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1、九年级数学中考 复 习 等腰三角形中的分类讨论专题提升训练（附答案）一.选择题1.一 个 等 腰 三 角 形 的 两 条 边 分 别 是 和 5 c m,则第三条边的边长是（）A.2cm B.5cm C.2 c m 或 5c m D.不能确定2.一个等腰三角形的一个内角为70 ,则它的顶角的度数为（）A.40 B.55 C.70 D.40 或 703 .如图，在 R t A B C 中，4C B=90 ,NC 4B=3 6 ,以 C为原点，4 c所在直线为y轴，8c所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M 使 为 等 腰 三4.如图，在 3X3的网格中，每个网格线的交点称为格点.已
2、知图中A,B 两个格点，请在图中再寻找另一个格点C,使 A8 C 成为等腰三角形，则满足条件的点C有（）个.C.1 0D.1 25.如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45 ,那么这个等腰三角形的底角为（）A.2 2 50 B.67.5C.2 2 5 0 或 67 50 D.2 2.5 或 67.56.已知一个等腰三角形的三边长分别为3 x-2,4x-3,7,则这个等腰三角形的周长为（）A.2 3B.1 9.5 或 2 3C.9 或 2 3 D.9 或 1 9.5 或 2 3填空题7.已 知（4）2+收-3|=0,则以“，人为两边长的等腰三角形的周长为.8 .如图，在平面直角坐标系中，点A
3、,8的坐标分别是（1,5）、（5,1）,若点C在 x轴上，且 A,B,C三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的C点 共 有 个.9.如图，ABC,ZC=9 0,将ABC沿 OE折叠，使得点3 落在AC边上的点尸处，若ZC FD=60且为等腰三角形，则/A 的度数为10.等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成了 12和 18两部分，这个三角形的底边长为11.如图，在等腰AABC 中，AB=AC,ZBAC=120,BC=30cm,一动点 P 从 B 向 C 以每秒2a”的速度移动，当尸点移动.秒时，出 与ABC的腰垂直.AC=8,A B=0,动点。从点A 出发，沿线段A B以每秒2 个单位的
4、速度向B 运动，过点。作。F L A 8 交 BC所在的直线于点F,连结AF,C D.设点。运动时间为1秒.当 是 等 腰 三 角 形 时，则/=秒.1 3.如图，四边形O48C是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点 O 与坐标原点重合，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，O C=5,点 在 边 BC上，点 N 的坐标为（3,0）,过点N 且平行于y 轴的直线MN与 EB交 于 点 现 将 纸 片 折 叠，使顶点C 落在MN上的点G 处，折痕为O E.在 x 轴正半轴上存在一点P,使得以P,O,G 为顶点的三角形1 4.如图，在等腰梯形4BC Z)中，AD/BC,B C=1 A D
5、=】近,Z B=45,等腰直角三角形&WN 中，含 45角的顶点E放在B C边上移动，直 角 边 始 终 经 过 点 4,斜边E N与C D交于点F,若 ABE 为等腰三角形，则 CF 的长为.三.解答题1 5.已知关于x的方程-(A+2)x+2&=0.(1)求证：无论k 取何值，该方程总有实数根；(2)若等腰 A8 C 的一边长。=1,另 两 边 氏 c 恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长.1 6.如图矩形A B C O 中，AB=2,4 0=4,点 P 是边A D上一点，联结8 P,过点P 作 PE _ LB P,交 C 于 E点，将 42 P沿直线P E 翻折，点 B 落在点8处
