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1、2012-2021北京重点区高三二模数学汇编空间点、直线、平面之间的位置关系一、单选题1.（2020.北京海淀.二模）如图，正方体A B C D-A 4G R 的棱长为2,点。为底面ABCD的中心，点尸在侧面8A G C 的边界及其内部运动.若D Q L O P,则2 G P 面积的最大值为（）A.B.至 C.A/5 D.255 52.（2020北京海淀二模）已知三条不同的直线和两个不同的平面a,p ,则下列四个命题正确的是（）A.若 m/a,/a,则，B.若 m/，m u a ,则/aC.若/a,/?,则夕 D.若/a,1工0,则 a J 分3.（2013北京西城二模（文）对于直线?，和平面
2、a,P，使 成 立 的 一 个 充 分 条 件 是A.m L n,n/a B.机 ,C.m L p,_L,D.m l n,B【a二、填空题4.（2020北京西城二模）在四棱锥中，底 面 是 正 方 形，PAJ_底面A B C O,%=筋=4，E、F、H 分别是棱尸8、BC、的中点，对于平面EFH截四棱锥P-A BCD 所得的截面多边形，有以下三个结论:截面的面积等于4#;截面是一个五边形：截面只与四棱锥P-ABCD四条侧棱中的三条相交.其中，所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.5.（2020北京东城二模）设。、夕、丁是三个不同的平面，?、是两条不同的直线，给出下列三个结论：若，J_ a,/
3、?,则/“；若m _La,m l/3,则a/月；若a _Ly,0 L y ,则 a/3.其中，正确结论的序号为三、解答题6.(2 0 14 北京朝阳二 模(理)如图，在四棱锥P-A 8 C D 中，底面A B C。是正方形，侧面2 4。J _ 底面A 8 C。,E,F 分 别 为 中 点，P A=P D =AD=2.(1)求证：即 平面P B C；(2)求二面角尸-A的余弦值；(3)在棱PC上是否存在一点G,使G F_ L 平面E D 尸？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由.7.(2 0 17 北京朝阳二模(文)如图，在三棱柱ABC-ABIG 中，A A 口 底 面 A B C,Z A
4、 C B =9 0。，A C B C =,4 A =2,。是棱4 A 的中点.(I )求证：B G|平面B C D；(I I)求三棱锥8-C C。的体积；(J 1I)在线段8。上是否存在点。，使得C Q _ L B?请说明理由.8.(2 0 2 0 北京朝阳二模)如 图，在五面体A 8 C D E F 中，面 4 8 c o 是正方形，A D 1 D E,AD=4,D E=E F =2,ITS.ZEDC=-.(1)求证：A )_ L 平面 C E F；(2)求直线8 力与平面A O E 所成角的正弦值；(3)设 M是 CF 的中点，棱 AB上是否存在点G,使得MG平面A O E?若存在，求线段
5、AG的长；若不存在，说明理由.9.(2018 北京海淀二模(理)如图，在三棱柱ABC-A B C 中，AC=8C=4耳=2,A瓦，平面A8C,AC,1AC,E分别是AC,4 a 的中点.(I)证明：AC_LBQ；(II)证明：O E/平面4 4 瓦8；(H I)求 O E与平面B 2C C 所成角的正弦值.10.(2017.北京朝阳.二模)如图 1,在ABC 中，NC=90。，AC=4,8C=2,),分别为边 AC,AB 的中点，点E G 分别为线段C R 8E 的中点.将 AOE沿 D E折起到 4 Q E 的位置，使/A。=6 0 .点。为线段A0上的一点，如图2.(1)求 证:F-L B
