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1、九年级数学中考复习等腰三角形中的分类讨论专题提升训练（附答案）一选择题1一个等腰三角形的两条边分别是2cm和5cm，则第三条边的边长是（）A2cmB5cmC2cm或5cmD不能确定2一个等腰三角形的一个内角为70，则它的顶角的度数为（）A40B55C70D40或703如图，在RtABC中，ACB90，CAB36，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（）A5个B6个C7个D8个4如图，在33的网格中，每个网格线的交点称为格点已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使ABC成为等腰三角形，则满足条
2、件的点C有（）个A6B8C10D125如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45，那么这个等腰三角形的底角为（）A2250B67.5C2250或6750D22.5或67.56已知一个等腰三角形的三边长分别为3x2，4x3，7，则这个等腰三角形的周长为（）A23B19.5或23C9或23D9或19.5或23二填空题7已知（a4）2+|b3|0，则以a，b为两边长的等腰三角形的周长为 8如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（1，5）、（5，1），若点C在x轴上，且A，B，C三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的C点共有 个9如图，ABC，C90，将ABC沿DE折叠，使得点B落在AC边上
3、的点F处，若CFD60且AEF为等腰三角形，则A的度数为 10等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成了12和18两部分，这个三角形的底边长为 11如图，在等腰ABC中，ABAC，BAC120，BC30cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，当P点移动 秒时，PA与ABC的腰垂直12如图，在RtABC中，ACBRt，AC8，AB10，动点D从点A出发，沿线段AB以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作DFAB交BC所在的直线于点F，连结AF，CD设点D运动时间为t秒当ABF是等腰三角形时，则t 秒13如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在
4、x轴上，点C在y轴上，OC5，点E在边BC上，点N的坐标为（3，0），过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M现将纸片折叠，使顶点C落在MN上的点G处，折痕为OE在x轴正半轴上存在一点P，使得以P，O，G为顶点的三角形为等腰三角形，则点P的坐标为 14如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，BC7AD7，B45，等腰直角三角形EMN中，含45角的顶点E放在BC边上移动，直角边EM始终经过点A，斜边EN与CD交于点F，若ABE为等腰三角形，则CF的长为 三解答题15已知关于x的方程x2（k+2）x+2k0（1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根；（2）若等腰ABC的一边长a1，另两边b、c恰好
5、是该方程的两个根，求三角形另外两边的长16如图矩形ABCD中，AB2，AD4，点P是边AD上一点，联结BP，过点P作PEBP，交DC于E点，将ABP沿直线PE翻折，点B落在点B处，若BPD为等腰三角形，求AP的长17在ABC中，点D是BC上一点，将ABD沿AD翻折后得到AED，边AE交线段BC于点F（1）如图1，当BAC90，DEAC时AE和BC有怎样的位置关系，为什么？若BF8，EF4，求线段AB的长（2）如图2，若C3B，折叠后要使DEF和AFC，这两个三角形其中一个是直角三角形而另一个是等腰三角形求此时B的度数18如图，直线yx+10与x轴、y轴分别交于点B和点C，点A的坐标为（8，0）
