《2022-2023学年吉林省长春市高三年级上册学期第一次调研测试数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年吉林省长春市高三年级上册学期第一次调研测试数学试题含答案.pdf（28页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023届高三年级第一次调研测试数学试卷一、单选题1.若集合=划 一2 X4 ,N =x|4 W6,则（）A.M GC.M2 .设/（X）是定义在R上的周期为3的函数,f（x）=A.-1 B.1/乃 、3c o s（-a）=3.若 4 5 ,则s i n 2 a=（）2 4_J_A.2 5 B.2 53x2-x,0 x 1 52-x,x 2,贝J（2）（）DA/n N =4 D WUN =x|-2 x 6 当XG 0,2）时,1J _C.2 D,4_ 2 4 7C.2 5 D.2 54.玉雕壁画是采用传统的手工雕刻工艺,加工生产成的玉雕工艺画.某扇形玉雕壁画尺寸（单位：c m）如图所示，则该玉
2、雕壁画的扇面面积约为（）A.16 0 0 c m3 2 0 0 c m4 8 0 0 c m2c.3 3 5 0 c m2D.5.用有机溶剂萃取水溶液中的溶质是化学中进行物质分离与提纯的一种重要方法.根据能斯特分配定律，一次萃取后，溶质在有机溶剂和水中的物质的量浓度（单位：m o l/L）之比为常数K,并称K为该溶质在水和有机溶剂中的分配常数.现用一定体积的有机溶剂进行10次萃取，每次萃取后溶质在水溶液中的残留量为原物质的量的10 +K倍，溶质在水溶液中原始的物质的量浓度为LO m o l/L,该溶质在水和有机溶剂中的分配常数为2 0,则至少经过儿次萃取，溶质在水溶液中的物质的量浓度低于Lx
3、l O，m o l/L?（）（假设萃取过程中水溶液的体积不变.参考数据：In 3 1.0 99,11110 2.3 0 3.）A 9 次 B.10 次 C.11次 D.12 次6 若 9,口 （l +c o s 2 a）（l +s i n/?）=s i n 2 a c o s/7,则下列结论正确的是（）a+0=三 a+=A.2 B.2 22 a-/?=a-3C.2 D.27,设函数/（）的定义域为R,且/（x +2）是奇函数，/（2 x +l）是偶函数，则一 定 有（）A A。B 止A。C 八3）=0 口 5）=08 .已知函数小）=噫（9+9）-x,设”儡，b-f 1-e 6 c=/i n|
4、I A I 1人 则a,b,c的大小关系为（）abc B c ba Q bac ca ，2*1”的否定为“3 x 4 0，2“1”5 =B，是，s i n a =s i n ，成立的充分不必要条件D.若塞函数 x）=x（aeR）经过点（8）,则a =-31 0.（多选）已知a b abB.In (1-f l)l n (1-/?)C.2a+hD.o+cosbb+cosa a 7 r11.已知4s i n 2a，5c o s(+/7)=10 ，则()V i oc o s a =-A.10s i n a-c o s a =B.5解 1若关于x的方程/（*）=”恰有三个不同实数5 -i则关于”的方程*
5、+宙+6X2+5）（x 3 -1）6 的正整数解取值可能是（）A.1 B.2 C.3 D,4三、填空题s i n。13 .已知 ta n 6 =2,则 2 c o s 6-3 s i n。=/（x-1|=2 x +3J （2）=814 .已 知【2 J,则机=15 .若直线/）=履+是曲线N =e 的切线，切点为（再，乂），也是曲线=（x +l）2的切线，切点为N G，%）,则 2占 一%=16 .若函数/G）=2 x n x 一在（一 万，）上存在唯一的零点不，函数g（x）=x 2+c o s x-a x +a在（-乃,万）上存在唯一的零点包且 再 小，则实数a的取值范围为四、解答题f(x)
