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1、2021-2022学年安徽省滁州市定远县高一下学期第二次月考数学试题一、单选题1.若向=W=1，a 1 b 且 2a+36与67-4/7也互相垂直，则女的值为（）A.-6 B.6 C.3 D.-3【答案】B【分析】首先根据向量垂直得到其数量积等于零，之后结合题中条件，得到结果.【详解】由题意可得小。=0,且（2+3b）.（g 一 46）=23?+（3 4-8）a/-1 2/=0,所以2及+0-12=0,解得无=6,故选：B.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的条件，向量数量积运算公式,属于简单题目.2.已知园=1 0,忖=1 2,且（3分（）=-3 6,则“与人的夹角
2、为A.60 B.120 C.135 D.150【答案】B【详解】试题分析：由题意，得（3a）.（）=|a W =|同.同cosO=|xlO xl2cos，=-3 6,解得COS8=-二，即a 与b 的夹角为1 2 0;故选B.,【解析】1.平面向量的数量积；2.平面向量的夹角.3.在中，a=4,A=60。，C=7 5 ,则 6 的 值 为（）A.孚 B.2+2夜 C.2限 D.2 6 +1【答案】A【分析】先根据A+8+C =180,求出3=45,再由正弦定理，求解即可.【详解】在二A8C中，A=6O,C=7S.8=18()-A-C =45由 正 弦 定 理 可 知 二 bsin Asin B
3、a 4nn b=-x sin 8=-x sin 45即 sin A sin 604 垃 4指_ _ _ x _ _ _ _ _ _ _出 2 3.2故选：A.4.如图，设A,8 两点在河的两岸，测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,ZACB=45,NC4B=105。后，就可以计算出 A,8 两点间的距离为（）【答案】AC.2 5 a mD.也m2【分析】求出角8 后，根据正弦定理可解得结果.【详解】ZB=18O-45-105=30,由正弦定理得ABsin 乙 ACBACsin N B ；日若铲=曰=5。亿2故A,8 两点的距离为50&m.故选：A.【点睛】本题考查了正弦
4、定理，考查了三角形的内角和定理，属于基础题.25.设.ABC的内角A,B,C 的对边分别为”,b,c,若b=l,c=瓜,cosC=-,则2=A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【详解】由余弦定理可得：cosC=J,即：2=一 +6lab 3 2a整理可得：（。一 3）（3。+5）=0,结合”0 可得：a=3.本题选择A 选项.6.如图四边形ABCD为平行四边形，AE=AB,DF=F C,若 AF=2AC+O E,则 的 值A-?B-1c-1D.1【答案】D【分析】选取A2,A。为基底将向量A F进行分解，然后与条件对照后得到久-的值.【详解】选取48,4。为基底,贝l j AF=AD+DF
5、=AB+AD,又 4/%AC+JLIDE=2(45+犯+呜-A B-A D丸 +5)AB+(/1 )AD,将以上两式比较系数可得4-=1.故选D.【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，合理地选择基底会给解题带来方便;（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算;（3）一个向量按照同一组基底进行分解后，所得结果具有唯一性.2-i7-复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D卬 2 7 (2 5 3 4.
