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1、海南省2022-2023学年高二下学期学业水平诊断(一)数学试题学校:姓名：班级：考号：一、单选题1.已知向量4=(1,2),八(1,2,0),若则实数，=()A.1 B.7?C.-D.-12 22.已知在等比数列 4 中,4 =3,%=6,则生=()A.3 B.6 C.9 D.123.若直线x+2 y-l=0 与 加-2 y +2=0 平行，则实数团的 值 为()A.-3 B.-1 C.I D.24.我国商用中大型无人机产业已进入发展快车道，某无人机生产公司2022年投入研发费用4 亿元，计划此后每年研发费用比上一年都增加2 亿元,则该公司一年的研发费用首次达到20亿 元 是 在()A.20
2、29 年 B.2030 年 C.2031 年 D.2032 年5.已知“=(1,1,1)为平面a 的一个法向量，A(l,0,0)为a 内的一点，则点)(1,1,2)到平面”的距离为()A.&B.72 C.D.正2 32 26.已知椭圆？+3 =l(m 4)的焦距大于2,则其离心率的取值范围为()A.(0用 B.(，|C停卜加7.若直线/：履y+3 2%=。与圆C：/+/_ 6 尤 一 4丁 +4=0交于A,B两 点,且直线/不过圆心C,则 当 的 周 长 最 小 时，实数攵=()A.1 B.；C.1D.28.已 知 乃 是 双 曲 线 E 的两个焦点，点尸为E 上一点，若 用=5|尸闾,则 E
3、 的离心率为()A.息 B.回42C.筌D 誓二、多选题9.若直线/经过点（4,-2）,且/与坐标轴围成的三角形面积为2,则/的方程可能是（）A.x-y-2 =0 B.2 x+y-6 =0C.x+y-2=Q D.x+4 y+4=01 0 .设数列 ,的前项和为S“，已知=1,4川=3 S“，则（）A.52=4 B.。2 3 =1 6 a 2（）2 ic.数列%是等比数列 D.数列 s“是等比数列1 1 .如图所示，在三棱锥P-A 8 C中，底面A 8 C是边长为2的正三角形，点P在底面上的射影为棱8 c的中点，且%=3,则（）A.PALBCB.三棱锥P-A B C的体积为2C.异面直线P B与
4、A C所成角的余弦值为近1 4D.8 c与平面附8所成角的余弦值为亚31 2.已知点P在直线/：x+y =4上运动，过点尸作圆0：x?+y 2=4的一条切线，切点为A,直线P O与圆。交于点B,且点P,2在。的两侧，则（）A.|/%|的最小值为2兀B.ZABP-6C.当一为等腰三角形时，|蝴=2 6D.点。到直线A B的距离小于加三、填空题1 3.若 双 曲 线 三-汇=1的渐近线方程为y =2 x,则实数%=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _1 6 m 2试卷第2页，共4页14.若 方 程 上+上 =1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数女的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _H-3 3
5、-k15.在数列 5 中，若%=3%+4,q=l,则其通项公式为,=.16.已知抛物线V=1 6 y 的焦点为F,准线为/,点尸是/上一点，过点尸作尸 尸 的垂线交 x 轴的正半轴于点A,4 尸交抛物线于点B,P 8 与 x 轴垂直，则直线A尸的斜率为四、解答题17.已知等差数列 4 的公差d=-3,且生，,出成等比数列.(1)求数列 4 的通项公式；(2)若数列 q 的前4 项和1 =-3 3,求女的值.18.已知抛物线C：y2=2px(p0)的焦点坐标为(1,0).求 C 的方程；(2)直线/：-)=0 与C 交于A,8 两点，若0 4 0 8 =2 1(。为坐标原点)，求实数f的值.19