6、E；(2)线段A S 上是否存在点。，使得FQ|平面4 O E?若存在，求出A Q 的长，若不存在，请说明理由;(3)当 硒=q 值 时，求直线GQ与平面AD E所成角的大小.11.(2017北京西城二模(文)如图，在几何体A8CDEF中，底面ABC3为矩形，EF/CD,CD LEA,CD=2EF=2,E=6，为棱FC上一点，平面4 W与棱网交于点N.(I I)求证：AD/M N；(III)若 AJ_E,试问平面BC尸是否可能与平面4)M V 垂直？若能，求出值值；若不能，说明理由.FC12.(2017北京东城二模(理)如图，在几何体ABCDEF中，平面AQE_L平面A B C O,四边形AB
7、CO为菱形,且 NDAB=6(T，EA=ED=AB=2EF,EF/AB,M 为 BC 中点.(I)求证：FM 平面(I D 求直线CR与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值；(III)在棱C F上是否存在点G,使 8G1.D E?若存在，求二三的值；若不存在，说明理由.13.(2015北京朝阳二模(文)如图，在矩形A 8Q)中，AB=2AD,M 为 CD的中点.将AADM沿 4W 折起,使 得 平 面 平 面 A B C M.点。是线段AM 的中点.(I)求证：平面DOB 1平面ABC”；(II)求证：ADYBM ；(III)过。点是否存在一条直线/,同时满足以下两个条件：/u 平面8 8；I
8、HAM.请说明理由.D14.(2021北京朝阳二模)如图，在三棱柱A B C-A B C中，四边形eG C是边长为4的正方形，钻=3.再从条件、条件、条件中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答.(1)求证：平面4 4 C C；(2)求直线BC与平面A B G所成角的正弦值.条件：BC=5；条件：A B V A A,.条件：平面ABC，平面AAGC.15.(2021北京海淀二模)如图，在三棱锥 P-ABC 中，BCA.AC,BC1 P C,AC=BC=6,PA=PC=5,Q,E分别是AC,PC的中点.(1)求证：平面PAC L平面A8C；(2)求二面角A-D K-B的余弦值16.(201
9、7北京东城二模(文)如图，在四棱柱ABC力-A B C Q中，侧面AO R A和 侧 面 都 是 矩 形,BC HAD,MB D是边长为2的正三角形，E,尸分别为AQ,人。的中点.(1)求证：J平面A B C。；(2)求证：平面A 8 E，平面(3)若C F平面ABE,求棱B C的长度.参考答案1.C【分析】取8片的中点尸，由题意结合正方体的几何特征及平面几何的知识可得OR IO C,ODy LO F,由线面垂直的判定与性质可得。进而可得点P的轨迹为线段C F,找到G P的最大值即可得解.【详解】取 的 中 点 尸，连接。尸、D、F、C F、CtF,连接。、BO、0 C、2片、DC,如图：因为
10、正方体A B S-A B C R的棱长为2,所以 B1F=BF=l,DO=BO=OC=O,DB=DC=2曰 平面 ABC。，平面 A B R,，平面B B C,所以OR=or2+W=6,O FAO BBF。=百，D F=JD,B；+BF2=3,所以 0 n 2 +O F2=尸，O D；+OC-=D,C2,所以ORJ_OC,ODX OF,由OC 0。尸=0可得O R，平面OCF,所以。1 CF,所以点尸的轨迹为线段CF,又 G F=JBC：+B|F2=逐 G C=2,所以 A G P面积的最大值s=g G 6 2 G=g x 2 x石=6.故选：C.【点睛】本题考查了正方体几何特征的应用，考查了
11、线面垂直的判定与性质，关键是找到点尸的轨迹，属于中档题.2.D【分析】根据线面关系和面面关系的性质可依次判断.【详解】对A,若m”a,nt la,则加和“可能平行、相交或异面，故A错误；对 B,若m/,mc.a,贝!/。或/u a,故 B错误；对C,若/a,/夕，则a和夕可能平行，也可能相交，故C错误；对D,若/a,则存在/u a,满足/，若,则/，/，所以a _ L ,故D正确.故选：D.3.C【详解】八a/?试题分析：由w_La=,选 C.m k p考点：线面垂直的条件.4.【分析】取CQ的中点G,A4的四等分点/,顺次连接E、F、G、H、I,则平面EFG”/即为过E、F、，的平面截四棱锥
