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1、秘密启用前【考试时间：2022年 11月 1 日15：0017：00绵阳市高中2020级第一次诊断性考试理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.-1 j 人力=&Z|-x 3 B =xx2 b 0,则一定有（）1 1.一c o s a c o s 6
2、 B.2 -2 V2 B.m 2 2 Q m -41D.D.a?/）D.m-一24设l o g,）4,则3 的 值 是（）A 1 B.2 C.4 D.95.在 一8 C中，点M为边4 5上 一点，2戒=标，若3c M =M：A+C B,则=（）A.3 B.2 C.1D.-16.已知S是等差数列 的前项和，若 S9=57 ,则3牝 一（）A.2 B.3 C,4D.67.某地锦矿石原有储量为。万吨，计 划 每 年 的 开 采 量 为 本 年 年 初 储 量 的 加 且加为常数）倍，那么第（e N*）年在开采完成后剩余储量为“（l “）,并按该计划方案使用10年时间开采到原有储量的一半.若开采到剩余
3、储量为原有储量的70%时，则需开采约（）年.（参考数据：0kL4）A4 B.5 C.6 D.8y8.若函数c o s a)x+I 6（。0）在区间一上恰有唯一极值点，则0的取值范围 为（）A._ 73,6B.7356C.7353D.2 73,3X-4x,0 X,2/,(x +1),-2 x a,f（x）=_9/1 6 .已知函数c x-z,x?_a b c a2+b2+c2秘密启用前【考试时间：2022年 11月 1 日15：0017：00绵阳市高中2020级第一次诊断性考试理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把
4、答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 II 兀 门 则 川 “一()A.T/B.T，。1 C.T0，1，2 D.-6 3【答案】B【解析】【分析】先解不等式，再求交集即可.【详解】由 =*2|-1 *3 ,可得，=一1,0,1,2,3,5=-J rl x2 2）5=-1-7 2 x 白 0,则一定有（）1 1-A cosa ccosb B.2 -2 【
5、答案】D【解析】【分析】根据余弦函数、指数函数、反比例函数和幕函数单调性依次判断各个选项即可.详解对于A,；y =csx在（万，2%）上单调递增，.当2万46乃时，cosacosb,A 错误；对于B,夕=2 在（0，+8）上单调递增，；.2。2：即2 -2 0,B错误；对于C,x在（0 +）上单调递减，一。苫，C错误；对于D,丁 广 在（久+司 上单调递增，；/，D正确.故选：D.3.若命题“Vxw R,机2 s i nx +c os x”是真命题，则实数加的取值范围是（）m V 2 B m2 c.m-6 D.m-2【答案】A【解析】【分析】根据命题是真命题，转换为求函数的最大值，即可求解.s
6、 i n X+c os x-V 2 s i n x +广【详解】1 4人 函数的最大值是J 2,根据命题是真命题可知，N（s i nx +c os x）n%即相血故选：A4.设l g 94,则3的 值 是（）A.1B.2C.4D.9【答案】B【解析】【分析】根据对数的定义，结合指数式的运算律，可得答案.【详解】由 嗨支则9=4,3*4,3“=2.故选：B.5,在448 C中，点 为 边 上 一 点，2而=砺，若3两=2 0+在，则=（）A.3B.2C.1D.-1【答案】C【解析】【分析】根据向量的线性运算法则求解即可.一 一 JM-AB【详解】由得 3,CM=CA+AM=CA+-AB=CA+-
7、（CB-CA=-CA+-CB所以 3 3 J 3 3,所以3c M =2 C 4+C 6 ,即=1,故选：C.6,已知A是等差数列血 的前项和，若 孔=5 7,则3%一%一%=（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的求和公式，结合等差中项的性质，解得“。=3,根据等差数列整理所求代数式，可得答案.9=1 9（4+%9）J9X2%O=MO=57【详解】由题意，2 2，解得0 3,设等差数列应 的公差为，则3%-%一。4 =3（q +4d）-q _（q +3d）=q +9d =a1 0=3故选：B.7.某地镭矿石原有储量为。万吨，计划每年的开采量为本年年初储量的m