6、【详解】Z-2 +7-(2 +()(2-0-5 5(,对应的点为（3 在4第 四 象 限，故选D.8.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（）1 +2乃A.-4兀C 1 +24其B,匕 生2%-1 +4乃D.-2%【答案】B【分析】根据圆柱的侧面展开图是一个正方形，得到圆柱的高和底面半径之间的关系，然后求出圆柱的表面积和侧面积即可得到结论.【详解】设圆柱的底面半径为，圆柱的高为人圆柱的侧面展开图是一个正方形,/.17rr=h,圆柱的侧面积为24也=4 1 2 r 2,圆 柱 的 两 个 底 面 积 为，圆柱的表面积为2笈，+2 所=2 4/+4/，圆柱的表面积与
7、侧面积的比为：吗又1=毕，4万2/21故选：B.9.已知x,y e R,i是虚数单位.若x+y i与 含 互 为 共 辗 复 数，则x+y =A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【详解】试题分析：学=?+?2-?=宁=2-乙所以当互为共物复数为2+i,即x =2,y =l,1 +(l +z)(l-z)2 1+z所以x+y =3,故选D.【解析】I.复数相关的概念；2.复数的运算.1 0.如图，平面a与平面0相交于8C,A 8u a,8邙，点A B C,点。0 8 C,则下列叙述错误的是A.直线A O与8 c异面B.过AD只有唯一平面与8 c平行C.过点。只能作唯一平面与B C垂直D.过A。
8、一定能作一平面与B C垂直【答案】D【分析】根据异面直线的判定定理、定义和性质，结合线面垂直与平行的判定定理，对选项中的命题逐个判断即可【详解】解：对于A,由异面直线的判定定理知，直 线 与B C异面，所以A正确；对 于B,根据异面直线的性质知，过AO只有唯一平面与B C平行，所以B正确；对于C,由线面平行和垂直的判定定理知，过点。只能作唯一平面与8 c垂直，所以C正确；对于D,由异面直线的性质知，只有当4。和B C异面垂直时，过A。一定能作一平面与B C垂直,否则不存在过AO的平面与B C垂直，所以D错误，故选：D【点睛】此题考查了异面直线的定义、判断定理和性质的应用问题，考查了线面平行和垂
9、直的应用,属于基础题.11.已知。，夕为不同的平面，a,b,c 为不同的直线，则下列说法正确的是()A.若a u a,b u /3,则 a 与 b 是 异 面 直 线 B.若 a 与 b 异面,b 与 c 异面，则 a 与 c,异面C.若 a,不同在平面a 内，则。与 b 异 面 D.若 a,不同在任何一个平面内，则 a 与 6 异面【答案】D【分析】直接利用直线和平面的位置关系和异面直线的定义判断A、B、C、D 的结论.【详解】已知a,夕为不同的平面，a,b,c 为不同的直线，对于A：若a u a,6 u 4，则。与b 是异面直线或平行直线或相交直线，故 A 错误；对于B：若。与b 是异面直
10、线，8 与。是异面直线，贝！I”与。也可能是异面直线或平行直线，故 B 错误；对于C：若a,b 不同在平面a 内，则。与6 是异面直线或平行直线或相交直线，故 C 错误；对于D：根据异面直线的定义，若b 不同在任何一个平面a 内，贝心与人是异面直线，故 D 正确.故选：D12.已知向量机=(2COS2X,6),n=(l,sin2x),设函数=，则下列关于函数y=/(x)的性质的描述正确的是()A.关于直线x=W 对称 B.关于点C，。)对称C.周期为27 D.=/(x)在 上 是 增 函 数【答案】D【详解】=2 cos2 x+6 sin 2x=cos 2x+G sin 2x+1 =2 sin
11、(2x+聿)+L 当 =专-T T I T T T时,sin(2x+-)=sin 1,，八外不关于直线x=；对称；6 3 1257r 7T 5 77当x=时,2sin(2x+今+1 =1 ,以)关于点(芸,1)对称；12 o 12兀 得周期7=言2万=，当x e(-g,0)时,2 x+g e(-g,J)孙)在(栏,0)上是增函数.3 6 2 6 3本题选择D 选项.二、填空题1 3.己知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为1 2 0。的扇形，圆锥底面圆的半径为1,则该圆锥的体积为.【答案】名 生3【分析】根据底面圆的半径求出展开图扇形的弧长，再求出圆锥的母线长，得出锥体的高，即可求解体积.因为圆