6、=2s i n x c o s(x-)-17.已知函数.4 2(1)化函数为/(x)=/s i n(s +)+6的形式;心+2且2 8 5a e (0,)设 2),t a n(a +)求 4 .邑，18.已知公差”不为0 的等差数列%的前N项和为S”，=6,S 9 3(1)求数列%的通项公式；(2)若数列=2”,c =a+，求数列 g 的前项和北.19 .已知函数/(x)=x-ln x 一队-一c 在=1处取得极值3-c,其中“、b、c为常数.(1)试确定。、台的值；(2)若存在x 。，不等式有解，求。的取值范围.20.甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜
7、2 1的概率为5,乙胜的概率为.比赛采用“三局两胜 制，先胜二局者获胜.商定每局比赛(决胜局第三局除外)胜者得3 分，败者得1 分；决胜局胜者得2 分，败者得0 分.已知各局比赛相互独立.(1)求比赛结束，甲得6 分的概率；(2)设比赛结束，乙得X 分，求随机变量X 的概率分布列与数学期望.(2：=+白=1(4 6 0)坐21.已知椭圆 或 b-的离心率为2,且 c的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为8 百.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线/：“一叩一1 二 与x轴 交 于 点 与 椭 圆 C交于产，。两点，过点尸与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为N,求丛M N Q面积的最大
8、值.f(x)=(a-l)ln x +x +22.已知 x(1)若 讨 论 函 数/(X)的单调性；g(x)=/(x)+ln x-x(0 x x )x有两个不同的零点多，人 若g/2x,+AxA 0I 2+4 )恒成立，求之的范围.2023届高三年级第一次调研测试数学试卷一、单选题1.若集合加=3 2 XS 4 ,N =x 4 x 6 t 则()A.M j N B.”nN=4 M n ND M U N=X|-2X 6 LJ.LZ.【答案】B【解析】【分析】利用集合的交并运算求cN、M u N ,注意“，N是否存在包含关系，即可得答案.详解因为M=X_ 2 XW 4,7 V =X|4 X 6)所以
9、nN =4,U N =x1-2 x6,”,N相互没有包含关系故选：B2 .设/(X)是定义在H上的周期为3的函数，当x e 0，2)时，/W=3 x2-x,0 x 12-x,l x 2则/（一）A.-1 B.1【答 案】D【解 析】1C.21D.4【分 析】根据题意，化 简得到/（-1）=/（-：+3）=/（；）,代入即可求解.【详 解】因 为,（“）是 定 义 在 R上 的 周 期 为 3的函数，当 xe ，2）时,x）=3 x2-x,0 x 12-x,l x c os +s in =U J 5 V2V 7 5 5n 1 +s in 2 a =n s in 2 a =2 572 5故选：B.
10、4 .玉雕壁画是采用传统的手工雕刻工艺，加工生产成的玉雕工艺画.某扇形玉雕壁画尺寸（单 位：c m）如图所示，则 该 玉 雕 壁 画 的 扇 面 面 积 约 为（）IN)A.1 60 0 cm，B.3 2 0 0 cm2C.3 3 5 0 cm2D.4 80 0 cm2【答案】D【解析】【分析】根据弧长公式由条件求出扇形的圆心角和半径，再由面积公式求出扇面面积.详解如图，设4O8 =a,O B=r em,a =2,解 得 卜=物ar-80,由题图及弧长公式可得1 6+4 0）=1 60,设扇形C O。、扇形/O8 的面积分别为5,则该玉雕壁画的扇面面积S=E -$2 =g x l 6 0 x（
11、4 0 +4 0）-；x 8 0 x 4 0=4 80 0 8 n?）故选：D.5.用有机溶剂萃取水溶液中的溶质是化学中进行物质分离与提纯的一种重要方法.根据能斯特分配定律，一次萃取后，溶质在有机溶剂和水中的物质的量浓度（单位：mo l/L）之比为常数K,并称K为该溶质在水和有机溶剂中的分配常数.现用一定体积的有机溶剂进行1 0次 萃取，每次萃取后溶质在水溶液中的残留量为原物质的量的1 0 +K 倍，溶质在水溶液中原始的物质的量浓度为L mo l/L,该溶质在水和有机溶剂中的分配常数为2 ,则至少经过几次萃取，溶质在水溶液中的物质的量浓度低于IQxlO s m o l/L?（）（假设萃取过程中