12、P-4BCD所得截面，计算出截面面积，根据截面形状可判断命题的正误.【详解】取CD的中点G,F 4的四等分点/,顺次连接E、F、G、H、I,则平面EFGH/即为过E、F、H的平面截四棱锥尸-M C D所得截面，如下图所示：在四棱锥P-A 3c。中，底面A8CD是正方形，B4_L底面4 3 8,B4=AB=4,.E、F分别为尸8、8 c的中点，.E/7/PC且E尸=g p c=2石，rE Fu平面EFH,PCZ平面EFE,；.PC平面EFH,.PCu平面P C D,平面P S A平面瓦H=G ，.G/7/PC,为尸。的中点，；.G为8的中点，.GH=gpC=2 6,同理可得 E H H B D
13、H F G,且 E=FG=g 8。=2 0 ,平面A8C,8。=平面4 3 8,.瓦 _124,四边形A B C。为正方形，则8 0,A C,QPAI A C =A,平面P A C,P C u平面P A C,:.BD1PC,则E F _ LE H,所以，四边形用GH为矩形，其面积为E F E H=2遮x 2或=4死，设尸G A A C =M,BDCAC=N,则M为CN的中点，N为AC的中点，1 1 3:.CM=-C N =-A C ,AM=-A C ,2 4 4Q P C 平面E F H ,P C u平面P A C,平面2爪 平 面 的/二 阳，/%?。，且W=PC =3 0，：.J E H的
14、边E H上的高为IJ=IM-M J =3坦-2 4 =后，J E H的面积为SE H=EH IJ=；X2叵乂6 =瓜.所以，截面面积为4+布=5痣，命题错误；该截面是一个五边形，命题正确；由图可知，截面与四棱锥P-A B C D侧棱R 4、PB、尸。相交，命题正确.故答案为：.【点睛】本题考查的知识点是棱锥的几何特征，与棱锥相关的面积和体积计算，确定截面的形状是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.5 .【分析】利用线面垂直的性质可判断命题、的正误；利用特例法可判断命题的正误.综合可得出结论.【详解】a、B、7是三个不同的平面，机、”是两条不同的直线.对于，若?_ L中点0,连接。尸
15、，先证出/E/为二面角E O F A的平面角，进而求得和E 7,最后在直角三角形中求得c o s N E/；（3）先假设存在点G,建立空间直角坐标系，求得平面EFQ的一个法向量，表 示 出 元 和 根 据 向 量 共 线 的 性质建立等式对人求解.【详解】（1）作4 8的中点H,连接:在R4B中，E,H为中点,EH/PB,EH a 平面 PBC,P3 U平面 PBC,E”平面 P8C,同理可证明F 平面PBC,:EH u 平面 EFH,FHu 平面 EFH,EHQFH=H,平面平面PBC,/EFu平面瓦H,二 EFH 平面 PBC；（2）作7垂直A。于/,作=连接/,作A。中点0,连接0P,P
16、A=PD,：.OPVAB,EI V AB,：.EI II OP,为中点，；El=-OP=AE=-AB=,2 2 4 2,/侧面PAD _L底面ABCD,/.E/_L底面 AfiCO,：.EI A.DB,/E/为二面角E DF A的平面角，ZADB=NJIB,ZDJI=ZDAB=90,M s ADB,；，DB M 运=.J/f2V2 Z 7 7 /112 _ Ff2 _ P 3 _ EJ=7 J1+LLI=./I=尸 tV8 4 2723c o s Z.EJ I=J I=2 2 V 1 5国 一 而一 号2 夜即二面角E-D F A的余弦值为正;5(3)不存在.假设存在，连接A C,8。，交于点
17、F,E F 为平面E OF 和平面P A C 的交线,以。为原点，O F,O P 分别为x y z 轴建立空间直角坐标系，则 A (1,0,0),B(1,2,0),C(-1,2,0),0(-1,0,0),P(0,0,6),E ,0,-j,F(0,1,0),设G(X 1,y,z J,则丘;=(X 1 _ y,z J，设平面E F D 的一个法向量是；=(x 0,%,Zo),n-D F=x()4-y0=03 上 G n，,D E =3%+32。=.因为G f，平面EO F,F G =A n1 芭=2 ,y _ 1 =-2 ,zl=-6入，G C 北 共线，曲=卜 1,2,-甸，&=(X 1+l,y