6、，若 8,尸。为等腰1 7.在 ABC 中，点。是 B C上一点，将沿4。翻折后得到 AE D,边 A E交线段B C于点F.(1)如图 1,当NBAC=90,OE AC 时.A E和 8c有怎样的位置关系，为什么？若BF=8,E F=4,求线段A B 的长.(2)如图2,若N C=3/B,折叠后要使A O E尸和尸 C,这两个三角形其中一个是直角三角形而另一个是等腰三角形.求此时N B 的度数.图1图21 8 .如图，直线y=-x+1 0与x轴、y轴分别交于点8和点C,点A的坐标为(8,0),点P(x,y)是直线上第一象限内的一个动点.(1)求。用 的面积S与x的函数关系式，并直接写出自变量
7、x的取值范围；(2)当 0%的面积为1 0时，求点P的坐标；(3)在直线B C上是否存在点M,使 以O,B,M为顶点的三角形是等腰三角形？若存1 9 .综合与探究如图1,抛物线+法+6与x轴交于A (2,0),B(8,0)两点与y轴交于点C.(1)求抛物线的表达式.(2)E是线段B C上的动点.过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当E F的长度最大时，求E点坐标.(3)点P从点B出发沿B C以1个单位长度/秒的速度向终点C运动，同时点Q从点。出发以相同的速度沿x轴的正半轴向终点B运动，点。到达终点8时，两点同时停止运动连接P。，当 B PQ是等腰三角形时，请求出运动的时间.图1 备用图 备用图2
8、0.如 图1,点C是半圆A 8上一点(不与A、8重合)，O O L B C交弧B C于点。，交弦BC于点E,连接A。交8 c于点F.(1)如 图1,如果A D=B C,求N A B C的大小：(2)如图2,如果A F：F=3：2,求N A 8 C的正弦值；(3)连接。凡。的直径为4,如果O F。是等腰三角形，求AO的长.参考答案一.选择题1 .解：分两种情况：当等腰三角形的腰长为2c m 底边长为5 c m 时，V 2+2=4 5,不能组成三角形；当等腰三角形的腰长为5 c m,底边长为2c?时，.等腰三角形的三边长分别为5 a w,5cm,2cm,综上所述：等腰三角形的第三条边的边长是5 c
9、 m,故选：B.2.解：分两种情况：当等腰三角形的一个底角为7 0 时，另一个底角也是7 0 ,等腰三角形的顶角=1 8 0 -2X 7 0 =4 0 ；当等腰三角形的顶角为7 0 时，二等腰三角形的两个底角都=X（1 8 0 -7 0 ）=5 5 ；2综上所述：等腰三角形的顶角的度数为4 0 或 7 0 ,故选：D.3.解：（1）当 AB是底边时，作 AB的垂直平分线分别与A C,x轴负半轴相交，共两个交点，都符合条件；（2）当 AB是腰时，以点A为圆心AB长为半径画圆分别与y轴正半轴，负半轴，x轴负半轴相交，共三个交点，都符合条件；以点B为圆心4B长为半径画圆分别与x轴正半轴，负半轴，y
10、轴负半轴相交，共三个交点，都符合条件，因此共有8个符合条件的点.故选：D.当 氏 4 =8。时 ，以点B为圆心，以 B A 长为半径作圆，交网格线的格点为。，C2,当AB=AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交网格线的格点为C 3,C 4,当 C 4 =C B 时，作 AB的垂直平分线，交网格线的格点为C 5,C6,Ci,CS,综上所述：使 A B C 成为等腰三角形，则满足条件的点C有 8个，故选：B.5.解：分两种情况：当等腰三角形是锐角三角形时，如图：./4 D B=9 0 ,：NA 8 O=4 5 ,：.Z A=9 0 -Z A B Z)=4 5 ,：AB=AC,A Z A B
11、C=Z C=-(1 8 0 -N A)=6 7.5 ,2这个等腰三角形的底角为6 7.5 ；当等腰三角形是钝角三角形时，如图:A ZADB=9 0 ,；NA B O=4 5 ,AZ D A B=9 0 -ZABD=45 ,A Z B A C=1 8 0 -/Z MB=1 35 ,：AB=AC,：.Z A B C=Z C=(1 8 0 -Z B A C)=22.5 ,2这个等腰三角形的底角为22.5 ；综上所述：这个等腰三角形的底角为22.5 或 6 7.5 ,故选：D.6.解：当3尢-2 是底边时，则腰长为：4x-3,7,A4x-3=7,3x-2=5.5,等腰三角形的周长=7+7+5.5=19