12、锥底面圆的半径为1,所以侧面展开图扇形的弧长为2 万，因为圆心角为1 2 0。，所以圆锥的母线即展开图扇形的半径为2 万？胃3,所 以 圆 锥 的 高 为 乒 1 =20，所以该圆锥的体积V=!创 7 I2?2 /2 包 身.3 3故答案为：汉 生3【点睛】此题考查利用扇形弧长公式求圆锥的母线长再求锥体的高，进而求出锥体体积，属于简单题目.1 4.如图，过正方体ABCO-AMGR的顶点与、2与棱A8 的中点P的平面与底面A 8 C O 所在平面的交线记为/,则/与4R的位置关系为.【答案】/4 案【解析】利用面面平行的性质定理可得出/与3 a的位置关系.【详解】如图所示，连接。/、在正方体A
13、B C Z)-A 2C R 中，平面A8CO平面A A G R,且平面8 Q P 平面A BCQ=耳。，平面用。，平面A3C=/,所以/BQ.故答案为：/g R.【点睛】本题考查利用面面平行的性质定理判断两直线的位置关系，在判断时应注意面面平行性质定理的应用条件，考查推理能力，属于中等题.15.如图，点 P 在平面ABC外，点尸在BC的延长线上，E 在线段以上，则直线AB,BC,AC,EF,AP,BP中有 对异面直线.【答案】5【分析】根据异面直线的定义判断即可.【详解】根据图形，异面直线共5 对，分别是AB与EF,8C 与 AP,AC与 BP,AC与 E尸，BP与EF.故答案为：516.如图
14、所示，为测量山高M N,选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从4 点测得M 点的仰角/MAN=60。，C 点的仰角/。8=45。以及/M 4C=75。，从 C 点测得NMCA=60。.已知山高 BC=500 i,则山高MN=m.M【分析】利用直角三角形求出A C,再由正弦定理求出A,然后利用直角三角形求出MN【详解】在 Rt.4 5 c 中，ZC4B=45o,BC=5 0 0/n,所以 AC=5 0 0 ，在.4M C 中，ZM4C=75,ZMC4=60,则 ZAMC=45。，由正弦定理得,A C A Msin 45 一 sin 60所以 AM=500夜 x=5005/3/nV22在 R
15、 t A M N A 中，A M =50 Qy/3m,N M A N=60,所以 MN=AM sin 60=500J5 x 且=750m,2故答案为：750三、解答题1 7.已知AABC的三个内角A,B,C 的对边分别为“，b,c,且黯+/一 他=2.(1 )若sinA=s in 3,求A；(2)若c=6,求a+2b的最大值以及取得最大值时sin A 的值.【答案】(1)v；(2)辿.3 7T T【分析】(1)由已知可得C=,由sinA=s in 8,可得=力，A=8,可得A 的值；(2)由。=(、c=G 及正弦定理可得。+如=2(sin A+2sin3)=2(2sin A+6 c o s A
16、),由辅助角公式可得a+2b的最大值以及取得最大值时sin A 的值.【详解】解：6+从一成=。2,.k a2+b2-c2 a?+b?-侬-ab)1 cos C=-=-=一 T T.。(0，:C=-3(1 )sin A=sin 3,/.a=b.，A=B.:5=*工2 3(2)由 焉=嘉 二 3 己得csin A.A,csin B 小 a=-=2sin A,b=-=2sin B.sin C sin Ca+2b=2(sin A+2 sin 8)=2(2 rj/yr 9=2(2 sin A+5/3 cos A)=2A/7 sinA+COSA,其中 A e(0,?).777令锐角。满足,2V7cos
17、夕=-sn(p=-则 a+2Z?=2/7sin(4+e),A/(2%、.27r A G(0,%.),0 A+e F(p.当A+9=时，sin(A+取得最大值1,相应取得a+M 的最大值2疗.此时 A=-(p,sin A=sinH71-92手=cos(p=72【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数求值等知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.18.一缉私艇在A 处发现在其北偏东45。方向，距离12nmiIe的海面C 处有一走私船正以10n mile/?的速度沿南偏东75。方向逃窜.缉私艇的速度为14n mile/h.若要在最短时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东(45。+0的方向去追