6、，点P（x，y）是直线上第一象限内的一个动点（1）求OPA的面积S与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）当OPA的面积为10时，求点P的坐标；（3）在直线BC上是否存在点M，使以O，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由19综合与探究如图1，抛物线yax2+bx+6与x轴交于A（2，0），B（8，0）两点与y轴交于点C（1）求抛物线的表达式（2）E是线段BC上的动点过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当EF的长度最大时，求E点坐标（3）点P从点B出发沿BC以1个单位长度/秒的速度向终点C运动，同时点Q从点O出发以相同的速度沿x轴的正半
7、轴向终点B运动，点Q到达终点B时，两点同时停止运动连接PQ，当BPQ是等腰三角形时，请求出运动的时间20如图1，点C是半圆AB上一点（不与A、B重合），ODBC交弧BC于点D，交弦BC于点E，连接AD交BC于点F（1）如图1，如果ADBC，求ABC的大小；（2）如图2，如果AF：DF3：2，求ABC的正弦值；（3）连接OF，O的直径为4，如果DFO是等腰三角形，求AD的长参考答案一选择题1解：分两种情况：当等腰三角形的腰长为2cm，底边长为5cm时，2+245，不能组成三角形；当等腰三角形的腰长为5cm，底边长为2cm时，等腰三角形的三边长分别为5cm，5cm，2cm，综上所述：等腰三角形的第
8、三条边的边长是5cm，故选：B2解：分两种情况：当等腰三角形的一个底角为70时，另一个底角也是70，等腰三角形的顶角18027040；当等腰三角形的顶角为70时，等腰三角形的两个底角都（18070）55；综上所述：等腰三角形的顶角的度数为40或70，故选：D3解：（1）当AB是底边时，作AB的垂直平分线分别与AC，x轴负半轴相交，共两个交点，都符合条件；（2）当AB是腰时，以点A为圆心AB长为半径画圆分别与y轴正半轴，负半轴，x轴负半轴相交，共三个交点，都符合条件；以点B为圆心AB长为半径画圆分别与x轴正半轴，负半轴，y轴负半轴相交，共三个交点，都符合条件，因此共有8个符合条件的点故选：D4解
9、：如图：分三种情况：当BABC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交网格线的格点为C1，C2，当ABAC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交网格线的格点为C3，C4，当CACB时，作AB的垂直平分线，交网格线的格点为C5，C6，C7，C8，综上所述：使ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有8个，故选：B5解：分两种情况：当等腰三角形是锐角三角形时，如图：BDAC，ADB90，ABD45，A90ABD45，ABAC，ABCC（180A）67.5，这个等腰三角形的底角为67.5；当等腰三角形是钝角三角形时，如图：BDAC，ADB90，ABD45，DAB90ABD45，BAC180DAB13
10、5，ABAC，ABCC（180BAC）22.5，这个等腰三角形的底角为22.5；综上所述：这个等腰三角形的底角为22.5或67.5，故选：D6解：当3x2是底边时，则腰长为：4x3，7，4x37，x2.5，3x25.5，等腰三角形的周长7+7+5.519.5；当4x3是底边时，则腰长为：3x2，7，3x27，x3，4x39，等腰三角形的周长7+7+923；当7是底边时，则腰长为：3x2，4x3，3x24x3，x1，3x21，4x31，1+17，不能构成三角形则三角形的周长为19.5或23故选：B二填空题7解：（a4）2+|b3|0，a40，b30，a4，b3，分两种情况：当等腰三角形的腰长为4
11、，底边长为3时，等腰三角形的周长4+4+311；当等腰三角形的腰长为3，底边长为4时，等腰三角形的周长3+3+410；综上所述：等腰三角形的周长为11或10，故答案为：11或108解：如图：分三种情况：当BABC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交x轴于点C1，C2，当ABAC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交x轴于点C3，C4，当CACB时，作AB的垂直平分线，交x轴于点C5，综上所述：若点C在x轴上，且A，B，C三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的C点共有5个，故答案为：59解：当AEAF时，AFEAEF（180A），BEFD90A，CFD60，AFD120，（180A）+90