12、.5；当4 x-3 是底边时，则腰长为：3x-2,7,：.3 x-2=7,.x=3,4x-3=9,等腰三角形的周长=7+7+9=23；当 7 是底边时，则腰长为：3x-2,4x-3,3x-24x-3,/.3x-2=1,4x-3=1,V l+1F=X 12X8,解得：)F=4 85由勾股定理得：=VA F2-D F2=2_/48 2-145 5当 BF=AB=10 时，VBF=10,BC=6,：.C F=B F-B C lO-6 4,由勾股定理得：AF=A/AC2-K;F2=VS2+42=V BF=BA,FDAB,ACA.BF,：.DF=AC=S,，M D=VAF2-D F2=V(4 V 5)2
13、-82=4，f=4+2=2；综上所述，4 A B尸是等腰三角形时，f的值为互或工或2.2 5故答案为：5或工或2.2 51 3.解：由题意得，C(0,5),N(3,0),；.O N=3,由折叠得，O G=OC=59；NONG=9 0,/.N G=7OG2-ON2=VS2-32=4，：.G(3,4),设 P(x,0),当 x 0 时，如图 5,P O=P G=x,则 PN=x-3,；NPNG=9 0 ,：.PG2=PN2+GN2,二/=(x -3)2+42,解得x=空，6：.P(%0)；6如图 6,OP=OG=5,：.P(5,0)；如图 7,PG=OG,:GN1PO,:.PN=ON=3,：.OP
14、=6,：.P(6,0).综上所述，点P的坐标为(-5,0)或(至，0)或(5,0)或(6,0).6故答案为：(-5,0)或(空，0)或(5,0)或(6,0).1 4.解：如图，过点4作 4 加1 _ 8c于 M,过点。作 D V _ L B C 于 N,:等腰梯形 A 8 C O 中，AD/BC,B C=1 A D=1 5:.B M=L (B C-A D)=(7 7 2-V2)=3 弧，/C=/B=4 5 ,2 2；/B=4 5 ,:.A B=B M X 近=6,如图1,A E=B E 时，：ZB=45,：.ZBAEZB=45 ,.A B E 是等腰直角三角形，.B E=掾A B=3&,:.C
15、E=BC-B E=1 -3&=4&，又；/“尸=1 8 0 -Z A E B-Z A F=1 8 0 -9 0 -4 5 =4 5 ,.C E F 是等腰直角三角形，.C F=_ C E=4；2如图2,A 8=B E 时，V Z B=4 5 ,A Z A B=A(1 8 0 -ZB)=2(1 8 0 -4 5 )=6 7.5 ,2 2A Z C F=1 8 0 -Z A E B-Z A F=1 8 0 -6 7.5 -4 5 =6 7.5 ,A Z C F =1 8 0 -Z C-Z C E F=1 8 0 -4 5 -6 7.5 =6 7.5 ,:./CEF=NCFE,：.CF=CE,:B
16、C=1 M，A B=6,:.CF=CE=BC-B E=近-6；如图 3,A B=A E时，NA E B=N2=4 5 ,A Z C F=1 8 0 0 -ZAEB-Z A F=1 8 0 -4 5 -4 5 =9 0 ,二ABE、C E F都是等腰直角三角形，:.B E=A B=6 ,：.CE=BC-BE=1-/2-6&=&,C F=V 2 C =V 2 X V 2=2;综上所述，C F的长为4或7&-6或2.故答案为：4或7&-6或2.三.解答题1 5.(1)证明：=(K 2)2 -4X2 k=F+4Z+4-8k=(k-2)2 0,所以此方程是有实根.(2)若b=c,则此方程有两个相等实根，
17、此时 2=0,则 k=2,原方程为：x2-4x+4=0,X I=X2=2,另外两边长为2和2,若。=,则a=l是方程x2-(k+2)x+2 Z=0的根，/.I2-3 2)+2 2 0,：.k=l,原方程为f-3x+2=0,xi I,X21,因为以1、1、2 为边不能构成三角形.由得，三角形另外两边长2,2.16.解：设 A P=x,则 PD=4-x,：PE IBP,二翻折后,PELBB,.,矩形 A B C。中，Z A=9 0,AB=2,.，BP=VAP2+AB2=VX2+4 若 BP=PD 即 BP=PD,；x2+4=4-x，解得：=旦；2若B P=B O,过B 作B E L A。于凡2又：