18、，求追上走私船所需的时间和角a 的正弦值.【答案】时间为2/?,巫14【解析】画图分析,设经过x 后缉私艇在8 处追上走私船，再将三角形的各边长用关于x 的式子表达,再根据余弦定理求解得x=2,再利用正弦定理求解角a 的正弦值即可.【详解】设经过x 后缉私艇在8 处追上走私船(如图所示).据题意，得 筋=14x n mile,BC=10A-n mile,ZACB=120.在.ABC 中，由余弦定理，得(1 4 x)2 =1 22 4-(1 0 x)2-2X1 2X1 0A-C O S1 2 0 .解得 X=2 (x =舍去).J A B =2 8 n m i l e,BC=2 0 n m i
19、l e.4B.2 0 s i n 1 2 0 由正弦定理，得s i n a=-2 856所需时间为2 ,角a的 正 弦 值 为 考.【点睛】本题主要考查了正余弦定理在实际情景中的运用，需要根据题意设变量表示各边，利用正余弦定理去求解.属于基础题.1 9.如图，在四棱锥P A 3 C D 中，底面A 3 C Z）是平行四边形，点 E在 P C上，PC=3PE,PD=3.（2）若M 是 BC中点，点N在上，M N/平面他E,求线段P N的长.【答案】（1）见 解 析（2）P N =2【分析】（1）由底面A 3 C。是平行四边形，可得。AB,利用线面平行的判定定理可得结果；（2）设过MN与平面A B
20、 E 平行的平面与P C 交于点F,与 AD交于点G,由面面平行的性质定理可得M F U B E,M G/A B,可证明8 平面MFNG,得到C D/W,由平行线的性质可得结果.【详解】（1）I 底面A 8 C D 是平行四边形，.C D/A B,：C ）Z 平面 A B E,ACu平面 A B E,8 平面ME；（2）；MN平面A B E,.可设过MN与平面A B E 平行的平面与P C交于点NBEM与 AO交于点G,则“/B E,MGIIAB,又 A 8 C D 是平行四边形，CD/AB,:.MG I/CD,:.C D 平面 MFNG,：.CDHFN,22是 8c中点，二厂是C中点，V P
21、C=3PE,：.PF=-P C,：.PN=-PD=2.33【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理与面面平行性质定理的应用，属于中档题.证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与己知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.20.在 A B C 中，角 A,B.C,所对的边分别为 a,b,c.已知 s i n A+s i n C=p s i n B (p W R).K a c=4 b2.5(1)当 p=4,
22、b=l 时，求 a,c的值；(2)若角B为锐角，求 p的取值范围._1 1 近【答案】(1)a=l,c=4 或 a=4,c=l (2)2 pV2f x 5a+c=a_1【详解】(1)解：由题设并利用正弦定理得I aC 45 _1故可知a,c为方程x2-4 x+4=0 的两根，工 1进而求得a=l,c=4 或 a=4,c=l1(2)解：由余弦定理得 b 2=a?+c 2-2a c c o s B=(a+c)2-2a c -2a c c o s B=p2b2-2b2c o s B -2,3 _ 1即 p 2=2+2COSB,因为 O V c o s B V l,3 近 近所以p 2w (2,2),
23、由题设知pR,所 以 2 V p e 或-J5 P -2又由s i n A+s i n C=p s i n B 知,p是正数近故2 p五 即为所求21.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A处沿直线步行到C处;另一种是先从A处沿索道乘缆车到B处，然后从B处沿直线步行到C处，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为5 0?如汨/.在甲出发2“血后，乙从A处乘缆车到8处，在8处停留1加后，再从8处匀速步行到C处假设缆车的速度为1 3 0?力加/，山路4c长 为1 260%,（1）乙出发多长时间后，乙在缆车上与甲的距离最短？（2）为使甲、乙在C处互相等待的时间
24、不超过3,献 小 乙步行的速度应控制在什么范围内？【答案】（1）乙出发I I疝后，乙在缆车上与甲的距离最短；（2）乙步行的速度应控制在 詈，詈（单位：“加【解析】（1）依题意，可求得s i n A与s i n C,从而可求得s i n B；在A A B C中，利用正弦定理即可求得山路A8的长，设乙出发f（O4Y8）疝后，甲、乙距离为痴，此时，甲行走了（1 0 0 +5 0。，乙距离A处1 30勿，应用余弦定理表示出屋=20 0（37产-7 0 f+5 0）,求得结果;(2)由正弦定理一三=三 可求得5 c =5 0 0/，设乙的步行速度为w”/m i n,依题意，解不等式si n A sm B
