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1、高一上学期第三次阶段性学情检测数学试题一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）/斗门411.已知集合,8 =伸%3 ,则 集 合 如8=（）A.（2,8）B.（一2 8）c.（，8）D.（一叫+8）【答案】C【解析】【分析】首先根据指数函数、对数函数的性质求出不等式的解集，即可求出集合A、B,再根据交集的定义计算可得.flY4【详解】解：由,即4A=所以 x|x-2 由 l g 2 X 3,即 b g 2 X b g 2 2 1 所以 0 x8,即台二1 x|l o g2x 3 =x|0 x a cB.a cbC.c ahD.abc
2、【答案】A【解析】【分析】根据指数幕和对数计算规则进行估算即可得到答案.【详解】0 0.2 3 0.2 =1,1 =3 3 2 3 1=3,l o g o,2 3 a c故选：ACOS6K 3.满足 2的角的集合为（）_ .兀，2%兀+G Z,3L 7_.7 1 _.7 1 .-a 2版 a r 3 3【答案】c【解析】【分析】利用余弦函数的性质即可求解_.7 1,c ,兀，ra 2 kn W a W 2%兀 H ,k G Z:_,7 1 _ _ J7U,a 2 E +a cosa 【详解】2结合余弦函数的性质可得兀J I2 kit W a W 2ATI H,k G Z3 31C 7 兀 C
3、7 兀 7 rc o s a a 2 E K a 故满足-2的角的集合为I 3 3 J故选：C4,函数/G）=l g 2（*r）,x e 2,5 的值域为（）l,2 +l o g25 1,2 c 囚%1 0 口 2,1 +噫5【答案】A【解析】【分析】令g（x）=，-X,x e 2,5,根据二次函数的性质求出g（x）的值域，再根据对数函数的性质计算可得.【详解】解：令8 0,*2,5,则86）在2,5 上单调递增，又g（2）=2,g（5）=2 0,所以g（x）e 2,2 0,又y =l o g2x在2,2 0 上单调递增，所以/（x）e 眺2 2,20即/（x）e 1,2 +l o g2 5
4、故选：A5.已知角夕的顶点与原点重合，始边与X轴正半轴重合，终边在直线歹=2、上,)A.4B.5C.2 755D.+2 755【答案】D【解析】【分析】根据终边与角关系确定角的象限，根据终边的直线方程确定角。的三角函数值，最后根据诱导公式求解即可.【详解】角8终边在直线N=2X,则角e为第一象限角或者第三象限角，t ane =2根据八 s in。t an 0=-c o s 6s in26 +c o s26 =Kas i n 0 =s in”土 拽5故选：D6.下列说法正确的是（）A.x)=Jlg(l)的定义域是 0，+8)B.t anr =_ j 3的解集为 31 百s inx =c o s
5、x =C.同时满足 2 ,2的角有且只有一个4D当XG（O）时，歹=3的图像在y =x的上方【答案】B【解析】x-l 0【分析】对A,定义域满足1炫（1 ；ta n jg百对B,由 I 3 J 结合周期性可得；对C,由三角函数周期性判断；4对D,由作差法说明炉-x的符号即可判断.x-1 0 x 11/i=1 =x2【详解】对A,定义域满足g 5户*-X-2,A错;t am =-V3 n x =+hr,左 e Z对B,3 ,B对;对C,由三角函数周期性可得该角有无数个，C错;的4-3X-即X4-3X即O:o:_ 01-ae3CSLXDXA=/|7,-(X6.:_ 01-ae36 b oX=X4-
6、X3=/令a对图像在V=x的下方，D错.故选:B.7.人们通常以分贝（符号是dB）为单位表示声音强度的等级，其中dB是人能听到的等级最低得声音.一般地，如果强度为x的声音对应的等级为9川。，则有 1x10 口，很嘈杂的马路的声音为90dB；喷气式飞机起飞时，声音是140dB.则喷气式飞机起飞时的声音强度是很嘈杂的马路的声音强度的（）倍.A.10*B.15 C.1000 D.5【答案】B【解析】X X/(x)=101gyv=140/(x)=101g-=90【分析】解出 1x10、1x10 可得答案.X/（x）=101g【详解】由1x10 12140,可得x=l,x)=101g由1x10-12=9
