2022年初升高数学衔接讲义19充分条件与必要条件（教师版含解析）（第1套）.pdf-淘文阁

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1、专题 1 9 充分条件与必要条件老打日标 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系 2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系,3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系高中必备知识点 1:充分条件与必要条件命题真假“若 p,则是

2、真命题“若 P，则 g”是假命题推出关系 pnq p q条件关系 P 是夕的充分条件 9 是 P 的必要条件 p 不是 q 的不充分条件 q 不是 p 的不必要条件高中必备知识点 2：充要条件 1.如果既有 p=g,又有 q=p,则 p 是 4 的充要条件，记为 pCq.2.如果 p q 且,P，则 p 是夕的既不充分也不必要条件.3.如果夕=夕且夕 p,则称 p 是 q 的充分不必要条件.4.如果 0 q 且 g=p,则称 p 是夕

3、的必要不充分条件.5.设与命题对应的集合为 4=戈双乃,与命题 q 对应的集合为 8=3 g(x),若则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件；若 4=B,则 p 是 q 的充要条件.若 E B,则 p 是乡的充分不必要条件.q 是 p 的必要不充分条件.若 A n B,则 p 不是夕的充分条件，夕不是 p 的必要条件.6.2 是 q 的充要条件是说，有了 p 成立，就一定有夕成立.p 不成立时，一定有夕不

4、成立.典例周新高中必会题型 1:充分条件与必要条件的判定 1.已知 p：x 2,q:x l,则 P 是 0的（充分条件、必要条件、充要条件、既不充分也不必要条件中选择一个填空）.【答案】充分条件设命题 p:x 2 对应的集合为/=x|x 2,命题 q：1对应的集合为 8=|%|X1,因为 8,所以命题。是命题的充分条件.故答案为：充分条件.2.设 a：lWx4,：x10,则 a 是的条件（用充分非必要，必要非充

5、分，充要，既非充分又非必要“填空）【答案】充分非必要/=x|lWx45=x|x10A 是 8 的真子集，故 a 是 4 的充分非必要条件故答案为：充分非必要 3.给出下列结论，其中，正确的结论是.“P 且 q 为真是 P或 q 为真”的充分不必要条件 P且 q 为假是 p或 q 为真”的充分不必要条件 P或 q 为真是非 P 为假的必要不充分条件非 P 为真是 P且 q 为假”的必要不充分条件【答案】对于，由 p 且 q

6、为真，得。和 9都为真，由 P 或 q 为真，得 P 和 q至少有一个为真，故 P且 q 为真是 P或 q 为真”的充分不必要条件，因此正确：对于，由 P 且 q为假，得。和 q至少有一个为假，由 P 或 q 为真，得 p 和 q至少有一个为真，故 P且 q为真是 p或 q 为真的即不充分不必要条件，因此错；对于，由 P 或 q 为真，得。和 0至少有一个为真，由非 P 为假，得为真，故 P或 q为真是非 P 为假的必要不充分条件，因此正

8、为：充分不必要条件.5.a w 1或 b H 2 是 a+b H 3成立的条件.【答案】必要不充分 a+b=3,不能推出 a=1且 6=2，反过来，a=1且人=2 能推出 a+b=3,所以 a+b=3是。=1且 6=2的必要不充分条件，利用逆否关系的等价性可知 I a w 1或 6 H 2 是的必要不充分条件.故答案为：必要不充分高中必会题型 2：充要条件的判断 1.若 a,b 都是实数，试从 ab=O；（2）a+b=0；4（/+/）=（）；0 中

9、选出适合的条件,用序号填空.b 都为 0的必要条件是；(2)a,b 都不为 0的充分条件是:(3)a,b 至少有一个为 0的充要条件是.【答案】ab=0=a=0 或 6=0，即。，6 至少有一个为 0；所以是“。，6 都为 0”的必要条件，也是“。，b 至少有一个为 0的充要条件；a+b=0=a,力互为相反数，则 a,b 可能均为 0,也可能为-正-负；所以是，b 都为 0的必要条件：4(/+62)=0 0。=()或,所以是。，b 都为 0的

10、必要条件；a 0 7 0 o，或八，则。，6 都不为 0,所以是 a,b 至少有一个为 0的充要条件.b 0 6解：因为|x-4|+|x-3闫一 4 一(-3)|=1,当且仅当 3 4 x 4 4 时等号成立，所以不等式|x-4|+|x-3区。有实数解的充要条件是 ael.故答案为：tz 1.3.已知 a、b 是实数，则 a0,且 b0是 a+b0,且 ab0”的条件.【答案】充要 V o0,b0,.a+b0,ab0,：.a0,且 b0是 a+b0,且 ab0”的充分条件；,.,岫 0,