12、水溶液的体积不变.参考数据：In 3 g1.0 99,In 1 0 4 2.3 0 3.)A.9 次 B.1 0 次C.1 1次D.1 2 次【答案】C【解析】【分析】审题确定常数，分配常数K=2 0,根据每次萃取后溶质在水溶液中的残留量为原1 0物质的量的1 0 +K倍，建立函数模型与不等关系，利用参考数据求解即可.1 0 _ 1【详解】由题意知，K=2 0,则1 0 +K 3 ,设经过”次萃取，溶质在水溶液中的物质的量浓度低于IQxlO-mo l/L ,(-)lo g,1 0-5则3 ，解得 i,i n.5 In lO-5 5 ln l0 5 x2.3 0 3lo g,1 0 =-=-1
13、0.4 8I l nl In 3 1.0 99由换底公式得 3则至少经过1 1次萃取，溶质在水溶液中的物质的量浓度低于L O xlO mo l/L.故选：C.【点睛】解决实际应用问题的一般步骤：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型：(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.)且(1 +c o s 2 a x i +s i n /?)=s i n la c o s 0则下列结论正确的是(c 兀A.2B.2 22a-/3 =-C
14、.2D.a一 心【答案】C【解析】a e 0,-【分析】由I 2及二倍角的余弦公式可得cosa（l+sin B）=sin a cos,，根据两角差的正弦公式可得csa=sm（a-p）,由诱导公式及a 尸的范围，结合正弦函数的单调性即可求解.a,yffefo-l【详解】解：；I 2人.cosaHO.由(l+cos2a)(l+sin 尸)=sin 2a cos/可得 2cos?a(l+sin 尸)=2sin a cos a cos/即 cos a(l+sin(3)=sin a cos p.cos a=sin a cos 3-cos a sin/=sin(a一 夕)sin(6/-/?)=sin7 1
15、 a2 I 2人.2 2,且 2 2._.a-p -a 2 a-p=-由于函数y_sm x在 k 2 2J上单调递增，.2,即 2.故选:C.7.设函数/（X）的定义域为R,且/（x+2）是奇函数，/（2x+D是偶函数，则一定有（）A.，”。BJ（T）=。ci。D.5）=0【答案】A【解析】【分析】推导出函数/（X）的图象关于直线x=l对称，也关于点（2，）对称，进一步可推导出函数/（“）为周期函数，确定该函数的周期，逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为函数，（2x+l）为偶函数，则/（J 2X）=/（1 +2X）,令，=2 x,则/（1T）=/（1 +。，即f（I）=/（l+x）,则/（x
16、）=/（2-X）,因为函数/（x +2）为奇函数，则/（2 -x）=-/（2 +x）,所以，函数/（“）的图象关于直线*=1对称，也关于点（2，）对称，贝MW,可得/G A。，所以，/（x）=-/（2 +x）=/（x +4）,故函数/（x）为周期函数，且周期为4,对于 A 选项，/（4）=/（0）=/（2）=0,人对；对于 B CD 选项，/（一1）=/（3）=-/0）,/（5）=/（1）,但/（1）的值无法确定，BCD均错.故选：A.8.已知函数/（”）=喧（9 +9）-设b=f 1-历 c =/l nl l I A l 1 人 则a,b,c的大小关系为（a bc g c h a Q bac
