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1、2022年北京市丰台区高考数学二模试卷试题数：2 1,总分：1501.（单选题，4分）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（2,1）,则复数2=（）A.2+iB.2-iC.l+2iD.l-2i2.（单选题，4分）x l是&21的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.（单选题，4分）函数f（x）=2cos2x-l是（）A.最小正周期为2 n的偶函数B.最小正周期为2 n的奇函数C.最小正周期为7T的偶函数D.最小正周期为TT的奇函数4.（单选题，4分）（X 20）6的展开式中的常数项为（）XA.240B.-240C.480D.-4805.（单选题，
2、4分）已知两条不同的直线1,m与两个不同的平面a,p,则下列结论中正确的是（）A.若 l|a,mi l,则 mJ_aB.若LLa,1|p,则a邛C.若 m_La,l_Lm,则 l|aD.若a邛，L L a,则1|06.（单选题，4分）小王每天在6：3 0至6：5 0出发去上班，其中在6：3 0至6：4 0出发的概率为0.3,在该时间段出发上班迟到的概率为0.1；在6：4 0至6：5 0出发的概率为0.7,在该时间段出发上班迟到的概率为0.2,则小王某天在6：3 0 至 6：5 0 出发上班迟到的概率为()A.0.1 3B.0.1 7C.0.2 1D.0.37 .(单选题，4 分)己知 a=3
3、S 5,b=log3 2,c=t a n g,则()A.a b cB .b a cC.c a bD.a c b8 .(单选题，4分)设等差数列 a。的前n 项和为S n.若 S 2 V s3 V O,则下列结论中正确的是()A.a3 V oB.a2-aiy/a3 a59 .(单选题，4分)已 知 f(x)是偶函数，它在 0,4-0 0)上是增函数.若f(I gx)f(1),则x 的取值范围是()1)B.(0,U (1 0,+0 0)M M 1。)D.(0,1)U (1 0,+0 0)1 0.(单选题，4分)已知双曲线C：马一号=1(a 0,b 0)的左、右顶点分别为A i，A2,左、右焦点分别
4、为F i，F 2,以线段A 1 A 2 为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点M,且点M在第一象限，A 2 M 与另一条渐近线平行.若怛网|=内，则A M A 2 F 2 的面积是()3 V I1 1 .(填空题，5分)已知向量益=(-2,3)，b=(6,m).若 五_ L 族，则 m=_.1 2 .(填空题，5分)已知抛物线C：x2=8 y,则抛物线C的准线方程为1 3 .(填空题，5 分)在A A B C 中，a=2,b=遍，A=2 B,贝U cosB=_ .1 4 .(填空题，5分)在平面直角坐标系中，已知点M (2,-2),动点N满足|N M|=1,记 d为点N到直线1：x+my+1-
5、2 m=0的距离.当m 变化时，直线1 所过定点的坐标为一；d的最大值为一.1 5 .(填空题，5分)如图，某荷塘里浮萍的面积y(单位：m 2)与时间t(单位：月)满足关系式：y=atlna(a为常数),记y=f(t)(t 0).给出下列四个结论：设出!=f(n)(n e N*),则数列 aj是等比数列；存在唯一的实数toe(1,2),使得f(2)-f(1)=f (to)成立，其中F (t)是 f(t)的导函数；常 数 ae(1,2)；记浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别为ti，t2,t s,则ti+t2t3.其中所有正确结论的序号是_.1 6 .(问答题，1 3 分)如图
6、，在正三棱柱A B C-A 1 B C 中，A A i=A B,D为 B C 的中点，平面A i C i D C 平面 A B C=D P.(I )求证：A i C i|D P；(I I )求平面A i C i D 与平面A A i D 夹角的余弦值.R1 7.(问答题，1 4分)已知数列 a n 的前n项和为Sn,在条件、条件(2)、条件这三个条件中选择一个作为已知.(I )求数列 a n 的通项公式；(1 1)设数列 工 的前n项和为T n.若对任意n C N*,不等式m恒成立，求m的最小值.条 件 ：a i=l 且 a n-2 a n-i=0 (n 2)；条 件 ：S n=2 n-1;条