18、-2,z J，.x,+l_ y-2 _ z,-1 2 一 5.匕4=土!=幸，无解，-i 2 -75故在棱PC 上不存在一点G,使得G 尸，平面EO F.【详解】试题分析：(1)由B1G|BC可 证.(2)因为BCJ_平面C|C D,所以0-ccM=3 SAGC D,B U(3)由BC_L平面C,C D.得BC_LJD.所以C Q L平面BCD.所以只需CQ_LBD即可.试题解析：(I)在三棱柱ABC-A|G中，B G|BC，且B C u平面BCD,平面BCD,所以B C|平面BCD.(H)因为AA1,底面ABC,/ACB=90。，所以AA|，BC,A C 1 B C,则BCJ平面AAC.即B
19、 C,平面CQD.所 以%-co。=SACICD.BC=gxcci.AC.BC=1xx 2 x l x l =1-(H D因为在侧面ACGA|中，AC=gAA1,AA,1AC,D是棱AA1的中点，所以 NAQG=45,/ADC=45。.则 CQ 1 DC.因为B C,平面C D,所以BCLCQ.所以C|D,平面BCD.又C Qu平面CQB,所以平面BCD_L平面C Q B,且平面BCDc平面CQB=BD,过点C作CQLBD于Q,所以CQ_L平面CQB.则 CQ1 BC,.所以在线段BD上存在点Q,使得CQLBG.8.(1)答案见详解；(2)如；(3)存在，4G=3.4【解析】(1)由AOJ_)
20、C和 利 用 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 即 证 结 论;(2)先根据等体积法计算点B到平面ADE的距离d,再利用正弦等于云即得结果：BD(3)先取C,AB上点N,G 使得CN=BG=1,证明平面MNG/平面4 O E,即得用G平面AOE,AG=3.【详解】解：(1)证明：正方形A8C中，A D 1 D C,又 A D L D E,D C n D E=D,DC,LEu平面 C)ER,所以 4 3 1.平面 CDE产；(2)设直线8力与平面AOE所成角为。，点 B 到平面AOE的距离d,则sinO=&.BD依题意，B D =4丘,由(1)知平面。力石尸，得平面平面C O M,故点E 到平
21、面ABC。的距离h,=D E sin =6 ,3用八4 中，SgDE=-AD-D E =-x2x4=4,又S2ABD=，4 D,4 B=：X4X4=8,故根据等体积法2 2 2 2VB-ADE VE-ABD 得:5 ”出=1 5 0 加,口1，即4=竺 叵=2 6,故sin O=g=缰=渔，故直线8。与平面3 6 4 BD 4V2 4AOE所成角的正弦值是正；4(3)-.-AB/DC,Cu平面C)E尸，4 8(2 平面。历，.4?/平面。麻1,又平面CDEF 0 平面相 砂=所，A S i平面ABF,.AB 所/CZX分别取OC,AB上点M G,使得CN=BG=l,又C N/I B G,故四边
22、形CNG8是平行四边形，3C7/NG,又 N G在平面AOE外，BC在平面AOE内，.1NG平面AQE,取 DC中点H,贝 ljW=E尸=2,又D H/IEF,故四边形EFDH是平行四边形，y,CN=l=-D C =-C H ,M 是 C F的中点，故 M N 是中位线，：.D E U H F/M N,又 MN在平面AQE外，OE在平4 2面 ADE 内，.1M N/平面 AOE,因为MN,NG相交于平面MVG内，所以平面M NG/平面A O E,又M G u平面MVG,故此时用G/平面ADE,AG =3.【点睛】本题考查了线面垂直的判定、线面成角的求法和存在性问题的探究，属于中档题.求空间中