7、0,可得x=10X5所以喷气式飞机起飞时的声音强度是大货车鸣笛时声音强度的10 倍故选：B/。）=,8.已知函数+（3 4Q）x 3（7,x T且aw）在R上单调递增，且关于x的方程|/（x=2 x恰好有两个不相等的实数解，则。的取值范围市（）A.B.2 33,4c.rtuD.4U3【答案】D【解析】0。时，直线歹=2 x与y =lo g+(x+D+L(X N)有一个根，所以只需保证V(=2 一 X在X 0时有一个根,即V+(4 一 2)x+3a-2=0在x -Q w 09、W 3a 时，直线歹=2-x与J 歹有=一 lo个g(根“+，|)(x+l)+l,(x 2 0)人房所以只需保证,(“1
8、 2 在x 0时有一个根，所所以以卜/+(3 _ 4a)x_3司1=2 _ x在,xn 时有一个根，2所以厂+(4a-3)x+3a=2-x在x o时有一个根，所以厂+(4a_2)x+3a_2=0在x 0时有一个根，,31当 =(4a_2)2_4(3a _ 2)=0 时叶，O=74或./J_11 (舍去)，此时 x=_2_满足题意设 g(x)-x2+(4a-2)x+3 a -2g（0）=3 a-2 0,.-.a -=3/,-2 0若3,由 于 王 马 所 以 此 时 有 一 个 正 根，一个负根，满足题意.g(0)=3a-2 =0,.a=若3由于玉+X 2 =2 _ 4 a 0,:.-a -7-
9、4 a 0若3 4,由 于 玉+-/4 U，x x2 5a 2u所以此时有两个负根,不满足题意.综上:x e f 0,U 34故选：D二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意,部分选对得2分，错选不得分.）9.n 4rle c (兀,2兀)已知、7si n。-c o s。=-5,则下列结论正确的是（）c o s。=B.45t a n。=C.4si n。+c o s。=D.5【答案】A B D【解析】【分析】对A,由平方法求得si n 9 c o s夕的符号，结合角的范围即可判断；对B C D,结合平方关系及角的范围即可求解判断.(si n -c o s
10、)2=l-2 si n c o s =2 si n c o s【详解】对A,2 52 425,.产（兀，2兀）,则s i n 6 0,二 c o s8 =l o g3 20/（4）=3，=40=Z3=l o g3 404+G =1呜36 0,2/2=21o g320=l o g3400 所以c 正确；红二 =12/月野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度为3-18 1 9 2,口-=36 广/月野生水葫芦在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度为4-2,D错误.故选：B C三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知角，终边上一点（一34）,且0+尸=兀，则s i
11、n a =.4【答案】5#o.8【解析】s i n夕=一,【分析】利用三角函数的定义可得 4 5接着利用诱导公式即可求解4故答案为：514.因疫情影响，延时4年的世界大学生运动会于2023年7月28日在中国西部的美丽城市成都举行.某公司为宣传中国文化，设计了一款扇形的纪念品，扇形圆心角为3,弧长为12c m,则扇形的面积为cm2【答案】24【解析】【分析】首先求出扇形的半径，再根据扇形面积公式计算可得.【详解】设扇形的半径为，cm,因为圆心角a =3,则3r =12,所以厂=4,S=ar2-24c m2所以扇形的面积 2s i n =彳 _ 4【详解】由角/终边上一点尸（一3,4）可得 W +
12、16 5 4c s i n a =s i n （兀 一 /7）=s i n/7 =因为。+4=匕 所 以、）5故答案为：2415 .已 知 歹=+J。且1)的图象过点。4),其反函数的图象过点GO,则l o g/=【答案】【解析】【分析】利用点在函数的图象上及反函数的性质，结合对数的运算性质即可求解.【详解】因为、=优+。的图象过点0 4),所以a +b =4.又因为歹=优+6的反函数的图象过点(2，),所以点(2)在函数丁 =优+，的图象上，所以。+6 =2,联立，解得=3,6 =1,所以 l o g/=l o g 3 1 =0故答案为：/、J 2叫x K OJ(x)=1 6 .已知函数|1