17、【答案】D【解析】)D.ca x2 0,-y2=3$一3*+3力 3-=(3一3七则3、尸2 -1yi+x2（3 为-3,2因 为 西 _%0,否+/0,3+21,所以、3*+*2 一 1、3演+*2 0所以为 外,所以3+3一 在（0,+）是增函数，又 尸 地3为增函数，所以尸0）=她（3、3”1在（。,+0上为增函数,a=f 2 _|=_|=/7|b=f 一 屋 记 二/一 屋 而=F e 记所以 H i o J I 1 0；1 1 吐 I J I J Ic =/InHe1 0=F|In I 1 0由g(x)=e=x-l,得g，(x)=e -l,当x 0时g (x)；当 x 0 时 g G
18、)x +l(),9 1e 1 0-+!=故 io 1 0,1 l-x(x)=l n x-x 4-1 (x 0)/(x)=*T =(x。)当X 1 时，(x)。，所以当且仅当x=l时取等号，/.l n x x-1(x1)，.1 1 1 1 1/.In c综上6 a c.故选：D【点睛】本题考查了比较大小的问题，比较大小的方法有:(1)根据单调性比较大小；(2)作差法比较大小；(3)作商法比较大小；(4)中间量法比较大小.二、多选题9.下列命题是真命题的有()Ig2-l gi+3 1 g5 =3A.4B.命题 V”，2、1 ”的否定为“3-0,2、0，2 1，的否定为“3%，2*1，,故B错误;对
19、 C：a=s in a=s in/7 ,但是s in a=s in /a=4，例如：.7i.1 乃 5%s in =s in =w n.o6 6 2,但6 6 ,所以“a=月，是，s in a=s m/7,成立的充分不必要条件，故C正确；邛=2对D：因为黑函数/(x)=x(ae E)经过点1 8 ),所以,即2*=2,所以a=-33故D错误.故选：AC.1 0.(多 选)已 知a b ab B.In(1 -a)ln(1-6)2c.a+b-yjabD.a+cosbb+cosa【答案】ABC【解析】【分析】利用不等式的性质判断A,利用对数函数的单调性判断B,利用基本不等式判断C,利用构造函数判断D
20、.【详解】A:：a 点.,.A正确,B:Va6 l-b,Ain(1-a)ln(1-Z),；.B 正确,C，4ab-r-7=C:：ab0,：.2,a+b 7ab,;.c 正确，D:设/(x)=x-COS.V,则/(x)=l+sinxK),./(x)在 R 上为增函数，ab0,C.a-cosaVb-cosb,a+cosbb+cosaf/.D 错误.故选：ABC.a7t 7rB sin2dr=cos(a+Z7)=-11.已知 4,2,5,1 0,则()V i o亚cos a=-sin a-cos a=A.10 B.5a 3n Q 亚p-a =cos acosp=-C.4 D.5【答案】BC【解析】【
21、分析】,c 4sin 2a-先根据 5,判断角a的范围，再根据cos2a求c o sa；根据平方关系，判断sina cosa的值；利用公式cos(_c)=cos(a+/)_ 2 a 求值,并根据角的范围判断角仅一。的值；利用公式cs伊+。)和cos(夕-a),联合求cos a cos夕 a7r 2a0 2a7v a cos a=解出 5 5 5,故/错误;(sin-cosa)-=l-sin 2a-5，717T由知：4 a cos asm a-cosa=所以 5,故8正确;717C由知：4 P a+/31712,所 以4W a V 7r2,而cos(a+尸)=0又io57,门，3冗 a+夕 W
22、，所 以4 2sin(a+)=-解得 1 07 e4&cos(夕 一 a)=cos(a+4)-2a=-x所以1 0+10 JX =-5 25乃,c/3乃 Jr,乃 a+/3 -7i -2 a 又 因 为4 2,2 3-a n p-a =所 以4，有 4,故。正确;6五cos(a+/?)=-n cos a cos 夕一 sin a sin/?=-由 10 10由知,c o s(/?-a)=c o s a c o s +s in a s in =-2 ,c o s ac o s正-逑两式联立得：1 0,故。错误.故选：B C【点睛】关键点点睛：本题的关键是三角函数恒等变形的灵活应用，尤其是确定角的
