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1、2023北京海淀高三（上）期末数 学2023.01一、选择题共10小题，每小题4 分，共 40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合A =止2 0）,则（）A -2,3 B.0,3C.(0,+e)D.-2,4-00)2.在复平面内，复数 一对应的点位于（）2-ZA第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.已知函数/（力=4一1-1,在下列区间中，包 含 零 点 的 区 间 是（）3 B.加C.(1,2)D.(2,3)兀 14.已知。=坨5/=5指,。=2 3,贝ij()A.abcB.hacC.b c aD.ac 2 2x 2”+/=0截直线x-2y +l
2、=0所得弦长为2,则。=()A.-1 B.0C.1 D.26.已知 4 为等差数列,q=3,%+4=-1 6若 数 列 也 满足a=%+4用（=1,2,）,记 也 的前项和为S“，则Sg=（）A.-32 B.-80 C.-19 2 D.-2247.某校高一年级计划举办足球比赛，采用抽签的方式把全年级6个班分为甲、乙两组，每组3个班，则高一（1）班、高 一（2）班恰好都在甲组的概率是（）1 1 1 1A.-B.-C.-D.一3 4 5 68.设夕是两个不同的平面，直线zu a,则“对 内的任意直线/,都有加，/”是的（）A充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必
3、要条件第1页/共19页9 .已知函数/（X）=c o s 2x 在 区 间 Z,Z +|（北 叱 上 的 最 大 值 为 ”），则M 的 最 小 值 为（）T B-4 c 3 d-410.在实际生活中，常常要用到如图1所示的“直角弯管它的制作方法如下：如图2,用一个与圆柱底面所成角为4 5 的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得至U“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段（如图3）的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象（如图4）.记该正弦型函数的最小正周期为T,截口椭圆的离心率为e.
4、若圆柱的底面直径为2,则（）二、填空题共5 小题，每小题5 分，共 25分.11.抛物线y 2=2x 的 焦 点 坐 标 为.12.在 的 展 开 式 中，/的系数为_ _ _ _ _ _ _ _ _.I X）13.如图，在正三棱柱A B C A4 G中，尸 是 棱 上 一 点，A B =AA=2,则三棱锥PA C 0的体1 4 .设。为原点，双曲线C：%2 2 1 =1 的右焦点为尸，点/在。的右支上.则。的渐近线方程是3第2 页 供 1 9 页O P O F；10Pl的取值范围是.1 5.已知函数”x)=x 2-2 x +2/,g(x)=e T.给出下列四个结论：当f =0 时，函数y =
5、f(x)g(x)有最小值;于 eR,使得函数y =/(；v)g(x)在区间 1,+8)上单调递增；于 e R ,使得函数y =/(%)+g(x)没有最小值；于 e R ,使得方程/(x)+g (x)=0有两个根且两根之和小于2 .其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.三、解答题共6小题，共8 5分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.1 6.已知函数 x)=s i n x +*)(0 O,陷用五点法画/(尤)在 区 间 一上的图象时，取点列表如下:X兀 1 27165 7 1722兀T1 1 7 1Y2“X)010-10(1)直接写出/(%)的解析式及其单调递增区间；(2)在 A
6、 B C 中，f(B)=,a+c=6,求 A B C 的面积.1 7.如图，在四棱锥PA B C。中，P Q _ L 平面A B C D,A D DC,A B /DC,A B =-DC,P D =A D ,M 为棱 PC 的中点.2(1)证明：B M/平面P A O ；(2)再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求二面角尸-的余弦值.条件：PB=6 条件：B D L B C.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.1 8.H地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图(如图1),考虑到受市场影响,第3 页/共1 9 页预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1 （