13、吟，0,则人)的 最 小 值 为.令g(x)=/(x j,若g(x)有4个零点，则用的 取 值 范 围 是.【答案】.0 .0 2【解析】【分析】由题意可得/O)的图象，依据图象求出了GO的最小值，画直线卜=加与图象有4个交点的情况，得出用的范围.【详解】解：由题意可得函数/(X)的图象，所以/(、)的最小值为0；当加e(L 2 时,直线歹=加与/(x)的图象有4个交点.故答案为：0,。2 .q i x四、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答过程必须有必要得文字说明、公式和解题过程.)1 7.已知角0的终边在直线丁 =3上，求s i n a,c o s a ,t a n a的值.【答案】答
14、案见解析【解析】【分析】分类讨论，取特殊点的坐标，由三角函数定义计算可得.【详解】解：因为角a的终边在直线y=上，当角1的终边在第一象限时，在a的终边上取点3),.3 3 V 1 0 1 V l O则 s i n a Vt-F-7-7-i o ,c o s cc 抑/+3 2 二 i-o-,当角夕的终边在第三象限时，在&的终边上取点(T-3),.-3 3 版-1 V 1 0s i n a=/=-c o s a=1 =-则+3 2 1 0 ,+3 2 1 04.(、sin-x)s i n(2 -x)t a n a =3 ；t a n a =3c o s +x t a n (+x)1 8.已知函数
15、 1 2 J 化 简/(x)/3)=拽 2(2)若 5，且a是第三象限角，求t a n a c o s-a-【答案】x)=-c o s x(2)2 ,5【解析】【分析】(1)利用诱导公式求解；-s i n a c o s a（2）由 5得到 5,进而由平方关系和商数关系求解.【小 问1详解】解:x）=sin（乃-x）sin（2 万-x）cos31-F X2tan，r+x）-sinx-sinx；-=-cos xsinx-tanx【小问2详解】2亚cos a=-5由5,得又因为a是第三象限角,.V5 sin a 1sin a-tan a-二所以 5,cos。2,2.cos2cr-sinczcosa
16、cos a-sinacosa=-cosa+sin a1-tancr _ 2 _ 21 +tan2 a】（l.j 519.已知定义域为R的函数 2+2是奇函数.（1）求 的值;（2）判断函数/（“）的单调性，并用定义证明；当n 3i5 时,）+/（2）。恒成立，求实数人的取值范围.【答案】b=-l（2）函数A在R上是增函数，证明见解析（3）（一0，T）【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质令/（）=,求 解 即 可.(2)利用函数的单调性的定义证明即可.(3)利用函数是奇函数以及函数的单调性转化不等式为代数形式的不等式，求解即可.【小 问1详解】V X)在定义域R上是奇函数，工。所以/(0)=,
17、即 2 +2 ,/,(%)=：-检验，当人=-1时，-2川+2,因 为 八)23+2 2向+2 八 乙 故/为 奇 函 数;【小问2详解】“X)在R上是增函数，证明如下：由(1)知/(X)=*+2=5-F 7 T,任取X”*2 eR,设石 X 2,_ _ _ _ 仕 _ _!_ _ 2 4-2、1 5 J_ 2为 +J （2&+）（2,+1）.函数少=2 在R上是增函数，且芭 0,又。+1)&+1)0,:J(x2)-/(x1)0 即/(吃)/(%),.函数/(X)在R上是增函数；【小问3详解】因/(X)是奇函数，从而不等式/(*)+/9 +2 x)o等价于/(左+2 X)-/(*)=/(?),
18、由(2)知/(X)在R上是增函数，由上式推得上+2 x一,n n g/T 2 x2-2 x=（x-l）-l._即对任意 L，有 v 7 恒成”,因为x e .32所以7 =(1)T的最小值为T即左的取值范围为（一 8，T）.2 0.已知函数“)出-2 g(x)=6 .(|H(x)=/(x)+g(x)+|/(x)-g(x Y(1)求函数 2 的值域.X 若 存 在 实 数%,一）在x e -4,0上有解，求实数4的取值范围.【答案】（1）2+）（一 6,+8）【解析】”(X)h2,x -2【分析】（1）结合题意得6/丁-21 2）,进而求解得（X）值域为I，族）；4 x（2）由题知2-3 0 x
19、fl5+3 6 4t 4-3 0 r i 17,进而换元得 t 在 1 L16 上有解,再根据对勾函数求最值即可;【小 问 1 详解】/(x)+g(x)+|/(x)-g(x)=f/(x),/(x)g(x)H(x)=1函数2g(x),/(x)g(x)t(x)=-227小(-2,+8)时，x)2当时,S-4，当 x-2 时，(2),(x)2；综上：（X）值域为 2，+）.【小问2详解】g(x-2).g(x)h(可以化为L6-J)4 1 1即:4 x 3 0 x 0+3 6 h 1令 I j),x e -=4/+-3 0所以 1 1所以、2）在“卜4,0上有解,3 6人 4 f H-3 0 口即 t