8、（0 机1,且加为常数）倍，那 么 第（e N）年在开采完成后剩余储量为“（1一?），并按该计划方案使用1 0年时间开采到原有储量的一半.若开采到剩余储量为原有储量的7 0%时，则需开采约（）年.（参考数据：、份“L4）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】B【解析】y=a-【分析】根据题意得关系式,进而根据指数与对数式的互化即可求解.1_ 八 _ y=a【详解】设第年开采完后剩余储量为y,则，当=i o时，.2 ,a-所以2 i )故110设第x年时，歹=7 0%”，故乂 =/邛1 0 7=1 0n10 n 7 1 0 /1=历=i og i 历=log 2 X 唾2 L4 1 0 g2 V
9、 2=-故*5i故选：B8.若函数 I 61（。）在区间1 2 1上恰有唯一极值点，则0的取值范围 为（）1 7A,卜7一B HD.【答案】c【解析】【分析】根据余弦函数的图象特征，根据整体法即可列出不等式满足的关系进行求解.（兀 八、兀，。7 1 兀兀、xe ,0 6Z X +E-+【详解】当2 A 6（2 6 6Jfy=cos（0 x+巴 （一二,（）由于 I 6）（。）在区间12 J上恰有唯一极值点，故满足/冗兀 C 7-71 -F 0 06 不彳2 6,解得13 3，故选：CZ、X-y/x,0X,9.函数,12/(x+l),-2 ”的图象大致为()【解析】【分析】先利用导函数研究xW
10、l上的单调性，得到/（x）=x “在上单调递减，在f 上单调递增，且4,进而研究一l x M 上的单调性，得-3到在4上单调递减，在43 x 0上单调递增，且222,从而选出正确答案./f(x)=1-=【详解】当0 x 4 1时，27 x2 6-1i4x八，/、X /)故/(x)=x 4 在X G上单调递减，在4 上单调递增,x_ _ r所以x)=x-在 a处取得极小值，7_L_L_L4-2-4当-l x O时，0%+1 1,故人4 2-廿喑3 /2y/x+1 -1 3-1 x ./(x)=-1-0 x 且综上：只有D选项满足要求.2 丁一-1 34上单调递减,-x cos2a=2,(sin
11、2a 1 sin a-tan a-cos 2a=2 sin 2a-cos 2a=2所以cos2a；,所以 cosa,-sina/c 7 c2 sin cos a-(2 cos a-I)=2即 cos a 7,c.c.sin a sin a 32 sin a cos a-2sm a cos a H-=2-=tana=2即cos a,即 cos a故选：Al l.己知直线/：、+冲+=既是曲线N =的切线，又是曲线 歹=/一 的切线，则m+n=()A.0B.-2 仁0或6 D.-2或【答案】D【解析】【分析】本题主要求切线方程，设两个曲线方程的切点，由两条切线均为+町+=通过等量关系可得到根，的取
12、值.ri-I n r o(r i-ex2 /(X)=一，g(X)=e*【详解】/(x)-l n x,g(x)-e ,x,设切点分别为M(x,yi),N(x2,y2),y-n x1=(x X,)则曲线x)=l n x 的切线方程为：玉 ，化简得，/.y=In 玉 H (x 一$)=x+In 为一1曲线g(x)=e 一的切线方程为：y e 2=旌2(x-x2)化简得，y =e L 2.x +(i _x 2)e L 2小-2 1x.1U-2 _ 1 (-1)(山 西-1)=0、。x2)e-M 玉1,故 须解得X1=e或 玉=1 2)=31 91/(0=57C.3D.4可得/(I)=/(l +x),当
13、玉=e,切线方程为*一秒=0,故小=-e,=0,故m +“=e.当 王=1,切线方程为F=XT,故加=一1，则团+”=-2.故机+的取值为-e或 2.故选：D12.若函数/（X）的定义域为R,且/（2 x +l）偶函数，xT）关于点（3 0）成中心对称，则下列说法正确的个数为（）/（x）的一个周期为2/（x）的一条对称轴为x =5A.1 B.2【答案】C【解析】【分析】由题意，根据函数的又1/（2-”）=6 /（2 +*）,且/（2）=3,根据函数周期性的定义，可判的正误；根据周期性的应用，可判的正误；根据函数的轴对称性的性质，可判的正误；根据函数的周期性，进行分组求和,根据函数的对称性，可得