12、A120，A40，当AFEF时，AFE1802A，则1802A+90A120，A50当AEEF时，点F与C重合，不符合题意，综上所述，A40或50，故答案为：40或5010解：如图：在ABC中，ABAC，BD是AC边上的中线，ADDCAC，分两种情况：当时，解得：，这个三角形的底边长为14；当时，解得：，这个三角形的底边长为6；综上所述：这个三角形的底边长为14或6，故答案为：14或611解：ABAC，BAC120，BC（180BAC）30，分两种情况：当PAAC时，如图：CAP90，CP2AP，BAPBACPAC30，BBAP30，BPAP，CP2BP，BC30cm，BPBC10（cm），t
13、1025，当P点移动5秒时，PA与ABC的腰AC垂直；当APAB时，BAP90，BP2AP，CAPBACPAB30，CCAP30，CPAP，BP2CP，BC30cm，BPBC20（cm），t20210，当P点移动10秒时，PA与ABC的腰AB垂直；综上所述：当P点移动5或10秒时，PA与ABC的腰垂直，故答案为：5或1012解：在RtABC中，ACB90，AC8，AB10，由勾股定理得：BC6当FAFB时，DFAB，ADAB105，t；当AFAB10时，ACB90，则BF2BC12，ABDFBFAC，即10DF128，解得：DF，由勾股定理得：AD，t2；当BFAB10时，BF10，BC6，C
14、FBFBC1064，由勾股定理得：AF4，BFBA，FDAB，ACBF，DFAC8，AD4，t422；综上所述，ABF是等腰三角形时，t的值为或或2故答案为：或或213解：由题意得，C（0，5），N（3，0），ON3，由折叠得，OGOC5，ONG90，NG4，G（3，4），设P（x，0），当x0时，如图4，由OPOG5，得x5，P（5，0）；当x0时，如图5，POPGx，则PNx3，PNG90，PG2PN2+GN2，x2（x3）2+42，解得x，P（，0）；如图6，OPOG5，P（5，0）；如图7，PGOG，GNPO，PNON3，OP6，P（6，0）综上所述，点P的坐标为（5，0）或（，0）或
15、（5，0）或（6，0）故答案为：（5，0）或（，0）或（5，0）或（6，0）14解：如图，过点A作AMBC于M，过点D作DNBC于N，等腰梯形ABCD中，ADBC，BC7AD7，BM（BCAD）（7）3，CB45，B45，ABBM6，如图1，AEBE时，B45，BAEB45，ABE是等腰直角三角形，BEAB3，CEBCBE734，又CEF180AEBAEF180904545，CEF是等腰直角三角形，CFCE4；如图2，ABBE时，B45，AEB（180B）（18045）67.5，CEF180AEBAEF18067.54567.5，CFE180CCEF1804567.567.5，CEFCFE，C
16、FCE，BC7，AB6，CFCEBCBE76；如图3，ABAE时，AEBB45，CEF180AEBAEF180454590，ABE、CEF都是等腰直角三角形，BEAB6，CEBCBE76，CFCE2；综上所述，CF的长为4或76或2故答案为：4或76或2三解答题15（1）证明：（k+2）242kk2+4k+48k（k2）20，所以此方程是有实根（2）若bc，则此方程有两个相等实根，此时k20，则k2，原方程为：x24x+40，x1x22，另外两边长为2和2，若ac，则a1是方程x2（k+2）x+2k0的根，12（k+2）+2k0，k1，原方程为x23x+20，x11，x22，因为以1、1、2为
17、边不能构成三角形由得，三角形另外两边长2，216解：设APx，则PD4x，PEBP，翻折后，PEBB，矩形ABCD中，A90，AB2，BP，若BPPD即BPPD，4x，解得：x；若BPBD，过B作BFAD于F，则PFDF（4x），又BPBP，ABFP90，APBBPF，ABPFBP （AAS），APPF，即x（4x），解得：x；若PDBD，同可得ABPFBP，PFAPx，BFAB2，FD42x，PDBD4x，在RtFBD中，BD2BF2+FD2，即（4x）2（42x）2+22，整理，得：3x28x+40，解得：x2或x，综上所述，AP的长为或或或217解：AE垂直BC，理由如下：由折叠可知，B
18、E，DEAC，EEAC，DFEAFC，EDFC，BAC90，B+C90，E+EDF90，DFE90，AEBC；设BDx，则DF8x，由折叠可知，DEBDx，在RtDEF中，DE2DF2+EF2，x2（8x）2+42，解得x5，BD5，DF3，BE，tanE，AF6，在RtABF中，AB10；（2）C3B，设B，则C3，由折叠可知，EB，当DFE90时，DEF是直角三角形，则AFC是等腰三角形，C45，B15；当FDE90时，DFE是直角三角形，则ACF是等腰三角形，DFE90，AFC90，当ACFC时，2（90）+3180，此时0，不符合题意，舍去；当AFAC时，390，此时22.5，B22.