6、.设S“为数列 4 的前项和，已知4 +S“=4.(1)证明：数列%为等比数列；(2)求 q+2a2 +3a,+nan.20.如图，已知直四棱柱A8CO-A冉C Q 的底面ABC。为平行四边形，AB=A4,=1,求证：8 0 1 平面CCA。；求平面A4百8 与平面0B C 的夹角的余弦值.21.已知圆C 过点M(4,2),N(T 3),且圆心C 在直线x+2y+2=0 上.(l)求 c的方程.(2)设直线/:办-y +2 =0 与圆C交于不同的两点A 8,是否存在实数。，使得线段A8的中垂线经过点P(3,0)?若存在，求出实数。的值;若不存在,请说明理由.2 2.已知椭圆C：J +/=l(a
7、 6 0)的离心率为日，且经过点(2,1).求 C的方程；过椭圆C外一动点P 作椭圆C的两条切线4,12,斜率分别为尤，k2,若 占 生=-：恒成立，证明：存在两个定点，使得点P 到这两定点的距离之和为定值.试卷第4页，共 4页参考答案:1.c【分析】因则G =0,据此可得答案.【详解】因为a _ L 6,所以a-8=l+2f=0，所以f=-1.故选：C2.D 分析根据已知条件求解出公比，再利用等比数列的通项公式求解即可.【详解】设等比数列 4 的公比为9,则4=2,所 以%=“2=3x22=12.故选：D.3.B【分析】易知两直线斜率存在，利用两直线平行斜率相等即可求得，的值.【详解】由x+
8、2 y-l=0 可知，其斜率为又两直线平行，所以可得=-；,解得机=-L故选：B4.B【分析】依题意，该公司每年研发费用依次成等差数列，设为%,利用等差数列的通项公式可以得到该公司第年的研发费用,令2 20即可得到结果.【详解】依题意，该公司每年研发费用依次成等差数列，设为 ,可得4=4,公差d=2,则该公司第年的研发费用为见=4+(-1”=2+2,令 2 +2220,贝 5 9,所以从2022年开始第9 年，即 2030年的费用首次达到20亿元.故选:B.5.A答案第1 页，共 12页【分析】根据给定条件，利用点到平面的向量求法，列式计算作答.【详解】依题意，A O =(0,1,2),而。=
9、(1,1,1)为平面a的一个法向量,所 以 点1,2)到平面a的距离d =3耳=7 3 .故选：A6.C【分析】先根据焦距求出团的范围，然后离心率的公式可得答案.【详解】设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2 a,次2 c(a/c 0).因为机 4,所以/=%h 2=4,贝lj 2 c =-及=2 d m-4 2，解得?5,2此时.e 2=：am-4 4 4 1 r r r l。肃-=1 1 =,所以e七 ,1 .m m 5 5 I 5 J故选：C.7.C【分析】先求出直线所过的定点，结合圆的性质可得卜却最小时，周长最小，进而根据垂直关系可得答案.【详解】直线/：依-旷+3-2 k=0的方程可化
10、为上(2)-丁 +3 =0,.直线/过定点。(2,3),又：2 2 +3 2 _ 6 x 2-4 x 3 +4 =7 0,.点。在圆 C 内.由圆的性质可知当CDJ J时，|钿|最小，此时./1 BC的周长最小,又 C(3,2),D(2,3),：.kC D=-,则 =1.故选：C.8.AQ I【分析】由双曲线的定义求出附I，附|,在 月 中 利 用 余 弦 定 理 得 到4 c J1/,即可求出离心率.【详解】,归 耳|=5忸闾,由双曲线的定义得忸耳|-忸闾=4|尸闾=2%二|用=/，|耳|=|人设 卜 凰=2c,在中，由余弦定理得4 c 2=弓/+%L 2 x|a x g a x c o s
11、年，答案第2页，共1 2页整理可得4c2=卫 片,即 2=.=，即0=息.4a2 16 4故选：A9.CD【分析】设直线/的方程丁=左（无-4）-2,分别求出直线在X轴与y 轴上的截距，由三角形面积为2 列方程求出左即可得直线/的方程.【详解】易知直线/的斜率存在，故设直线/的方程、=人（工-4）-2,2令x=0,得 y=-4攵-2；令 y=0,得x=：+4.ki2故围成的三角形面积为S=3X 卜必-2|工+4=2,Z.K化简可得4r+3%+1 =0 或4公+5左+1 =0.对于方程4公+3Z+l=0，A=32-4 x 4 x l；,所以恒四20，所以。到直线A B 的距离小于0,故 D选项正