14、/）+/0）=6,/+/（4）=6,可判的正误.【详解】因为/3 +1）偶函数，所以/（1 -2X）=/0+2X）,则/（1-X）=/（1 +X）,即函数/（x）关于直线x =l成轴对称，因为函数/（“）的图象是由函数/（X T）的图象向左平移1个单位，所以函数/（“）关于点（2,3）成中心对称，则 八2一）6-/（2 +x）,且/（2）=3,/（x +2）=6-/（2-x）=6-7（l-（x-l）=6-/（l +x-l）=6-7（x）j/(x+4)=/(2 +x +2)=6-/(2-X-2)=6-/(-x)=6-/(1-(x +1)=6-/(l +x +l)=/(2-x)=/(1+1-%)=
15、/(1-1+%)=f(x 向 甘 口)J f J)J )J、),则函数,l，的周期7=4,故错误；对于 ,“22)=/(2+4X5)=2)=3,故正确：对于，/(5 +x)=/(l +x +4)=/(l +x)=/(l-x)=/(l-x +4)=/(5-x)故正确；对于，/0)=/(2-1)=6-/(2 +1),则-1)+/(3)=6,/(4)=/(0)=/(1)=/(1+1)=/(2)=3,则/(2)+/(4)=6,1 9I。，Z/(0=/(0+/(2)+-+./,(19)由 19+4 =4 3,则,=1=4(/(1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(17)+/(18)+/(19)=4 x
16、(6+6)+”l)+/(2)+/(3)=4 8+6+3 =5 7,故正确.故选：C.二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20分.13 .已知向量“=(3),()，旦()则【答案】2【解析】【分析】根据向量加法的坐标公式，结合垂直向量的坐标表示，可得答案.【详解】由题意，2二(-3,3-2也因为一阳2 5),所以-2)0,则3 +3(3-2加)=0,解得加=2.故答案为：2.14 .已知等比数列加 的各项均为正数，设色 是数列乩 的前项和，且4=2,4=8,则$5=.【答案】3 1【解析】【分析】利用等比数列通项公式，结合9 ,可求得公比夕=2,进而得到外，利用等比数列求和公式可求得
17、结果.【详解】设等比数列J的公比为q，q=4 ：.a.=1 0 ,.,.夕 0,又 a2,q =2,q故答案为：3 115.某游乐场中的摩天轮作匀速圆周运动，其中心距地面20.5米，半径为20米.假设从小军同学在最低点处登上摩天轮开始计时，第6分钟第一次到达最高点.则第10分钟小军同学离地面的高度为 米.【答案】10.5【解析】【分析】建立直角坐标系，利用三角函数定义将摩天轮的高度求出，即可求解.【详解】以摩天轮的圆心为坐标原点，平行地面的直径所在的直线为x轴，2乃 7 1_ t -t建立直角坐标系，设.时刻的坐标为(X/),转过的角度为2x 6 6y-20 s i n(f-)=-20 c o
18、 s r根据三角函数的定义有,62 6,地面与坐标系交线方程为丁=一$,0.5-2 0 c o s.=10.5则 第10分钟时他距离地面的高度大约为 6 米.故答案为：1S 52_z x x-2x-3,x a,/（）=16.已知函数c x-Z,x 的交点即可求解.【详解】在直角坐标系中画出必=/-2 3,为=一 2 的图象，当aW-2 时，/（x）=至多有2 个实数根，如 图 ，当时，/6）=”至多有2 个实数根，如 图（2）,当-2 a l 时，/（）=”恰好有3个实数根，如 图（3）,故。的取值范围为一2 。1,故答案为：-2 a l三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演
