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1、2022-2023学年江苏省淮安市洪泽湖高二下学期期初数学试题一、单选题1.直线工+6 +3=0 的彳顷斜角是()A.30B.60C.120D.150【答案】D【分析】将直线方程转化为斜截式，再根据直线的斜率求出倾斜角；【详解】解：因为X+3 y+3=O,所以y=-3 x-K，则直线的斜率k=-，设倾斜角为a,则tana=-/,因为C G0,T),所以=需故选：D2.直 线 x-Q y +2 G =0 被 圆/+丁=4 截得的弦长为()A.72 B.73 C.2【答案】C【分析】由垂径定理求解即可【详解】因 为 圆/+9 =4 的圆心为(0,0),半径为2,D.3且圆心到直线x-6 y +2
2、6 =0 的距离为d当5V 1 +3所以直线工-0 y+25/5=0被圆/+y2=4 截得的弦长为2,产一筋=2,4-3 =2,故选：C3.以双曲线工一 =1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是()4 1222 2 2 2?22A.+-=1 B.+-=1 C.+-=1 D.+-=16 4 16 8 12 4 16 12【答案】D【分析】先求出双曲线焦点，顶点坐标.后可得椭圆方程.【详解】由题，双曲线的焦点坐标为：(Y,0)，(4,0).顶点坐标为：(-2,0),(2,0).设椭圆方程为：+马=1，-乩由题有：。=4,c=2.a br2 v2故椭圆方程为：二+二=1.16 12故选：D4.正方体
3、ABC。-A A G A 中，化简AB+A D-C G=()A.AC B.C C.BD,D.DBt【答案】A【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】AB +A D-C Ct=A C-C Ct=A,Ct+C,C=A,C,故选：A5.若数列 二1是等差数列，卬=1,%=-：，则“产()应 +lJ 37 3 3A.B.-C.-D.9 5 5 9【答案】B【分析】令=1、n=3可得等差数列 乙;的 首 项 和 第 三 项，即可求出第五项，从而求出的.2【详解】令九=i得F=I,q+12)令=3 得一=3,所以数列 白，的公差为4=1,2 2 3所以 1 7 =T +2=3+2=5,解得出=-%
4、+1%+1 5故选：B.6.数列 叫是等比数列，(是其前 项之积，若&。=？4，则%的 值 是()A.1024 B.256 C.2 D.512【答案】D【分析】设数列%的公比为g,由己知建立方程求得q,再利用等比数列的通项公式可求得答案.【详解】解：因为数列%是等比数列，Z,是其前项之积，%=2 4,设数列。.的公比为q,所以4 产。闯 6=2。闯7 ,解 得 知/=2,所以=4，=(4 )=2=512,故选：D.7.已知正四面体A8CD的棱长为1,且 BE=2 E C,则A E-8=()【答案】c【分析】利用向量减法的三角形法则和向量的数量积的定义和正四面体的定义即可求解.【详解】因 为 潴
5、=2及，所以CE=gcB.根据向量的减法法则，得 AE=CE-CA=g CB-CA,所以 AE.CQ=（；C8-CA C=g（CB.CD）-CA-CD=-l|C B|C D|C O S-|C/|co|cos-=-x lx l x i-lx l x l3J）3 3 2 2 2=16 3,故选：C.8.若直线y=3x+机与函数”x）=xe*-31nx+5的图象相切于点A（M，%）,则（）A.3 B.In3 C.D.-In3【答案】B3【分析】由切线的斜率计算可得（X o+l）e-一 =3,再对等式变形，两边取对数，即可得答案.工 03【详解】由/（幻=加-3 1 n x+5 可得八5 =（%+1）
6、产一一.由己知可得%0,x/（%）=（%+1）*-2 =3,即（+*=.3（1 ,可得*=：,两边取自然对数可得xo Xo 玉）x0=ln3-lnx0,所以X o+lnx。=ln3.故选：B.【点睛】关键点睛：曲线在某点处的切线与过某点的切线是不一样的，要注意区别.由于点A（%）是公切点，所以也就等价于都是在某点处的切线.二、多选题9.下列说法正确的是（）A.直线x-y-2=0 与两坐标轴围成的三角形的面积是2B.若直线/过（2,1）,且/的横截距是纵截距的2 倍，则直线/的方程为x+2 y-4 =0C.直线万一丫-2=0 关于x 轴对称直线方程为x+y-2 =0D.经过点M(-2,l),且与