7、该预测价格与亩产量互不影响）.表 1明年冬小麦统一收购价格（单位：元/k g）2.43概率0.40.6假设图1 中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率.（1）试估计H地区明年每亩冬小麦统一收购总价为1 50 0 元的概率；（2）设地区明年每亩冬小麦统一收购总价为X 元，求 X 的分布列和数学期望；（3），地区农科所研究发现，若每亩多投入1 2 5元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增加5 0 k g .从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由.1 9.已知函数 x)=xl n(x+l).（1）判断0 是否为/（x）的极小值点，
8、并说明理由;(2)证明：Z i -_ L x +i.x2 2X2 0.已知椭圆E：a2yb2=1 过点（-2,1）和 0（2 正,0）.（1）求椭圆E的方程;（2）过点G（0,2）作直线/交椭圆E于 不 同 的 两 点 直 线 P4交 轴 于 点 直 线 P B 交丫轴于点N.若|G Af G N|=2,求直线/的方程.2 1.对于一个有穷正整数数列。，设其各项为q,4，各项和为S（Q）,集合（）1 ai aj,i j n 中元素的个数为 T（。）.（1）写出所有满足S（Q）=4,T（Q）=1 数列Q：（2）对所有满足丁（。）=6的数列Q,求 5（。）的最小值；对所有满足5（0）=2 0 2
9、3 的数列。，求 T（Q）的最大值.第4 页/共1 9 页参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1 .【答案】D【解析】【分析】利用并集的定义可求得集合A u【详解】因为集合人=卜卜2 0 ,因此，Au/?=-2,+o o）.故选：D.2 .【答案】A【解析】【分析】根据复数除法运算化简复数，从而根据对应点的坐标得到结果.1 2+i 2 +z 2 1 .【详 解 =（2-；）（2 +Z）=-F=5 +5Z对应的点坐标为：对应的点位于第一象限本题正确选项：A【点睛】本题考查复数对应的复平面的点的问题，关键是能够通过复数的除法运算化简
10、复数，属于基础题.3 .【答案】D【解析】【分析】先判断出函数在定义域上连续且单调递增，计算出端点值，利用零点存在性定理得到答案.【详解】/（力=4-：一1定义域为（0,+力），在定义域上连续且单调递增，其中=也_ 2 _ i o,/（i）=Vi-i-i o,v 2 J 2y（2）=V 2-1-l 0,3）=6由零点存在性定理可得：包含了（X）零点的区间为（2,3）.故选：D4 .【答案】B【解析】【分析】根据指数函数的单调性、正弦函数的单调性、对数函数的单调性进行求解即可/【详解】因为I g J历 l g 5 l g l 0,所 以;。1,第5页 供1 9页IT T T因为sin l，因此6
11、“c,故选：B5.【答案】C【解析】【分析】分析可知直线x-2y+l=0过圆心，由此可求得实数。的值.【详解】圆的标准方程为（x-l+（y a）2=l,圆心为C（l,a）,圆的半径为r=l,因为若圆尤2 +产 一2%一2砂+/=0截直线x 2y+l=0所得弦长为2,所以，直线x 2y+l=0过圆心。，则1 2。+1 =0,解得a=l.故选：C.6.【答案】B【解析】【分析】求出等差数列 4 的通项公式，可求得数列出 的通项公式，推导出数列也 为等差数列，再利用等差数列的求和公式可求出58的值.【详解】设等差数列 4 的公差为d,则4+4=2%=-1，所以，%=-5,:.d-=-2,an=q J
12、=3-2（-1）=-2 +5,所以，bn-an+a“+=-2 +5-2（+1）+5=4n+8,则+1-2=-4（+1）+8-（4 +8）=4,所 以,数 列 也 为等差数列,因 止 匕，Sg=4x（4 24）=80.故选：B7.【答案】C【解析】【分析】利用组合数的概念结合古典概型即可求解.【详解】由题意得，把全年级6个班分为甲、乙两组共有C：C；=20种方法，高 一（1）班、高 一（2）班恰好都在甲组共有C；C；=4种方法，CC3 1所以高一（1）班、高 一（2）班恰好都在甲组的概率是志|=三，C 6 c 3 3故选:C8.【答案】A第6页/共19页【解析】【分析】利用线面垂直的定义、面面垂
13、直的判定定理结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】因为。、/是两个不同的平面，直线加u a,若对 内的任意直线/,都有加_ L/,根据线面垂直的定义可知加m u a,:.a 1/3,所以，”对月内的任意直线/,都有小，/=；若a _ L/7,因为mua,对 内的任意直线/,?与/的位置关系不确定，所以，”对 内 任意直线/，都有加，/”9.因此，“对月内的任意直线/,都 有 加”是“。”的充分而不必要条件.故选：A.9.【答案】D【解析】jr【分析】根 据/(力 在%=，取最大值，可 判 断t,t+(f e R)要么在/(x)的单调减区间上，要么满足左端点到对称轴5+E不小于右端
14、点，即可得+七r,进 而 可 求 的 最 小 值.兀【详解】/(x)=c o s 2 x的周期为兀，/(x)=c o s 2 x的单调递增区间为kit,-+k n，壮Z,单调递减区间7 C .为 一+E,兀 +E,keZ_ 2 _兀 7 1当X =z取最大值，故 可 知t,t+z 一+E,7 t +E,_ 3 j _2 _当/+W +E 时，即 +Z e Z,7(x)在 f j +(f w R)单调递减，显然满足3 2 6 3最大值为M(。，当+g时，要使M)是最大值，则需满足(7 1 A 7 1 (T l A 兀一+E +既=攵兀(，一 十 依，keZ2)3 2)3综上可知当E，!+时，/(
