在 中，AB=B C,两 个 完 全 一 样 的 三 角 尺 按 如 图 所 示 摆 放.它 们 一 组 较 短 的 直 角 边 分 别 在 N8,8 C 上，另 一 组 较 长 的 对 应 边 的 顶 点 重 合 于 点 P,B P交
25、 边 4 c 于 点、D,则 下 列 结 论 错 误 的 是（）4 BP 平 分 N4BC B.AD=DCC.BD 垂 直 平 分 AC D.AB=2ADD【分 析】先 根 据 角 平 分 线 的 判 定 定 理 得 到 5P平 分 N/8C,再 根 据 等 腰 三 角 形 三 线 合 一 的 性 质 得 到/O=DC,8。垂 直 平 分 Z C,进 而 即 可 求 解.【详 解】由 题 意 得，PEAB,PF1BC,PE=PF,：.BP 平 分 NABC,：AB=BC,：.AD=DC,8。垂 直 平 分 ZC,故 选 项 A B、C 正 确，不 符 合 题 意；只 有 当/BC是 等 边 三
26、 角 形 时，才 能 得 出 N8=MZ）,故 选 项。错 误，符 合 题 意.故 选：D.【点 睛】本 题 考 查 的 是 角 平 分 线 的 判 定，掌 握 到 角 的 两 边 距 离 相 等 的 点 在 角 的 平 分 线 上 是 解 题 的 关 键.也 考 查 了 等 腰 三 角 形 的 性 质.变 式 77.如 图，已 知 AB=AC,BE_LAC于 点 E,CF_LAB于 点 F,B E与 C F交 于 点 D,则 下 列 结 论 中 错 误 的 是（）C.点 D 是 B E的 中 点 D.点 D 在 N B A C的 平 分 线 上【答 案】C【解 析】【分 析】根 据 全 等
27、三 角 形 的 判 定 对 各 个 选 项 进 行 分 析，从 而 得 到 答 案.做 题 时，要 结 合 已 知 条 件 与 三 角 形 全 等 的 判 定 方 法 逐 个 验 证.【详 解】解：A、；AB=AC,B E1A C 于 E,C F1A B 于 F,Z A=Z A.*.A A B E A A C F（AAS）,正 确；B V A A B E A A C F,AB=AC A BF=CE,Z B=Z C,Z D FB=Z D E C=90.A B D FA C D E（AAS）,正 确；C、无 法 判 定，错 误；D、V A A B E A A C F,AB=AC.*.BF=CE,Z
28、 B=Z C,Z DFB=Z D E C=90D F=D E故 点 D 在 N B A C的 平 分 线 上，正 确；故 选：C.【点 睛】本 题 考 查 三 角 形 全 等 的 判 定 方 法，判 定 两 个 三 角 形 全 等 的 一 般 方 法 有：SSS、SAS、SSA、H L.注 意：AAA、SSA不 能 判 定 两 个 三 角 形 全 等，判 定 两 个 三 角 形 全 等 时，必 须 有 边 的 参 与，若 有 两 边 一 角 对 应 相 等 时，角 必 须 是 两 边 的 夹 角.题 型 八 垂 直 平 分 线 的 性 质 定 义：经 过 某 一 条 线 段 的 中 点，并 且
29、 垂 宜 于 这 条 线 段 的 直 线，叫 做 这 条 线 段 的 垂 直 平 分 线，又 称“中 垂 线”（1）垂 直 平 分 线 垂 直 且 平 分 其 所 在 线 段；2）垂 直 平 分 线 上 任 意 一 点，到 线 段 两 端 点 的 距 离 相 等 例&如 图，在 ZBC中，ZACB=90,NB=15,O E 垂 直 平 分 45,交 B C 于 点、E,AC=2,则 的 值 是（）A.48.5C.6D.8A【分 析】由 垂 直 平 分 线 的 性 质，得 4 E=B E,然 后 求 出 N/EC=30,则 求 出/E=4,由 三 角 形 的 面 积 公 式，即 可 求 出 答