23、直线与平面所成角的常见方法为：(1)定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；(2)等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线线段长的比值即线面成角的正弦值;(3)向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.9.(I)证明见解析；(I I)证明见解析；(H I)近.6【详解】分析：(I)先证明A C,平面AB,再证明AC_LBC.(H)取A片的中点，连接M4、M E.先证明DEAM,再证明D E/平面AA|B|B.(HI)利用向量法直线DE与平面BBC所成角的正弦值.详解：(I)因为A&J_平面ABC,ACu平面ABC,所以ALAC.因为
24、AC|_LAC,AB,ACX=A,ABf,4 6匚平面48,所以AC J平面AB.因为4G u平面ABC，所以AC,4G.(I I)取4 4的中点，连接M4、ME.因为E、M分别是8、A 4的中点，所以 MEAG，且 ME=gAG.在三棱柱ABC-A8 c 中，4。|4 G，且=所以 MEA,且 ME=A,所以四边形AOEM是平行四边形，所以 E AM.又 A/u 平面 平面所以。E 平面AABB.（Ill）在三棱柱 A 8C-A 4G 中，BCi/B、C,因为AC，8 ,所以A C,8 c.在平面4c耳内，过点C 作 C z/A 4，因为，AB|J_平面ABC,所以，Cz_L平面A8C.建立
25、空间直角坐标系C-孙z,如图.则C（0,0,0）,8（2,0,0）,A（0,2,2）,G（-2,2,2）,D（0,l,0）,E（-l,2,2）.诙=（-1,1,2）,CB=（2,0,0）,国=（0,2,2）.设平面8 8 C C 的法向量为3=（x,y,z）,则n-CB=0 J 2x=0-，即 .n-CBx=0 2y+2z=0得x=0,令 y=i,得 z=-l,故=（0,-1）.设直线OE与 平 面 所 成 的 角 为 仇则 sin6=|cos/,zi|=_.!，=,所以直线DE与平面BBC。所成角的正弦值为3.6点睛：本题主要考查空间位置关系的证明和线面角的向量求法，意在考查空间位置关系证明
26、中的转化能力和运算能力.10.（1）见 解 析（2）在线段A B上存在中点。，使FQ|平面AOE.且 AQ=厄30【分析】（1）先根据等腰三角形性质得4 尸，D C.再 由 折 叠 中 不 变 的 垂 直 关 系 得 _ L D C,根据线面垂直判定定理得中，平面A D C,即 得 最 后 再 根 据 线 面 垂 直 判 定 定 理 得 平 面 B 8 E,即得A.F1BE.(2)利用空间向量研究线面平行关系，即通过平面法向量与直线方向向量垂直进行研究，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出平面法向量，利用向量数量积求直线方向向量与法向量夹角，最后根据平面法向量与直线方向向
27、量数量积为零列式求解参数.(3)利用空间向量求线面角，仍是先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出平面法向量，利用向量数量积求直线方向向量与法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角之间互余关系列式求线面角大小.【详解】(1)因为AO=QC,N4OC=60,所以 ADC为等边三角形.又因为点F为线段CD的中点，所以 AFJ.DC.由题可知ED A。,E D 1 D C,所 以 平 面AOC.因为A F u平面A Q C,所以又 E D C D C=D,所以4尸，平面BCDE.所以(2)由(1)知平面F G A.D C,如图建立空间直角坐标系，则下(0,0,0),0(0,-1,0),
28、C(0,l,0),E(1-1,0),4(0,0,73),8(2,1,0).设平面AOE的一个法向量为3=(x,y,z),AD=(0,-1,-V3),D=(1,0,0)，所以 云 型=，即p +K z=0,n DE=0.x=0.令 z=l,所以 y=-百，所以 Z=(o,-G,l).假设在线段A B上存在点0,使FQII平面AOE.设 布=4 布，几（0.又 砸=（2,1,一 6），所 以 布=（2；U,_ g/l）.所以 Q（22,4,6-/A）.则 而=（22,A,V3 V3A）.所 以 而 n=-V3A+V3-V3A=0.解得，4=；.则在线段A B上存在中点。，使FQ|平面AOE.且 A