23、范围,s in 2 a=根据三角函数值 5 2a/r c o s(a+4)=-l,若关于x的方程/（）=恰有三个不同实数5 -1解X X 2 时，y =l nx+l,所以由图象可知：e 3)时关于x的方程/。)=恰 有三个不同实数解,歹再+工2 =2 x(3 )=6,x；+6+5 =-I n 玉 25 -i所以*(%；+6/+5 (X3-l)=(l nx3+2)(X3-1)又因为m e(l，3),所以1n忍+1 6(1,3),所以七(1通),设g(x)=(l nx+2)(x-1)。14)所以g)=l nx-(+3 ,显然，()在(/)上 单 调 递 增,所 以g (*)/(1)=2 0,所以g
24、3在()上单调递增，所以g(x)e(g 0)，g(e 2),即g(x)0,4 e 2 4),所以 5 A(。4-4),所以可取L 2,3故选：A B C.三、填空题si ng1 3.已知 ta n6=2,则 2 c o s6-3 si ne 二【答案】2#.0.5【解析】【分析】分子分母同除以cos。，弦化切，即可.sing【详解】把式子2cos6 3sin6的分子分母同除以cos。,sin。sin 二 cos 二 tan。2cos8-3sin。2 cos 8 3 sin 8 2-3 tancos 0 cos 0已 知tan=2,所以sin 6 _ tan _ 2 _ 12cos8-3sin6
25、 2-3 tan 2-3 x 2 2；x-1)=2x+3,/(?)=8,则7 =故答案为：2.f14.已知2【答案】4#0.25【解析】_i_x_1=/【分析】利用换元法，令万 一,求出函数解析式，再由/（“）=8可求出加的值v/|-x-l|=2x+3,/（m）=8【详解】H ,_1 X 一 ,一二设 2,解得 x=2t+2,/（。=今 +7加+7=81m=解得 4.故答案为：4.1 5 .若直线/：片6+6是 曲 线 的 切 线，切点为四（孙 乂），也是曲线y =（x+l）2的切线，切点为八（工2，%），则2须一/=.【答案】1【解析】【分析】根据导数的几何意义，求得各个切线的斜率，求得直线
26、方程，利用对应相等即可得解.【详解】由直线/沙=去+6是曲线y =e 的切线，切点为&,以），则直线/的方程是歹一d=e”（x x j,即；=。%+炉（1 _玉）.由直线/号=去+6是曲线y =（x+l 的切线，切点为N （“2，为），直线/的方程为歹-（2 +1 ）2 =2&+1 （X -），即歹=2（*2+1）_4+1eV|=2（X2+1）,所以卜,（1 7）=W +1,所以2&+1）。一再）=-x；+1,因为炉=2仁+1）0,所以2（1-）=1-2,2西-2 =1故答案为：11 6.若函数/G）=2 x 而 在（-肛 乃上存在唯一的零点多,函数g（x）X +C 0 SX 4 X +4在（
27、-万，乃）上存在唯_的零点包 旦 玉 丫2,则实数a的取值范围为.【答案】（-2肛【解析】【分析】根据 十 户 可求得/（“）单调递增，得到/（-）/（/）=0 /（乃），可解g（f ）w o得-2“2万；由g G）=/（x）可知且 单调性，结合为 2可确定伍（万）,由此解得。VI 一万；取交集即可得到。的范围.【详解】./。）=2一：0 50恒成立，/（X）单调递增，又/（x）在（一万上存在唯一的零点X，:/（一 万）/（否）=/（乃），即一2）一。0 2乃一。，解得：-2万Q2乃；g （x）=2 x _ si nx_a =/（x）,乂/（X 1）=0.当x j时，g （x）；当x e（x/
28、）时，g （x）0：（、）在（一肛再）上单调递减，在（X/）上单调递增，2 -1 +。0又g（%2）=0 X,x2；.g（一 乃）0 g（l）0 即 乃2 _q万+q0解得：a-7 r.综上所述：实数。的取值范围为（-2肛1一 万.故答案为：（一2匹1一句.【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数零点求解参数范围的问题，解题关键是能够结合零点求得/（“）g（X）单调性，从而确定/（x g（X）在区间端点处的符号，由此构造不等式组求得参数范围.四、解答题f（x）=2 s i n x co s（x-）-1 7.已知函数.4 2 .（1）化函数为/（幻=心 皿 如:+8）+6的形式；二（0,不）/弓+?