30、案.【详 解】解：根 据 题 意，：。：垂 直 平 分/8,：.AE=BE,：.ZEAD=ZB=150,A ZAEC=5+15=30,.在/?；中，Z ACE=90,：.AE=2AC2X2=4,：.BE=4,S/ABE B E,A C x 4x 2=4；2 2故 选：A.【点 睛】本 题 考 查 了 垂 直 平 分 线 的 性 质，30度 直 角 三 角 形 的 性 质，三 角 形 的 外 角 性 质，解 题 的 关 键 是 熟 练 所 学 的 知 识，正 确 的 进 行 解 题.变 式 88.如 图，在 A A B C中，A C 的 垂 直 平 分 线 分 别 交 A C、B C 于 E,D
31、 两 点，EC=3,A ABC的 周 长 为 21,则 A A B D的 周 长 为（）【答 案】8C.16 D.17【解 析】【分 析】根 据 垂 直 平 分 线 的 性 质 计 算 即 可;【详 解】是 线 段 A C 的 垂 直 平 分 线，:.A D=C D,A E=E C,：.A C=6,V A A B C 的 周 长 为 21,A B+A C+B C 2 l,：.A B+B C=5,：.ABD 的 周 长=AB+BD+AD=AB+BC=15,故 答 案 选 B.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 垂 直 平 分 线 的 性 质，准 确 计 算 是 解 题 的 关 键.题 型 九
32、垂 直 平 分 线 的 判 定 定 义 法：垂 直 且 平 分 某 一 条 线 段 的 直 线 是 这 条 线 段 的 垂 直 平 分 线；判 定 定 理：到 一 条 线 段 两 个 端 点 距 离 相 等 的 点，在 这 条 线 段 的 垂 直 平 分 线 上 线 段 垂 直 平 分 线 可 以 看 成 到 线 段 两 端 点 距 离 相 等 的 点 的 集 合 例 9.如 图，中，边 AB,8 C 的 垂 直 平 分 线 交 于 点 P.(2)点 尸 是 否 也 在 边 力 C 的 垂 直 平 分 线 上？请 说 明 理 由.(1)见 解 析；(2)在，理 由 见 解 析【分 析】(1)根
33、 据 线 段 的 垂 直 平 分 线 的 性 质 可 求 得，PA=PB,P B=P C,则 以=P8=PC.(2)根 据 线 段 的 垂 直 平 分 线 的 性 质 的 逆 定 理，可 得 点 P 在 边/C 的 垂 直 平 分 线 上.【详 解】解：(1)证 明：.边/8、8 c 的 垂 直 平 分 线 交 于 点 P,:.PA=PB,PB=PC.:.PA=PB=PC.(2)：PA=PC,.点 P 在 边 A C 的 垂 直 平 分 线 上.【点 睛】此 题 主 要 考 查 线 段 垂 直 平 分 线 的 性 质 定 理 及 逆 定 理：（1）线 段 垂 直 平 分 线 上 的 点 和 这
34、 条 线 段 的 两 个 端 点 的 距 离 相 等；（2）和 一 条 线 段 的 两 个 端 点 的 距 离 相 等 的 点，在 这 条 线 段 的 垂 直 平 分 线 上.变 式 9Q.已 知：如 图，点 P 在 线 段 4 5 外，且 P4=PB,求 证：点 尸 在 线 段 N 8的 垂 直 平 分 线 上，在 证 明 该 结 论 时，需 添 加 辅 助 线，则 下 列 作 法 正 确 的 是.作 N A P B 的 平 分 线 P C交 N 5于 点 C 过 点 P 作 尸 于 点 C 且 Z C=8C 取 N 8 中 点 C,连 接 PC 过 点 P 作 尸 垂 足 为 C【答 案】