29、Q=0.（3）因 为 硕=q 不，又石豆=（2,1,，所以不。=（1，：,_ ）.所以。（|，：亨 又 因 为 G g o,O）,所 以 也 除骞因为4=（0,-6,1）,设直线G。与平面AD E所成角为仇则 sin。=n3百 工 石z-rX 0 -1-G。勺 4 4丽-2 x正42直线GQ与平面4。石所成角为30。.11.（1）见 解 析（2）见 解 析（3）4【详解】试题分析：（1）利用题意证得CD_L平面E A D.所以ED_LCD.（2）利用线面平行的性质定理A D/平面F B C.所以ADMN.FM 1（3）假设平面BCF是否可能与平面ADMN垂直，结合题意可求得二二 彳FC 2试题
30、解析:解：(I)因为A5CD为矩形，所以CDLAO.又因为CD_LE4,所以CD _L平面40.所以 EJ_CD.(II)因为ABC。为矩形，所以AD/8C,所以AO平面F3C.又因为平面ADM Nc平 面 用 C=M N,所以4)MN.(I l l)平面4DM/V与平面8CF可以垂直.证明如下：连接。尸.因为 AD_LE,AD LCD,所 以 平 面 QDEF.所以 A_LOW.因为AOM N,所以D M工MN.因为平面4 W N c 平面BCF=MN,若使平面4DWN _L平面BCF,则 D M,平面B C F,所以在梯形 CDEF 中，因为 EF C D,ED LCD,CD=2EF=2,
31、EO=石，所以 OF=OC=2.所以若使DM _LFC 能成立，则 加 为 FC的中点.所以-=-.FC 2点睛：高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题.对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决.立体几何引入空间向量后，可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可以发挥这一优势.12.(1)见 解 析(2)巫(3)=-10 CF 9【详解】试题分析：（I）取CO中点N,连结M N,F N ,利用面面平行平面M F N 平面B O E,得到线面平行Q0平面B D E；（H）取 中 点。，连结E O,
32、B 0,先证E O,B O,A。两两垂直，故可以。为原点，OA,OB,OE为x,y,z轴，建立空间直角坐标系。-孙z,求出C F的方向向量次，面B O E的法向量万，利用s i n a =|co s（而，元）|可得结果；（1 H）设G是C F上一点，且 方=4而，根据共线可得G的坐标，结合数量积为0,可得结果.试题解析：（I ）取CD中点N,连结因为N,M分别为C D3C中点，所以M N BD.又8 u平面B D E且MNU平面所以M N 平面3D E,因为 E尸 A B,A B =2 E F,所以 M C ,EF=D N.所 以 四 边 形 为 平 行 四 边 形.所以F N ED.又Du平
33、面3D E且KVU平面3 E,所以F N 平面应 圮，又 F N c M N =N,所以平面M E N 平面又FMu平面RV,所 以 平 面取AD中点。，连结E O,B O.因为E 4=,所以E O L A O.因为平面A ）E _ L平面A f i C D,所以E O 1_平面A B C。，EO1.BO.因为A Z）=45,Z D A B =60.所以 为等边三角形.因为。为A。中点，所以A ）_ L B O.因为EO,80,A。两两垂直，设 AB=4,以。为原点，。4,。8,。为 x，V，z 轴，如图建立空间直角坐标系。-孙z,由题意得，A（2,0,0）,B（0,23,0）,C（-4,2