12、确.故选：AC D.1 3.4【分析】因渐近线方程为y =1 x,则 巫=1,据此可得答案.2 4 2【详解】因该双曲线的渐近线方程为y =巫x,则 巫=1,得m =4.4 4 2故答案为：4.1 4.(,-3Mz3)【分析】根据椭圆几何性质限定含参数Z的表达式的取值范围即可求得结果.【详解】根据题意可知，要使方程表示焦点在x 轴上的椭圆，2-3 0贝 懦 满 足 3-&0 ,解得Z 3 或 2 Z 3-k故答案为：S-3)2,3)1 5.4“一 3#一 3 +4”【分析】根 据 递 推 公 式 可 得 4 为等比数列，根据等比数列的通项公式即可求解.-4+1【详解】由6 川=3 4+4 ,得
13、。向一 4 1=3(为一4 ).由题意知a“-4 x O,则二3,。“一 4且4-4 =-3,.凡-4 是首项为一3,公比为3的等比数列，.a“-4 =-3-3 T=-3 ,/.a=4-3 .故答案为：4 -3 答案第6页，共 1 2 页0Io.-4【分析】根据直线垂直满足的斜率关系可求直线%:y+4 =1（i）,进 而 得 小+个,0）,根据三点共线斜率相等解得机=4 行.【详解】命题意图本题考查抛物线的性质.解析由抛物线的方程/=1 6），可得焦点为*0,4）,准线方程为y =T.设易知能 0,则%-=-.因为P F _ L R 4,所 以 如=1，直线B 4：y +4 =m（x-/n）,
14、令 y =0,m 8 8nV 4 x =m+,即A（，+%,o,8（祇 萼），由F,A,B 三点共线，得 显 一=/-,m I J I 1 6 J m%上,“整理得加4+3 2，/一 2 0 4 8 =0,得至1 （p+6 4）（机 2-3 2）=0,解得机=4 夜 或-4 夜（舍去）,所以 A（8 0,O）,k.=击41 7.(1)=5-3 4 =6【分析】（1）由,1 4成等比数列，则d=生/，由此可得;（2）由等差数列前项和公式可得答案.【详解】（1）因为。2，%，生成等比数列，所 以 吊=%。3，即 a：=（4 +4）（0 1 +2 J）,2得4=-丁 =2,答案第7页，共 1 2 页
15、所 以=a+（-l）d =2-3（-l）=5-3 .（2）数列 q 的前项和为 5=nat+当0 d =-|w2+1 n.3 7由-丑 2+枳=-3 3,整理得弘2-7 6 6 =0,即（6）（3 4+1 1）=0,得=6 （%=-舍去）.1 8.（l）/=4 x（2）7【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标即可求解P =2,进而可得抛物线方程，（2）联立直线与抛物线的方程，得 必=-小，x,x2=r,进而根据向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】（1）由抛物线的定义可得与=1,所以P =2,所以抛物线C的方程为V=4 x.（2）设A（%,y J,8（毛,%）.f%v 1 =0联立方程组得消去x
16、得 丁-4）-4 f =0,由 =（-4）“+1 6 f 0,得/1.所以-4 7,芭=（必 丫 2）2=*.1O所以。40区=%/+%=产-4，=2 1,解得，=7 或，=-3 （舍去）.故实数f 的值为7.1 9.（1）证明见解析 8 一 崇【分析】（1）利用所给条件，说 明 其 为 常 数，其中“2 2,e N*;an-答案第8 页，共 1 2 页(2)由(1)可知，q=白，后利用错位相减法可求得答案.【详解】(1)当 =1时，4+S =2 q=4,则4 =2,当“2 2时，由a“+S“=4，可 得+=4，-得。“-%+5”=0，整理得 2al i=(之 2,%H 0),即 区=；(2
17、2),an-Z故数列%是首项为2,公比为:的等比数列.由知a=2 x(g)-设（=q +2/+3%+。“，则 7；=2 +2 x l+3 x g +4 x：+x击 ，贝（北=l+2 x g +3 x j +x.,两式相减得：17；=2+1+1+_L+.+_L_X_L.=2 2 22 2 2 2 1及+2所以北=8-2 -222 0.(1)证明见解析噜【分析】(1)先 由 勾 股 定 理 证 出 再 证 明 直 棱 柱 中 再 使 用 线 面 垂 直 判定定理进行证明即可.(2)以。为坐标原点，DB,DC,0A所在的直线分别为x轴，)轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量进行求解即可.【详