7、 件 ：2 an-Sn=l.1 8 .(问答题，1 4分)某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动，活动规则如下：在一不透明纸箱中有8张相同的卡片，其中4张卡片上印有 幸 字，另外4张卡片上印有 运 字.消费者从该纸箱中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片上都印有同一个字，则获得一张1 0元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片上印有同一个字，则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励.(I )求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率；(I I)记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X的分布列和数学期望
8、E (X)；(I I I)该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付3元.若你是消费者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由.1 9 .(问答题，1 5分)已知函数/(%)=詈.(I )当a=l时，求f (x)的单调区间和极值；(H )当 a l 时，求证：f (x)a x 2+(a-1)x+1恒成立.2 0.(问答题，1 5分)已知椭圆C：4 +S=1(a b 0)经过点P (2,1),P到椭圆Ca2 b2的两个焦点的距离和为4 近.(I)求椭圆C的方程；(H)设 Q(4,0),R 为 P Q 的中点，作 P Q 的平行线1 与椭圆C交于不同的两点A,B,直线 AQ
9、与椭圆C交于另一点M,直线BQ 与椭圆C交于另一点N,求证：M,N,R 三点共线.2 1.(问答题，1 4 分)设 1 尸，bi,h=a2,b2(1 ,In=an,bn,In+i=an+i bn+i 是 n+1(n G N*)个互不相同的闭区间，若存在实数x o,使得x o e h (i=l,2,n+1),则称这n+1 个闭区间为聚合区间，X。为该聚合区间的聚合点.(I )已知=3 ,h=-2,s i n t (0 t =a i,b i ,I z=a 2,b z l n=an bn I n+i=an+i b n+i 为聚合区间.(i)设x o,y o 是该聚合区间的两个不同的聚合点.求证：存在
10、k,1 G c z,).2022年北京市丰台区高考数学二模试卷参考答案与试题解析试题数：2 1,总分：15（）1.（单选题，4分）在复平面内，复 数z对应的点的坐标是（2,1）,则复数5=（）A.2+iB.2-iC.l+2iD.l-2i【正确答案】：B【解析】：直接利用复数的几何意义及共物复数的定义即可求解.【解答】：解：由复数的几何意义可知，复 数z对应的点的坐标是（2,1）,则 z=2+i,故 2=2-i.故选：B.【点评】：本题主要考查了复数的几何意义的应用，共轨复数的定义，属于基础题.2.（单选题，4 分）xl是x2l的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既
11、不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：直接利用充要条件的判断方法判断即可.【解答】：解：因为XT=X21”,而3 1 推不出所以X1是 充 分 不 必要条件.故选：A.【点评】：本题考查充要条件的判定，基本知识的考查，注意条件与结论的判断.3.（单选题，4分）函数f（x）=2cos2x-l是（）A.最小正周期为2TT的偶函数B.最小正周期为2TT的奇函数C.最小正周期为n的偶函数D.最小正周期为n的奇函数【正确答案】：C【解析】：化简可得f（x）=cos2x,再根据余弦函数的周期性与奇偶性，得解.【解答】：解：f（x）=2cos2x-l=cos2x,最小正周期T=*=TT,是偶函数.故选
12、：C.【点评】：本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握二倍角公式，余弦函数的周期性与奇偶性是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.4.（单选题，4分）（x2-2）6的展开式中的常数项为（）XA.240B.-240C.480D.-480【正确答案】：A【解析】：求出通项公式，运用指数塞的运算性质，令指数为0,解方程可得r=4,即可得到所求常数项.【解答】：解：（X 2二）6的通项公式为T+1=重（X 2）6-r （.）rx x=吗.X1 2-3 r （-2）r,令 12-3 r=0,可得 r=4,则展开式的常数项为猿（-2）4=240.故选：A.【点评】：本题考查二项式定理的运用，主要是通项