29、）=!t a n（a +）（2）设 2 ,且 2 8 5 ,求 4 .-71/（x）=s i n（2 x-）【答案】（1）4 ；（2）7.【解析】【分析】f(x)=V 2(s i n xco s x +s i n2 x)-(1)先利用两角差的余弦公式，化简整理得到 2 ,再利用二倍角公式和辅助角法求解.(2)由,万+-1)-5根 据(i)的结果，取得s i n e,co s e,再利用两角和的正切公式求解./(x)=2 s i n x(co s x co s +s i n x s i n )-【详解】4 4 2=V 2(s i n x co s x +s i n2 x)-2 9S k in2x
30、+1 )-2 2 2vl2vl2sin(V22TT/(%)=sin(2x-).4偌+e=疝 呜+T=s i n”|/八万、4 3a G(0,)cosa=tana=一由 2可知，5,47T 3 1t a n a +t a n +1t a n(a +马=-=74 .re.31-t a n t a n 1 4 4【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.1 8.已知公差d不为。的等差数列%的前项和为S，%=6,$9 3(1)求数列 J的通项公式;(2)若数列=c=an+b”,求数列 的前项和北.【答案】(1)玛=2【解析】【分析】（1）由 品=3 8 5,应用等差
31、数列前项和、等差中项公式得知=1,结合己知求基本量，进而写出%的通项公式；（2）由（1）得%=2 +4”,应用分组求和，结合等差等比前项和公式求【小 问1详解】9（。+%）_ 彳 5（一 +%）由题设S9=3 SS,贝|j 2 2 即 也=5%=3 0,所以%=1 ,而%=6,易得d=2,则6=2,故=%+（-1）1 =2【小问2详解】由 知J=22=4，则c“=2 +4,7,=2（1+2 +“）+（4 +42+.+4,）=2 x 1 +W4-4=/72+/?+-所以2 1-4 3 3.1 9.已知函数/（x）=x n x 历一c在x =l处取得极值3-c,其中。、b、c为常数.（1）试确定。
32、、人的值；（2）若存在x 0,不等式有解，求。的取值范围.答案（I）a=-6t b=-3.3-c l（2）2【解析】f r（i）=o【分析】（I）分析可得，）二3一,即可求得。、b的值，再利用导数分析函数/G）的单调性，结合极值的定义验证即可.；（2）利用导数求出函数/G）的最大值，根据题意可得出2,4/（x）m a x,即可解得实数C的取值范围.【小 问1详解】解：函数/（“）的定义域为（1）,且/）=2axlnx+a x-2笈J（l）=a-26=0,=6由题意可得1/）=lb-c =3-c,解得jb=-3,此时，/（x）=-6xnx+3 x 2 _ c,则/（x）=12xlnx,当0 x
33、0,此时函数/（X）单调递增，当1时，八*,此 时 函 数,a）单调递减，此时，函数/（X）在 工=1处取得极大值，合乎题意，综上所述，a=-6,b=-3.【小问2详解】解：由（1）可知，函数/（X）在=1处取得极大值，亦为最大值，即 X）m a x=/O）=3-C,因为存在x 0,不等式/（x）N2c2有解，则2c2 K/O x =3-c,即2c?+c-340,3,cl解 得220.甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜2 1的概率为3,乙胜的概率为3.比赛采用“三局两胜”制，先胜二局者获胜.商定每局比赛（决胜局第三局除外）胜者得3分，败者得1分：决胜局胜
34、者得2分，败者得0分.已知各局比赛相互独立.（1）求比赛结束，甲得6分的概率；（2）设比赛结束，乙得X分，求随机变量X的概率分布列与数学期望.20【答案】（I）279 8（2）分布列见解析，2 7【解析】【分析】（1）”比赛结束，甲得6分”等价于“乙以：2败给甲或乙以1：2败给甲。由此即可求出其概率；（2）由题意知：打2局，乙输牙=2；打3局，乙输X =4,打2或3局，乙 赢 工=6,分别求出其概率，则可写出分布列，计算出数学期望.【小 问1详解】记事件A：“比赛结束，甲得6分”，则事件A即为乙以：2败给甲或乙以1:2败给甲,八/2丫 z 1 2 2 4 8 2 0P(A)=+C；x-x x