18、B，P=BP,N A=/B F P=9 0,NAPB=NB，PF,：./ABPFBP(A 4S),：.AP=PF,即 (4-x),2解得：x；3若PD=BD,同可得 A B Pg 尸 8 P,：.PF=AP=x,BF=AB=2,：.FD=4-2x,PD=BD4-x,在 Rt 尸 B Z)中，Bb2=BF2+FD2,即(4-x)2 (4-2 x)2+22,整理，得：3?-8x+4=0,解得：x=2或x=2,3综上所述，AP的长为旦或9 或2 或2.2 3 31 7.解：AE垂直B C,理由如下：由折叠可知，ZB=ZE,JDE/AC,：.ZE=ZEAC,：4DFE=/AFC,:NEDF=/C,VZ
19、BAC=90,NB+NC=90,.,.ZE+ZEDF=90,/DFE=90,J.AELBCi设 则 D b=8-x,由折叠可知，DE=BD=x,在 RtZOEF 中，DE1=DF2+EF2f.*.x2=(8-x)2+42,解得x=5,：.BD=5f DF=3,：/B=4 E,A tanZE=3=AF4 BF 4尸=6,在 中，4 8=五夕2+庆1?2=10；(2)VZC=3ZB,设 N 8=a,则 N C=3a,由折叠可知，NE=NB=a,当 NZ)RE=90 时，是直角三角形，则AFC是等腰三角形,NC=45,：.ZB=50；当 NFDE=90 时，。尸 E 是直角三角形，则AAC尸是等腰三
20、角形,：/DFE=90-a,ZAFC=90-a,当AC=FC时，2(90-a)+3a=180,此时a=0,不符合题意，舍去;当 4F=4C 时,3a=90-a,此时 a=22.5 ,：.ZB=22.5a；当 AF=FC 时,3a+3a+90-a=180,此时 a=18,.*.ZB=18；当 NE=90 时，此时NB=90,ZC=270,不成立；当N C=9 0 时，ACF是直角三角形，此 时 不 能 是 等腰三角形，否则AE与 BC边没有交点；当N A FC=90时，ACF是直角三角形，则 是 等 腰 三 角 形，NE=45,：.ZB=45,此时NC=135,与题意不符合，不成立；当/船。=9
21、 0 时，ACF是直角三角形，则CEF是等腰三角形，A ZAFC=90-3 a,:.NDFE=90-3a,当。F=EF 时，a+a+90-3a=180,此时 a=-90,不成立；当。广=OE 时，90-3 a=a,此时 a=22.5,：.ZB=22.5；当。E=E F 时，90-3 a=A (180-a),此时 a=0,不成立；2当。E=E尸时，N C=3 a=9 0 时，a=30,此 时 是 等 腰 三 角 形，ZXACF是直角三角形；综上所述，N 8 的值为1 5、1 8、22.5、30.1 8.解：(1).点P 在直线y=-x+1 0 上，且点P 在第一象限内，.JC 0 且 y0,即-
22、x+100,解得，0 x10,:点 A 的坐标为(8,0),；.OA=8,.S=L O4 y=Lx8(-x+10),2,2即 S=-4x+40,自变量的取值范围是：0 x-m+6)，8 4：.E F=(一与?+6)-(-1 2 ,/n+6)=-A 2+3m=-4)2+6)4 8 4 8 8：-3+NAOC=180A ZAOC=60.A ZABC=ZAOC=30；2:ODLBC,是8 c中点，9：OA=OB,：.OE/AC,AC=20E,VAF：DF=3：2,：.AC：DE=AF：DF=3：2.设 A C=3x,则 E=2r,J OE=-x,27：.OD=OB=x.2：.sinZABC=OE：0
23、B=7:FELDO,：.DE=OE=OD=,2AC=20E=2,BE=VoB2-OE2=M-:.C E=BE=a.：.BC=2BE=2-/3-OD/AC,：.CF：EF=AC：DE=AF：DF=2：1.，DF=VDE2+EF2=,：.AF=2D F=-.3：.AD=AF+DF=2-/3；当。尸=。)=2时,如图,D设 O E=x,则 DE=2-x,OD/AC,：.DF：AF=DE：AC,2-x.AZ)=生 丝.2-x过点。作OH_LAC于H,在O和)尸中，AC=2x,则 AD=2DH.rZ DHO=Z DE F=9 0 Z D=Z D，DO=DF:.D H gXD EF CAAS).：.DH=DE,：.AD=2DE,=2 (2-x),解得国五或x可（舍去）,.AD=2DEy/17-1.综上所述，AO长，F-1 或 2禽.