35、【解 析】【分 析】利 用 判 断 三 角 形 全 等 的 方 法 判 断 四 个 选 项 是 否 成 立 即 可 二【详 解】解：、利 用 S/S判 断 出 0 P C 8,CA=CB,Z PCA=NPCB=90,点 尸 在 线 段 的 垂 直 平 分 线 上，故 正 确；、过 线 段 外 一 点 作 已 知 线 段 的 垂 线，不 能 保 证 也 平 分 此 条 线 段，故 错 误；、利 用 SSS判 断 出 4 g P C 8,ZPCA=ZPCB=90,.点 P 在 线 段 的 垂 直 平 分 线 上，故 正 确；、利 用 H L 判 断 出 APCA g X P C B,：.CA=CB
36、,.点 P 在 线 段 的 垂 直 平 分 线 上，故 正 确；故 答 案 为：.【点 睛】此 题 主 要 考 查 了 全 等 三 角 形 的 判 定，线 段 垂 直 平 分 线 的 判 定，熟 练 掌 握 全 等 三 角 形 的 判 断 方 法 是 解 本 题 的 关 键.实 战 练 W.已 知 等 腰 A/8 C 的 一 个 角 是 40。，则 这 个 三 角 形 的 其 余 两 个 角 为 一【答 案】70,70。或 40。，100。【解 析】【分 析】分 40。角 是 顶 角 与 底 角 两 种 情 况 讨 论 求 解 即 可.【详 解】解：40。角 是 顶 角 时，底 角=；(180
37、-40)=y x i4 00=70,另 两 个 角 为 70。,70；40。角 是 底 角 时，顶 角 为 180。-40。乂 2=100。，另 两 个 角 为 40。，100。，所 以,另 两 个 角 度 数 为 70。，70或 40,100.故 答 案 为：70,70。或 40。，100.【点 睛】本 题 考 查 了 等 腰 三 角 形 的 性 质，难 点 在 于 要 分 情 况 讨 论.i l.如 图，在 aA B C 中，N A=3 0。，AB=AC=6,则 AABC 的 面 积 为()A.2 B.3 C.4 D.9【答 案】P【解 析】【分 析】作 C D L A B于 D,根 据
38、直 角 三 角 形 的 性 质 求 出 C D,根 据 三 角 形 的 面 积 公 式 计 算 即 可.【详 解】解：作 CD1_AB于 D,A C=A B=4,在 RtAACD 中，Z A=3 0,CD=AC=3,2ZkABC 的 面 积=AB,CD=x3、6=9,2 2故 选 D.【点 睛】本 题 考 查 的 是 直 角 三 角 形 的 性 质，掌 握 在 直 角 三 角 形 中，30。角 所 对 的 直 角 边 等 于 斜 边 的 一 半 是 解 题 的 关 键.1 2.如 图，A,D,C,8 在 同 一 条 直 线 上，D F交 EC于 点 M,AC=BD,NA=NB,AF=BE.(1
39、)求 证：D F A B C E.(2)若 N8=32。，Z F=28,试 判 断 VCOM的 形 状，并 说 明 理 由.【答 案】(1)见 解 析；(2)V C0M是 等 边 三 角 形，见 解 析【解 析】【详 解】解：(1)证 明：4。=8。，工 AD=BC.在“D F和 中，AF=BE,-NN=NB,AD=BC,：.&ADF知 BCE.(2)VCDM是 等 边 三 角 形，理 由 如 下：,：D F 知 BCE,ZB=32,/尸=28,；.NE=NF=28。,ZA=ZB=32,：.ZMCD=NB+NE=32+28=60,ZMDC=ZA+ZF=320+280 60,ZMCD=ZMDC,