13、公式的运用和指数塞的运算性质，考查运算能力，属于基础题.5.（单选题，4分）已知两条不同的直线1,m与两个不同的平面a,p,则下列结论中正确的是（）A.若 11|a,mi l,贝！I m laB.若 I l a,1|B，贝 丘邛C.若 m l a,U m,则 1 1|aD.若 a l p,I l a,则“I。【正确答案】：B【解析】：对于A,m与 a平行或mua或 m与 a相交；对于B,由面面垂直的判定定理得a l p；对于 C,1|。或 1 =匕对于 D,1 1|B 或 1 U0.【解答】：解：两条不同的直线1,m与两个不同的平面a,0,对于A,若 l|a,U m,则 m与 a平行或mua或
14、 m与 a相交，故 A错误；对于B,若 L L a,1|由 则由面面垂直的判定定理得a 0,故 B 正确；对于C,若 m _ L a,U m,则l|a 或 l u a,故 C 错误；对于D,若 a l p,1 1 a,贝或1 U0,故 D 错误.故选：B.【点评】：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力，是中档题.6 .（单选题，4分）小王每天在6：3 0 至 6：5 0 出发去上班，其中在6：3 0 至 6：4 0 出发的概率为0.3,在该时间段出发上班迟到的概率为0.1；在 6：4 0 至 6：5 0 出发的概率为0.7,在该时间段出发上
15、班迟到的概率为0.2,则小王某天在6：3 0 至 6：5 0 出发上班迟到的概率为（）A.0.1 3B.0.1 7C.0.2 1D.0.3【正确答案】：B【解析】：根据全概率公式计算即可得解.【解答】：解：由题意在6：3 0 至 6：5 0 出发上班迟到的概率为0.3 x 0.1+0.7 x 0.2=0.1 7,故选：B.【点评】：本题考查了全概率公式，属于基础题.7 .（单选题，4 分）已知 a=3 O 5,b=log3 2,c=t a ny-,则（）A.a b cB.bacC.cabD.acb【正确答案】：A【解析】：利用对数函数和指数函数的性质求解.【解答】：解：3。-53。=1,v0=
16、log31log32log33=l,1,-0bl,tan-tan-=-A/3 0,.cbc,故选：A.【点评】：本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用.8.(单选题，4 分)设等差数列 a的前n 项和为S n.若 S2Vs3 0,则下列结论中正确的是()A.as0B.a2-ai J(I3 5【正确答案】：D【解析】：根据S2Vs3 0,a 2 0,故A 错误;S3=3a2 0,所以 a20,故 B 错误；所以等差数列 a。为递增数列，则 a40,as0,a37a5,则 a3+as2 J a3as,所以 2a4=a3+a52 a3as,所以
17、a4 a3as，故 D 正确；对于C,当ai=3,d=2 时，a2=-l,a3=l,S2=-4S3=-3 f(1),则x 的取值范围是()A-O 1)B.(0,U(10,+oo)。仁，1。)D.(0,1)U(10,4-00)【正确答案】：B【解析】:根据函数奇偶性和单调性之间的关系，结合对数函数的单调性即可得到结论.【解答】：解：f(x)是偶函数，在 0,+00)上是增函数，根据偶函数的对称性可知，在(-8,0)上是减函数，距离对称轴越远，函数值越大，若 f(Igx)f(1),则|lgx|l,或。x青故选：B.【点评】：本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关
18、键，综合考查函数性质的应用.1 0.(单选题，4 分)已知双曲线C：2*1 0,b 0)的左、右顶点分别为A1，Az，左、右焦点分别为Fi，F2.以线段A1A2为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点M,且点M在第一象限，A2M与另一条渐近线平行.若|FIM|=V H,则4MA2F2的面积是()373【正确答案】：C【解析】：设出双曲线的右焦点，渐近线方程，由圆x2+y2=a2与直线y=x,求得交点M(?,?),再由两直线平行的条件：斜率相等，化简方程，结合|FiM|=夜I,可求双曲线方程，从而可求面积.【解答】：解：设双曲线C：1一4=1(a0,b 0)的Ai(-a,0),A2(a,0)，右
19、焦a2 bl点为 Fi(-c,0),F2(C,0),渐近线方程为y=x,由圆x2+y2=a2与直线y=g x,求得交点M(9,y ),ab由直线FM平行于另一条渐近线，可得：券=，化为c=2a,.b2=c2-a3a2,因为|F1M|=J偿 +c)2+(专2=本，所 以 见+空=迪 =21,.a2=3,.c2=12,b9,4 4 4所以 M(y ,|),A2(V3,0),F2(2 V3,0),所以 建 小 通14*(2 V 3-V 3)x|=#.故选：C.【点评】：本题考查双曲线的几何性质，注意运用直线和圆求得交点，以及两直线平行的条件和三角形的面积的求法，考查运算能力，属于中档题.1 1.(填