18、解】(1)由已知可得D C=M =1,BC=AD=2,BD=y/3,A BD2+D C2=BC2,.*./B D C=9 0,即 B)J _C).答案第9页，共1 2页；OR L 平面 A8C。，3 匚平面4 8 8,；.力。，8。.又,：CD DD、=D,COu 平面 C G 2。，0。=平面。6 2。，3 上平面 C C Q Q.(2)如图，以。为坐标原点，DB,D C,。所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系,则 0(0,0.0),8 便,0,0),C(0,l,0),O 与0,1./：.O B=且,0,-1,BC=(-A 1,O),D B =(X/3,0,0).k 2
19、设平面O B C的法向量为n=(x,y,z),n O B =0n B C =0则G n x-z=0,2_ g x+y =0,令x=2,则 y=2 6z=省,易知，平面C C Q Q 平面/LA M B,班1 平面C C Q Q,瓦)上 平 面 田,。8=(6,0,0)为平面441片8 的一个法向量，设平面A A B与平面O3C的夹角为巴COS 0=COS(72,DBn-DBRM25/3 I74+12+3x7312M19平面AA8乃与平面O B C的夹角的余弦值为噜.21.(l)x2+j2-8x+6y=0答案第10页，共 12页（2）不存在，理由见解析【分析】（1）设圆的方程/+/+6+&+尸=
20、0,由题意列出方程组,解方程组求得答案；（2）假设存在符合条件的实数a，可判断圆心必在直线I上，结合直线/垂直平分弦A H，求得。，再利用直线ax-+2 =0 交圆C于A,8 两点,求出圆心到直线的距离与圆C 的半径进行比较即可得出结论.【详解】（1）设C 的方程为1+丁 2+m+力,+尸=（）,则圆心2 0 +4 D +2 +F =0 。=-8根据题意得，1 0-。-3 +尸=0 ,解得，E =6,一%+2 =0 屋。I 2.1 C 的方程为/+y 2-8x +6y =0.（2）假设存在符合条件的实数根据圆的性质可知，线段A B的中垂线必经过圆心C（4,-3）,所以A 8 的中垂线的斜率为%
21、=（=-3,1 1则勤,即=彳，kpc 3所以/的方程为x _3 y +6=0.因为C（4,-3）到/的距离为=5,所以直线/与圆C 相离,与条件矛盾.所以不存在满足条件的实数2 2.（1）+-=18 2（2）证明见解析【分析】（1）根据离心率以及椭圆经过的点，联立。力，。的方程即可求解，（2）联立直线与椭圆的方程，根据相切得判别式为0,进而得到仁，%为关于火的方程（考一8快2-2%女+尤一2 =0 的两根,利用韦达定理可得女人=y；-2片-8进而得点尸在答案第1 1 页，共 1 2 页椭圆兰+f=1上运动，由椭圆的定义即可求解.16 4【详解】（1）设C 的半焦距为c（c 0）,则 由 离
22、心 率=也，得=七/=3,所以/=4，a 2 a1 a2 4因为C 经过点（2,1）,所以2+5=1,即 京+*=1,得人*=2,a2 4b2 8.2 2所以C 的 方 程 为 三+汇=1 .8 2（2）设尸（距,几），直线4 的方程为y-%=K（x Xo）,即丫=/+%-镇 0,记，=o-xo，则4 的方程为y=kxx+t,代入椭圆C 的方程，消去兀 得（4将+1卜2+防比+4/-8 =0.因为直线4，与椭圆C 相切，所以 =（8/）2 -4（4好+口（4/8）=0,即 86+2=0,将%-k、x。代入上式，整理得（片-8）#-2XQ滥+巾-2=0,同理可得（君一8）仔-2 人&+北一2=0,所以占，修为关于左的方程（考-8产-2xuy.k+尤-2=0 的两根，从而他=当一!=一；，%-8 4整理可得与+号=1,所以点P 在 桶 圆 +工=1上运动，16 4 16 4所以存在两个定点耳（-2万 0）,鹏 2石,0）,使得|P制+|P闾=8,为定值.答案第12页，共 12页