40、MD=MC：.VCZM是 等 边 三 角 形.【点 睛】本 题 考 查 了 全 等 三 角 形 的 判 定 和 性 质，等 边 三 角 形 的 判 定，正 确 找 出 判 定 全 等 三 角 形 的 条 件 是 解 题 的 关 键.1 3.如 图，在 工 台。中，。为 8 C 的 中 点，DELAB,D F L AC,垂 足 分 别 为 E,F,且 BE=CF,/BDE=30，求 证：A/B C 是 等 边 三 角 形.【答 案】证 明 见 解 析【解 析】【分 析】用 H L 证 A B E D m A C F D,得 出 N 8=N C,再 证 N8=60。即 可.【详 解】证 明：D F
41、 1 A C,：.NBED=/CFD=90。,在 RtABED 和 RtACFD 中，DB=CDBE=C F，:.RtABEDQRtACFD,：.NB=NC,:.AB=AC,/BDE=30，ZB=60,N B C是 等 边 三 角 形.【点 睛】本 题 考 查 了 等 边 三 角 形 的 判 定 和 全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质，解 题 关 键 是 熟 练 运 用 直 角 三 角 形 的 全 等 判 定 定 理 证 明 等 腰，再 依 据 等 边 三 角 形 的 判 定 进 行 证 明.1 4.如 图，在 Z 8 C 中 NNC8=90。，AC=BC=4,/C Q 是 等 边 三
42、 角 形，连 接 8D,则 B C D 的 面 积 是【答 案】4【解 析】【分 析】求 得 8 C O的 边 8 c上 的 高，用 面 积 公 式 求 解.【详 解】如 下 图 所 示：过。作 力 C 的 垂 线，垂 足 为,/ZACB=90：.A B C D 的 边 B C 上 的 高 等 于 CE；ZCO是 等 边 三 角 形：.AD=CDX DE LAC,AC=4EC=24C=X 4=2；2 2又 5 c=4SzA-iRo vCx-/、=2 B C-EC=2x4x2=4.答 案 为：4.【点 睛】此 题 考 查 了 正 三 角 形、等 腰 三 角 形 的 性 质 及 三 角 形 面 积
43、 计 算 等 知 识，本 题 中 发 现 BCD的 边 8 c上 的 高 等 于 的 一 半 是 关 键.1 5.如 图，在 用 力 8 c中，4 c 8=90。，BC=3,4B=5,角 平 分 线 交 于 点。，则 点。到 Z C的 距 离 是（）D.3【答 案】A【解 析】【分 析】作 于 E,作。P_L8C于 根 据 勾 股 定 理 可 求 N C,根 据 角 平 分 线 的 性 质 可 得 DE=DF,再 根 据 三 角 形 面 积 公 式 即 可 求 解.【详 解】解：作。及 L/C于 E,作 于 R在 中，AC=yAB2-BC2=752-32=4-是 角 平 分 线,：.DE=DF
44、,：.-AC-DE+-BC-DF=-AC-BC,gp-x4xD+-x 3 x=1x4x3,2 2 2 2 2 212解 得。E专.12故 点。到 Z C的 距 离 是 l.故 选：A.【点 睛】本 题 考 查 了 勾 股 定 理，角 平 分 线 的 性 质，关 键 是 熟 悉 勾 股 定 理：在 任 何 一 个 直 角 三 角 形 中，两 条 直 角 边 长 的 平 方 之 和 一 定 等 于 斜 边 长 的 平 方；角 平 分 线 的 性质：角 的 平 分 线 上 的 点 到 角 的 两 边 的 距 离 相 等.1 6.如 图，直 线/|、/2、/3表 示 三 条 相 互 交 叉 的 公 路
45、，现 要 建 一 个 货 物 中 转 站，要 求 它 的 三 条 公 路 的 距 离 相 等，则 可 供 选 择 的 地 址 有（）【答 案】P【解 析】【分 析】根 据 角 平 分 线 上 的 点 到 角 的 两 边 的 距 离 相 等，分 点 尸 在 三 条 公 路 相 交 的 三 角 形 地 带 和 地 带 之 外 作 出 图 形 即 可 得 解.【详 解】解：如 图，作 直 线 八、/2、，3所 围 成 的 三 角 形 的 外 角 平 分 线 和 内 角 平 分 线，外 角 平 分 线 相 交 于 点 尸 2、尸 3、P4,内 角 平 分 线 相 交 于 点 P,根 据 角 平 分 线