25、5 0 0 7 1 0 人卬-4 3即可求得结果.v 5 01 2 3【详解】(1)cos A =,cos C =q,人 二，八41 .A 5 .八4.A,CG 0,si n A=,si n C =,I 2)1 3 56 3si n 4 =si n (A +C)=si n A cos C+cos A si n C =.6 5由 四 _=得 48 =s inC =1 0 40(相)，si n C si n B si n B 71 0 40乙在缆车上的时间 为 寄 =8(”).设乙出发f(0 4 Y 8)加加后，甲、乙距离 为 加，则t/2=(1 30 r)2+(1 0 0 +5 0/)2-2x
26、l30 rx(1 0 0 +5 0 z)x j|=20 0(37 r-7 0 r+5 0),.当f=京 时，即 乙 出 发 工 加 后，乙在缆车上与甲的距离最短.八,B C A C,曰30 =-si n A =-x =5 0 0(”)(2)由得 si n B 6 3 1 3 1).si n A si n B 6 5(i f)40 、乙 从8处出发时，甲已经走了 5(1 2+而+1卜5 5 0(加)，还 需 走7 1 0，才 能 到 达C处，设乙步行的速度为ww,则 的 2 4 3,解 得1 4 v 4.为使甲、乙 在C处互相等待的时间不超过3min,乙步行的速度应控制在 卜 等，竽(单位：机加
27、T)的范围内.43 1 4【点 睛】在运用解三角形的知识解决实际问题时，首先要分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，从而将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的好处.2 2.如 图，在 三 棱 柱AB C-A4 G中，E,F ,G分 别 为MG，4与，A8的中点.(1)求 证：平 面AGG 平 面5 F；(2)若 平 面AGGC8C=H,求 证：”为B C的中点.【答 案】(1)证明见解析；证明见解析.【分 析】(1)由已知可得E/A G，得 到EF/平 面AGG,同理得到8尸平面AGG,再由面面平行的判定可得平面AGG 平 面MF ：(
28、2)由公理及平面与平面平行的性质得AG/GH,则GA C,由G为A3的中点，可得H为BC的中点.【详解】(1)证明：如图，E,F分别为4G，4内的中点，:.E F M g,A G u平面AGG,所0平面AGG,.防平面A&G,又尸，G分别为人与，A8的中点，:.AF=BG,又A F/8 G,，四边形AG8F为平行四边形，则8/AQ,A G u平面ACG,B E N平面AGG,.Bf 平面 AGG,又 EF BF=F,EF,BFu 平面 3砂，平面AGG/平面B E F；(2)证明：平面A3C7/平面AB|G，平面A G G c平面ACi=A C，平面AGG与平面ABC有公共点G,则有经过G的直
29、线，交BC于G,则 AGG H,得 GH/AC,G为A8的中点,二”为 B C 的中点.2 3.己知 a =(2si n x,cos。)，方=(&cosx,2),fx)=a-b.(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)求函数“X)在 区 间 0,1上的最大值和最小值.jr 27 r【答案】(1)最小正周期为万，单调减区间为-+k7r,+k7t,A e Z；(2)最大值为3,最小值为o 30.【分析】(1)利用向量的坐标运算化简，再利用整体的思想.(2)根 据(1)的结果及X的范围求出2 x+m 的范围，从而计算出函数的最值.6【详解】解：=(2sinx,c os。)，b=(V 3 c
30、 osx,2),由于(x)=a,b=25/3 sinxc osx+2c os2 x=A/3 sin 2x+c os 2x+1 =2 sin(2x+)4-1,6 /(x)的最小正周期7=1=乃，由 24万 +2 4 2x+2k7r,ke Z,2 6 2T T 2立得：+kTl X +左 兀,&G Z,6 37 T 24 f(x)的单调递减区间为-+k7t,+kK,k e z；(2)由 xw 0,y 可得：2x+J s ,当2x+=g时，函数/(x)取得最小值为2sin?+1 =0,o o o当2 x+m g 时，函数/(x)取得最大值为2sin9 +1 =3,o 2 2r r故得函数“X)在 区 间 0,-上的最大值为3,最小值为0.