7、A(-l,2),8(3,0)两点距离相等的直线/的方程为x+2y=0【答案】AC【分析】根据直线的截距、直线对称、点线距离等知识确定正确答案.【详解】A选项，直线x-y-2=0的横截距为2,纵截距为-2,所 以 直 线 丫-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是gx2x2=2,A选项正确.B选项，直线y=过点(2,1),且/的横截距是纵截距的2倍，所 以B选项错误.C选项，直线x-丫-2=0关于x轴对称直线方程为x+y-2=0(横坐标相同，纵坐标相反)，C选项正确.D选项，直线y=l经过点用(-2,1),且与A(-1,2),8(3,0)两点距离相等(都为1),所以D选项错误.故选：AC1 0.(
8、多选)给出定义：若函数”X)在。上可导，即/(X)存在，且导函数尸(x)在。上也可导，则称/(X)在。上存在二阶导函数，记/”(x)=(r(x),若 广(力 0在。上恒成立，则称“X)在。上为凸 函 数.以下 四 个 函 数 在 上 不 是 凸 函 数 的 是()A./(x)=sin x-cos x B./(x)=lnx-2xC./(工)=一丁+2%一1 D.f(x)=xev【答案】AD【解析】求出每个选项中函数f(x)的二阶导函数/(x),并验证/(x)/2sinx-,当x e(。，7 时，/(x)0,故f(x)=sinx-cosx不是凸函数；对于 B,r(x)=1-2,r(x)=-0,故/
9、(x)=lnx 2x是凸函数；对于 C,/(x)=3d+2,对任意的/(x)=-6 x 0,故/(x)=xe不是凸函数.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的新定义，解本题的关键在于验证每个选项中的/(x)0,人 0)的左、右焦点分别为耳，鸟，过 F?的直线与双曲线交于A,B两点，A 在第一象限，若 A B 6 为等边三角形，则下列结论一定正确的是()A.双曲线C的离心率为 B.的面积为2 居 2C.4 片 6内切圆半径为(G-l)a D.48月鸟的内心在直线X=a 上【答案】B D【分析】按照A 8 两点在同支或两支讨论，结合余弦定理及离心率的定义可判断A；结合三角形面积公式可判断B
10、；利用等面积法可判断C；由双曲线的定义结合切线长定理可判断D.【详解】为等边三角形，若 A 8在同一支，h2 K A由对称性知 A B I x 轴，A(c ),一 2 八 ;，b?=ac.a.ta n3 0 =32c2 1 26 r-e=1H7 =H-e,e=J 3 ;a2 3c 1 廿 代 2 6 2 2 G 2 2 ,A 2=5X2CX =-C=-y-x 3 a =2 j 3 a ,设 的 内 切 圆 半 径 为 F，则;a+2 岛)=2 屈 2,解得厂=(6-1)：因为e =6,则可得。2=3 6,b2=2a2,B FA =2a,B Ft =4 a,则内切圆半径ar=2 c+2 4 a=
11、a-c,故内心的横坐标为c-(c 。)=4,内心在直线x =。上.若 AB分别在左右两支，则困A|=2 a,但A|=|百明=A B 4a,则 C OS 片 AE,=4+16a 4(_ _ _解得 c =小，离心率 e =,2x2ax4a 25AA=g x 2 a x 4 a si nl 2()=2?)cr,设6的内切圆半径为，则g r(6“+2 缶)=26?,解得设 心 的 内 心 为/,作过/作耳，丹心的垂线，垂足分别为”,G,P,则帽尸|一因邛=收可一优邳=2 a,又由“+国”=2 c,则忸尸|=c-a 所以|O P|=a,所以8石鸟的内心在直线x =上；所以结论一定正确的是B D.故选：
12、B D.三、填空题13.直线y =x-l 过抛物线(7:丫 2=2以 0)的焦点厂,且与C 交于A,B两点，贝 iJ|A B|=.【答案】8【分析】由题意，求出P =2,然后联立直线与抛物线方程，由韦达定理及|4 8|=4+/+即可求解.【详解】解：因为抛物线C：V=2 p x(p 0)的焦点坐标为尸(多o,又直线y=x-过抛物线C：r=2Px(p 0)的焦点F,所以p =2,抛物线C 的方程为V=4 x,y=x由2 ,，得f-6 x+l =0,所以4+X 8=6,y =4x所以|AB|=XA+XB+P=6+2=8.故答案为：8.14 .己知数列 4 是等差数列，若6+%+/=2,%+%+%=