20、空题，5分)已知向量3=(-2,3),b=(6,m).若&1 B,则m=_.【正确答案】：口4【解析】：根据已知条件，结合向量的数量积公式，即可求解.【解答】：解：.向量a=(-2,3),b=(6,m),a lb ,.,.-2x6+3m=0,解得 m=4.故答案为：4.【点评】：本题主要考查向量的数量积公式，属于基础题.12.(填空题，5分)已知抛物线C：x2=8y,则抛物线C的准线方程为.【正确答案】：囚y=-2【解析】：直接利用抛物线方程求解准线方程即可.【解答】：解：抛物线C：x8 y,则抛物线C的准线方程为：y=-2.故答案为：y=-2.【点评】：本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础
21、题.13.(填空题，5 分)在ZiABC 中，a=2,b=V3,A=2B,则 cosB=_.【正确答案】:ly【解析】：由已知结合正弦定理及二倍角公式进行化简可求.【解答】：解：由正弦定理得，三=上，BsinV3-33所以cosB=故答案为：【点评】：本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题.14.(填空题，5分)在平面直角坐标系中，已知点M (2,-2),动点N满足|NM|=1,记d为点N到直线1：x+my+1-2m=0的距离.当m变化时，直线1所过定点的坐标为一；d的最大值为一.【正确答案】：1(-1,2);26【解析】：在直线的方程中，分离参数，令参数的系数等于零，求得x、
22、y的值，可得直线1所过定点的坐标.再根据点N的轨迹，求出d的最大值.【解答】：解：直线 1：x+my+1-2m=0,即 x+m(y-2)+1=0,令 y-2=0,求得 y=2,x=-l,可得直线1所过定点的坐标为A(-1,2).由题意，点N的轨迹是以M为圆心，半径等于1的圆，d 的最大值为 MA+1=J(2+1)2+(2-2尸 +1=5+1=6,故答案为：(-1,2)；6.【点评】：本题主要考查直线经过定点问题，点到直线的距离的最大值，属于基础题.1 5.(填空题，5分)如图，某荷塘里浮萍的面积y (单位：m 2)与时间t (单位：月)满足关系式：y=afI na (a 为常数)，记y=f (
23、t)(t 0).给出下列四个结论:设 an=/(n)(n e N*),则数列 a j 是等比数列；存在唯一的实数t o (1,2),使得f (2)-f (1)=F (t o)成立，其中F (t)是 f (t)的导函数；常 数 a e (1,2)；记浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2 所经过的时间分别为t i,t 2,t 3，则 t i+t 2 t 3.其中所有正确结论的序号是_.【正确答案】：口 【解析】：根据f(0)1,f(3)=6 求出a的取值范围，即可判断，再根据等比数列的定义判断，构造函数利用导数说明函数的单调性，再结合零点存在性定理判断，根据指数对数的关系及对数函数的性质判断；【
24、解答】：解：依题意f (t)=a U na,因为 f(0)=a l na 0,所以 即 a e (1,e),令 h (a)=a3l na,a G (1,e),则 hz(a)=3 a2l na+a2 0,则 h (a)=a 3 1 na 在 a e (1,e)上单调递增，又 h (2)=2 3 1 n2 0 ,即g(to)=Q(a)2 a2仇。)。，在%(L 2)上单调递增,因为 a(2,e)，所以 lnaa0,lnal 0,alna0,令 cp (a)=lna-a+l,a6(2,e),则(p，(a)=；1=V O，所以(p(a)=ln a-a+l,在 a(2,e)上单调递减，且(p(2)=ln
25、2-24-l-ln2-l0,即 p (a)=lna-a+l0,所以H(a)=alna-a+l在 ae(2,e)上单调递增，又 H(2)=21n2-2+l=21n2-l0,所以 H(a)=alna-a+l0,所以 g(1)=a(Ina)2-a2lna+alna=alna(Ina-a)+alna=alna(lna-a+1)0.故存在toE(1,2)上，g(to)=0,故正确；依题意 2=clna 3=atzlna 6=at3lna,所以 2 x 3=a11 Ina x at2lna=at llt 2(lna)2,所以a+t2(2na)2=6,则吃=1，即 atl+t2t3 Ina=1,所以 tl+
26、t2-J =，因为 ae(2,e),所以 ln2lnal,所以 I V-V-V 2 0,即ti+tzt3,故)正确；故答案为：.【点评】：本题考查了等比数列的定义，导数的综合应用，属于难题.1 6.（问答题，1 3 分）如图，在正三棱柱A B C-A i B i C i 中，A A i=A B,D为 B C 的中点，平面A i C i D C 平面 A B C=D P.（I ）求证:A i C i|D P；（H ）求平面A i C i D 与平面A A i D 夹角的余弦值.【正确答案】：【解析】：（I ）利用面面平行证明线线平行；（1 1）建立空间直角系，分别求出平面A i C i D 与平