19、算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（-）必考题：共 60分.f（x=c o s x（V 3 s i n x-c o s x J17.已 知 函 数 八,I）.（1）求/（X）的单调递减区间；（2）求/（*）=T 在 兀 上的解.【答案】（1）兀 ,5兀,F kit，-h kit_ 3 6(k e Z)x =O,M 兀(2)3【解析】【分析】（1）利用三角恒等变化化简三角函数，根据正弦函数的单调性，结合整体思想,可得答案;（2）利用整体思想，结合正弦函数求值，可得答案.【小 问1详解】V3._ 2 百.c co s 2x 4-1/“
20、(X、)=vA3 s.m x co sx-co s 2 x=2 s i n 2x co s x =2 s i n 2x-2-=s i n2xco s2x =sn|2 2 2 k 2兀-,-兀 3兀 _,7 i 5兀，一+2/ai 2x -F 2 而+ZTCX +4兀令 2 6 2 w Z),解得 3 6(kwZ),兀 ,5兀 ,/./-F KTI，-h KTI.函数J 的单调递减区间为13 6 （d Z）.【小问2详解】.兀)1 C 兀 兀11兀由/口)=-1,得 I 6J 2,.0,吐.6 L 6 6_ 7 1 兀 7兀 1 1兀 _ 27 12X-=-,-r-X=0,-r-T C6 6 6
21、 6,解得 318.已知数列%满足：5,%=1,*+也=5=（e N*）.（1）证明：数列”+%是等比数列；（2）求数列 4 的通项公式.【答案】（1）证明见解析二严+）（”“）（2）a 3【解析】【分析】(1)结合递推公式利用等比数列的定义证明即可；(2)结合(1)中结论，利用累加法和等比数列求和公式即可求解.【小 问 1 详解】证明：4，+?+4%=e N ,。”+2 -=4(。角-%),n e N*；1_ 1a,=-a2=1%一=彳2,/.2,数列-a”是以万为首项，4为公比的等比数列.【小问2 详解】.,+1l-nn=-个x4，l=223由(1)知，2,当 2 2 时，K =(-_ 1
22、)+(_!-4,-2)+(/一%)+4=22-5+22-7+22-9+2”+2T当n=时，q =-(2-+1)=-3 2 满足上式.=1(22-3+1)(/7所以，a 319.在锐角-3 C中，角A,B,C所对的边为4,b,C,且 0 5 =(1+。05).(1)证明：s i n C =s i n 35.c(2)求 4 的取值范围.【答案】(1)证明见解析c.7 2 2百、e(,-)(2)a 23【解 析】【分析】(1)由正弦定理化简eco sB n H l+cos/O可得/=2 8,所以C=7 r-A-B =7 r-3 B,即可证明.(2)因为/B C 为锐角三角形，可求出B的范围，即可求出
23、cos 6 的范围，由正弦定理化c1力1 ,S-=2 c o s5-y =2 t-,te -简 q 2cos8,令cos8=t,由函数的单调性即C可求出。的取值范围.【小 问 1详解】Q cos B=b(l+cos A)由正弦定理 得sin力 cos B=sin 8(1+cos A)即 sin A cos B-cos 4 sin 8=sin 8,/.s in Q-5 =sin5,4-8 =8 或(Z-8 +B=TI(舍)，即/=2 8,C=7T A B=7T 3B，.sin C=sin(-3 B)=sin 35【小问2 详解】由锐角NBC,0 8 ：QA=2 B -QC=7 r-3 B -可得
24、 2,2,2即 671 71 B 4显csB 盘22c _ sin C _ sin 38a sin A sin 2Bsin 2B-cos B+cos IB-sin B 1=-=2 cos D-sin 282 cos 5y令 cos B=t,2 t-,t G2t1 2 司c 1y =2 t-因为 2/在t G也也、/上单调递增,V2 6 3 一 显 乂 丑-?所以当 2 2 z-,J=舁 平当 2 3 0，院仔，哈x）=J-（”卜+4 人玲（R）20.已知函数 3 V J（1）讨论函数/（X）的单调性；（2）若函数/（X）在（3 上恰有两个零点，求函数/（）在 ”上的最小值.【答案】（1）答案不