13、5,则见+4+7=.【答案】8【分析】利用（6 +4+%）-+生+?）=（织+。6+%）（4+。4 +%）计算可得答案.【详解】设等差数列%的公差为d,.1（q +/+%）-（4 +生+%）=（%一 4）+（4-%）+（%-%）=64 =3.（%+4+%）-3+%+%）=（%-6）+3-）+3-）=6=3二6 +4+%=3 +4 1+%）+3 =8故答案为：8.15 .已知函数 x）=Y-f+2 的导数为尸（x）,则 f（x）的图象在点（2,/（2）处的切线的斜率为.【答案】8【分析】求出函数的导函数，令x =l 即可求出。），即可得到尸（x）,再代入计算可得.【详解】解：因 为 力=一（犬+
14、2,所以r（x）=3f 2 r（i）x,则r（i）=3 x i22_ r x i,解 得/=i,所以/（力=3/-2 光，则尸（2）=3 x 2?-2x 2=8,即 的 图 象 在 点（2 J（2）处的切线的斜率为8.故答案为：816.如图，在三棱锥 A 38 中，AB=A C =B D =C D =3,AD=B C =2,M、N 分别是 A X 8 c 的中点、贝IJA,CV=-A【答案】-7【分析】连结NO,取 ND的中点E,连结ME,则由 E AN可知异面直线A N,C M所成角就是7N E M C,利用余弦定理解三角形求得c osN E M C=）设 启 与 国 的 夹 角 为。，由图
15、可知。与Z E M CO7互补，从而得出c os 6=-c os N E M C=-（,最后利用向量的数量积运算，即可求出AVC看的结果.O【详解】解：连结N D,取 的 中 点 E,连结M E,则E A N,.”EMC 是异面直线A N,C M所成的角，A B =A C =B D =C D =3,A D=B C =2,：.A N B C,:.A N=2 近,：.ME=-=4i=EN,同理得：D N =M C =2叵,X.ENNC,EC=J E M +NC?=J（商 +/=6,八“八 E M2+M C2-E C2 2+8-3 7.CO S /E M C =-=-7=-r=,2 E M x M
16、C 2 x 0 x 2 及 8设 4V与扇的夹角为氏由图可知夕与NEMC 互补，7则 c os 0 =-c os N E M C =，8A N -C M c os 0 2V 2 x 2 2 x7故答案为：-7D四、解答题1 7.己知圆 C 的方程为：x2+y2-2mx-4y+6m-9=0（m e R）.（1）试求用的值，使圆C 的周长最小；（2）求与满足（1）中条件的圆C 相切，且过点（1,-2）的直线方程.【答案】（1），*=3：（2）x =l 或 3 x-4 y-l l=0.【分析】（1）先求圆的标准方程（X-/M）2+（）,_ 2）2=（W-3）2+4,由半径最小则周长最小;（2）由加=
17、3,则圆的方程为：（X-3）2+（，-2）2=4,直线和圆线切则圆心到直线的距离等于半径,分直线与x 轴垂直和直线与x 轴不垂直两种情况进行讨论即可得解.【详解】（1）x1+y2-2mx-4y+6 m-9 =0,配方得：（x-m）2+（y-2）2=（m-3）2+4 ,当加=3 时，圆C 的半径有最小值2,此时圆的周长最小.（2）由（1）得，机=3,圆的方程为：（x-3 +（y-2）2=4.当直线与x 轴垂直时，x =l,此时直线与圆相切，符合条件;当直线与x 轴不垂直时，设为y =Z（x-l）-2,由直线与圆相切得:fc M=2解 得 人“33 1 I所以切线方程为 二下即3-I.综上，直线方
18、程为x =l 或3 x-4y-l l=0.18.等差数列 的前项和记为S ，且4+%=8,%-。2 =4.（1）求数列 利 的通项公式an1 19 9 记 数 列 丁 的前项和为力2,若空 二,求的最小值.3”1U。S【答案】（1）由 7=2（2）100【分析】（1）由等差数列的通项公式列出方程组求解即可；（2）由裂项相消求和法得出了.，再由不等式的性质得出的最小值.【详解】（1）设等差数列 的公差为d,依题意有2 4+2 d =8,q +3 d-(4+d)=4,解得 亡所以an=2n.1 1 由 得 S =F,则厂j _ _1_n n+i所以 Y+4+；(1-MT)+L+(-=n+19 9