34、,0）,O（2,0,0）,（0,0,273）,F（-1,V3,2V3）,CF=（3,-V3,2V3）,D E=（2,0,2/3）.屁=（0,-2 H 2.设平面BDE的法向量为H=（x,y,z）,则:=即：=令 z=i,则 y=i,尤=一行.所以弁=卜君,1,1）.设直线C尸与平 面 即 E 成角为a,sina=J式请|=噂所以直线C F 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 为 强.10（III）设G 是C E上一点，且 函=2 声，A e 0,l,因此点G（3 2-4,也彳+2石,2百义）.BG=（3 A-4,-V 3 A,2 V3A）.由 前.屁=0，解得 力 =.所以在棱C尸上存在点
35、G 使得BGL O E,此 时C等G =14.点睛：本题主要考查了线面平行的判定，利用空间向量求空间角以及探究性问题在立体几何中的体现，常见的证明线面平行的方法有：1、利用三角形的中位线；2、构造平行四边形；3、通过面面平行得到线面平行等；直线的方向向量与平面的法向量所成的角满足sma=I。式而，力|，对于线线垂直转化为向量垂直，即数量积为0.13.（I）（II）见解析；（III）不存在.【详解】试题分析：（I）先 证 平 面 平 面 A B C M,再证。_ 1 _ 平面ABCM即可证。0 3,平面ABCM;（II）先证A _LBW,D O 1 B M,即证3 M L 平 面 可 证 结 论
36、 成 立；（III）先假设存在，用反证法证之即可.试题解析：（I）由己知，D A=DM,因为点。是4 0 的中点，所以00 1 4 M,又因为平面4 W _ L 平面A B C M ,平面 45A/C 平面ABCM=AM,O O u 平面 平面 ABCW,因为D O u 平面所以平面 0 8,平面A8CM.5 分（II）因为在矩形A8CO中，A B-2A D,且M 为C的中点，所以AM=8W=&AZ）=注 AB,所以2A M YB M,由（I）可知。OJ平面ABCM,因为B M u 平面A B C M,所以D。1 BM,又因为。,4 M u 平面4 W ,且。0C 4 =。，所以平面ADM,A
37、 D u平面ADM,所以10分（III）过。点不存在一条直线/,同时满足以下两个条件：/u 平面8CO；I H A M .理由如下：（反证法）假设过点。存在一条直线/满足条件，则因为/A ,平面A8CM,A u 平面4 5 C M,所以/平面又因为/u平面8cO,平面AB C M c平面B C D =B C ,所以”/B C,于是A BC,由图易知A M,B C相交，出现矛盾.所以不存在这样的直线/.14分考点：1.线面垂直的判定与性质；2.面面垂直的判定与性质.3.线面、面面平行的判定与性质.1214.条件选择见解析；(1)证明见解析；(2)彳.【分析】选择：(1)根据勾股定理可得ABLAC
38、,再 由 利 用 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 得A 8 _ L平面；选择：(1)根 据 勾 股 定 理 可 得AC,再由面面垂直的性质定理可得他，平面MGC.(2)以A为原点建立空间直角坐标系A-孙z ,求出平面ABC的一个法向量，根据s i n 9=|c o s|【详解】解：选择：(1)因为A C =4,AB=3,BC=5 ,所以A B L A C.又因为A 8 _ L A 41,A C C i A A =A,所以A f i，平面A 41c C.选择：(1)因为A C =4,AB=3,BC=5,所以A 8 L A C.又因为平面MC J平面AAGC,平面ABCn平面 MGC=A
39、C,所以AB,平面A 4,C C.(2)由(1)知 A 6 _ L A C,A B _ L A A.因为四边形AAGC是正方形，所以A C l A A.如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-孙z ,则 A(0,0,0),8(3,0,0),C(0,0,4),A (0,4,0),G(0,4,4),4 8 =(3,-4,0),祠=(0,0,4),BC=(-3,0,4).u设 平 面 的 一 个 法 向 量 为 =(x,y,z),则万 A 8=0,万 AG=,3工 一 分=0,4z=0.即令 y=3,则 x=4,z=0,所以日=(4,3,0).设直线B C与平面4 G 所成角为巴则如的小繇啜.所以直线