27、面A A i D 的法向量，利用c o s V S t =系求出答案【解答】：（I ）证明：连接A i P,平面人8（：|平面人小心，.平面 A B C P I 平面 A i C i D P=D P,平面 A i B i C m 平面 A i C i D P=A i C i，A i C i|D P.（I I ）解：设 A A i=A B=2 m,以D为坐标原点，AD为x轴，C D 为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系,D(0,0,0),A(yj3mf 0,0),A1(y/3m,0,2m),Ci(0,-m,2 m),设平面AiCiD的法向量为6=(1,y,z),DA-i=(y/3m,0,2m),
28、DC；=(0,-m,2m),联立方程：呸=遮 巾+2n lz=。，旧 DC】=ym+2mz=0解得：y=-V3,z=-y ,6=(1,V3,-)，同理求得平面AAiD的法向量f=(0,-1,0),st V 3 2V57.c o s=丽=逵=年，2平面AiCiD与平面AAiD夹角的余弦值为富.9【点评】：本题主要考查空间中的平行关系，面面角的相关计算等知识，属于中等题.1 7.(问答题，14分)已知数列 an 的前n 项和为Sn,在条件、条 件 、条件这三个条件中选择一个作为已知.(I)求数列 an 的通项公式；(1 1 )设数列 2 的前n 项和为T n.若对任意nN*,不等式m 恒成立，求
29、m 的最小值.条 件 ：a i=l且 an-2an=0(n 2)；条 件 ：Sn=2n-1;条 件 ：2an-Sn=l.【正确答案】：【解析】：（I）选条件时，利用等比数列的定义求出数列的通项公式；选条件（2）时，利用数列的递推关系求出数列的通项公式；选条件时，利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；（I I）利 用（1 ）的结论，进一步利用函数的单调性和极限的应用求出结果.【解答】：解：（I ）选条件：a i=l 且 a n-2 a n-i=0（n 2）时；由于W =2 （常数），an-l所以数列 a n 是以1为首项，2为公比的等比数列；所以即=1 X 2 吁1 =2 T,（首项符合通项）
30、；所 以 即=2 吁1;选 条 件 时:S n=2 -1;当 n=l 时，a i=S i=l,当n 2 2 时，an=Sn-Sn_!=2n-1（首项符合通项）；故所以与=2 i ；选条件 时,2 an-Sn=l （i）,当 n=l 时，2 a S i=a i=l,当 nN2 时,2 an-i-S n-i=l （ii）,（i）-（ii）时，整 理 得 工=2 （常数），an-l所以数列 a n 是以1为首项，2为公比的等比数列；所以=1 x =2 所1 ,（首项符合通项）；所 以 凝=2 吁1；（I I ）由（I ）得：a =2“T,所以=（I）7 1-1;故 7 =喀=2x（1-劫 2由于函数
31、f （x）=2x（1 -劫单调递增，当 X +8 时，-0,n-+oo 2”所以m的最小值为2.【点评】：本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和,函数的单调性，极限的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.1 8.(问答题，1 4分)某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动，活动规则如下：在一不透明纸箱中有8张相同的卡片，其中4 张卡片上印有“幸 字，另外4 张卡片上印有 运 字.消费者从该纸箱中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片上都印有同一个字，则获得一张1 0 元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片上印有同一个字，则获
32、得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励.(I )求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率；(1 1 )记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求 X的分布列和数学期望E (X)；(I I I)该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付3元.若你是消费者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由.【正确答案】：【解析】：(I)根据古典概型的概率公式计算可得；(H)依题意X的可能取值为0、5、1 0,求出所对应的概率，列出分布列，即可求出数学期望；(H I)记随机变量Y为消费者在一次抽奖活动中的收益，则Y=X-