19、5；当AFFC时，3+3+90180，此时18，B18；当E90时，此时B90，C270，不成立；当C90时，ACF是直角三角形，此时DEF不能是等腰三角形，否则AE与BC边没有交点；当AFC90时，ACF是直角三角形，则DEF是等腰三角形，E45，B45，此时C135，与题意不符合，不成立；当FAC90时，ACF是直角三角形，则DEF是等腰三角形，AFC903，DFE903，当DFEF时，+903180，此时90，不成立；当DFDE时，903，此时22.5，B22.5；当DEEF时，903（180），此时0，不成立；当DEEF时，C390时，30，此时DEF是等腰三角形，ACF是直角三角形；
20、综上所述，B的值为15、18、22.5、3018解：（1）点P在直线yx+10上，且点P在第一象限内，x0且y0，即x+100，解得，0x10，点A的坐标为（8，0），OA8，SOAy8（x+10），即S4x+40，自变量的取值范围是：0x10；（2）当S10时，4x+4010，解得x，把x代入yx+10，得x，P（）；（3）存在，理由：令y0，则x+100，解得：x10，点B（10，0），点M在直线yx+10上，设M（m，m+10），点O（0，0），B（10，0），当OBOM时，102m2+（m+10）2，解得：m10，m210（不合题意，舍去），M（0，10）；当OBBM时，102（10m
21、）2+（m10）2，解得：，M（105，5）或（10+5，5）；当OMBM时，m2+（m+10）2（10m）2+（m10）2，解得：m5，M（5，5）；综上所述，M（5，5）或（0，10）或（105，5）或（10+5，5）19解：（1）把A（2，0），B（8，0）代入抛物线yax2+bx+6，得：，解得：，抛物线的表达式为：；（2）设直线BC的函数表达式是ykx+6，直线BC过点B（8，0），08k+6，解得，直线BC的函数表达式是设点E的坐标是，EFx轴，点F的坐标是，EF（m+6）（m+6）3m+6，0，当m4时，EF取最大值6，此时E点坐标为（4，3）；（3）设运动的时间为t秒，则BPO
22、Qt，BQOBOQ8t当PQPB时，过点P作PDQB于D，如图，点C的坐标是（0，6），点B（8，0），OC6，OB8，CB10PQPB，PDQB，BDBQ（8t）PDOB，OCOB，OCPD，即，；当QPQB时，过Q作QEPB于E，如图，QPQB，QEPB，BEBPt，EBQOBC，BEQBOC90，BEQBOC，；当PBQB时，如图，则8tt，解得：t4综上所述，当t的值为4或或时，PBQ为等腰三角形20解：（1）连接OC，如图，ADBC，AODBOCAOCBODODBC，CODBOD，AOCCODBODCOD+BOD+AOC180AOC60ABCAOC30；（2）连接AC，如图，ODBC
23、，E是BC中点，OAOB，OEAC，AC2OE，AF：DF3：2，AC：DEAF：DF3：2设AC3x，则DE2x，OEx，ODOBxsinABCOE：OB；（3）当DFOF时，如图，FEDO，DEOEOD1，AC2OE2，BECEBEBC2BE2ODAC，CF：EFAC：DEAF：DF2：1EFCEDF，AF2DFADAF+DF2；当DFOD2时，如图，设OEx，则DE2x，AC2x，ODAC，DF：AFDE：AC，AFAD过点O作OHAD于H，则AD2DH在DHO和DEF中，DHODEF（AAS）DHDE，AD2DE，解得：或（舍去），AD2DE1综上所述，AD长或2学科网（北京）股份有限公司