15、外 在 =1取最大值加(。，M)=2 c o s 2 f在E4/4三+心1,%2单调递减，故当f =g +E时，M(。取最小值，且最小值为2第7页/共1 9页故选：D10.【答案】B【解析】【分析】由条件求出椭圆的长半轴长。和短半轴长，由此可求。力，再求离心率e,再求圆柱侧面展开图的底边边长，由此可得正弦型函数的周期.【详解】设截口椭圆的长半轴长为明短 半 轴 长 为 半 焦 距 长 为。，因为圆柱的底面直径为2,所以2b=CO=2,故匕=1,因为椭圆截面与底面的夹角为4 5，所以ZAOB=4 5，所以2)=05=OAcos45=2acos4 5，所以a=所以c=jM一/=?所以c 1 V2e
16、=-7=，a V2 2观察图4知，正弦型函数的最小正周期T为圆柱的侧面展开图的底边边长，即圆柱的底面圆的周长，所以二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】40).【解析】【详解】试题分析：焦点在x轴的正半轴上，且p=l,利 用 焦 点 为(萱0),写出焦点坐标.解：抛物线y2=2x的焦点在x轴的正半轴上，且 打1,.=.，故焦点坐标为(4，0)，故答案为6，0).考点：抛物线的简单性质.12.【答案】-8【解析】【分析】利用二项式定理得到j x-2 的展开通项，从而求得/的系数.I X)详解因 为 的 展 开 通 项 为K+LC/Y JZ)=(2)*C*4-23第8页/共19页
17、令4-2k=2,得k=l,此时(=(2)C；f =2 x 4/=8 f,所以炉的系数为-8.故 答 案：8.13.【答案】空3【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理确定三棱锥的高，再用椎体体积公式求解即可.取AC中点为。，连接。8,因为为正三角形，所以02_LAC,又因为A、_L平面ABC,O B u平面ABC,所 以 的_L08,且 AA cA C=A,AA，A C u平面 ACGA,所以。8,平面A CG 4，O B=J U=G,即B到平面ACG A的距离为08=V3，又因为5 4/4 41,3四仁平面4。|4,441 u平面ACG4，所以BB/平面ACCd,又因为P是棱BB1上 一 点,
18、所以P到平面ACC,A,的距离为0 B =6所以 ACC=x S ACC x O B -2也,r-/tvC 3,3故答案为：2叵.314.【答案】.y=JL;.。,2【解析】【分析】根据双曲线的标准方程与渐近线方程的关系可写出双曲线。的渐近线方程；求出 的取第9页 供19页值范围，可得出O P O F=2 c os O P O F结合余弦函数的基本性质可求得 一 的 取 值 范 围.【详解】在双曲线。中，a=l,b=5 c =J/+/=2,则/(2,0),所以，双曲线。的渐近线方程为y =2x =&,a直线y =&的倾斜角为三，由题意可知0 4：,则；：05。2。尸4 1,所以，0 E=|0
19、网 c os =2 c os G(1,2.故答案为：y =J x；(1,2.15.【答案】【解析】【分析】利用函数的最值与单调性的关系可判断的正误；利用函数的单调性与导数的关系可判断的正误；取f =-1,利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可判断的正误.【详解】对于，当1=0时，y =/(x)g(x)=(x 2-2x)e*,则 _/=0 2一2 1由丁 0可得 近*0可得近，此时，函数y =(x 2-2x)e 的增区间为卜叫8)、(垃,+8),减区间为卜夜,夜)，当 x 2 时，y =(x2-2z)e 0,当 0 cx 2 时，y =(x2-2x)e 0,所 以,函 数M%)在 L+00
20、)上 单 调 递 增,所 以,/z(x)=ex-x+l/i(l)=e 0,则 x-ex 1 -e 0 由 V =(f -2)e +2f(e -x +1)N0 可得2f z 厂 产,e x +1第10页/共19页构造函数P(x)=(：_ )；,其中无21,则 人)_(j+)e,_ x e 5 2-4 +：2 ()-(e _+令4(工)=工2-4+2ex,其中x 2 1,则,(x)=2(x-e)0,所以，函数q(x)在 1,+8)上单调递减，故当x 21 时，(x)(l)=l-2 e 0,则 p(x)0,即 p(x)1,+00)上单调递减,p(x)max=0(1)=1，则 2/2 1,解得对；对于
21、，y=/(x)+g(x)=x2-2x+e+f,y=2x-2+ex,因为函数y=2x 2+e”在R上单调递增，yrx=0=-l 0,所以，存在小 使得)/=(),当xXo时，/x()时，/0,此时函数y=x2-2x+e*+f单调递增，所以，对任意的实数乙 函数y=x2-2x+e、+t有最小值，错；对于，令(x)=x2-2x+e*+，不妨令(O)=l+r=O,即取1=一1,由可知，函I数，()=%2-2%+6-1在(-8,%)上单调递减，在(%,+00)上单调递增，因为/e e)，则 M(Xo)0,所以，存在.(%,2),使得“(x)=0,此时函数”(x)的零点之和为 +0=%2,对.故答案为：.