33、3,根据期望的性质求出E(Y),即可判断；【解答】：(I )解：记 某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸 字”为事件 A,则P 4呜，所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率为(1 1)解：依题意随机变量X的所有可能取值为0、5、1 0,则p(x =0)=等=蓝，P(x=5)=缁C管C=|,P(X=i o)=公比乎 a=_ i,所以X的分布列为：X51 0所以E(X)=1 0 x 表+5X|+0X =T；(I I I)解：记随机变量Y为消费者在一次抽奖活动中的收益,则 Y=X-3,所以 E(y)=E(X-3)=E(X)-3 =y-3=-|l 时，求证：
34、f (x)a x 2+(a-1)x+1 恒成立.【正确答案】：【解析】：(I )求导判断函数的单调性，进而可求出极值；(I I)构造函数g(x)=器 一(a 1)%-1 ,求出函数的最大值即可得出结论；(I I I)将 f (x)a x2+(a-1)x+1 变形为 a x (x ex+ex-l)x ex-ex+l,分别证得 x (x ex+ex-l)与x e x-e x+1 恒非负，即可得出结论.【解答】：解：(I )当a=l 时，/(%)=当，则/(%)=笑(若 尹=京,令 F (x)=0,即 x=0,所以当x 0,f(X)单调递增；当x0时，F (x)0,f (x)单调递减；因此f (x)
35、在x=0 处取得极大值，/(0)=答=1，所以f (x)的单调递增区间为(-c o,0),单调递减区间为(0,+o o),在 x=0 处取得极大值，且极大值为1;(I I )证明：要证 f (x)(a-1)x+1,即 证 等 一(a-l)x-l W O,因此设 g(%)=等 i (a -l)x 1 ,则 g (x)=匕瓷二-(a -1)=,令 m (x)=a-a x-l-(a-1)ex,则 m (x)=-a-(a-1)ex,因为 a l,所以 m(x)=-a-(a-1)ex 0；当 x(0,+8)时，m(x)0；当 xE(0,+8)时，g(x)ax2+(a-1)x+1,即证 ax2+(a-l)
36、x+1,也即是 ax+lNax2ex+(a-1)xex+ex,即证 ax(xex+ex-l)0 时 G(x)0,即G(x)单调递增；当x 0 时，Gr(x)l 时，M(x)0,则 M(x)单调递增；4xV l 时，M(x)0,则 M(x)单调递减，且 M(-4)=5e-4-l 0,M(-1)=-e i-l 0,M(0)=e0-l=0,因此 xVO 时，M (x)0 时，M(x)0,即 H(x)=(x2+3x+l)ex-l 0,所以 H(x)单调递增，所以 H(x)min=H(0)=0,即 x(xe+ex-l)0因此当 aax2+(a-1)x+l 恒成立.【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单
37、调性与极值，不等式恒成立问题，考查了转化思想和函数思想，属中档题.2 0.(问答题，15分)已知椭圆C：+1=1 (a b 0)经过点P(2,1),P 到椭圆C的两个焦点的距离和为4 夜.(I)求椭圆C 的方程；(H)设 Q(4,0),R 为 PQ的中点，作 PQ的平行线1与椭圆C 交于不同的两点A,B,直线 AQ与椭圆C 交于另一点M,直线BQ与椭圆C 交于另一点N,求证：M,N,R 三点共线.【正确答案】：【解析】：(I )根据椭圆定义，可求得a值，将 P点坐标代入，即可求得b 2,即可得答案;(I T)由题意可得R点坐标和直线P Q 的斜率，即可设直线的方程为y=-：+租，A (xi,y
38、i),B(X 2，y2)，M (xm,ym),N (xn,yn)，可得直线 A Q 的方程为 y=奈(-4),与椭圆联立，即可求得ym，X m 表达式，同理可得yn，X n 表达式，即可求导直线MN的斜率，再求得直线MR的斜率，分析即可得证.【解答】：解：(I)根据椭圆的定义可得2 a =4&，解得a=26,又过点P (2,1),所 以*+专=1,解得b 2=2,所以椭圆C的方程为W+4=i；o N证明：(H )因为 P (2,1),Q (4,0),所以 R(3,3，5=言=设直线的方程为y=-g x+m,A(Xi，yj,B(x2,y2),M(xm,ym),N(xn,yn),所以心。=含，心?