40、8C与平面4 8 G 所成角的正弦值为去12.【点睛】思路点睛：解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：(1)建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；(2)根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.(3)利用数量积验证垂直或求平面的法向量.(4)利用法向量求距离、线面角或二面角.15.(1)见解析；(2)-拽 I.29【分析】(1)连接P。，由5 C L 平面P A C,得B C L P D,结合PO LAC 可 证 得 如 J_平面A 8 C,进而得证；(2)以点。为原点，为y,z轴，过点。作与CB平行的方向为x 轴建立空间直角坐标系，由平面的
41、法向量计算求解即可.【详解】(1)连接P D,因为B4=P C,。为 AC的中点，所以。D LA C,又BC，AC,BC1PC,AC,P C为平面P A C的两条相交直线，所以BC_L平面PAC,P)u 平面P A C,所以BC_LPD,8 c A e 为平面ABC的两条相交直线，所以PD_L平面A B C,又尸D u 平面PAC,所以平面P A C J平面A B C；(2)以点。为原点，D 4,。尸为z轴，过点。作与C8平行的方向为x轴建立空间直角坐标系.所以 (0,0,0),5(2,-1,0),m 0,4),C(0,-3,0),(0,-1,2),3设平面 B D E 的法向量为力=(x,y
42、,z),D B =(2,-l,0),D E =(0,-,2)则n-DB=2x-y=0_ 3 ，不妨令x=l，则 y=2,z=；,历=(1,2,5),万.O E =1 y+2 z =0 2 2平面A DE的法向量为比=(1,0,0),m-n由|而|万|1 2 7 2 9,9=1 +4 +-4所 以 二 面 角 的 余 弦 值 为 一 鬻1 6.详见解析;(2)详见解析；(3)1.【详解】试题分析：(1)本问考查线面垂直的证明，根据线面垂直判定定理可知，应 证 明 与平面A BCD内的两条相交直线垂直，根据已知条件侧面A DR A和侧面C3&G都是矩形，所以。且O q _ L C。，于是问题得证；
43、(2)本问考查面面垂直的证明，应先证明线面垂直，根据题中条件A 4 B D为正三角形，E为A D中点，所以B E 1A D,根据面面垂直的性质定理，则BE,平面A QA A，BEu平面A 8E,所以问题得证；(3)本问考查线面平行的性质定理，确定经过CF的平面与平面A BE的交线，从而得到CF平行于交线，然后根据平面几何知识求BC的长度.试题解析：(1)因 为 侧 面 和 侧 面 都 是 矩 形，所以。RLA。，且。Q_LC3.因为ADC8=。，所以OR _ 1平面4 8).(2)因为是正三角形，且E为A D中点，所以8 _ L A ,因为力。，平面A B C。，而3Eu平面A B C。，所以
44、8，3 0.因为4。门。4=。，所以8 E _ L平面4DRA，因为8Eu平面A/E,所 以 平 面 平 面4 5 R A.(3)因为B C/M D,而 F 为 A A 的中点，所以B C/4/,所以8,C,A 四点共面.因为。尸平面A8E,而平面BCFA c平面A BE=AB,所以CF/A B.所以四边形BCFA,是平行四边形.所以BC=%=g A。=1.考点：1.线面平行；2.线面垂直；3.线面垂直.方法点睛：线面、线线垂直与平行的位置关系在面面平行与垂直的位置关系的证明中起着承上启下的桥梁作用，依据线面、面面位置关系的判定定理与性质定理进行转化是解决这类问题的关键.证明面面垂直时，关键是从现有直线中找一条与其中一个平面垂直，若图中不存在这样的直线应借助添加中线、高线等方法解决.