22、【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；参 变 量 分 离 法：由x)=0分离变量得出a=g(x),将问题等价转化为直线y=与函数y=g(无)的图象的交点问题.三、解答题共6 小题，共 85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.第11页/共19页1 6.【答案】=2 折,7 1 ,兀KJI .KTI+3 6化
23、w Z）；【解析】【分析】（1）根据 五点法”可得函数的解析式，根据正弦函数的性质即得;71（2）由题可得8 =一，然后根据余弦定理及三角形面积公式即得.3【小 问 1 详解】由题可知函数的最小正周期为无，所以。=卫2 兀=2,71T T T T J 1根据“五点法 可得2 x：+e =,即9 =一，6 2 6所以/（x）=s i n 2 x +g ,I 6）由 2 也一二 K 2 x +2kn+,k wZ,可得 E 工+2 6 2 3 6所以函数/（x）的 单 调 递 增 区 间 为 新+（k e Z）；【小问2详解】因为=s i n（2 8+工,又 8e（0,j t）,2 B+,I O y
24、 2 6 1 6 6,”c TC 5 1 n r c 1所以 2B H =,即 8 =，6 6 3由余弦定理可得户=2+c2-2 c z c c o s B =（a +c）2-2ac-2accosB,所以（2 月=6 2 3 a c,即a c =8,所以 S A M C=a c s i n B =x 8 x =2 6.A B C 2 2 21 7.【答案】（1）证明见解析（2）一 必6【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明；（2）利用空间向量的坐标运算求二面角的余弦值即可.【小 问 1 详解】第1 2 页/共1 9 页又因为 A8/CO,AB=CO,所以 AB/MN,A B =M N
25、,2所以四边形A8M N是平行四边形，所以B M/A N,又因为8/平面PAD,匈7匚平面24。，所以8M/平面PAD.【小问2详解】因为 P O，平面 ABCD,AD,D C u 平面 ABCD,所以 PO _L AD,P D 1 OC,且 A D 1 DC,所以以D4,DC,DP为x，y，z轴建系如图，若选择：PB=B 因为P。，平面A 6C D,8O u平面ABC。，所以 1.3 0,所以 3。=J i=I=0,则 AB=二T=1，所以 C=2,则 0(0,0,0),8(1,1,0),尸(0,0,1),C(0,2,0),M(0,1,1),因为D4_L平面POC,所以DA=(1,0,0)为
26、平面PDM的一个法向量,设平面 D M B 的法向量加=(x,y,z),D B =(1,1,0),D M=(0,1,；),所以D B-m =x+y=01,令x=l,y=-l,z =2,D M 2 =y+z=0.2所以阳二(1,1,2),设二面角P OM B为。,cos=D A-mDAm1 _ V6V66因为由图可知二面角P-OM为钝角，所以cos9=-若选择：8 O L 8 C,设AB a,则C。=2a,第13页/共19页B D =J/+i,B C =yja2+l,因为BOLBC,所以/+1 +/+1 =4/解得。=1,则 (0,0,0),5(1,1,0),P(0,0,1),C(0,2,0),
27、M(0,1,1)，2因为D 4 J平面POC,所以D 4 =(1,0,0)为平面PDW的一个法向量，设平面 D M B 的法向量?=(x,y,z),D B =(1,1,0),D M=(0,1,g),DB-m=x+y=0所以；i ,令x =l,y =-l,z =2,D M -m=y +z=0I 2所以机=(1,-1,2)f DA-m 1 y/6设二面角尸“M-B为。，COS=网丁布=不,因 为 由 图 可 知 二 面 角-5为钝角，所以COS6=Y 5.618.【答案】(1)0.15(2)分布列答案见解析，E(X)=124 2(3)建议农科所推广该项技术改良，理由见解析【解析】【分析】(1)计算