39、=溪；，所以直线AQ的方程为y=含(4),直线B Q的方程为y=、(4 -4),乃，(x-4)联立直线AQ与椭圆：厂,消去X可得(17+4 卜+誓I y+8 =0,所以+%n8(%1-4)M+4又1+q=1代入,8 2整 理 可 得 用=哼 等 一%=含，代入直线A Q,可 得 加=言,Z 4 OXJ L 5Xi，一%1同理可得用=产-，3 T2%n83%23 T 2所以AMNyz y i3 T 2 3 r l=8-342 8-773 T 2 3 T l3(乃-乃)+尢1y2-M为=3 必(-%+m)-孙(一如+向X2-X1 2 X2-X1乂 MR3 m,2_ =(3 1+Tn)-(3ri)=
40、3-Xm-3 -1-3 -8-3%1-3(3-1)-2所以M,N,R三点共线.【点评】：本题考查了直线与椭圆的综合应用，属于难题.2 1.(问答题，14 分)设 h=ai，b i,12=自 2，bz,In=an bn,In+i=an+i bn+i是 n+1(neN-)个互不相同的闭区间，若存在实数x o,使得XoCli(i=l,2,n+1),则称这n+1 个闭区间为聚合区间，xo为该聚合区间的聚合点.(I)已知1户 1,3,I2=-2,sint(0 t=同,bi,12=a2 bz-In=an bn ln+i=an+i，bn+i为聚合区间.(i)设xo,yo是该聚合区间的两个不同的聚合点.求证：
41、存在k,1 以1,2,n+1 ,使得，biUh(i=l,2,，n+1)；(i i)若对任意p,q(p 0 q 且 p,qel,2,n+1),都有Ip,1 互不包含.求证：存在不同的 i,忙1，2,n+1),使得瓦出 (b(.【正确答案】：【解析】：(I)根据题意可得当且仅当sin t=l时成立，由此求出t 的值.(H)(i)设xo y,根据区间端点的大小关系证明所有区间都包含xo,y0即可；(ii)先分析n+1个互不相同的集合的区间端点的大小关系，再设aia2an+i，再根据区间端点的距离为1,累加即可证明瓦一%上等(bi-ai).【解答】：解：(I)由0 t ir,得 0sintWl,11，
42、12为聚合区间的两个不同的聚合点，由定义可得hnl。，.当且仅当sin t=l时成立，故 t=；(II)(i)证明：由xo，yo是该聚合区间的两个不同的取合点，不妨设 xoyo，,xoGli(i=l,2,n+1),；.ai，a2,an.i n+1),.yobi，bz，,bn+i,不妨设ai,a2,an+i中的最大值为ak,bi，b2，bs，,bi 中最小值为 bj,3i，a2，,an+iWakWxoVyoWbjSbi,b2,bn+i，ai,a2,an+iakbjbi，b2，,bn+i存在 k,le(l.2,，n+1 ,使得ak，bili(i=l.2,，n+1)；(ii)证明：若存在as=at(
43、sH t),则 hu h或 h u h,与已知条件矛盾,不妨设 aiVa2 an+i,则 bk(m-1)1,an+i-am=(an+i-an)+(am+i-am)(n-m+1)1,an+i-am=(an+i-an)+(am+i-am)(n-m+1)1,由1 1+1,-1)1 0,，b m-a m之(b m-b i)+(a n+i-a m)之n L即 Q?n+1 -mn m，,b m 3 m+l=b m _ 3 m-)之 n Q?n)9此时取i=m,j=m+l则*药=乙?(加一 a。,综上，存在不同的i,j6l,2,n+1 ,使得bia心(瓦 a。.【点评】：本题考查了新定义的集合类证明，先画数轴分析题目中区间的关系，再凑出所需证明的不等式即可，是难题.