25、唯一，具体见解析-2/(x)=6 5J /mm呼-竺9(2)I 2 6 5【解析】【分析】（1）求导，分类讨论导函数的正负即可求解,（2）根据第一问可知,（X）的单调性，进而可判断/（“）在（3）上恰有两个零点，满足左 3,根据零点存在性定理即可列不等式求解.【小 问 1 详解】由题意得/(X)=X?-/+4)X+4k=(x-4)(x -k)当左=4 时，由 八 x）=（x-4）2z,函数/（x）在 S，+8）上单调递增.当左4时，令/中尸令 什）0 口 x 4或二 A故函数小）在（4,左）上单调递减，在3,4）和出+动上单调递增.当左4时，令什）x 4,令 汽 x）。八 支 或 x 4函数小
26、）在伙，4）上单调递减，在（一 口 公，（4+）上单调递增.【小问2 详解】当W O或2 3 时，函数/（x）在（0,3）上为单调函数，最多只有一个零点.当0 女3时,函 数/（x）在（0,与上单调递增，在（匕 3）上单调递减.要使函数/*）在（0,3）上有两个零点，则需满足：7 G）o，/（。）0，13。左3 且/*）0，解得i 9.f（x）=m i n /（0）,/（3）/（3）-/（0）=*9又 2,6,6 当 与 时,/“（0）；当M时，3）/（0）,6 13 一又 5 9 1 1 6,，13-k 9,6,1 女 一.5f(x)J V/m in651 5k65工21.已知函数/G)=2
27、e-x-2,当x z o 时，/(x)20.(1)求的取值范围；(1+1+5 求 证：I 2e-l J 则 g（x）=2 e*-2 0函数/（X）在区间 +）上单调递增，则函数/（X）的最小值为/=2-。.当2-aNO,即a4 2 时,可 得/口）“（0）之0 ,函数/在 +）上单调递增.3.，（），.，（），（）恒成立.当2 艮”2 时,函 数“X）的最小值为2（0）=2-。0,当x e 0,X。）时，/（x）0.又/（0）=0,.当x e 0,X。）时，/（%）x2+2 x +l.令X =，得 2 e 1 2/+24+12 12 2 1 1-W-2 e 1 +2 +1 n（n+2）n n+
28、2令 （x）=l n x-x+l,则“O丁，x e（0,l）时,l（x）0,3）为（0,1）上的增函数;XG（l,+oo）0；b）0；人（X）为（1，+8）上的减函数；.h(x)/?(1)=。，则 In x W x 12 2l n(l +-)-2 e”l 2 e,r-l1 1-n +22 2 2 2l n(l +-)(1+)(1+)(1+-)2 e-l 2 e2-l 2 e3-l 2 en-l2 2 2l n(1+T)+ln(,+n)+l n(,+n)+皿1 +1 3 1 1-)-+2=2 +1%+2 In e =In V?In V 2 5 =In 5 .2 2 2 2（1 +-）（1 +）（
29、1 +Z）（1 +-）3.圆心C到直线/的距离 2,直线/和圆C相离.【小问2详解】设 PC3+3 cos 0 3 sin O）（6 e 0,2兀）座 cos（9-3sin（9+6+3码 3G由点尸到直线 的距离：2 一 22cos（三 +6）+2+百=百 cos +&=-16,则 16）n5兀 +0=n 6-6,则 6,声.而=_ 迈 2.选 修45：不 等 式 选 讲 2 3.已知函数/Ok+Z+|2x+l|.（1）求/（X）的最小值；（2）若a,b,C均为正数，且/（a）+/Q）+/（c）=1 8,证明:Ill 9I-F -a h c3【答案】（1）2（2）证明见解析【解析】【分析】（1
30、）由绝对值不等式的性质可求解;(2)由题意得a+b+c=3【小 问1详解】f(x)-x+2|+x+-+x+(x+2)-(x+；)+x+g3 1-X 2.(当且仅当 2时，3二函数兀0的最小值为2.【小问2详解】因为“，b,C均为正数，所 以/(。)+/伍)+/(。)=.Q+b+。=3.(/Q +61 +0*、)/(1 1-1 1 1、)=1由 a h c=(y)+(+与+铮 和b a a c b c1 1 1A得 a b c.(Q +6+C)2 =2 +,2+c a2+b2+(?23再由基本不等式及不等式的性质可证明.1 1+bc+-1 2取等号)3ci+3+3b+3+3c 4-3 18Q a b、b c c、+1 +1b c a c a b-39,+2ab+2bc+2ac W3(/+/+c2)1 1+-+a b%2”9L L b,9 ,a b c a+b+c