20、 在，01，16 上有解,令/(7)=4/H-t-3 0，/ri1,.16 则左 A(/)minA(0=4/+-3 02 J4/-3 0=-6而 N 4 T当且仅当 t,即，=3时取等号,所以实数片的取值范围是（一6,+8）2 1.随着2 02 2年世界杯的结束，某电商推出的世界杯纪念册受到球迷追捧.某商户对所售的纪念册在过去的一个月内（以3 0天计）的销售情况进行调查发现：纪念册的日销售单价0 G）（元/套）与时间x （被P（x）=16 0+J调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足 Jx +2 （常 数%）,纪念册的日销量（套）与时间x的部分数据如表所示：X27142 3。3（套）101
21、11213已知第2 3天该商品日销售收入为2 2 8 8元，现有以下三种函数模型供选择：Q（x）=f a+6,0（x）=/?（x _ 15 y+q ,0（x）=m J x +2+（1）选出你认为最合适的一种函数模型，来描述销售量与时间的关系，并说明理由；（2）根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入/（“）（1WXW 3,x e N+）在哪天达到最低.【答案】（1）选择模型，理由见解析（2）第二天达到最低【解析】【分析】（1）根据二次函数的单调性，指数型函数的增长速度可以排除前两个模型，结合幕函数的函数特点可知选该模型，然后代入数据进行计算并验证；（2）先根据题目条件算出，然后表示出函数 X）
22、,利用基本不等式求出最小值.【小 问1详解】根据表格可知，当2 3时，。（x）一直递增，而。（x）=，（x 1 5）+“在 =1 5左右单调性相反，故不选，又从表格数据看出，（x）虽然一直递增，但递增缓慢，故不选，于是选.1 0 =w-2 +2 +n。且mH），若函数/（“）与（x）的图像有两个公共点,求实数用的取值范围.【答案】k=-l业2,+8）1 m m （3）z J【解析】【分析】（1）函数/是偶函数，所以/（-x）=/（x）,计算可得；依 题 意 问 题 转 化 为 m5+2x在（-8,上有实数解，求出（x）T n（e+1）一2x的值域即可得解：（3）因为函数（“）与“（X）的图像有
23、两个公共点，所以关于x的方程（Q-X A _xln me+丁 +2加=In2、+1）-x +2/M=e、+b17有两个解，所以 2,换元，研究二次函数图象及性质即可得出实数”的取值范围.【小 问1详解】解：因为函数/（“I n +）是偶函数，所以/（r）=/（x）,即山（e n +1）-依=山伫+1）+”所以 InGz+lHnd+A z 京 Je+1.I n =-2 x=2 kxe2 x所以2 4=-2,解得左=1【小问2详解】解：由.(1、)可,知fJ(Ix1)=l n(e2 r+l)-x、则n l石g(I)J=，/(IxJ)-x-a =l n(ve2 v+l)-2 x-a因为当x 4 0时
24、，函数gO/G)-x 存在零点，即1*16、+1)-2一 在(8,0 上有实数解,即a =ln+2x在(fO上有实数解,h(x)=l n(e2 v+1 2 x =I n (e?”+1 I n e2 x=I n令TX G (-0 0,0 f因为 o o,0 贝广(切，所 以 乐)，则l +2+oo)f/l匕人1巾 +*加2，+0 0)即(x)e l n 2,+o o),所以a e l n 2,+o o)【小问3详解】解：因为函数 X)与(X)的图像有两个公共点，I n mex 4-+2加=I n (e2 x+1 Y-X所以关于x的 方 程I 2 J 有两个解，QX _ Jmex H-F 2 m=ex+eA(m l)ex-1-2 m=0所以 2 ，即 2 ev,显然e、0,(w-l)e2 v所以+2 mex=0+2 mt =0令、e(f ),得 2 .(*),p(t)=(m-)t2+2 mt 记2,当/7 7 1时，函数P(,)图像开口向上，又因为图像恒过点I 2人 方 程(*)有_ 正 _ 负两实根，所以加 1不符合题意;当0?0,解得 2或加 一I,I ,T H I又所以2 用 1方 程（*）有两个不相等的正实根，所以2 满足题意,综上，加 的取值范围是2