11、与 b 同号,a+b0,a0 且 b0,：.a0,且 b0是 a+b0,且 ab0”的必要条件.故“。0且 b0是。+b0且 ab0”的充要条件.故答案为：充要 4.下列所给的 p,q 中，p 是 q 的充要条件的为.(填序号)若 a,bR,p：a2+b2=0,q：a=b=0；p：|x|3,q：x29.【答案】若。2+b2=o,则 a=b=O,即 p=q；若 a=b=O,则。2+按=0,即 qnp,故 p=q,所以 P 是 q 的充要条件.由于 p：|x|3oq：x29,所以 p 是 q 的充要条件.故答案为：5.

12、设 c+d a+b c a则是,(c-aXd-b)0 dh成立的.条件;【答案】充要 c+d a+b f(c-a)+(d-b)0 c-a 0 ca=5=(c-a)(d-b)0(c-a)(d-b)0 d-b 0 d b故答案为充要高中必会题型 3：充要条件的证明 1 1 八 1.已知 x,y都是非零实数，且 x y,求证：一一的充要条件是孙 0.x y【答案】见解析 1 1 1 1 A y-x A 必要性：由一一，得-0,即 y,得 y x 0.充分性：由肛 0及%丁，x y 1 1得一上,即一

13、 0.x y2.已知 A/B C 的三条边为 a/,c,求浦力 8 C 是等边三角形的充要条件是/+b2+c2=ab+ac+bc.【答案】证明见解析证明(充分性):a=b=c，(a-by+(/-c)2+(-c)2=0a2+b2+c2=ab+ac+bc(必要性)a2+b2+c2=ab+ac+bc 2a2+2b2+2c2=lab+2ac+2hc：.(a?-2ah+h2+c2-2ch+h2+a2-2ac+c2-0即(a-b)-+(b-c)-+(a-c)=0,，a=/)=c,得证.3.设 P，q均为实数,判断 0是方程 V+px+

14、q=0有一个正实根和一个负实根的什么条件.【答案】充要条件充分性：因为 90,即方程 x2+px+q=0有两个不相同的实根，设两根为玉,9，则西马=夕 0，即演一正一负，故充分性成立；必要性：因为“方程/+川+4=0有一个正实根和一个负实根”成立，所以”，即 q0,故必要性成立.q 0所以 40是方程/+/+4=0有个正实根和个负实根”的充要条件.4.求证：四边形/8GD是平行四边形的充要条件

15、是四边形 48C。的对角线 Z C 与 5。互相平分.【答案】证明见解析 B设对角线/C 与 6。的交点为。.充分性：由对角线 4 C 与 8。互相平分得 04=。,。8=。，乂 Z A O B=/C O D,所以 ZOB 二 CO。，所以/8=C。，Z O A B=Z O C D,ABI/CD,所以四边形 4 8 8 是平行四边形；必要性：由四边形是平行四边形得 Z 8=C0,/O A B=/O C D,A O B A=Z O D C,所以所以。4=。,。8 二。，四边形的对

16、角线 N C 与互相平分；所以四边形 4 8 8 是平行四边形的充要条件是四边形 4 8 C D 的对角线/C 与互相平分.5.已知出 0,求证：a3+b3+ab-a2-b2=Q是 a+b=l的充要条件.(提示：a3+b3=(a+h)(a2-ab+b2)【答案】证明见解析设 p：a3+b3+ab-a2-b2=0r q：a+b=l.充分性(p=q)：因为 a3+b3ab-a2-b2=0,VX(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=O,BP(a2-afa+b2)(a+b-l)=O,因为

17、ab/O,a2-ab+b2=(a-+b20,I 2 J 4所以 a+b-l=O,即 a+b=l.必要性(qnp)：因为 a+b=lf 所以 b=l-a,所以 a3+b3ab-a2-b2=a3+(l-a)3+a(l-a)-a2-(1-a)2=a3+l-3a+3a2-a3+a-a2-a2-l+2a-a2=0,综上所述，a+b=l的充要条件是 a3+b3+afa-a2-b2=0.对直鼐称 1.a+b是偶数是 a和 b 都是偶数的()A.充分条件 B.必要条件 C.既是充分条件也是必要条件 D.既不是充分条件

18、也不是必要条件【答案】B因为当 a+b为偶数时，a,b 都可以为奇数.所以 a+b是偶数不能推出,和 b 都是偶数，显然 a和 b 都是偶数=。+匕是偶数所以 a+b是偶数是。和 b 都是偶数的必要条件.故选：B2.设 aeR,则 a 0是句。的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A解：当 a 0 时，a2 0 当下（）时，。0,所以 a 0是 a?0的充分不必要条件，故选