19、1 9 9因为而,即而解得 9%所以的最小值为皿2 219.已知双曲线C:3 亲 =l（a 0 力 0）的渐近线方程为后2），=0,且过点（2&,石）.（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线的一个焦点作斜率为1的直线/交双曲线于A 8 两点，求弦长|AB|.【答案】一-个=1;4 3（2）园=2 4.【分析】（1）根据双曲线渐近线斜率、双曲线过点Q 0,石）可 构 造 方 程 求 得 由 此 可 得 双 曲 线 方程；（2）由双曲线方程可得焦点坐标，由此可得A B 方程，与双曲线方程联立后，利用弦长公式可求得结果.【详解】（1）由双曲线方程知：渐近线斜率k=2,又渐近线方程为G x 2 y =
20、0,a a 2双曲线过点（2 立,后），=1；由石一233-b-。87得:=1二 ,.双曲线c的方程为：（2）由（1）得：双曲线的焦点坐标为卜旧,0卜若直线A B 过双曲线的左焦点卜近,0）,贝 l j AB:y =x +S;y=x+fl由 2 得：/+8缶+40=0；-14 3设A(),双 和 力),嗽:L|A/?|=/2 J(X 1 +七)2 -4 人 无 2 =应 x J288=24；由双曲线对称性可知：当A 3过双曲线右焦点时，|A=24：综上所述：AB=24.2 0.如图，在三棱锥尸-ABC 中，PA_L 平面 ABC,CBVAB,AB=BC=a,PAb.P(1)确定PC在平面ABC
21、上的投影向量，并求PCAB;(2)确定尸C在 上 的 投 影 向 量，并求P C A 8.【答案】(1)PC在平面ABC上的投影向量为AC，PC AB=a2;(2)PC在 AB上的投影向量为AB，PC AB=a2.【分析】(1)根据PA_L平面4BC可得PC在平面ABC上的投影向量，由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算PC AB=(PA+AB+BC AB的值即可求解；(2)由投影向量的定义可得PC在 AB上的投影向量，由数量积的几何意义可得尸C A 8 的值.【详解】(1)因为尸A_L平面A B C,所以PC在平面ABC上的投影向量为AC，因 为 姑 _L平面ABC,A 3 u 面A 5
22、C,可得P 4 1.A B,所以PA AB=0，因为 C 3J_A B,所以 8 c ABuO，=0+a2+0=2.|Uuni(2)由(1)知：PC AB=a2|AB|=a,所以PC在 AB上的投影向量为：PCAB ABMMMPC AB AB a2 AB 4 ni r-r=-ABAB AB a a由数量积的几何意义可得：PC AB=|AB|.|AB|=/.2 1.已知数列%的前项和是S“，且2 S,=3 a“-3,等差数列圾 中，4=2 3,=19 .求数列 4 ,d 的通项公式4 也;a,a 2 时2 S“=3 a”-3,2 s z=3%-3.两式相减，得 2a=3 an-3 q-,即 an
23、=3 41T .,是首项为3,公比为3的等比数歹U.a=y.设数列也 的公差为d,幺-4 =19 -2 3 =-4=2 d,/.d=2 =4=2 7 .bn=2 9 2 .(2)由纥 bn n 3 29 2 n 刀 2.3 l n 3.,4 0=4+”2+4+4+。5+九。=3 +3 2+4+%1 8 =3 +9 +之?二 I1.1 82 2=1 2+1 8 x6=120.22.已知 f (x)=o rJ l-1 n x(1)当4 =2时，求/(X)的单调增区间；(2)若x)20,求实数”的取值范围.【答案】(1)(；,+)；ae.【解析】(1)求出导函数/(X),在定义域内由/(x)0得增区
24、间；(2)分离参数得心 上 詈.设屋”=1詈，由导数求得g(x)最大值即可得结论.【详解】(1)当。=2 时,/(x)=2x2-1 -I n x,x G(0,-K o).山y，(x)=4 x=生出包削生1 1,X X X令 制x)0,得所以/(X)的单调增区间为(；，+8).(2)由/(x)=a r2 l-ln xN 0,则设 g(x)=U，则 g (x)=T)1 n x令g (x)=0，得=”，且当xg(),e 2 时，gx)0；当xe e 2,+a 时，g (x)0,/k 7/_(_l_ 所以g(x)在0,e 上单调递增，在e W+o o上单调递减，V 7 7所以当x=/到 时，g(x)取得最大值为:e,所以a 2e.2【点睛】方法点睛：本题考查用导数求函数的单调区间，研究不等式恒成立问题.不等式恒成立问题的解题方法通常是利用分离参数法分离参数，然后引入新函数，利用导数求得新函数的最值，则可得参数范围.