35、=-I-=所以-3 3 3 9 2 7 2 7【小问2详解】由题意得，X可取2,4,6,(2丫尸 =2)=%则 I49PX=4)=C；82 7P(X=6)=C；X X X 3 3 31 2 2即X的分布列为X246P(X)4982 772 7(Ar)=2 x-+4 x +6 x =X的数学期望为 9 2 7 2 7 2 7 .C：=+；=l（ab0）2 1.已知椭圆 b-的离心率为2 ,且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为8省.（1）求椭圆C的方程;（2）若直线，：x 叼-1 =与x轴 交 于 点 与椭圆C交于产，。两点，过点P与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为N,求面积的
36、最大值.【答案】（1）1 6 41 5（2）4【解析】2,e =-4 x he 8 /3 2 1 2【分析】（1）利用&=+c、。与 2 ,求 得 代 入 椭 圆 方 程 即可.1 5（2）联立直线/与椭圆C的方程得到/+4,再利用切割法得到_ _ s、=而，|=1 5|加|S板 绐=S PQN-S PMN,化 简 得 到，MNQ 1-1 2/+4,进而利用基本不等式求得 N O面积的最大值.【小 问1详解】C 百 c2 a2-b2 3e _ _ -.设椭圆C的焦距为2 c,贝I a 2,即/a2 4,所以 a-，即a =2 6,又C的左，右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为8百,4 x
37、 1 =8 7 3所以2即 b e =4G综上解得“2 =1 6/2=4,江+仁=1所以椭圆C的方程为1 6 4【小问2详解】易得”(1,0),设尸(再，凹),(%2，%),则),联立直线/与椭圆C的方程x=my+ix2 y2正+彳 （病+4）液+2叩一 1 5 =02m 1 5则必+为=一寸心一力_ S也,丫=:乂|2乂冈 一 X|,S PMN=JX|2K|X|1 X|又 2 2易知马一再与1一西同号,所以S 血 逐；=SP Q N S P M N=Iy I *。、2 -西卜|1 -X 1|）=1 M l *|（工2 -再）-（1 -再）|1 5|加 I 1 5 1 5 1 5_ _ _ _
38、 _ _ _ _ -_=|x|x2-1|=|y,|x my21=my iy2 m m,4|m|=-当且仅当 加L即加=2时等号成立，1 5所以 M N 0面积的最大值为4.f(x)=(a-l)l n x +x +2 2.已知 x(1)若,讨论函数/(X)的单调性；g(x)=/(x)+l n x-3 x f 0 x x )X有两个不同的零点占，、2。0I 2 +久)恒成立，求X的范围.【答案】(1)单调性见解析 (-8,-2 U 2,+OO)【解析】r(x)=【分析】(1)fc4 01求导可得 X-，再根据一a与0的关系分类讨论即可;z A=%e（O,l）由题+设 根 据 零 点 关 系 可 得
39、In/,再代入2玉 +AX2g2+A(2+4)(l z)(2+/)(1 7)-+ln/0 h(t)=-+ln/化简可得 2/+%恒成立，设2t+A再求导分析单调性与最值即可【小 问1详解】/G)定义域为(+8)/y)=(”+1一2=生(二 一 =3叫1)X X X Xi)0一。1 即-1。0时,fr(x)-a x 00 x!ii)-a=l即a=T时，(.田),/(力。恒成立iii)一。1即。一1,fr(x)1 x 0=0工 1 或X _Q综上：-1 0时，一4，1）,/（x）单调递减：（O，-a）。,+）/（x）单调递增。=-1时，*（，+8）,/（X）单调递增时,x e（l,-a）,/单 调
40、 递 减;（）、（一。，+）,/（）单调递增【小问2详解】a In X j+%,=0g（x）=alnx+x,由题 alnxz+z=0,0 x,x2则 a(in X)-In x2)=x2-X)=（0,1）设 与 X X2 X|In X -In x2 In tg )=(+lg,(2x,+AX2 y=q 2+/+=G-X.2+.2+2)2x+AX2 In t 2x+Ax2=+T)+lO(2z+2)lnz 恒成立fe(O,l).In f 0(2+狈 一)+3。27+X 恒成立设 2f+4,./(/)0 卜 一 卡 一 V 7 恒成乂()(2+刈=(2/+4-(2+4，(1)|/丁t(2r+2)2 f +2)2 z(2r+/l)2i）力 必 时，+0.（）在（）上单调递增.）h(t)00,.（/）在I 4 J上单调递增、7时,“(。0.()在l 4 J上单调递减(A2t -1.,v 7 v 7,不 满 足v 7 恒成立综上：X e(-o o,-2 U 2,+8)【点睛】本题主要考查了分类讨论分析函数单调性的问题，同时也考查了双零点与恒成立f =e (0,1)问题的综合，需要根据题意消去参数。，令 马,再化简所求式关于.的解析式,再构造函数分析最值.属于难题