19、：A3.设 a,6 e R,贝/a 2 且 b l 是 a+b 3 且。6 2”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A若 a 2 且 b l,由不等式的同向可加性可得 a+b 3,由不等式的同向同正可乘性可得 2,所以。2 且/?1可以推出。+6 3 且。6 2”,即充分性成立；反之，若 a=6,b=,满足 a+b 3 且 a b 2,所以 a+b 3且 ab 2 不可以推出 Z 2 且 6 1,2即必要

20、性不成立；所以 a 2 且 b 1是 a+b 3 且“6 2”的充分不必要条件.故选：A.4.a b 0 是!6 0 得-=-0,则一一；a b ab a b若 a=1,b=1,则一%0：a b因此 a b 0是,1，的充分不必要条件.a h故选：A.5.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为七绝圣手，其从军行传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还，由此推断，其中最后一句攻破楼兰是返回家

21、乡”的（）A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A由题意，“返回家乡可推出攻破楼兰，但攻破楼兰不一定返回家乡，所以攻破楼兰是返回家乡”的必要条件.故选：A.6.若成立的充分不必要条件是;x 则实数 m 的取值范围是（）（4 11 f 1 41A.加|m B.m I mI 3 2j I 2 3jC.mm-D.I 2j I 3j【答案】B不等式等价于：m-lxm+lf由题意得 Lx，是成立

22、的充分不必要条件，3 2所以（阳-1,加+1）,且卜（加-1,加+1）,1-31-2-1A11-十加 M-V、以所 1 4且等号不能同时成立，解得一一 m-.2 3故选：B.7.在如图电路中，条件 p：开关 4 闭合，条件 q：灯泡 8 亮，则 p 是 q 的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A若开关 A 闭合，则灯泡 8 亮，所以条件 p 可以推出条件 q；若灯泡 8 亮，则开关 4 闭

23、合或开关 C闭合，不能确定开关 A 闭合，条件 q 推不出条件 p；所以 P 是 q 的充分不必要条件.故选：A.8.若非空集合 A,B,C满足 A U B=C,且 8 不是 A 的子集，贝也）A.x e U是 X 8 的充分条件但不是必要条件 B.X 6U是 XEA的必要条件但不是充分条件 C.X 6U是 X6A”的充分条件也是伙日的必要条件 D.x U既不是 xeA 的充分条件也不是 x&A的必要条件【答案】B因为 8 不是

24、 A 的子集，所以集合 3 中必含有元素不属于 A,而 x e C 即为或 X C 8,x W A必有 x w c,但反之不一定成立，所以 XWU是 X C A 的必要条件但不是充分条件.故选：B.9.也-2是对任意正实数 X,都有 t2-Kx+，恒成立”的（）XA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B由于 x+“，由题意知。区 2,x解得 1 4 2.所以 g-2 是-1 2 的必要不充

25、分条件.故选：Bx 3 f x+y 61（L 3 是（,y 9 成立的（A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A充分性显然成立，必要性可以举反例：x=i o,歹=9,显然必要性不成立.2故选：A11.己知 p:-l x2,q-.2axa2+,若 p 是 q 的必要条件，则实数 a 的取值范围是（）-I,1 1 1A.a B.1 a C.a 1 D.a 12 2 2【答案】D由。是 q 的必要条件，可得,解得

26、一一 a a+2故选：D.12.若“x 2是 xa的必要不充分条件，则。的取值范围是（）A.a|a2 B.a|a 2 D.aa2【答案】C由 x2是 x a的必要不充分条件知：x|x a是 x|x2的真子集，可得知。2故选：C13.设命题 p：x4：命题 q：X25X+4 2 0,那么 p 是 q 的条件（选填“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”）.【答案】充分不必要命题 q：x2i35x+40 x4,命题 p：x4；故 P 是 q 的充分不必要条

27、件，故答案为：充分不必要 14.若 p：a x a+l是 q：-2 x3则 C，解得 42 2;一。-2当 a=2 时,(a,a+1)=(2,3)不成立,故。2,即实数。的取值范围是（2,+8）,故答案为：（2,-Foo）.15./=是*2=QC 的 _ 条件.h c【答案】充分不必要充分性：若 f=2,则 62=Q。，故充分性成立；D C必要性：若=a c，当 a=b=c=0 时，乌=2 不成立，故必要性不成立，b c所以，=2 是=ac的充分不必要条件.b c故答案为：充分不