46、 的 性 质 可 得 到 这 4 个 点 到 三 条 公 路 的 距 离 分 别 相 等.故 选：D.【点 睛】本 题 考 查 了 角 平 分 线 上 的 点 到 角 的 两 边 的 距 离 相 等 的 性 质，熟 记 性 质 是 解 题 的 关 键.1 7.如 图，在 A/B C 中，分 别 为 8 C,Z C边 上 的 高，相 交 于 点 尸，连 接 C77,则 下 列 结 论：B F=A C；NFCD=N D A C；“，4 8；若 BF=2EC,则 E D C周 长 等 于 的 长.其 中 正 确 的 有()A.B.C.D.【答 案】8【解 析】【分 析】证 明 BO尸 也 Z O C
47、,可 判 断；求 出 NFCQ=45。，N D 4 c 4 5。，延 长 C F 交 A B 于 H,证 明 NNHC=N/BC+NFCD=90。，可 判 断；根 据 可 以 得 到 E 是/C 的 中 点，然 后 可 以 推 出 E R是，C 的 垂 直 平 分 线，最 后 由 线 段 垂 直 平 分 线 的 性 质 可 判 断.【详 解】解：.Z 8 C中，AD,B E 分 别 为 BC、Z C边 上 的 高，ZABC=45,：.AD=BD,Z D A C 和 4 F B D 都 是 N Z C D的 余 角，而 N/D 3=N ZD C=90。，:./BDF 咨 A A D C(ASA)
48、,：.BF=AC,F D=C D,故 正 确，/FDC=90,NDFC=NFCD=45。,：Z D A C=Z D B F ZABC=45,：.Z F C D/Z D A C,故 错 误；延 长 C R交 于 H,V ZABC=45,NFCD=45。,，ZAHC=ZABC+/FCD=90,：.CH1AB,即 CF AB,故 正 确；：BF=2EC,BF=AC,：.AC=2EC,A E=EC=AC,2BELAC,.8 垂 直 平 分 4C,：.AF=CF,BA=BC,：.A F D C 的 周 长=/Y）+RC+OC=FD+AF+DC=AD+DC=BD+DC=BC=AB,即 R O C的 周 长
49、 等 于 故 正 确，综 上：正 确，故 选 B.【点 睛】本 题 考 查 了 全 等 三 角 形 的 性 质 与 判 定，也 考 查 了 线 段 的 垂 直 平 分 线 的 性 质 与 判 定，也 利 用 了 三 角 形 的 周 长 公 式 解 题，综 合 性 比 较 强，对 学 生 的 能 力 要 求 比 较 高.1 8.如 图，在 中，N Z 6C,4 4 c 8 的 平 分 线 相 交 于 点 4 8,8。边 的 垂 直 平 分 线 相 交 于 点。.若 N6EC=120。，则 N 8 0 C 的 度 数 为（）A.150 B.130 C.127 D.120【答 案】P【解 析】【分
50、析】由 N8EC=120。，可 求 NE8C+NECB=60。，由 BE,CE ZABC,Z.ACB,可 得 ZABC=2ZEBC,ZACB=2ZECB,可 求 ZABC+ZACB=2(ZEBC+ZECB)=120,可 得 ZBAC=S00-(ZABC+ZACB)=60,由 边 的 垂 直 平 分 线 相 交 于 点 O.可 得 AD=BD=CD,可 得 乙 4BD=ABAD,NDAC=NDCA,可 求 ZADB=1 8 0-2NDAB,ZADC=1800-2ZD AC,可 得 ZADB+ZADC 240,可 求 ZBDC=360-(乙 408+4 O C)=120.【详 解】解：./B E