28、出亩产量是5()()k g的概率，结 合 表1以及独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；(2)分析可知随机变量X的可能取值有96 0、1080、1200、135 0、15 00,计算出随机变量X在不同取值下的概率，可得出随机变量X的分布列，进而可求得E(X)的值；(3)设增产前每亩冬小麦产量为J k g,增产后每亩冬小麦产量为k g,则7 7 =4 +5(),设增产后的每亩动漫小麦总价格为丫元，计算出增产的5 0k g会产生增加的收益，与125比较大小后可得出结论.【小 问1详解】解：由图可知，亩产量是4 00k g的概率约为0.005 x 5 0=0.25,亩产量是4 5 0k g的概
29、率约为0.01 x 5 0=0.5 ,亩产量是5 00k g的概率约为0.005 x 5 0=0.25 ,估计H地区明年每亩冬小麦统一收购总价为15 00元的概率为0.25 x 0.6 =0.15【小问2详解】解：由题意可知，随机变量X的可能取值有：96 0、1080、1200、135 0.15 00,P(X=96 0)=0.25 x 0.4 =0.1,P(X=1080)=0.5 x 0.4 =0.2,第14页/共19页P （X =1200）=0.25 X 0.4 +0.25 X o.6 =0.25 ,P（X=135 0）=0.5 x 0.6 =0.3,P（X =15 00）=0.25 x 0
30、.6 =0.15 ,所以，随机变量X的分布列如下表所示：X96 010801200135 015 00P0.10.20.250.30.15(%)=96 0 x 0.1+1080 x 0.2+1200 x 0.25 +135 0 x 0.3+15 00 x 0.15 =124 2.【小问3详解】解：建议农科所推广该项技术改良，设增产前每亩冬小麦产量为J k g,增产后每亩冬小麦产量为7 7 k g，则=4+5(),设增产后的每亩动漫小麦总价格为丫元，分析可知E(r)=E(X)+5 0 x(2.4 x 0.4 +3x 0.6),所以，增产的5 0k g会产生增加的收益为5 0 x(2.4 x 0.
31、4 +3x 0.6)=138 125,故建议农科所推广该项技术改良.19.【答案】(1)0是/(x)的极小值点，理由见解析(2)证明过程见解析【解析】【分析】求/(x)=x l n(x+l)的定义域，求导,得到了(0)=0,且x e(l,0)时，x e(0,+o o)时，f x 0,故0是 的 极 小 值 点；(2)对 不 等 式 变 形 得 到 吧 里 二1七 二 0，令g(x)=l n(x +l)+g x 2 x(x l),求导，得到其单X调性，从而得到g(x)正负，故：(.+1)+2 r .0恒成立,结论得证.x【小 问1详解】0是/(x)的极小值点，理由如下：/(力=加1(%+1)定义
32、域为(-1,+8),r(x)=l n(x+l)+其中尸(0)=l n l +=0,当时，l n(x +l)0,-j-0,故/(x)=l n(x +l)+0,-0,故/(x)=l n(x+l)+-0,X+1X+1第15页/共19页故/(x)=xln(x+l)在x e(1,0)上单调递减，在xe(0,+8)上单调递增,故0是“X)的极小值点；【小问2详解】f(x 1 ，林,人T xln(x+l)1 .-V x+1 等价于一 二 L一一x+1,x2 2%2 2Hnln(x+l)H x-x即 LoX令g(九)=ln(x+l)+；12-1)则 g，(x)=一F x-lx+lx2x+1当x -l时，g(x
33、)0,所以g(x)在x1上单调递增，又 g(o)=o,故当x0时，g(x)g(O)=O,当一 1无0时，g(x)恒成立，x故 4 -L+i.x2 2r2 v22 0.【答案】(1)一+工=18 2(2)y=%+2或%=0【解析】【分析】(1)两个点尸(一2,l),Q(2j5,0)代入解方程即可.(2)斜率不存在单独算出|GMHGN|=2是否成立：斜率存在时把/设出来与椭圆联立,韦达定理求出两根之和与两根之积用斜率上来表示，然后|GM|GN|用两个根表示，化简求值即可.【小问1详解】,4 1 ,T +7T=1，将点尸(一2,1),。(2夜,0)坐标代入椭圆的方程，得 也 解得=8/2 =2,所以