28、必要.16.若/一 3x+2 0 是一根）（工一 2，-1）0 的充分不必要条件，则实数，的取值范围是【答案】1,11_2 解不等式/一 3+2 0,解得 1 X 2,解方程（X-M）（X-2 1）=0,解得工=?或=2，+1.当?=2?+1时，即当加=一 1时，不等式（x-门一 2 加-1）0 即为（x+l/2加+1时，即当加一 1时，解不等式（x-机）（x-2?-1）0 可得 2加+1 x 加.由于/一 3+2 0 是仁一根）（工一 2加-1）2 当 m 一 1时，解不等式（x-m）（工一

29、2小一 1）v 0 可得加 x 2加+1.由于 f 一 3x+2 0 是（X-M）（X-2 加-1）0 的充分不必要条件，贝 1（1,2）田（私 2 7+1）,可得 m 2解得加 4 1.2;(1 A检验：当加=5 时，则有(1,2)回-,2,合乎题意:当加=1时，则有(1,2)团(1,3),合乎题意.综上所述，实数加的取值范围是 2故答案为：,11 _ 2 1 7.己知 p：x204x+32x+a,且 q 是 p 的必要条件，求实数 a 的取值范围.【答案】(图 8,01,由 x204x+3

30、O 得(x0D(x03)SO 得 lx2x+a 得 x202xo,若 q 是 P 的必要条件，即当 12xa恒成立,设/X)=X2|3 2 X,则 f(x)在 1,3上为增函数,则/(X)的最小值为/(1)=102=01,/.as 因为 q n s,s=rnq,所以 s 是 q 的充分条件，同时 s 是 q 的必要条件所以，5是 q 的充要条件；(2)因为 r=q,q=s=r,所以 r 是 q 的充分条件，同时 r 是 q 的必要条件，所以，r 是 q 充要条件；(3)因为 q今 5 n m p,所

31、以 p 是 q 的必要条件，所以，P 是 q 的必要条件.1 9.设命题 a:/=x|x 2+4 x=0,命题:8=卜|犬+2伍+1卜+1-。=0,若 a 是夕的必要条件,但 a 不是夕的充分条件，求实数。的取值组成的集合.【答案】(一 3,0).由 f+4 x=0 得 x=0 或 x=-4,；./=-4,0,由 a 是夕的必要条件，但 a 不是/的充分条件得 a 由 0 p n a,从而有 BA,；.8=0 或 3=-4 或 8=0,当 3=0 时，A=4(a+1)2-4(1-a)-4a(a+

32、3)0./.-3 a 0；当 3=4 时,42-8(a+l)+l-0),B=x|x2+3xl346.当 a=3 时,4=x|20oSxS2+a=l31，5,B=x|x2+3xG 14O=04,1,所以，4U B=04,5(2)4=x|20axO),8=x|x2+3x04SO=04,1,因为 x e A 是 x e B的必要条件，所以 2-a 1a 6所以，所以 g6.a-1所以，当 726时，XGA是 xGB的必要条件.21.设集合 Z=1,2,请写出一个集合 B,使 x e A x e 8”的充分条件，但 x e 4不是 x e 8”的

33、必要条件；请写出一个集合 B,使 x e Z是 x e 8的必要条件，但 x e 4不是 x e 8”的充分条件.【答案】（1）8=1,2,3（答案不唯）；8=1（答案不唯）由于 xe 4是 xe 8的充分条件，但 x e Z不是 3 e 夕的必要条件，所以集合 A 是集合 8 的真子集,由此可得 8=1,2,3符合题意.（2）由于于 x w Z 是 x 8的必要条件，但 x e Z 不是尤 w 3 的充分条件，所以集合 3 是集合 A 的真子集，由此

34、可知 8=1符合题意.22.已知命题关于 x 的方程 X?+mx+2m+5=0有两个不相等的实数根”是假命题.求实数 m 的取值集合 A；设集合 8=x|l-2aWxWa 1,若 xe Z 是 xe 3 的充分不必要条件，求实数。的取值范围.【答案】（1）/=|-24 加 W10；（2）4211.若关 J-x的方程/+inx+2？+5=0”两个不相等的头数根是真命题，则=加一 4（2/+5）0,即 m2 8/n 20 0 解得：加 10,所以方程/+mx+2m+5=0有两个不相等的实数根”是假命题则 x|-2w10,所以/=x|2 4 加 610,（2）丫 6 4 是；：8 的充分不必要条件，则人回 8,则 l-2a10经检验 4=11时，5=x|-2 1 x 1 0),满足 A I3 5,所以。=11成立,所以实数。的取值范围是

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