34、椭圆E的方2 2程为：土+乙=18 2第16页/共19页【小问2详解】若直线/的斜率不存在，即直线/为x=0时，A和 重合，B和N点重合，分别为椭圆的上下顶点（0,V2）（0,-7 2）,此时|6孙 设2=（2-x（2+/）=2,符合题意.若直线/斜率存在，设直线AB的方程为了=+2,A（%,%）8（/,2）（玉声一 2且 。2）,联立方y=+2程工2 yi 得，（4%2+1）/+1 6求+8=。，=（16攵）2-3 2（4公+1）=32（4攵2-1）0,.2_,即%工或&-2 216k 8.V,2 y.1 /.玉+二77网 上 二5 尸所以直线PA的方程为=，（%+2）+1，取4k 4-1
35、4k+1 xi+1%+2(2(-1)(1x=0得M 0,上_ +1 ,同理可得 M 0,-+1由|GMHGN|=2得%+22(为7)+_2=2,即 2(X T)Ix2+2 须 +2二2,所以（2左一1）2 匚=2,即（2左-一-二2,即%+2 x2+2 药+2（玉+超）+4即上=1,经检验符合题意，此时直线/为y=x+2综上所述，直线/的方程为y=x+2或x=0.2 1.【答案】（1）1,2,1或3,1；（2）7；（3）511566.【解析】【分析】（1）由题意可直接列举出数列Q；（2）由题意可得4,分=4、=5和 2 6分别求5（。）的最小值即可得答案;（3）由题意可得数列。为2,2,2,1
36、,1,1的形式，设其中有x项为2,有）项为1,则有2x+y=2 0 2 3,所以7（。）=-2x2+2023%,再利用二次函数的性质求T（。）的最大值即可.【小问1详解】第17页/共19页解：当T（Q）=1时，存在一组（仃），满足4 为,14 i /4，又因为4，出，q的各项均为正整数，且5（。）=%+%+怎=4,所以为4,即%W3,且 收1,2,当i =l,/=2时，满足条件的数列。只能是：3,1；当i =l,/=3时,满足条件的数列Q只能是：1,2,1；当i =l,/N 3时，满足条件的数列。不存在；所以数列。：1,2,1或3,1；【小问2详解】解：由题意可知C；N6,所以当=4时，应有数
37、列中各项均不相同，此时有S（Q）2 1+2 +3+4 =10；当 =5时，由于数列中各项必有不同的数，进而有S（Q）N 6.若5（。）=6,满足上述要求的数列中有四项为1,一项为2,此时T（Q）W4,不符合，所以 5（0）27；当2 6时，同可得5（0）2 7；综上所述，有5（0）27,同时当。为2,2,1,1,1时，5（。）=7,所以S（0）的最小值为7；【小问3详解】解：存在大于1的项，否则此时有T（Q）=O；4=1，否则将凡 拆分成。“个1后T（。）变大；当”1,2,，一 1时，有 之 否则交换a,。*顺序后7（。）变为T（Q）+1,进一步有a,-a,+l e O,l,否则有a,N a,
38、+i+2,此时将改为弓一1,并在数列末尾添加一项1,此时7（。）变大；各项只能为2或1,否则由可得数列。中有存在相邻的两项q =3,a：=2,设此时。中有x项为2,则将为改为2,并在数列末尾添加一项1后，T（Q）的值至少变为丁（。）+尤+1-x =T（Q）+l；由上可得数列。为2,2,2,1,1,1的形式，设其中有x项为2,有y项 为1,则有2 x +y =2 0 2 3,从而有 丁（Q）=孙=（2 0 2 3-2x）x=-2x2+2 0 2 3x,x-5 0 6/、由二次函数的性质可得，当且仅当“、一 时，了（。）最大，为5 115 66.y =10 11【点睛】关键点睛：本 题 考 查 了 有 穷 数 列 的 前 项 和 及 满 足 集 合 中 元 素 的 个第18页/共19页数，属于难点，在解答每一小问时，要紧扣。还是一个正整数数列，进行逻辑推理，从而得出结论.第19页/共19页